Sammya Sué da Conceição Barata Silva O Método Da Falsa

Transcrição

Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso de Licenciatura em Matemática
Sammya Sué da Conceição Barata Silva
O Método Da Falsa Posição: Uma Proposta
Diferenciada para o ensino de equação do 1º grau.
Belém/PA
2013
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do grau
de Licenciatura em Matemática, Universidade
do Estado do Pará.
Orientador: Professor Lucas Ferreira Rodrigues.
Belém/PA
2013
Dados Internacionais de Catalogação na publicação
Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA
Silva, Sammya Sué da Conceição Barata
O método da falsa posição: uma proposta diferenciada para o ensino de
equação do 1º grau. / Sammya Sué da Conceição Barata Silva. Belém, 2014.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) –
Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.
Orientação de: Lucas Ferreira Rodrigues
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Equações. 3. Cálculo. I. Rodrigues,
Lucas Ferreira (Orientador). II. Título.
CDD: 21 ed.
510.7
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do grau
de Licenciatura Plena em Matemática,
Universidade
do
Estado
do
Pará.
Orientador: Lucas Ferreira Rodrigues.
Data de Aprovação:
Banca Examinadora:
______________________________
Prof. Lucas Ferreira Rodrigues - Orientador
______________________________
Prof.Msc. Andrey Patrick Monteiro de Paula
______________________________
Para
Suely da
Conceição Barata, Dinaldo
Sarges Silva, Almerinda da Conceição Favacho
e Hanrryetth Christine Frota de Oliveira (in
memorian).
AGRADECIMENTOS
A Deus por me dar forças para chegar até aqui, mesmo diante de tantas
dificuldades.
A minha mãe, Suely da Conceição Barata, pois sem ela eu não seria quem sou e
nem teria vencido muitas de minhas batalhas, se não fosse pelo carinho, apoio,
conselhos e amizade. Sem ela eu não seria nada.
Ao meu pai, Dinaldo Sarges Silva, pelo apoio moral, pelo carinho e por fazer de um
problema a esperança e a solução.
A minha avó e madrinha, Almerinda da Conceição Favacho, pela ajuda, carinho e
por fazer o meu dia ser mais alegre.
Ao meu noivo, Douglas Pereira de Moraes, pela paciência inigualável, pelas
palavras de carinho, além da presença em todos os momentos da minha vida me
dando força e coragem, além da companhia que me traz tanta felicidade.
A todos os meus amigos, mas em especial a Samara Fernandes Pimentel, Rennan
Santos Vilar, Renata Cristina Alvez Matni que me acompanharam não só nesta
batalha, mas em todas, com palavras encorajadoras e ajuda independente da hora e
do dia e pela amizade indispensável. Amizade para vida toda.
A minha melhor amiga, Hanrryetth Christine Frota de Oliveira (in memorian), que
durante o tempo que convivi com ela me ensinou a ser uma pessoa melhor e nunca
esmorecer diante de qualquer dificuldade. E acima de tudo agradeço por tê-la
conhecido e tido a sorte de ser sua amiga. Jamais a esquecerei.
Ao meu orientador que não só me ajudou na realização desse trabalho, mas se
tornou um grande amigo.
Felizes aqueles
que
se divertem com
problemas que educam a alma e elevam o
espírito.
(FENELON)
RESUMO
A inquietação presente em sala de aula referente à dificuldade de aprendizagem dos
alunos em Equação do 1º Grau nos levou a pesquisar outros métodos de resolução,
embasados na História da Matemática, especificamente o Método da Falsa Posição.
Como este método trabalha indiretamente com a Aritmética e utiliza a tentativa e o
erro, trazendo uma visão diferenciada de resolução com uma linguagem retórica,
menos simbólica, não comumente aplicada em sala de aula, o objetivo a ser
alcançado é demonstrar, baseada em pesquisa estatística, que a História da
Matemática, se utilizada de forma correta, pode sim servir de auxílio para o ensino
de equações do primeiro grau. A pesquisa será de cunho qualitativo, visando
destacar o desempenho dos alunos envolvidos dando importância ao que está
sendo desenvolvido e não aos resultados obtidos, assumindo um enfoque indutivo e
descritivo. Os problemas propostos possuem a essência dos contidos no papiro e
foram adaptados dos livros didáticos, sendo aplicados posteriormente com alunos
cursando o 7º ano do Ensino Fundamental para serem resolvidos segundo o método
proposto nesta pesquisa. O resultado com a pesquisa em questão foi a ampliação
da significância algébrica dentro do contexto escolar e social do aluno, e um
interesse crescente com relação ao assunto.
Palavras-chave: Método da Falsa Posição, História da Matemática, Resolução de
problemas, dificuldades.
ABSTRACT
The unrest present in the classroom referring to the difficult shown by the students of
learning the first degree equation has led us to research other methods of solving it,
that are linked to the History of Mathematics, specifically the method of false position.
Because this method works indirectly with Arithmetic and uses the try and mistake
bringing a different vision of solving with a rhetoric language, less symbolic, not
commonly applied in the classroom, the goal to be achieved is show, based on
statistics research, that the History of Mathematics, if utilized in the right way, can
serve of help to the teaching of first degree equations. This research is basically
quantitative, intending to highlight the capacity of the involved students giving
importance to what is being developed and not to the obtained results, taking an
inductive and describing point of view. The proposed questions have the essence of
the ones found within the papyrus and have been adaptive from the didactic books
and were applied lately to the students currently at the 7. Year of Elementary School
to be solved according to the method proposed in this research. The result of the
research in question was the amplification of algebraic significance within the social
and scholarship context of the students, and a crescent interest at this subject.
Keywords: method of false position, History of Mathematics, Solve of problems,
difficulties.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIGURA1: Hieróglifo para professor ......................................................................... 23
FIGURA 2: Proporção pós-aplicação do valor falso ................................................. 26
FIGURA 3: Quadro de resolução da equação ........................................................... 27
FIGURA 4: Quadro de resolução da equação .......................................................... 27
IMAGEM 1: Resolução do aluno ............................................................................... 49
IMAGEM 2: Continuação da resolução do aluno....................................................... 49
IMAGEM 3: Resolução do aluno ............................................................................... 52
IMAGEM 4: Continuação da resolução do aluno....................................................... 52
LISTA DE TABELAS
TABELA1: Explicação sobre a aplicação do método da falsa posição ..................... 26
TABELA 2: Quadro comparativo da fase numérica e literal ..................................... 30
TABELA 3:Erros e dificuldades dos alunos na resolução de equações do 1º grau .. 36
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 12
CAPÍTULO I ............................................................................................................. 14
1.1 História da álgebra num contexto geral ............................................................... 14
1.2 A História das equações...................................................................................... 17
1.3 História do Método da Falsa Posição .................................................................. 21
1.4 Como funciona este método? Por que utilizá-lo? ................................................ 25
CAPÍTULO II ............................................................................................................ 31
2.1Dificuldades em equações do primeiro grau ........................................................ 31
2.2 História da Matemática na Educação Matemática .............................................. 37
2.3 Resolução de Problemas no ensino da Matemática ........................................... 40
CAPÍTULO III ........................................................................................................... 45
3.1 Análise dos resultados ........................................................................................ 49
CONSIDERAÇÕES ................................................................................................... 54
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 55
ANEXOS ................................................................................................................... 57
12
INTRODUÇÃO
Partindo da problemática “Uma junção da Álgebra, Aritmética e História
da Matemática possibilitarão um amplo aprendizado em Equações do Primeiro
Grau?” baseado em vários estudiosos, que inclusive fizeram pesquisas de campo
procurando as dificuldades que os alunos têm com relação à álgebra, mais
precisamente com as equações lineares. Objetivando demonstrar, baseada em
pesquisa estatística, que a História da Matemática, se utilizada de forma correta,
pode sim servir de auxílio para o ensino de equações do primeiro grau.
Iremos fazer um apanhado histórico da álgebra e da aritmética, voltado
para a resolução de equações do primeiro grau, porém dando ênfase para a álgebra;
tentar provar por pesquisas de campo que o ensino de equações do primeiro grau
com o auxílio da História da Matemática quando manipulado corretamente pode
acarretar num salto significativo de aprendizagem do mesmo comparado ao ensino
tradicional.
Os fios que tecem esta pesquisa despertaram-nos interesse a partir de
um trabalho acadêmico desenvolvido com o professor de História da Matemática, da
Instituição, da qual fazemos parte. Tínhamos que escolher um tópico da Matemática
que nos causasse inquietação com relação ao ensino e dificuldades que
observamos no decorrer de nossas experiências de contato direto com alunos ou de
experiências pessoais durante nossa vida escolar básica. E entre todos os temas,
escolhemos o Método da Falsa Posição, pois era uma maneira de resolver
equações do primeiro grau diferenciadamente, já que mistura a aritmética, uma área
da matemática que consideramos de fácil compreensão, com álgebra, uma área
mais complexa, pois envolve incógnitas. Apesar, de particularmente não ter
dificuldade nesse assunto, naquela época em que frequentava o ensino escolar
básico, era notável a dificuldade de alguns colegas e até na nossa prática docente.
