Smoothing windows for the synthesis of Gaussian stationary random

Smoothing windows for the synthesis of Gaussian stationary random fields
using circulant matrix embedding
Vladas Pipiras
University of North Carolina at Chapel Hill, USA
Email: [email protected]
Resumo
When generating Gaussian stationary random fields, a standard method based on circulant matrix
embedding usually fails because some of the associated eigenvalues are negative. The
eigenvalues can be shown to be nonnegative in the limit of increasing sample size.
Computationally feasible large sample sizes, however, rarely lead to nonnegative eigenvalues. In
this talk, I will discuss how the standard circulant embedding method can be modified to
overcome this problem. The basic idea is to smooth the embedded circulant matrix at the
boundary by using a cutoff window or overlapping windows over a transition region. This
straightforward approach works for many examples of interest, with the overlapping windows
performing consistently better. (This is joint work with H. Helgason and P. Abry.)
Seleção de variáveis baseada na informação mútua: O que ainda não foi dito
Cláudia Pascoal1, M. Rosário de Oliveira1, Rui Valadas2, António Pacheco1
1
CEMAT e Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de
Lisboa
2
IT e Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa
Emails:[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Resumo
Problemas reais envolvendo grandes conjuntos de dados são cada vez mais frequentes. Uma
análise cabal dos mesmos implica a determinação das variáveis mais importantes na explicação
do fenómeno em causa. Esta escolha tem a vantagem de diminuir a complexidade do problema,
melhorar o desempenho do método estatístico em uso, permitir uma melhor visualização dos
resultados e ainda uma mais fácil interpretação dos mesmos. As capacidades de armazenamento e
registo de informação conduzem a conjuntos de dados cada vez maiores, contendo muitas
variáveis irrelevantes e outras redundantes para o problema em estudo. A identificação deste
subconjunto óptimo é conhecida por seleção de variáveis. Em problemas envolvendo grandes
conjuntos de dados é frequente determinar este subconjunto antes da análise dos dados
propriamente dita, sendo estes denominados métodos de filtragem.
Os problemas de classificação, têm grande relevância prática. Dado um conjunto de
caractarísticas (variáveis) e a classe a que cada objecto pertence têm por objectivo construir
regras de classificação que permitem atribuir um novo objecto a uma das classes em estudo. Um
subconjunto popular dos métodos de seleção de variáveis consiste em escolher as variáveis que
optimizam uma dada função objectivo. Esta função pondera dois critérios: a relevância e a
redundância de cada variável. A relevância é quantificada por uma medida de associação entre a
variável candidata e a classe a que cada objecto pertence. A redundância é uma medida de quanto
a informação relevante da variável candidata é tida em conta pelas variáveis já selecionadas.
Existe uma família de métodos de seleção de variáveis que escolhem como medida de relevância
a informação mútua e divergem na quantificação da medida de redundância entre as variáveis. Os
diversos autores baseiam-se em estudos de simulação para advogar as vantagens dos seus
métodos em comparação com os já existentes na literatura. No entanto, e apesar dos cenários de
simulação se basearem em variáveis aleatórias contínuas, o uso de estimadores de entropia e
informação mútua construídos para variáveis aleatórias discretas introduzem enviesamentos que
confundem os resultados obtidos.
Neste trabalho comparam-se vários métodos de seleção de variáveis a partir dos resultados
teóricos, associados a dois cenários distintos. Esta comparação elimina possíveis enviesamentos
devidos aos estimadores das diversas funções objectivo em estudo, clarificando-se resultados
contraditórios existentes na literatura.
