Profa. Maria Helena S. S. Bizelli

Cálculo Diferencial e Integral 2
Aula Teórica – 18/08/2008
1. (a) Descreva com palavras qual é o seu entendimento acerca de uma curva de nível de uma função z = f ( x, y )
de duas variáveis. Dê um exemplo prático de uma curva de nível no contexto da Física ou da Química.
Quando o plano z = C intercepta a superfície z = f(x,y), o resultado é uma curva no espaço denominada de traço ou
linha de contorno. O conjunto de pontos do plano xy que satisfaz a equação f(x,y) = C é chamado de curva de nível
de f. Em outras palavras, uma curva de nível mostra onde o gráfico de f tem altura C.
Um exemplo de aplicação são as isotermas.
(b) Algebricamente, explique como é que você obtém uma curva de nível de uma função de duas variáveis
z = f ( x, y ) e de que maneira você a descreve graficamente.
Fixando uma das variáveis obtemos uma curva de nível que é descrita graficamente no plano gerado pelas duas
variáveis que não foram fixadas.
(c) Explique qual é a diferença entre uma linha de contorno e uma curva de nível de uma função de duas variáveis.
Linha de contorno (ou traço) de uma superfície é uma curva no espaço que é obtida quando o plano z = C intercepta
a superfície z = f(x,y). Curva de nível é a projeção dos pontos dessa linha de contorno no plano gerado pelas duas
variáveis que não foram fixadas.
2. Considere o gráfico da função z = 25 − x 2 − y 2 e seu mapa de contorno descritos na ilustração abaixo.
O que você conclui sobre a inclinação da superfície, analisando o mapa de contorno desta? Justifique sua resposta.
Você pode generalizar sua conclusão para qualquer função de duas variáveis?
A superfície será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próximas umas das outras. Ela é mais ou
menos plana onde as curvas de nível estão distantes umas das outras. Você pode generalizar sua conclusão para
qualquer função de duas variáveis, desde que o mapa de contorno seja construído para valores da constante C
escolhidos com uma mesma amplitude.
3. Se você estiver caminhando sobre uma montanha, o que acontecerá se você andar sobre um dos contornos que
define uma curva de nível? Justifique sua resposta.
Se você caminhar sobre um desses contornos, nem descerá e nem subirá.
4. Na ilustração abaixo é mostrado o mapa de contorno para uma função f. A partir dele, faça uma estimativa para
o valor de f(-3,3) e f(3,-2). O que você pode dizer a respeito da forma do gráfico?
Profa. Maria Helena S. S. Bizelli
f(-3,3) ≈ 56 e f(3,-2) ≈ 35
5. O que você entende por domínio de uma função de duas variáveis? De quantas maneiras você pode representar o
domínio de uma função de duas variáveis? Determine e faça o esboço do domínioo de cada uma das funções dadas.
dadas
Domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos
todos os pares de valores (x,y)
(
para os quais a expressão
z = f(x,y)) fornece um número real bem definido.
Para verificar se a região de domínio está correta, use o programa Graphmatica.
(a) f ( x, y ) = x + y
(b) f ( x, y ) = x + y
(d) f ( x, y ) = xy x 2 + y
(e) f ( x, y ) =
6. Seja f ( x, y ) =
(c) f ( x, y ) =
x − 3y
x + 3y
3x + 5 y
x + y2 − 4
2
(f) f ( x, y ) = 1 − x − y
y−x
.
2x + y
(a) Determine o domínio da função dada.
D={(x,y) ∈ ℝ 2 : y ≠ -2x}
(b) Calcule f(u + v,2v - u).
f ( u + v,2v − u ) =
v − 2u
u + 4v
7. De acordo com a lei dos gases ideais,
ideais a pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás confinado estão
relacionados através da fórmula PV = kT, para uma constante k. Expresse P como função de V e T e descreva as
curvas de nível associadas a esta função. Dê o significado físico dessas curvas de nível.
São as “curvas” isobáricas que mostram o comportamento do volume V em relação à temperatura T mantendo a
pressão P constante.
6 V
P=10
4
P=20
P=30
2
T
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
-4
-6
Profa. Maria Helena S. S. Bizelli