Então esta ideia fora proposta e em seguida foi realizada uma pesquisa bibliográfica
a respeito da utilização deste método, se já havia sido feito algo usando este como
auxílio no ensino-aprendizagem atualmente.
Após a apresentação da proposta em sala no dia estipulado, a qual foi
avaliada como uma excelente metodologia de ensino, o professor da então disciplina
sugeriu um amadurecimento na pesquisa para que, então fosse transformada em
13
Trabalho de Conclusão do Curso (TCC), já que é um assunto pouco discutido dentro
da comunidade acadêmica, e confesso que por ser pouco discutido torna-se difícil
encontrar algo que fale exclusivamente deste.
Como me interessei demasiadamente pelo assunto e achei que um
trabalho deste tipo contribuiria significativamente para a comunidade de professores,
visto que considerei um método de fácil compreensão para alunos do ensino
fundamental, resolvi concordar e acatar a proposta do professor.
Para maior contribuição e demonstração da crença de que este método
utilizado com o auxílio da história realmente pode produzir uma compreensão ampla
do assunto, então foi feita uma pesquisa de campo a nível local, com aplicação de
questionários de resoluções divididos, em duas etapas e 4 questões cada, para
uma amostra de 4 alunos do 7º ano do ensino fundamental, escolhidos por um
critério apenas de alunos mais interessados e desenvoltos, sem importar se
advinham de escolas particulares ou públicas, sendo dois meninos e duas meninas,
os quais receberam a proposta de maneira satisfatória, contribuindo para o alcance
dos objetivos esperados nesta pesquisa.
14
CAPÍTULO I
Apanhado Histórico
1.1 História da Álgebra num contexto geral:
De acordo com Melo (2011) um grego conhecido como Diofanto de
Alexandria, que foi o criador de reduzir a idéia algébrica em símbolos, no entanto
esta idéia não foi reconhecida, pois isso se deu na época da queda do Império
Romano, fase muito tumultuada que impossibilitou o desenvolvimento tanto da
Matemática como de outras áreas do conhecimento, além de muitas idéias terem
sido perdidas. Mesmo como esse caos, o título de introdutor de símbolos na álgebra
foi atribuído a ele. Somente após muito tempo, com a ascensão do império árabe em
torno de 650 que foram reiniciadas as pesquisas.
De acordo com Santos; Neto e Silva (2007) o califa Harun al-Rashid, que
comandava o império islâmico, difundiu a arte e a ciências. Quando faleceu em 813,
seu filho Al-Mamum assumiu o poder e continuou com seu feito fundando a casa da
Sabedoria em Bagdade. Abu Jafar Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi era um dos
tradutores dos textos clássicos gregos, além de dissertar sobre variados temas. AlKwarizmi escreveu um livro denominado Hisab al-jabr wal-muqabala, que traduz-se
como Álgebra,há quem não concorde com está etimologia como Baumgart (1994
apud FERNANDES, 2011) que a considera “estranha”, pois não possui uma origem
etimológica clara como Aritmética que vem da palavra grega aritmhos que significa
números, então o citado autor definiu Álgebra como a “ciência das equações”. Ele
escreveu este livro com o objetivo de mostrar o uso da aritmética em questões do
cotidiano da época como medições de terras, partilhas, medições de canais, entre
outros. Segundo Melo (2011) a álgebra pode ter surgido juntamente com a escrita,
pois ambas são formas de representar pensamentos.
Neste livro, segundo Santos; Neto e Silva (2007), o autor já faz menção
às terminologias algébricas básicas como raiz,unidade e quadrado, que significam,
respectivamente,incógnita da equação; números comuns, cuja representação são
letras pertencentes ao alfabeto; quadrado da raiz. Neste, ele não utiliza nenhum
símbolo, tudo é explicado por extenso. Ele disserta sobre equações do primeiro e
15
segundo grau e seu método de resolução resumi-se em reduzir aos formatos a
seguir estipulados por ele:
1. Quadrados iguais a raízes (ax²=bx )
2. Quadrados iguais a números (ax²=c )
3. Raízes iguais a números (bx=c )
4. Quadrados e raízes iguais a números (ax²+bx=c )
5. Quadrados e números iguais a raízes (ax²+c=bx )
6. Raízes e números iguais a quadrados (bx+c=ax²)(p.11)
Santos; Neto e Silva (2007) afirma que não há registros ou evidência de
que Al-Kwarizmi tenha baseado seu trabalho nos Elementos de Euclides e muito
menos tivesse tido qualquer contato com o mesmo, apesar de utilizar a geometria
como auxílio para a teoria do assunto. A diferença entre a forma que Euclides e AlKwarizmi usavam este assunto é que o primeiro se utiliza de lógicas incontestáveis e
o segundo emprega o assunto como um método para se chegar à solução de
equações.
Santos; Neto e Silva (2007) ainda fala que no livro o autor explica e
assegura que qualquer tipo de equação sendo do primeiro ou do segundo grau
podem ser resolvidas pelos métodos al-jabr ou al-muqabala. O primeiro método
significa restauração e consiste em somar valores que cancelem quantidades
negativas. Já o segundo significa equilíbrio e consiste em subtrair os elementos da
equação. Este foi o primeiro livro de Álgebra, onde continham os primeiros
processos de resolução e conotações do que conhecemos atualmente.
De acordo com Melo (2011) o livro de Al-khwarizmi foi traduzido para o
latim por Juan de Sevilla e Gerardo de Cremona quando chegou à Espanha em
torno do século XII e somente após alguns anos que começou a ser denominado de
álgebra.
Segundo Medeiros C. e Medeiros A. (2004) Abu-Kamil, sucessor de AlKwarizmi, no ano de 900 escreveu o “Livro sobre a Álgebra”, onde demonstra
aplicações da álgebra e problemas geométricos. Foi por meio deste livro que o
Ocidente se tornaria conhecedor da Álgebra, mais especificamente sobre o Método
da falsa posição ou falsa proposição. Leonardo de Pisa baseou-se nesta obra para
inserir a Álgebra na Europa.
Para Fernandes (2011) foram necessários quase dois mil anos de fases e
mudanças para a álgebra se configurar do jeito que a conhecemos. De 1700 a.C a
16
1700 d.C foi o período que a humanidade conviveu com a álgebra antiga ou
elementar, que era caracterizada pelo surgimento de conotações e métodos de
resoluções, porém esta fase não foi considerada muito produtiva.
De acordo com Fernandes (2011) é importante salientar que a notação da
álgebra se dividiu em três estágios denominados Retórico; Sincopado; Simbólico,
descritos, respectivamente, fase atribuída à ausência de símbolos e problemas
integralmente escritos; fase caracterizada pelo uso de letras no lugar das incógnitas
graças ao Diofante; esta fase começou a ser difundida a partir dos estudos de
François Viète, o qual passou a atribuir símbolos próprios, porém os métodos de
resolução saem do foco de estudo para dar lugar ao estudo da sua estrutura, além
do surgimento de noções de relação e função.
Fernandes (2011) faz um apanhado histórico sobre a Álgebra passando
por regiões, países ou continentes dependendo de como ocorreu o fato. A álgebra
surgiu na Babilônia e no Egito juntamente, porém no primeiro se tinha mais
sofisticação com relação aos métodos empregados e no segundo já era mais
simples, se utilizava o método da Falsa Proposição, foco da pesquisa em questão,
que consistia em substituir valores aleatórios na equação e em seguida fazer um
algoritmo para obter o valor correto. Apesar das diferenças, tanto a Babilônia quanto
o Egito a Álgebra encontrava-se na fase retórica.
Segundo Fernandes (2011) na Grécia a álgebra era de cunho geométrico
tanto dos pitagóricos quanto de Euclides, como o autor citado exemplificou abaixo:
se uma linha recta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre
toda linha é igual aos quadrados sobre as duas partes junto com duas
vezes o rectângulo que as partes contêm, ou seja (a+b)2= a2+b2+2ab (p.7)
Diofante, conforme Fernandes (2011), séculos mais tarde contribuiu
significavelmente para a Álgebra reutilizando os métodos babilônicos na resolução
de equações indeterminadas, caracterizadas por duas ou mais equações tendo
várias raízes racionais, as famosas equações diofantinas, que recebeu este nome
devido ele ser o precursor da resolução das mesmas usando também a aritmética,
além de escrever em forma sincopada as equações.
Para Fernandes (2011) é importante salientar que os Hindus trabalharam
de forma superior o mesmo assunto desenvolvido por Diofante, pois solucionavam
17
as questões utilizando o completamento de quadrado, um método desenvolvido por
eles, além de admitir raízes negativas e irracionais.
Para Fernandes (2011) na Europa a álgebra foi levada por Fibonacci, no
entanto não foi tão desenvolvida como nos lugares anteriormente citados. O
simbolismo foi exaltado em 1500. Por exemplo, segundo Baumgart (1994 apud
FERNANDES, 2011) o símbolo de igualdade “=” foi introduzido na álgebra por
Robert Recorde. Conforme Pinedo (2001) esse símbolo foi utilizado pela primeira
vez na obra de Robert denominada “O aguzador do ingênuo” em 1557 sendo
intitulado como o primeiro tratado inglês da Álgebra com a justificativa de que não
existia nada mais igual do que duas retas paralelas. Este foi generalizado ao final do
século XVll.