Políticas Óptimas de Investimento em Novas Tecnologias em Ambiente
Aleatório
Cláudia Nunes
CEMAT e Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de
Lisboa
Email: [email protected]
Resumo
Na literatura de opções reais respeitante a políticas óptimas de investimento em novas tecnologias
é usual assumir-se que novas tecnologias ficam disponíveis de acordo com um processo de
Poisson homogéneo; em particular tal significa que após o aparecimento de uma nova tecnologia
é tão provável que nova fique disponível em qualquer instante. Este princípio não é de todo
razoável no panorama atual das inovações tecnológicas. Um dos paradigmas é a política de
lançamento de novos produtos da empresa Apple; uma vez lançado uma nova versão de um IPad,
por exemplo, os consumidores sabem que provavelmente uma nova versão só estará disponível
passado cerca de 1 ano.
Nesta apresentação generaliza-se o modelo de forma a contemplar cenários em que a
probabilidade de ocorrer uma inovação tecnológica altera-se com o tempo. De cada vez que há
uma inovação tecnológica é possível investir, pagando para tal um custo irreversível I mas, em
contrapartida, aumentando a eficiência associada ao processo. Desta forma o problema de
investimento numa nova tecnologia é um problema de decisão, no âmbito dos problemas de
controlo estocástico, sendo possível a sua resolução por via puramente matemática. Ao decisor
apresentam-se, em cada instante, duas acções possíveis: i) investir em nova tecnologia ou ii) adiar
a decisão de investimento; a decisão de investimento resulta de um balanço entre o custo de
investimento e os ganhos esperados futuros.
Analisam-se diferentes cenários, dependendo do decisor esperar ou não uma descida da
intensidade com que novas tecnologias ficam disponíveis. Analisam-se os efeitos da variância
entre duas chegadas consecutivas na decisão de investimento, e mostra-se que uma maior
variância acelera a opção de investimento no caso da intensidade aumentar.
No geral, mostra-se que um aumento da incerteza acelera a decisão de investimento, facto que é
expectável na Teoria das Opções Reais.
On the occupation time of 1-d exclusion processes
Patrícia Gonçalves
CMAT-Portugal
E-mail: [email protected]
Resumo
In this talk I will consider exclusion processes denoted by {ƞt: t≥0}, evolving on the onedimensional lattice Z and starting from the invariant state, namely, the Bernoulli product measure
on {0,1}Z with constant parameter ρ є [0,1].The goal of the talk consists in establishing scaling
limits of the functional Γt(f)=∫t0 f(ƞs)ds for proper local functions f. When f(ƞ):= ƞ(0), the
functional Γt(f) is called the occupation time of the origin. I will present a method that was
recently introduced in Gonçalves and Jara (10') “Universality of the KPZ equation'', from which
we derive a local Boltzmann-Gibbs Principle for a general class of exclusion processes. For the
occupation time of the origin, this principle says that the functional Γt(f) is very well
approximated to the density of particles. As a consequence, the scaling limits of Γt(f) follow from
the scaling limits of the density of particles. As examples I will present the symmetric simple
exclusion, the mean-zero exclusion and the weakly asymmetric simple exclusion. For the latter,
when the asymmetry is strong enough such that the fluctuations of the density of particles are
given by the KPZ equation, we establish the limit of Γt(f) in terms of this solution. The case of
asymmetric simple exclusion will also be discussed. This is a joint work with Milton Jara
(IMPA), with title "Scaling limits of additive functionals of interacting particle systems" and is
accepted in 2012 for publication in Communications on Pure and Applied Mathematics.
O Perfil dos Campeões de Jogos Matemáticos
Paulo Infante 1, Anabela Afonso 1, Jorge Nuno Silva 2
1
Escola Centro de Investigação em Matemática e Aplicações e Departamento de Matemática,
ECT - Universidade de Évora
2
Centro de História das Ciências da Universidade de Lisboa e Secção Autónoma de História e
Filosofia das Ciências (SAHFC), FCUL
E-mail: [email protected]
Resumo
Nos últimos anos o interesse dos alunos pelos Jogos Matemáticos tem crescido
exponencialmente. As escolas registam participações massivas dos seus alunos em atividades
envolvendo os Jogos. Os próprios programas dos Cursos Profissionais do Ensino Secundário
incluem um módulo de Jogos (módulo B5: Jogos e Matemática). O Campeonato Nacional de
Jogos Matemáticos (CNJM) regista uma adesão de alunos que ultrapassou todas as espectativas,
estimando-se que nas escolas o número de alunos jogadores que disputam as eliminatórias de
apuramento para a final esteja próximo dos 100000, número muito superior ao de praticantes de
qualquer outra atividade lúdica e desportiva em Portugal.
