Problema das Agulhas de Buffon

Problema das Agulhas de Buffon
Conceito Principal
O problema de Buffon se refere a uma questão primeiramente colocada por Georges-Louis Leclerc,
Conde de Buffon: "Suponha que temos um chão feito de palitos paralelos de madeira, cada um com o
mesmo comprimento. Se nós deixarmos cair uma agulha no chão, qual é a probabilidade de que a
agulha irá cair em uma linha entre dois palitos?"
O caso no qual o comprimento da agulha é menor ou igual à espessura de cada palito de madeira pode
ser usada para montar uma aproximação para no estilo de Monte Carlo.
Funções de Densidade de Probabilidade
Seja l o comprimento da agulha, d a distância entre as linhas paralelas, x a distância a partir do
centro da agulha à menor reta, e o ângulo agudo entre a agulha e a reta.
A densidade de probabilidade uniforme de x entre 0 e
é
.
A função de densidade de probabilidade uniforme de entre 0 e
é
.
Então, a densidade de probabilidade conjunta das variáveis independentes x e é o produto de suas
densidades de probabilidade individuais:
A agulha vai cruzar a reta apenas se
.
.
Uma Solução ao Caso "Agulha Curta" usando Integral Interada
Esta solução pode ser encontrada simplesmente usando uma integral interada. Assumindo que
, integrando a função de densidade de probabilidade conjunta dá a probabilidade que a agulha
irá cruzar a reta:
Uma Solução ao Caso "Agulha Curta" usando Cálculo Elementar
Nós podemos também calcular a probabilidade, , da agulha cruzar a reta como o produto de e
, onde
é a probabilidade de que o centro da agulha irá cair perto o bastante de uma reta para
possivelmente cruzá-la e P é a probabilidade de que a agulha realmente cruza a reta, dado que o
seu centro é alcançado.
Seja representando o comprimento da agulha e representa a largura de cada pedaço de madeira
(ou seja, a distância entre duas retas).
A agulha pode possivelmente cruzar a reta se seu centro é
Então, adicionando
de qualquer lado da reta.
para dar conta para a agulha caindo em qualquer lado da reta, então
dividindo pela distância total entre essa reta e a próxima, , temos
.
Agora assuma que o centro é perto de cruzar a reta, significando que ela está
da reta.
ou menos
Relembre que a agulha irá atravessar a reta para um dado quando
, ou
. A probabilidade de isso ocorrer é portanto
assumimos que vai uniformemente entre 0 e
todos os valores de entre 0 e
, tal que
, independentemente de . Tomando a média de
, encontramos que:
Colocando tudo junto, obtemos
.
A fórmula a partir da solução ao caso da "agulha pequena" pode ser rearrumado para
.
Então, se conduzirmos um experimento para estimar , podemos também encontrar uma
aproximação para .
Vamos dizer que o nosso experimento envolve largar N agulhas no chão e observamos que n delas
cruzam a linha, tal que a probabilidade observada de uma agulha cruzando a linha é
.
.
Uma Solução ao Caso "Agulha Longa" Usando Geometria Integral
Esta solução pode ser também encontrada simplesmente usando uma integral interada. Assumindo
, integrando a densidade de probabilidade conjunta nos fornece a probabilidade de que a
agulha irá cruzar a reta:
, onde
e
é o mínimo de
, obtemos:
. Separando nos casos
=
.
Portanto, quando
.
Ajuste:
o número de agulhas sendo largadas;
o comprimento de cada agulha;
a distância entre as retas para comparar a probabilidade esperada de uma agulha cruzar uma
reta com a probabilidade observada.
Se o comprimento de cada agulha é menor ou igual à distância entre as retas paralelas, observe a
Número de Agulhas =
0
200
400
600
800
1000
Distância entre Retas Paralelas (cm) =
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Comprimento de Cada Agulha (cm) =
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Largue Novamente!
Resultados:
Probabilidade
Observada
de cruzar uma Reta:
.62000000
Aproximação de Pi:
3.225806452
Valor Real de Pi:
3.1415927