Segundo Medeiros C. e Medeiros A. (2004), Bhaskara I no século VII já
utilizava um simbolismo vasto capaz de abranger vários tipos de equações lineares.
Os Hindus avançaram bastante na álgebra, antes desta chegar à Europa. Bhaskara
II escreveu sobre álgebra, aritmética e trigonometria esférica. A álgebra utilizada em
seu livro era em sua maioria sincopada, continha um pouco de retóricas e às vezes
se assemelhava à simbólica, devido ao uso exacerbado de símbolos, o que
ocasionou um avanço comparado a obra de Bramagupta.
René Descartes, conforme Melo (2001),foi um físico matemático e filósofo
francês
responsável
pela
consolidação
da
simbologia
algébrica
completa
acrescentando o sinal de multiplicação, além de criar a notação utilizada atualmente
para potências. Descartes teve um papel de suma importância para a ciência em
questão, como unificador da simbologia matemática. Pinedo (2001) completa
afirmando que Descartes foi o primeiro a utilizar consoantes como x, y e z para
representar as incógnitas e vogais para representar valores conhecidos, ou seja,
constantes em sua obra “A Geometrie”
1.2 A História das equações
Algo interessante para que cheguemos ao “xis” da questão discutido por
Garbi (1997) em “O Romance das Equações Algébricas” foi a discussão tomada no
mesmo sobre quando a Matemática começou a ser usada pela humanidade. O autor
18
da dita obra disserta sobre várias conjecturas importantes que com uma reflexão
cuidadosa talvez possamos responder à sua pergunta.
Garbi (1997) fez um pequeno resumo sobre a evolução da humanidade.
O homo habilis foi um dos constituintes do quadro evolutivo que desenvolveu as
primeiras ferramentas tendo como matéria-prima a pedra há mais de 2.000.000 de
anos. Em torno de 1.400.000 de anos o chamado Homo erectus ocupou a Eurásia e
muito provavelmente já havia tomado conhecimento sobre a existência do fogo. O
homo sapiens sapiens surgiu entre 300.000 e 200.000 anos atrás na África, o qual a
aparência se resume ao homem como é atualmente; o homem que produziu
tecnologia, ciência entre outras coisas.
Segundo Garbi (1997) a agricultura surgiu há 10.000 anos entre o rios
Tigre e Eufrates trazendo com ela a chamada Revolução Agrícola que foi superada
pela Revolução Industrial trazendo consigo uma nova organização social, exigindo
novas técnicas de estocagem, produção e outros. Junto com esta revolução
surgiram cidades, governos e arrecadação de impostos.
Garbi (1997) diante dessas informações pergunta ao leitor se entre tantos
feitos do homem a matemática se encontraria, deixando a cargo do leitor refletir e
tentar respondê-la. Debruçamo-nos na Filosofia da Matemática e assim sentimo-nos
capaz de responder juntamente com nosso conhecimento de mundo.
Primeiramente concluo com minha forma de pensar que me incluo dentro
de uma concepção da Filosofia Matemática relacionada à pergunta-centro desta
discussão: A matemática foi inventada ou descoberta? Abrantes et.al.(1997) em seu
trabalho disserta sobre essa questão há tanto tempo discutida que gerou uma
divisão dos estudiosos. Existe a concepção idealista e realista, conceituaremos as
duas, mas nos ateremos na concepção realista, que é com a qual concordamos.
Abrantes et.al.(1997) afirma que a concepção idealista consiste na idéia
que a realidade pertencente à matemática é condicionada pela invenção humana.
Os objetos matemáticos não são inerentes ao cérebro humano e que suas
propriedades são determinadas pelo ser humano. Já a concepção realista incide na
crença de que o feito matemático é inerente, externo ao homem. A matemática, mais
precisamente o objeto matemático existe por si só, ou seja, o homem não a inventa,
ele a descobre.
19
Como é colocado acima, fica claro que concordo plenamente com a
concepção realista. Esta concepção é baseada em Platão, sendo assim Platonismo
torna-se sinônimo de realismo:
Para o platonismo os objectos matemáticos são reais, embora não sejam
objectos físicos ou materiais. A sua existência é um facto objectivo,
totalmente independente do nosso conhecimento. Existem fora do espaço e
do tempo, são imutáveis, não foram criados e não mudarão nem
desaparecerão. Assim, a Matemática tem uma existência autónoma,
obedecendo a uma lógica e leis internas. A actividade de fazer Matemática
consiste na descrição e descoberta desses objectos, bem como das
relações que os unem. Quer uns, quer outras, uma vez que são préexistentes, podem ser descobertos pelo espírito, mas não inventados por
este. (ABRANTES et.al., 1997, p.3)
Como podemos perceber na citação acima a matemática existe de forma
autônoma ao homem, e por isso é imutável.
Segundo Abrantes et.al. (1997) Platão possuía uma opinião bastante forte
também com relação ao ensino da matemática, justamente por essa imutabilidade
está presente nesta. Ele dizia que o professor como tal detentor do conhecimento da
abstração matemática deve ser uma “ponte” para que o aluno consiga enxergar e
compreender a matemática como é. Platão apontava como causa do insucesso
escolar à supervalorização dos resultados esquecendo-se a forma como foi chegada
a ele, o que por sua vez estes foram obtidos caoticamente.
Uma questão que considero bastante importante para discutir aqui é como
o homem entra em contato com a matemática se ela é inerente a ele, não faz parte
de seu espírito? Como resposta para esta pergunta será utilizado duas perspectivas:
o racionalismo e o empiricismo. Para os racionalistas a razão era inerente ao homem
e alcançada independentemente da observação. Já para os empiricistas, que foi
difundido na época do advento das ciências naturais, onde a observação era de
extrema importância. Com relação ao empiricismo, têm-se dois pensamentos
diferenciados, um foi mais difundido e reafirmado por Frege, apesar de pertencer ao
pensador David Hume, e o outro foi proposto por Stuart Mill no século XIX. À teoria
pertencente a Hume temos a crença de que não deveríamos admitir a existência de
quaisquer objeto que não fosse proveniente de nossa experiência.
Portanto, com relação à matemática Hume não dava a importância devida
aos axiomas. No entanto, Mill veio mais tarde questionar esta teoria, pois acreditava
que as afirmações feitas à cerca da matemática eram indutivamente generalizadas a
20
partir de observações e experiências. Porém, como esta confirmava a indução, não o
conhecimento matemático foi refutada por Frege.
Contudo, mesmo assim me detenho e concordo com o pensamento de
Mill, pois acredito que a Matemática surgiu com a humanidade, porém não com a
formalidade com que a conhecemos hoje em dia. Por exemplo, quando o Homo
Habilis citado no início dessa discussão produziu/inventou as ferramentas e
utensílios de acordo com sua necessidade ele tinha uma noção de espaço, medida,
precisão, no entanto isto não quer dizer que ele tivesse a consciência de “estar
fazendo matemática” como o próprio Garbi coloca em seu texto.
Quando Garbi (1997) citou também sobre revolução agrícola e industrial
colocando os fatos de divisão de terras, de produção, de construção de máquinas,
mesmo que rudimentar comparado ás nossas tecnologias, também acredito que ele
tenha feito matemática, pois possuía um instinto, um conhecimento de mundo não
formalizado, creio que ele possuía as mesmas noções discutidas com relação à
descoberta de ferramentas, porém estas noções estavam mais desenvolvidas, até
mesmo por conta da difusão de conhecimento pela oralidade vinda de outros povos
de outros tempos.
Segundo Garbi (1997) com a invenção da escrita tanto mesopotâmica
quanto egípcia, apenas alguns tinham acesso a ela, eram os chamados escribas que
tinham a função de registrar todo assunto ligado à economia e histórias do reino.
Para a realização desses cálculos os escribas se utilizavam da aritmética e da
geometria, mas não podiam mais ater-se a símbolos, por isso eles desenvolveram
técnicas próprias que os ajudassem e passaram aos seus sucessores. Os
“engenheiros” e “arquitetos” da época eram obrigados a resolver questões
geométricas e aritméticas quando havia alguma obra, porém é óbvio que não tinham
fundamentação teórica para isso. Sendo assim, afirma-se que os primórdios do
conhecimento matemático foram dados de forma indutiva ou impírica. Reafirmando o
que eu já havia comentado anteriormente.
Garbi (1997) afirma que existem documentos datados do IV milênio a.C.
que continham registros numéricos, são os chamados tabletes de barro sumérios.
Mas, operações matemáticas propriamente ditas só passaram a ser encontradas em
tabletes sumérios, por volta de 2.200 a.C. com grafia cuneiforme. No final do milênio
III a.C. os sumérios foram conquistados e seus sucessores assumiram sua escrita e
continuaram com os estudos matemáticos.