Este Campeonato tem sido promovido, desde a sua primeira edição em 2004, pela Associação
LUDUS, pela Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM), pela Associação de Professores de
Matemática (APM) e pela Ciência Viva. Em Março de 2012 disputou-se em Coimbra a 8ª edição,
onde participaram quase 2500 alunos dos 3 ciclos do ensino básico e ensino secundário,
pertencentes a quase 500 escolas de todo o país. Um número tão elevado de participantes é ainda
mais significativo porque cada escola apenas pode inscrever um aluno por jogo e por nível de
ensino.
Nesta comunicação apresentamos os primeiros resultados de um inquérito por questionário
aplicado no último CNJM. Começamos por caracterizar os vencedores dos torneios que ficaram
apurados para a finalíssima dos jogos que fizeram parte desta edição: Semáforo (1º ciclo), Cães e
Gatos (1º e 2º ciclos), Ouri (1º, 2º e 3º ciclos), Hex (2º e 3º ciclos e secundário), Rastros (3º ciclo
e secundário) e Avanço (secundário). Procuramos também avaliar a significância estatística de
algumas associações, como por exemplo, analisar até que ponto o desempenho a disciplinas base
como Matemática e Português está associado ao desempenho no campeonato. Finalmente,
traçamos o perfil dos finalistas em função das preferências dos alunos, da frequência de prática
de jogos matemáticos e outros jogos, do desempenho escolar a algumas disciplinas, das
condições de realização da final, do grau de nervosismo e de algumas variáveis de natureza
sociodemográfica.
Análise Classificatória de Dados de Natureza Complexa: Uma Aplicação do
Coeficiente de Afinidade
Áurea Sousa1, Helena Bacelar-Nicolau2, Fernando C. Nicolau3, Osvaldo Silva4
1
2
Universidade dos Açores, Departamento de Matemática, CEEAplA, CMATI
Universidade de Lisboa, Faculdade de Psicologia, Laboratório de Estatística e Análise de Dados
3
Universidade Nova de Lisboa, FCT, Departamento de Matemática
4
Universidade dos Açores, Departamento de Matemática, CMATI
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Resumo
A Análise de Dados Simbólicos (ADS) é um domínio recente na área da descoberta do
conhecimento e da gestão de dados. O seu primeiro passo consiste na extracção de informações
úteis a partir de bases de dados de elevada dimensão, como em Data Mining, de modo a sumariar
esses dados em termos dos seus conceitos mais relevantes. O segundo passo em ADS é aplicar
novas ferramentas às informações extraídas, visando estender o Data Mining ao Knowledge
Mining.
O coeficiente de afinidade generalizado ponderado é uma medida de semelhança apropriada à
Análise Classificatória (Cluster Analysis) de dados de natureza complexa (dados simbólicos),
mesmo no caso de dados heterogéneos e de elevada dimensão. Neste trabalho, é dada uma
atenção especial às medidas de proximidade entre objectos simbólicos, entre as quais o
coeficiente de afinidade generalizado ponderado. É ilustrada a aplicação da Análise
Classificatória Hierárquica Ascendente (ACHA) a dados de natureza complexa, retirados da
literatura, com base no coeficiente de afinidade generalizado ponderado e em critérios de
agregação clássicos e probabilísticos, estes últimos no âmbito da metodologia VL. Os resultados
obtidos são comparados com os de outros autores.
