Triângulo de Pascal

Triângulo de Pascal
Conceito Principal
O triângulo de Pascal é um array infinito triangular de inteiros com várias conexões interessantes para
inteiros aritméticos, incluindo os coeficientes binomiais e os Números de Fibonacci. Embora o
triângulo foi estudado séculos antes por matemáticos da Índia, Grécia, Pérsia, China, e Itália, é
chamado de triângulo de Pascal em homenagem ao matemático Francês Blaise Pascal, que
desenvolveu muitos de seus usos e organizou seus resultados em sua dissertação, Traité du triangle
ariésimamétique.
Construíndo o triângulo de Pascal
Cada número neste array pode ser identificado utilizando sua linha e sua posição específica com a
linha. As linhas são numeradas do topo ao fundo, começando com
, enquanto os termos de
cada linha são numerados da esquerda para a direita, começando com
. Para construir este
triângulo, começamos escrevendo apenas o número 1 na linha 0. Então, para encontrar os
elementos das seguintes linhas, adicionamos o número acima e à esquerda (Linha =
, Posição
=
) e o número acima e à direita (Linha =
, Posição = k) de nossa posição atual (Linha =
, Posição = k) para obter o número que pertence aqui. Se estivermos na beirada do triângulo, onde
o número que está na direita ou na esquerda não está presente, substituímos por um 0 em seu lugar,
por isso que cada linha começa e termina com 1 (
no lado esquerdo e
no lado
direito para todas as linhas).
Por exemplo:
Para construir a linha 1, imaginamos que a linha 0 possua a forma '0 1 0' e então o número na
posição 0 da linha 1 é
e o número na posição 1 da linha 1 é
. Isto resulta na
linha 1 a forma de '1 1'.
Para construir a linha 2, imaginamos que a linha 1 possua a forma '0 1 1 0' e então o número na
posição 0 da linha 2 é
, o número na posição 1 da linha 2 é
, e o número na
posição 2 da linha 2 é
. Isto resulta na linha 2 a forma de '1 2 1'.
Coeficientes Binomiais
Considere as seguintes expansões da potência
em uma soma de termos:
Esta expansão pode ser mais expressada compactamente utilizando a Fórmula Binomial:
.
O coeficiente binomial
, também escrito
ou
e pronunciado n escolha k, é o número
de caminhos para escolher um subconjunto de k objetos de um grupo de n objetos. Seu valor pode
ser dado mais explicitamente como
para
Como você pode ter notado, os coeficientes da
expansão da potência
diretamente aos números na
linha do triângulo de Pascal:
.
corresponde
e assim por diante...
Em outras palavras, o número na
posição da
exemplo, o número na posição 0 da linha 1 é
linha do triângulo de Pascal é
. Por
enquanto o número na posição 2 da linha 5 é
.
Também, devido a simetria no triângulo de Pascal, podemos facilmente observar que
. Finalmente, observando de volta o caminho original de construir um triângulo, no
qual os dois números na linha acima são adicionados juntos para obter o valor atual, observamos
que:
para
e
.
Selecione "Explorar por termo" e então clique no diagrama do Triângulo de Pascal abaixo para
selecionar qualquer termo e ver como seu valor se relaciona com sua linha e posição. Selecione
"Comparar para a Expansão Binomial" e então use o deslizador "Linha" para selecionar uma
linha inteira do triângulo e compare seus termos com os coeficientes da expansão binomial
correspondente.
Explorar por Termo
Comparar para a Expansão Binomial
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