21
Na Babilônia, como ficou sendo chamada após a guerra, de acordo com
Garbi (1997) foi encontrado no século XIX um tablete de barro cozido que foi
considerado um livro de exercícios matemáticos. Descobriu-se que os babilônicos
conheciam o teorema de Pitágoras, resolviam equações tanto do primeiro quanto do
segundo grau. Garbi também afirma que, neste momento, muito provavelmente, que
o conhecimento matemático não era mais feito de forma indutiva, mas sim de forma
dedutiva. Segundo Santos et.al.(2007) essas tábuas cuneiformes foram traduzidas
somente em 1930
Para Garbi (1997) uns dos documentos considerados mais importantes
daquela época eram os papiros como o de Ahmes e de Moscou. O papiro de Ahmes,
como mencionado anteriormente, é o qual daremos mais ênfase. Neste, encontrouse problemas envolvendo equações do primeiro e do segundo grau com suas
respectivas soluções, inclusive a resolução das equações do primeiro grau toda
pautada no método da falsa posição.
1.3
História do Método da Falsa Posição
Medeiros C. e Medeiros A. (2004) afirmam que a origem do Método da
Falsa Posição é incerta, devido à datação dos documentos históricos não serem
definidas. O que se sabe ser a verdade é que tanto os egípcios quanto os chineses
utilizavam este método. Assim, a ascendência deste acabou sendo atribuída ao
Leonardo de Pisa no século XIII graças ao Eurocentrismo da época. Este
desentendimento histórico foi corrigido no século XIX.
Segundo Medeiros C. e Medeiros A. (2004) um documento considerado
mais antigo que trata deste método é o chamado Papiro de Rhindou Ahmesdatado
no ano de 1650 a. C. Guelli (2004) afirma que o papiro foi encontrado próximo ao
templo de Ramsés II, na cidade de Tebas, Egito como era chamada antigamente. O
papiro foi comprado em 1854 a. C pelo historiador, escriba escocês Rhind, também
conhecido como Aahmesu, que significa “filho da lua”. De acordo com Medeiros e
Medeiros (2004) é importante salientar que o escriba não foi o autor deste papiro,
como se costuma afirmar. Pinedo (2001) completando a informação anterior diz que
o próprio Ahmes revelou que estes escritos são cópias de outros documentos da
época de Ne-ma'et-Re (Amenemhet III).
22
Guelli (2004) descreveu o papiro como sendo um rolo de 30 cm de altura
e 5 m de comprimento, o qual foi salvo alguns de seus fragmentos expostos hoje
em dia no Museu Britânico. O mesmo contém mais de oitenta problemas de álgebra
cada um com sua respectiva solução.
Pinedo (2001) revela ainda que inúmeras teorias foram levantadas sobre
a forma como os egípcios solucionaram os problemas de equação linear contidos no
papiro,
onde
nestes
encontrava-se
a
palavra
“aha”
que
significava
quantidade,incógnita e era relacionada com a expressão “um monte”. O exemplo, a
seguir, do problema 24 retirado do papiro ilustra de uma maneira considerável o que
foi dito anteriormente: “Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19.”
Ribeiro (2009) os problemas apresentados no papiro eram de cunho
estritamente práticos, falando sobre pão, ovos, balanceamento de rações para gado
e aves entre outros assuntos.
Medeiros C. e Medeiros A. (2004) asseveram que dentro da Matemática
Egípcia o método da Falsa posição é originalmente retórico, ou seja, apesar do uso
de símbolos em operações e para representação de incógnitas, a resolução e
considerações são detalhadamente descritas. Porém, com o eurocentrismo
cristalizado, alguns estudiosos não consideram a Matemática Egípcia, mais
especificamente o método da falsa posição como parte constituinte da álgebra e sim
como uma mera aplicação da Aritmética. No entanto, o autor também discute uma
visão mais atualizada onde se aceita a álgebra dividida em três fases: a retórica, a
sincopada e a simbólica. E é exatamente neste pensamento que se encaixa a
Matemática Egípcia (Método da Falsa Posição) como álgebra, pois ele se encontra
na primeira fase citada.
Medeiros C. e Medeiros A. (2004) afirmam a existência de uma Álgebra
Egípcia, pois os egípcios não possuíam um pensamento algébrico na íntegra, suas
resoluções eram em sua maioria aritméticas, sem análise de soluções e justificativas
de uso do método. Examinando as resoluções deles hoje em dia enxergamos as
características de equações lineares em cada problema do Papiro, no entanto os
egípcios ainda não possuíam esse pensamento amadurecido, sendo assim não se
constituía como álgebra propriamente dita já que não tinham a justificativa para o
uso do método, este fato apenas os coloca como precursores da álgebra retórica,
afinal eles também não percebiam, não compreendiam a importância deste método,
pois utilizavam outras maneiras de resolução.
23
Segundo Kline (1990 apud MEDEIROS C. e MEDEIROS A., 2004) uns
dos vários motivos pelo qual a proto-álgebra Egípcia, como o autor denominou a
Matemática Egípcia, não teve uma ascensão significativa foi a forma desajeitada
como eles lhe davam com o cálculo de frações impossibilitando assim, a evolução
de uma álgebra e aritmética mais complexa e elaborada.
Para Bunt; Jones e Bedient (1988 apud Medeiros C. e Medeiros A.,2004)
apesar dos egípcios não terem desenvolvido a álgebra de uma forma significativa a
mesma construída por eles tornou-se precursora de vários tópicos escolares.
Santos; Neto e Silva (2007) consideram o Papiro Rhind um texto
pedagógico de alto nível, ou seja, os egípcios já possuíam naquela época a
consciência que ensinar é uma tarefa bastante complicada, e talvez por este motivo
o hieróglifo que representava o professor era um humano numa posição de ameaça
como mostra a figura abaixo:
Figura 1: Hieróglifo para professor
Fonte: (Santos; Neto e Silva, 2007,p.25)
Santos; Neto e Silva (2007) alegam que apesar do hieróglifo não
expressar uma atitude sociável existia uma preocupação em ensinar de uma forma
diferenciada, agradável. Portanto, nem todos os problemas do papiro estavam
ligados ao cotidiano da época, alguns se dedicavam apenas ao ensino de forma
mais descontraída. Como ilustra o exemplo: “Um número mais a sua metade mais o
seu terço dá 10. Qual é o número?” (Santos; Neto e Silva, 2007, p. 27)
Na China Medeiros C. e Medeiros A. (2004) afirmam se ter o mesmo
impasse quanto a data e autoria do método em discussão neste trabalho. Apesar de
existirem rumores históricos não acatados por todos os estudiosos que fala deste
livro ser de autoria do chinês Chóu-Kung. Porém este se encontra em uma obra
clássica com o título “Nove Capítulos sobre a Arte Matemática” com autor e data
indefinidos. O que sabemos ao certo sobre esta obra é que sua história assemelha-
24
se com a egípcia, já que por volta de 213 a.C esta foi editada por um matemático
chinês chamado Ch’angTs’ang junto com outras obras coletadas por ele.
De acordo Medeiros C. e Medeiros A. (2004), o capítulo 7 da obra que é
dedicado ao que os egípcios denominavam de “método da falsa posição”, agora
chamado por eles de “método do excesso e da deficiência”, ou também como
abordagem do: “assumindo que”.
Os autores supracitados, nos mostra que é interessante atentar para o
que as denominações tanto dos chineses quanto dos egípcios nos trazem como
informação implícita. A designação dos chineses revela que eles não levavam em
consideração os procedimentos, a resolução, mas somente o resultado de tudo. Já
os egípcios com sua alcunha de “cálculo de aha” nos mostram que o foco era
apenas o resultado, apesar das duas pertencerem a uma álgebra retórica a
diferença conceitual é relevante que nos leva a pensar que a abordagem chinesa
constitui-se mais como uma álgebra do que a egípcia.
Na Grécia, Medeiros C. e Medeiros A. (2004), destaca a obra “Antologia
Grega”, escrita por Metrodorus, que fala do método em questão, em torno dos anos
500, onde continha alguns problemas utilizando o mesmo para resolução. AbuKamil, sucessor de Al-Kwarizmi, no ano de 900 escreveu o “Livro sobre a Álgebra”,
onde demonstra aplicações da álgebra e problemas geométricos. Foi por meio deste
livro que o Ocidente se tornaria conhecedor da Álgebra, mais especificamente sobre
o Método da falsa posição. Leonardo de Pisa baseou-se nesta obra para inserir a
Álgebra na Europa.
Para Medeiros C. e Medeiros A. (2004) a matemática hindu na era
alexandrina passou por mudanças significantes. Por volta de 300 foi encontrada uma
obra intitulada “VaychaliGanit” escrito por SarveshSrivasta que continha problemas
sobre compra e venda envolvendo o método da falsa posição e frações.
Ball (1960 apud MEDEIROS C. e MEDEIROS A., 2004) referindo-se à
matemática árabe, Bhaskara autor da obra de álgebra intitulado “Lilavati”, onde ele
faz uso do método da falsa posição, mas com a modernidade das técnicas e com
uma simbolização mais acentuada.