Bibliografia
Bacelar-Nicolau, H., Nicolau, F., Sousa, A., Bacelar-Nicolau, L. (2009). Measuring similarity of
complex and heterogeneous data in clustering of large data sets. Biocybernetics and Biomedical
Engineering, v. 29, n. 2, 9-18, 2009.
Bock, H. -H., Diday, E. (Eds.) (2000). Analysis of Symbolic Data: Exploratory Methods for
Extracting Statistical Information from Complex Data, Series: Studies in Classification, Data
Analysis, and Knowledge Organization, Berlin: Springer-Verlag.
Lerman, I.C. (1981). Classification et Analyse Ordinale des Données, Dunod, Paris, 1981.
Nicolau, F., Bacelar-Nicolau, H. (1999). Clustering Symbolic Objects Associated to Frequency or
Probability Laws by the Weighted Affinity Coefficient. In: Applied Stochastic Models and Data
Analysis. Quantitative Methods in Business and Industry Society, H. Bacelar-Nicolau, F. C.
Nicolau and Jacques Janssen (Eds.), INE, Lisbon, Portugal, 155-158.
Sousa, A. (2005). Contribuições à Metodologia VL e Índices de Validação para Dados de Natureza
Complexa. Tese de Doutoramento, Universidade dos Açores, Ponta Delgada.
Comparação de Pares de Partições em Análise Classificatória
Osvaldo Silva 1, Helena Bacelar-Nicolau2, Fernando C. Nicolau3, Áurea Sousa 4
1
2
Universidade dos Açores, Departamento de Matemática, CMATI
Universidade de Lisboa, Faculdade de Psicologia, Laboratório de Estatística e Análise de Dados
3
Universidade Nova de Lisboa, FCT, Departamento de Matemática
4
Universidade dos Açores, Departamento de Matemática, CEEAplA, CMATI
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Resumo
A comparação de pares de partições ajuda a compreender as relações entre métodos de
classificação, parâmetros e características dos dados. A qualidade dos resultados de uma Análise
Classificatória pode ser avaliada usando, no caso da comparação de duas partições, diversos
coeficientes clássicos no contexto de três abordagens, com base, respectivamente, na contagem
de pares, no emparelhamento das classes e na variação da informação. Os coeficientes permitem
assim avaliar o grau de concordância entre as duas partições em avaliação, tendo em atenção
diferentes informações. Cada um desses índices assume um determinado valor, de acordo com os
aspectos presentes na sua expressão analítica, e alguns apresentam intervalos de variação
diferentes e não variam no intervalo previsto mas somente numa parte desse intervalo. É
apresentada, nesta comunicação, uma abordagem para a comparação de partições com base na
semelhança VL (Validade da Ligação), a qual tem, entre outras, a vantagem de uniformizar a
escala de medida.
Serão apresentados exemplos de aplicação da metodologia, no âmbito da qual foram testadas as
abordagens clássicas e a abordagem VL e tecidas algumas considerações sobre os resultados
obtidos.
Bibliografia
Bacelar-Nicolau, H. (1980). Contribuições ao Estudo dos Coeficientes de Comparação em
Análise Classificatória, Tese de Doutoramento, FCL, Universidade de Lisboa.
Lerman, I. C. (1981). Classification et Analyse Ordinale des Données. Paris, Dunod.
Nicolau, F. (1983). Cluster Analysis and Distribution Function. Methods of Operations Research,
45, 431-433.
Nicolau, F.; Bacelar-Nicolau, H. (1998). Some Trends in the Classification of Variables. In: Data
Science, Classification, and Related Methods, C. Hayashi, N. Ohsumi, K. Yajima, Y. Tanaka, H.
H. Bock, Y. Baba (Eds.), Springer-Verlag, 89-98.
Silva, O. (2012). Contributos para a Avaliação e Comparação de Partições em Análise
Classificatória. Tese de Doutoramento, Universidade dos Açores, Ponta Delgada.