AM II_Apoio gráfico (CONTORNOS e CURVAS de

[ Elaborado por Rosário Laureano ]
Análise Matemática II
Considere a função f(x,y)=x^3+y^3-3*x-3*y.
Designamos por z as imagens por f de cada par (x,y), ou seja, z=f(x,y).
Na figura à esquerda são visíveis o
gráfico de f e planos horizontais
de equação z=k, para alguns
valores reais k.
Rosário Laureano
Para cada número real k, a intersecção do
plano z=k com o gráfico de f determina uma
curva no espaço (figura à direita). Diz-se a
curva de contorno de f para z=k (ou traço
horizontal do gráfico de f no plano z=k).
Thanks to Paulo Lima
A projeção de cada curva de contorno
sobre o plano xOy resulta numa curva
no plano (xOy) designada por curva
de nível.
Para cada número real k, a curva de
nível de f para z=k contém todos os
pontos do domínio de f para os quais
o gráfico (de f) está à altura k, ou
seja, mostra onde o gráfico de f tem
altura k.
Ao esboçarmos cada curva de nível
no plano xOy, devemos associar-lhe
o seu correspondente valor de k.
Representações como na fig. acima são designadas por mapas de contorno. No
entanto, contêm as curvas de nível da função f e não as curvas de contorno!.
Rosário Laureano
Thanks to Paulo Lima
Além do gráfico, as curvas de nível constituem uma outra representação da função.
Embora sejam apenas cortes do gráfico de f no plano z=k (as curvas de contorno)
projetadas sobre o plano xOy, as curvas de nível informam sobre a “estrutura” da
superfície do gráfico de f. Em particular, sabemos que a superfície do gráfico de f é:
- mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próximas entre si
- mais achatada onde as curvas de nível estiverem mais distantes entre si
Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos
de regiões montanhosas (e não só…). São as curvas em que a elevação
relativamente ao nível do mar é constante: quem andar sobre uma das curvas
contorno, não sobe nem desce (cuidado que, nesse contexto, curvas de nível
são frequentemente designadas por curvas de contorno, não sendo feita a
devida distinção!).
Outro exemplo comum são as curvas de nível da função Temperatura
num dado local de coordenadas (x,y). Nesse contexto elas são designadas por
curvas isotérmicas: ligam localidades que estão à mesma temperatura.
Podemos ainda referir o exemplo comum das curvas de nível em
mapas de pressão atmosférica, onde tomam o nome de curvas isobáricas.
Rosário Laureano
Através do mapa de contorno (representação das curvas de nível) de uma dada
função f (da qual pode não ser conhecida a expressão analítica), é possível
obter estimativas do valor de certas imagens.
EXEMPLO: Determine estimativas de
f(5,5), f(2,1), f(1,3) para a função f cujo
mapa de contorno é a figura ao lado.
Localizando cada um destes pontos no
sistema de eixos coordenados xOy e
tendo em conta as curvas de nível na
sua proximidade, podemos concluir
que:
f(5,5) ≈ 50
f(2,1) ≈ 65
f(1,3) ≈ 73
Rosário Laureano
Considere a função f(x,y) = x^2-y^2. Esta função apresenta no ponto (0,0) um
ponto de sela, caraterizado por decrescimento numas direções e crescimento
noutras. Tal é visível pelas curvas de
nível em torno de (0,0).
Parabolóide hiperbólico de equação
z = x^2–y^2 onde estão traçadas
algumas curvas de contorno.
Rosário Laureano
As respetivas curvas de nível de f de
equação x^2–y^2=k. Em torno do
ponto (0,0) existe uma curva de nível
de valor elevado (k=20) e outra de
valor reduzido (k=-20).
Thanks to Paulo Lima
Considere a função f(x,y) = 2x^2+y^2. Esta função apresenta no ponto (0,0)
um mínimo (absoluto). Tal é visível pelas curvas de nível em torno de (0,0).
Parabolóide elíptico de equação
z = 2x^2+y^2 onde estão traçadas
algumas curvas de contorno.
Rosário Laureano
As respetivas curvas de nível de f de
equação 2x^2–y^2=k. À medida que
as curvas de nível se afastam do
ponto (0,0), elas correspondem a
valores de k cada vez maiores.
Thanks to Paulo Lima
Considere a função f(x,y) = 2x+3y+3. O gráfico desta função é um plano.
Trata-se de uma função afim. Uma função como g(x,y) = 2x+3y, cujo gráfico é
um plano que passa no ponto (0,0), diz-se uma função linear.
Plano oblíquo de equação
z = 2x+3y+3.
Rosário Laureano
Algumas curvas de nível de f, de
equação 2x+3y+3=k.
Thanks to Paulo Lima