Segundo Medeiros C. e Medeiros A. (2004) a álgebra somente chegou à
Europa, logo após a morte de Bhaskara IIno ano de 1202, graças ao livro de
Leonardo Fibonacci denominado “Livro dos Cálculos”. Neste, temos a discussão de
integração à Matemática do sistema decimal e algarismos arábicos, além do método
25
da falsa posição, só que nesta obra o método é discutido em um capítulo inteiro,
mais precisamente o capítulo 13, onde foi feito uma viagem histórica desde a
antiguidade até atualidade passando ainda por uma variação do método, o chamado
“método da dupla falsa posição”.
Os autores anteriormente citados destacaram o trabalho de Luca Pacioli
na época do Renascimento chamado “Summa de Arithmetica, Geometria,
Proportioniet Proportionalita” firmou-se perante a história como o primeiro livro
falando sobre aritmética e álgebra ao mesmo tempo. Devido a quantidade de cópias
distribuídas mundialmente exercendo uma enorme influência em outros trabalhos.
Esta obra foi baseada no trabalho de Leonardo Fibonacci. Quase todos os
problemas apresentados foram resolvidos pelo método da falsa posição, o qual ele
intitulou de outra forma: “elcataym”. Durante muito tempo este método recebeu
várias denominações, mas só passou a ser chamado como é hoje após os trabalhos
de Peletier (1549), Trenchant (1566), Baker (1568) e Suevus (1593).
1.4
Como funciona este método? Por que utilizá-lo?
Como foi dito anteriormente, o método da falsa posição, denominação
atual, foi usado por várias civilizações antigas como os egípcios, babilônicos e
gregos além de dominar a Europa posteriormente. Bunt, Jones e Bedient (1988 apud
MEDEIROS C. e MEDEIROS A., 2004) afirmam que este se comparava ao método
da tentativa e erro e consistia em aplicar um chute inicial de um valor a princípio
“aleatório”, pois a escolha do valor era de acordo com o que a equação apresentava
cujo objetivo maior com a seleção do número era simplificar ao máximo para evitar o
uso de frações. Para ilustrar a explicação dada acima do método exemplificamos a
seguir sua execução com um quadro-resumo usando um problema 24,contido no
Papiro Rhind, de acordo com Medeiros C. e Medeiros A.(2004,p.548):
“Uma quantidade desconhecida acrescida de seu sétimo vale 19. Qual é
esta quantidade?”
26
Tabela 1: explicação sobre a aplicação do método da falsa posição.
Fonte: Autoria Própria.
Como observamos acima o valor falso 7 atribuído à incógnita foi selecionado
para eliminar a fração 1/7 presente na equação em questão. Após realizar os
procedimentos necessários chega-se ao resultado obviamente diferente do imposto
pela equação. Então, comparamos o resultado esperado com o resultado obtido
montando basicamente uma proporção simples chegando à solução esperada como
resume o esquema a seguir:
Figura 2: Proporção pós-aplicação do valor falso.
Fonte: Autoria Própria
Medeiros C. e Medeiros A. (2004) afirmam ser importante salientar que o
método possui duas fases essenciais. A primeira seria a escolha de um valor
conveniente dependendo da equação a qual você está sendo exposto. E a segunda
consiste na retificação do valor adotado anteriormente a partir de uma proporção
montada entre a resposta falsa e o número falso e a resposta verdadeira e o número
verdadeiro a fim de se obter o resultado correto.
Vejamos mais dois exemplos do Papiro Ahmes a fim de fazer com que a
compreensão deste método ser apropriado completamente pelos leitores deste
artigo. Achamos importante salientar que a resolução dos problemas aqui expostas
27
estarão em notação atual para maior entendimento, porém com a utilização do
método:
Ex1: “Um número e o seu quarto dá 15. Qual é o número?”
Ilustração da equação:
 1ª Parte: Atribuição de um valor favorável para a eliminação da fração contida
na equação. No caso substituímos o x por 4 eliminando assim a fração:
Figura 3: Quadro de resolução da equação abaixo.
 2ª Parte: Correção do valor atribuído a partir de uma proporção montada com
os valores conseguidos:
Figura 4: Quadro de resolução da equação.
Fonte: Autoria Própria
Multiplicando cruzado devido à propriedade que conhecemos atualmente
sobre proporção que diz que o “produto dos meios é igual ao produto dos extremos”
e seguindo a regra de balanceamento das equações, obtemos:
28
Ex2: “Um montão, seus dois terços, sua metade, todos ao juntar-se fazem treze.
Qual é a quantidade?”
Ilustração da equação:

1ª Parte: Atribuição de um valor favorável para a eliminação da fração contida
na equação. No caso, substituímos o
por
eliminando assim a fração:
29

2ª Parte: Correção do valor atribuído a partir de uma proporção montada com
os valores conseguidos:
Multiplicando cruzado devido à propriedade que conhecemos atualmente sobre
proporção que diz que o “produto dos meios é igual ao produto dos extremos” e
seguindo a regra de balanceamento das equações, obtemos:
Como podemos observar nos três exemplos apresentados acima o
objetivo geral da aplicação deste método é eliminar as frações existentes na
equação. Segundo Struik (1989 apud MEDEIROS e MEDEIROS, 2004) os egípcios
sempre utilizavam as frações unitárias, ou seja, frações em que seu numerador é
igual a 1, por serem mais simples de trabalhar. Sua representação era dada por um
traço em cima do número que representava o denominador na fração.
Considero importante saber a justificativa do uso deste método e
explicação do porque deste funcionar e se pode ser utilizado em todas as formas em
30
que as equações lineares se apresentam ou apenas nas mais simples do tipo
, assim como os autores aqui supracitados.
Segundo Medeiros C. e Medeiros A. (2004) é fácil a compreensão do
funcionamento do método. Por exemplo, utilizando os exemplos acima faremos um
quadro comparativo em fase literal e em fase numérica. Observe no quadro abaixo:
Importante saber que as equações quais trabalhamos possuem o formato
. Chamaremos de
a falsa posição atribuída na equação.
Tabela 2: Quadro comparativo da fase numérica e literal.
FASE NUMÉRICA
FASE LITERAL
Salientamos que este método é válido para forma de equação escrita
acima. Porém se tivermos outra forma podemos reduzir ao mostrado acima.
31
CAPÍTULO II
Ensino e Aprendizagem nas Equações do Primeiro Grau
2.1 Dificuldades em equações do primeiro grau
Ribeiro (2001 apud RIBEIRO, 2009) em suas pesquisas percebeu a
ênfase dada aos procedimentos técnicos e algoritmos no ensino de equações para
alunos entre 13 e 14 anos. Assim, estabeleceu um vínculo entre seus estudos e o de
outro pesquisador Duval, que disse ser de imprescindível importância para o
indivíduo compreender algo que ele tenha a relação indivíduo-objeto matemático
expandida para todos os contextos, ou seja, que ele possa compreender e identificar
o objeto em diferentes situações e representações, sendo este quesito necessário,
porém não único para a constituição do saber.
Dentre os trabalhos que foram pesquisados consideramos um de suma
importância para contribuir para este que desenvolvemos e foi baseado em outros
trabalhos de autores de renomados dentro da educação matemática. Kieram (1992
apud FREITAS, 2002) achou interessante analisar os erros encontrados em maioria
nas resoluções de alunos de vários níveis escolares, além da compreensão dos
mesmos com relação ao sinal de igualdade, o uso das letras nas operações, o
simbolismo usado, idéia do conceito de variável e os variados métodos utilizados na
resolução destas.
No quesito compreensão do sinal de igualdade Kieran(1981 apud
FREITAS, 2002) fez uma pesquisa com seis alunos de 12 e 13 anos com o objetivo
de fazer com que os alunos conseguissem alcançar o real significado deste sinal
para posteriormente resolverem as equações do tipo
. Nesta
pesquisa foi descoberto que os alunos associam o significado do sinal apenas como
um resultado. Conforme a autora, a criança com certeza compreenderia o
significado correto deste se for apresentado a ela ainda no começo da sua
escolaridade exemplos numéricos do tipo 3+6=4+5 que apesar de somas
diferenciadas o resultado é o mesmo, ou seja, 9 . O resultado desta revelou que o
entendimento dos alunos com relação a este depende da faixa etária que ele se
encontra.
Kieran (1994 apud FREITAS, 2002) atenta para o fato da diferença de
compreensão do alunado sobre o sinal de igualdade com a utilização da
transposição ou da equivalência, sendo que atualmente a transposição é a ensinada
32
nas escolas. Para ela o procedimento de passar os elementos do segundo membro
para o primeiro membro invertendo seus sinais em sua respectiva ordem causa o
que ela chama de “supergeneralização do procedimento de transposição” por
justamente os alunos estarem acostumados a resolver apenas um modelo de
questão e quando se deparam com um modelo diferenciado e um pouco mais
complexo por estarem presos ao algoritmo apresentado inicialmente acabam
generalizando as regras e não conseguem solucionar a equação por não saberem
quais operações inverter e em que ordem o fazer. Portanto, este procedimento
atribuía pouco significado ou nenhum ao sinal de igualdade, pois quando se utiliza o
processo de atribuir valores dos dois lados da equação estamos o fazendo para não
modificar a solução final, ou seja, estamos equiparando os dois membros da
igualdade.
Booth (1994 apud FREITAS, 2002) pesquisou sobre os erros cometidos
pelo alunado referentes à notação algébrica. Ele atribuiu erros do tipo
ao fato do aluno não compreender o real significado do sinal de igualdade, ou seja,
o entender apenas como um resultado. E também ao histórico de aprendizagem
deles, ou seja, em muitos casos da nossa vida escolar nos foi mostrado situações
em que a idéia de adição estava implícita como, por exemplo, nas frações mistas
ou em números como
. Sendo assim é muito fácil esses
casos aritméticos induzirem o aluno ao erro.
Booth(1994 apud FREITAS, 2002) considera a idéia de variável uma das
mais importantes questões envolvidas na compreensão da álgebra. Ele afirma que a
partir do momento que o discente entende a letra expressa numa equação como
sendo a representação de um número então começa a associar letras como
números específicos e não como variáveis ou números genéricos. Isso se deve ao
fato de quando o aluno entra em contato com a aritmética ele tem o símbolo
representando um valor, logo é mais do que natural que um discente entenda esse
novo símbolo como representante de uma quantidade específica. Outro equívoco
decorrente ocorre quando os alunos entendem que letras diferentes assumem
valores diferenciados como mostra o exemplo:
.
Para Booth (1994 apud FREITAS, 2002) a informalidade da aritmética, ou
seja, da flexibilidade oferecida pela mesma na resolução dos seus problemas
impossibilita que o aluno seja capaz de passar para a formalidade contida na
33
álgebra. O mesmo autor acima citado afirma que para ensinar álgebra pode até se
ter a aritmética como aliada, isto é, usá-la como ponto de partida para fazer o aluno
compreender um procedimento algébrico para depois generalizar, mas não colocá-la
como modelo geral para a álgebra.
Fernandes (2011) afirma que a álgebra é uma das grandes dificuldades
dos alunos por dois motivos: o fato da importância e essência da álgebra está ligada
ao simbolismo, muitas vezes incompreendido pelo discente, já que ele dá ênfase ao
processo de algoritmização. Além da álgebra também ser tratada no currículo
matemático como um conteúdo isolado, não podendo ser relacionado com nenhum
outro conteúdo ou cotidiano dos alunos.
Bednarz; Kieran e Lee (1996 apud FERNANDES, 2011) baseado no que
pesquisou descobriu que a álgebra pode ser introduzida de várias maneiras para
formalizar o ensino da mesma como mostrar as regras para a resolução de
equações, ou então resolver problemas com uma idéia específica, ou ainda
generalizar as leis de formação das equações envolvidas ou ainda mais recente é
começar com o conceito de variável, função que foram características dos anos 60.
Estas variadas formas de introdução da álgebra nas escolas são consideradas as
causadoras das dificuldades referentes a este assunto no decorrer da sua
escolarização.
Bednarz; Kieran e Lee (1996 apud FERNANDES, 2011) concebem como
formas da introdução da álgebra ensinada nas escolas: a primeira é o ensino das
regras norteadoras de resolução das equações, a segunda é a escolha de
problemas específicos para solucionar e a terceira e última é a apresentação das
leis de formação de forma generalizada. É comprovado que um grande causador
das dificuldades que os alunos enfrentam na álgebra é a forma como a mesma é
introduzida.
Segundo Fernandes (2011) muitos símbolos conhecidos em aritmética
pertencem á álgebra também, como o sinal de igual, os sinais de mais e menos e as
letras. Porém, quando se fala sobre álgebra esses símbolos assumem outro
significado, outro conceito.
Canavarro (2009 apud FERNANDES, 2011) afirma que a algebrização da
aritmética no seu ensino ajudará a preparar um caminho mais fácil para a
compreensão
da
álgebra
nos
anos
posteriores.
Arcavi
(1994,2006
apud
FERNANDES, 2011) complementa dizendo que assim como na aritmética os
34
números tem seu significado e sua importância, as letras na álgebra possui a
mesma importância e exige o mesmo nível de compreensão.
Com relação ao símbolo de igualdade disposto na álgebra, Fernandes
(2011) atenta para a diferente configuração que o sinal da igualdade assume
primeiramente na aritmética e posteriormente na álgebra. Na aritmética o símbolo
constitui-se como um pedido para que a operação seja efetuada, como por exemplo:
. Na álgebra este adota outro significado, onde x, a incógnita, precisa
atender um valor diante desta igualdade. Compreendido esta diferente significação
da passagem da aritmética para a álgebra com relação ao símbolo é possível que o
alunado tenha suas dificuldades e erros atenuados na resolução das equações.
Fernandes (2011) afirma que um aluno do 7º ano do ensino fundamental
como entende o sinal da igualdade como gerador de um resultado numérico
obrigatório e não como um sinal de equivalência, de equilíbrio, torna-se dificultoso
apreender que
é equivalente e não é necessário a apresentação de
um valor numérico específico. Portanto, Kieran(1981 apud FERNANDES, 2011) vem
complementar dando a sugestão de que seja esclarecido desde o começo da
escolaridade o sentido de equivalência para o discente, diante do símbolo da
igualdade.
Filloy e Rojano (1989 apud FERNANDES, 2011) falam da existência de
duas classificações com relação ás equações do primeiro grau. As equações do tipo
eles denominaram como “equações do tipo aritméticas” e equações que
apresentam o formato dos tipos
ou
são as chamadas
“equações do tipo algébricas”. Kieran (1981 apud FERNANDES, 2011) assevera que
referente às equações do primeiro tipo o alunado continua a entender que o sinal
exige um resultado pelo fato de ter que se operar o primeiro membro para se obter o
resultado no segundo membro. Essas equações podem ser facilmente resolvidas
usando o método da transposição, ou seja, trabalhando com operações inversas o
que não ocorre na resolução do segundo tipo de equações, por serem mais
complexas.
Ao ensino das equações do tipo algébricas Filloy e Rojano (1989 apud
FERNANDES, 2011) acreditam que houve um corte didático na passagem de
resoluções das equações do primeiro tipo para o segundo tipo, pois se soluciona as
35
equações aritméticas operacionando o primeiro membro então provavelmente nas
equações algébricas tentará fazer o mesmo se deparando com a dificuldade.
Outro símbolo disseminador de polêmicas é o sinal de menos que para
Kieran(1981
apud
FERNANDES,
2011)
é
um
causador
das
dificuldades
apresentadas, em face da diferença de uso e significação ora diante das expressões
algébricas, ora perante equações.
O pesquisador Vlassis (2004 apud FERNANDES, 2011) disserta sobre os
variados sentidos que o símbolo pode assumir, classificando-o em três vertentes. A
primeira ele define como operação binária, ou seja, subtrair dois números. A
segunda nomeada como sentido unário, que consiste no fato de subtrair
. E a terceira no sentido simétrico, como por exemplo, na equação
possível coligar que
é simétrico de
significar
é
. Sendo assim, ele concluiu que os variados
sentidos deste sinal vão contra á forma intuitiva de apreensão dos alunos que estão
iniciando seus estudos em álgebra. No entanto, a vertente binária facilita mais o
aprendizado do que a vertente unária e simétrica.
Segundo Ponte, Branco e Matos (2009 apud FERNANDES, 2011) desde a
década de oitenta a discussão é sobre como a álgebra deve ser ensinada, ou seja,
em torno de qual visão o ensino da mesma deve girar. Inicialmente a álgebra foi
reduzida a uma concepção simbólica, denominada “visão letrista”, que objetiva
aprender a manusear os símbolos por meio de treinamento e prática. Posteriormente
a visão estruturalista, que se apóia na estrutura da álgebra abstrata dando ênfase às
propriedades operatórias. E por último e mais recente a visão que enfatiza os
sentidos dos símbolos a fim de gerar o pensamento algébrico. Mesmo assim, a
apresentação de letras no ensino da álgebra ainda se configura como um problema
causador de dificuldade do alunado.
Kuchemann (1981 apud FERNANDES, 2011) baseado nesta dificuldade
eminente resolveu estudar as diferentes definições, representações que as letras
podem assumir. “Letra como incógnita” é uma delas, no qual é a representação de
um número único, porém que precisa ser desvendado operacionando diretamente,
como, por exemplo, na equação do tipo
. Temos também, a “letra como
número generalizado”, cuja letra é vista como representação de qualquer número ou
até mesmo vários. Por último, temos “letra como variável” que é representante de
um conjunto de valores.
36
Fernandes (2011) tenta sintetizar em um quadro as dificuldades e erros mais
frequentes que o discente enfrenta com relação ao aprendizado da álgebra. Estes
são avaliações e estudos feitos por pesquisadores importantes da área. Veja no
quadro a seguir:
Tabela 3: Erros e dificuldades dos alunos na resolução de equações do 1º Grau.
Fonte: (Adaptado de Ponte et.al. 2007)
Fernandes (2011) aponta como um dos maiores indicadores de dificuldade
dos alunos com relação à álgebra: a adição de termos não semelhantes, já que o
37
símbolo “ ” determina que se deva prosseguir efetuando a adição. Sendo assim,
por exemplo,
. Ponte et.al.(2009 apud Fernandes, 2011) vai
além, afirmando que os símbolos “ ” e “ ” são os causadores dos erros cometidos
pelos discentes, devido à errônea interpretação que acomete o alunado. Assim não
conseguem executar corretamente a resolução da equação, ou seja, a compreensão
de que o símbolo “ ” indica adição algébrica e que o sinal de “ ” propõe
equivalência não são apreendidos prontamente.
O autor supracitado explana a ocorrência do erro:
e
o classifica como decorrente dos problemas enfrentados e não solucionados no
estudo da aritmética, que agora foram apenas alterados para outra área, a álgebra.
Fernandes (2011) explica outro erro cometido pelos alunos presente no
quadro anteriormente apresentado: o erro de transposição, que é um método muitas
vezes mal interpretado, como por exemplo,
. Como
podemos observar o aluno usa uma regra correta, no entanto de forma incorreta,
pois obedeceu a regra de troca de sinal quando passa de um membro para outro, no
entanto a errou, já que nos é apresentado a multiplicação de um número por uma
letra, logo é correto atender a regra da operação inversa, sem troca de sinal.
Fernandes (2011) afirma que um erro que contribui majoritariamente para
a conclusão incorreta da solução de uma equação é a mudança de operação para
sua correspondente inversa erroneamente. E a falta do parêntese mostra a falta de
reconhecimento da propriedade distributiva. Não saber iniciar a resolução de uma
equação também constitui como um fato muito frequente, por conseguinte são
levados a criarem suas próprias regras e usam de outras facetas para resolverem as
equações, cabendo ao professor retificar estas falhas e procurar outras formas que
facilitem a aprendizagem do discente.
2.2
História da Matemática na Educação Matemática
Tendo em vista as dificuldades relatadas e discutidas anteriormente e
ciente de que o professor deve ajudar e promover uma aprendizagem fluída,
Machado e Mendes (2013) acreditam que os métodos habitualmente utilizados
durante tanto tempo não são mais suficientes para promover os fatores tão
discutidos e cobrados na educação matemática, além de ampliar habilidades como
38
capacidade de interpretação entre outros e de oferecer uma redescoberta dos
conceitos a partir de uma experiência.
Conforme D’Ambrósio (1996 apud FIALHO e MENDES, 2013) a História
da Matemática é uma tendência que proporciona ao alunado a percepção de como
foi desenvolvido e originado um teorema, definição, axioma entre outros. Logo, esta
provoca um interesse maior do aluno pelos assuntos entendendo que foram criados
a partir da necessidade do homem.
Segundo Machado e Mendes (2013) quando alguns teoremas ou
problemas são expostos dentro da sua realidade da época consequentemente o
interesse, a atenção e a participação aumentam consideravelmente, além de
majorar o seu espírito investigativo, seu desenvolvimento cognitivo, mental como o
raciocínio, a lógica e a criticidade.
Para Imenes (1990 apud MACHADO e MENDES, 2013) a matemática que
é ensinada nas escolas é considerada “a-histórica”, pois é apresentada no ambiente
escolar como uma ciência fechada em si, incontestável, intocável. No entanto, é
esquecido que a Matemática faz e fez parte da história da humanidade, é uma
construção humana, é uma parte constituinte da nossa cultura e ambiente
sociocultural. Sendo assim, a partir dessa descrição afirmativa Machado e Mendes
(2013)
que
esta
forma
em
que
a
matemática
é
apresentada
contribui
consideravelmente para as dificuldades na aprendizagem da Matemática.
Então Machado e Mendes (2013) asseveram que a História da Matemática
proporciona ao alunado reviver a Matemática, a sua descoberta e suas alterações
no decorrer do tempo a fim de compreendê-la como algo que não é imutável, nunca
foi e que está em constante mudança. Por conseguinte, o discente perceberá o quão
a cultura e a sociedade influenciaram para o advento da matemática, além de
obterem uma noção satisfatória sobre processo e progresso. A história da
matemática ajuda os alunos a perceberem o quanto a Matemática contribuiu para
outras áreas e disciplinas ampliando a visão do aluno com relação à mesma e
possibilitando uma maior compreensão dos assuntos. Portanto a mesma dentro
dessas condições mostra-se como uma possibilidade assídua de solução para as
barreiras na aprendizagem da matemática.
Urbaneja (2004 apud MACHADO e MENDES, 2013) assegura que com a
História da Matemática foi desmantelada a idéia de que esta ciência era dona de
verdades incontestáveis tendo que se oporem a outros métodos, facetas para se
39
chegar a solução de um problema. Deste modo, a matemática torna-se exterior ao
aluno, à sua realidade, á sua cultura. Na história nos é apresentado várias formas
para que se chegue a solução, algumas são incorretas, porém sabe-se que as
inovações das resoluções são fundamentadas em pensamentos do passado e que
precisam de modificação para novos problemas.
Machado e Mendes (2013) ainda asseguram que quando o aluno tem
contato com as diferentes produções históricas e culturais é possível que ele
configure a matemática de uma forma pessoal de acordo com sua experimentação e
assim instituir um diálogo próprio com a Matemática e suas distintas linguagens, as
quais os autores afirmam não serem edificadas no ambiente escolar.
Do ponto de vista ensino-aprendizagem Machado e Mendes (2013)
juramentam que as informações históricas facilitam a explanação de algum assunto
ou pode funcionar como exemplificação do mesmo. O conhecimento do docente
sobre a história da Matemática possibilita que este tenha uma visão mais
translúcida, independente do estágio de aprendizado, das dificuldades do alunado.
Para os pesquisadores e professores, conforme Machado e Mendes
(2013), a História da Matemática oferece uma abastança de problemas, situações,
métodos e fontes extremamente interessantes, Quando o pesquisador conhece o
progresso histórico, este conhecimento ampliará sua visão para uma tomada de
decisão adequada com relação ao caminho de ensino que deverá tomar diante de
cada aluno, além de enriquecer suas conclusões analíticas sobre o aluno.
Para D’Ambrósio (1999 apud MACHADO e MENDES, 2013) é fatível
tornar a Matemática interessante aos olhos dos alunos a partir do uso da História da
matemática, pois assim é praticável sua contextualização e sua interdisciplinaridade.
Já que a mesma está e esteve presente em situações históricas de várias
civilizações.
Machado e Mendes (2013) enfatizam que não apoiariam a adoção dos
professores deste método, História da Matemática, se não existissem comprovações
científicas, experimentais com relação ao uso do mesmo e seus acrescimentos á
aprendizagem e à formação docente. Complementa a seguir:
(...) Portanto, neste trabalho admitimos que a História da Matemática pode
exercer um importante papel no ensino e aprendizagem, tanto em relação
ao professor quanto em relação ao aluno e, consequentemente, viabiliza a
40
interatividade no processo de construtividade do conhecimento matemático
escolar.(...) ( p.28)
A interatividade discutida no trecho anterior, segundo Machado e
Mendes (2013), depende de uma prática docente que facilite a construção do
conhecimento do aluno por meio da investigação chegando à compreensão da
ligação entre a Matemática e diversas áreas do conhecimento. Além do mais, a
aplicação da mesma tem o papel de promover a dita aprendizagem, já que há uma
conectividade entre a abstração e situações concretas, permitindo assim uma
compreensão do conteúdo estudado.
Machado e Mendes (2013) atenta para o fato que reunir histórias para
contar em sala apenas como curiosidade e passagem por este momento não
enriquece a sua prática pedagógica e nem ajuda no entendimento do assunto
ensinado. O que se deve fazer dentro de cada parte da história comentada é refletir
sobre a lógica da construção matemática. Logo, a história é permissiva com relação
á exploração a ressignificação da matemática com o objetivo de responder as
perguntas corriqueiras feitas em ambiente escolar como: Por quê? Para quê? E
outras.
Urbaneja (2004 apud MACHADO e MENDES, 2013) certifica referente aos
docentes que a História da Matemática pode contribuir para a crescente busca e
interesse por uma formação continuada mais rica que permita uma renovação
pedagógica elevando sua capacidade tanto como professor como pesquisador.
2.3 Resolução de Problemas no ensino da Matemática
Petronilo (2008) afirma que recentemente os resultados de provas
importantes como SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica), realizada a
nível nacional que segundo Brasil (2004 apud PETRONILO, 2008) é feita a cada
dois anos e objetiva avaliar o desempenho dos alunos nas disciplinas de Português
e Matemática, são muito preocupantes, causando grandes polêmicas entre os
estudiosos da área. Por exemplo, no ano de 2003, referente aos alunos da 8ª série
do ensino fundamental, se encontravam num nível de proficiência bastante baixo,
pois somente 3,3% estavam num patamar adequado de aprendizado, já que sabiam
solucionar e interpretar os problemas presentes na prova, ou seja, possuíam as
habilidades e competências características da idade e série em que estavam
41
inseridos. Já 39,7% conseguiram chegar perto das habilidades cobradas, no
entanto, 49,8% se localizavam no nível crítico, essa porcentagem também incluía os
alunos que sabiam as habilidades básicas de interpretação, todavia não sabiam
repassar a linguagem matemática corretamente para o papel. Ainda, 7,3% se
encaixavam num nível muito crítico, pois não conseguiram alcançar nem as
habilidades consideradas mais básicas.
De acordo com Petronilo (2008) um ponto revelador da SAEB de grandes
dificuldades por partes dos discentes foi a resolução de problemas. Segundo
Dante(1991 apud PETRONILO, 2008) certo número de docentes classificam a
resolução de problemas como sendo o pivô do ensino e aprendizagem da
matemática, visto que é com esta que o alunado inicia seu pensamento lógico, além
de executar algumas aplicações matemáticas em um nível primário. No entanto,
essa metodologia não é utilizada pelos professores, o que se vê é a aplicação de
listas básicas, onde a resolução é a aplicação de regras, algoritmo. Constituindo-se
assim como um dos motivos pelo qual as notas da SAEB são tão insastifatórias.
Falzetta (2003) afirma que geralmente os modelos de problemas que são
apresentados em sala definem-se como aqueles que servem apenas para aplicação
e treinamento de regras e situações que já foram expostas pelo professor. Portanto,
na cabeça do aluno já é formada a idéia de que os problemas já possuem
resoluções prontas, regras específicas, entre outros. Porém, para expandir esta
visão o autor disse ser necessário “quebrar tabus”, na realidade cinco tabus que
foram constatados por duas consultoras em Educação Matemática: Kátia Stocco e
Maria Ignês Diniz, baseados na análise de alguns colégios brasileiros e em uma
pesquisa realizada nos Estados Unidos pela professora Rafaella Borasi, no início
dos anos 90.
Segundo Falzetta (2003) o primeiro tabu trata-se de um problema sempre
existir e ser numérica e única, além de obtê-la apenas de uma forma. Este tabu se
construiu a partir da utilização problemas convencionais apresentados. Para quebrar
este tabu é exigido planejamento. A professora Marina Agostinho Daleffe, que
trabalha na escola Liceu Salesiano Nossa Senhora Auxiliadora, em Campinas,
disposta a contestar a idéia de que um problema só pode ser resolvido de uma
forma, numa turma da 3ª série, propõe aos alunos que alguns vão ao quadro e
apresentem suas estratégias de resolução e expliquem. Segundo a Professora esta
42
proposta melhorou consideravelmente a confiança deles, pois acabam tendo a
percepção onde estão errando e acertando e assim refletir sobre como melhorar.
O segundo tabu a ser quebrado, conforme Falzetta (2003), é que a
resolução do problema deve ser rápida, caso contrário significa que o aluno não
sabe. É bom que o problema seja resolvido mais rápido, porém isso não é parâmetro
para classificação se um aluno sabe ou não sabe solucionar o tal. A professora Ana
Cláudia Florindo, do colégio Marista Nossa Senhora da Glória, resolveu usar como
estratégia para quebrar este. Ela propõe a cada quinze dias um desafio. A questão
pode ser resolvida do jeito que eles quiserem com a ajuda de quem desejar.
No terceiro tabu, fala-se que se errar a resolução, não adianta analisar, o
certo é refazer. Falzetta (2003) diz que a resolução de problemas não condiz com
uma avaliação classificatória, ou seja, neste caso não existe o fato de passar uma
atividade ou prova, recolher e verificar somente se a resposta está correta ou não.
No colégio Marista de São Paulo, o professor Luiz
Otton
Dumont
Filho
adotou
uma estratégia, nas atividades propostas algumas vezes era pedido aos alunos que
as atividades fossem trocadas entres eles para a correção dos problemas, os alunos
analisavam aonde o colega havia falhado e explicavam para o seu colega.
O quarto tabu diz que o acerto só chega com memorização e treino.
Falzetta (2003) expõe um ocorrido com a professora Shirleni Mazoni Cavalcanti. Ela
percebeu que quando passava as provas, as respostas eram impressionantes, pois
não tinham sentido. A professora resolveu reunir-se com outros professores para
mudar o modo como ministrava suas aulas e passou a permitir mais a participação
dos alunos.
No quinto e último tabu que falava sobre a dúvida surgida em sala e não
ser esclarecida pondo em xeque a competência do professor. Falzetta (2003) que o
benefício da dúvida, é de extrema importância, dependendo do tipo de alunado que
se pretende formar, um sujeito passivo ou um sujeito com senso crítico aguçado,
com não tenha medo de expor suas próprias idéias.
Maior e Trobia (2009) concebem a resolução de problemas como sendo a
que se interliga com todas as outras tendências. Polya (2006 apud MAIOR e
TROBIA, 2009) afirma que o professor deve propor aos alunos problemas que
despertem a curiosidade do mesmo, que o faça raciocinar, porém este não pode ser
tão complexo que desestimule o alunado e nem tão acessível para que ele não se
desinteresse por acreditar que o problema é fácil até demais.
43
Conforme Polya (2006 apud MAIOR e TROBIA 2009) um ponto
importante que deve ser destacado é o momento de explicação da resolução do
problema por parte do professor, é preciso deixar claro que resolver problemas não
é uma tarefa fácil. Muitas vezes o problema não é compreendido facilmente e
totalmente na primeira leitura, somente quando é feita a releitura, independente do
número de vezes, que vamos entendendo melhor e traçando a estratégia de
resolução. Tendo em mente, que para conseguir resolver um problema é necessário
bem mais do que uma fórmula pronta, algoritmos e regras. Devido à infinidade de
problemas que se têm, existem etapas para a resolução dele, estas não são
infalíveis, mas ajudam consideravelmente na resolução dos problemas, o número
pode variar, podendo ser de três a cinco etapas.
Polya (2006 apud MAIOR e TROBIA 2009) definiu quatro etapas para
resolução de qualquer problema proposto. A primeira é a compreensão do problema
que consiste na leitura atenta do mesmo proposto para que haja o entendimento do
que se é pedido, além da identificação dos dados, incógnitas, ou seja, esta etapa é a
interpretação plena do problema. A segunda chama-se elaboração de um plano ou
estratégia que incide no planejamento de um esquema para se chegar á solução do
problema, visto que existem problemas variados, onde as estratégias usadas podem
ser desenhos geométricos, gráficos, fórmula, tabela, ou até mesmo o uso da
tentativa e do erro. A terceira etapa é a execução do plano que versa sobre a
aplicação da estratégia, passo-a-passo, se esses passos forem executados
corretamente se chegará à solução. O professor possui um papel muito importante
nesta etapa, deve guiar o aluno, mas não interferir de tal forma que o aluno sinta que
aquilo não foi sua realização. A quarta e última etapa se denomina retrospecto ou
verificação que disserta sobre a validação se o que foi feito anteriormente está
correto, se a resolução contenta a condição do problema. É permitido refletir sobre
problemas parecidos, além de tentar perceber se existe outra forma de resolvê-lo.
Segundo Maior e Trobia (2009) o papel do professor é extremamente
importante, pois sua responsabilidade é promover um ambiente de aprendizado,
sem sua intromissão exacerbada, se houver dificuldades por parte dos alunos o
professor deve encaminhá-lo, mas não apresentar a resposta. É interessante que o
professor adeque os problemas propostos ao nível de entendimento do discente.
Walle (2009) definiu as características mais importantes de um problema
com o objetivo de ensinar. A primeira discutida por ele é que o problema deve ser
44
escolhido de acordo com a compreensão atual do alunado, deve conter idéias que
estejam dentro do conhecimento deles e mesmo assim manter-se interessante e
desafiante. A segunda fala da importância de deixar claro o conceito a ser aprendido
a partir daquela atividade para que o discente possa tirar suas conclusões
corretamente. O ato de cortar, fazer gráfico ou qualquer ação que faça parte dessa
atividade deve desfocar o estudante da matemática por trás da atividade. A terceira
e última característica disserta sobre a significância do aluno justificar o motivo de
está solucionando o problema daquela maneira e entendê-lo. É importante que o
aluno entenda que a justificativa pertence a ele também.
45
CAPÍTULO III
Aplicação da Proposta de ensino
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais-PCN (1997) nas séries
iniciais a criança já precisa ter uma noção algébrica, porém quando ela se encontra
na fase final de seu ensino fundamental que esta visão, compreensão e noção
algébrica devem ser desenvolvidas com trabalhos envolvendo situações-problema,
representação destes usando as equações e reconhecimento das regras para a
resolução de cada tipo de equação.
Baseado nesta regra geral dentro dos PCN’s e de outras as quais
referimo-nos, fazemos um apanhado conforme for explicando a idéia da atividade
que foi desenvolvida com crianças do sétimo ano do ensino fundamental, além de
levar em consideração, claro, as dificuldades de aprendizagem apresentadas no
capítulo anterior, procurou-se montar uma sequência de atividades envolvendo a
história da Matemática, mais precisamente o método falsa posição, com o qual foi
feito uma comparação qualitativa entre o método de resolução atual utilizando a
transposição como procedimento e o método da falsa posição, cuja sua essência é a
tentativa e o erro, um método que a criança por si só sem precisar de muito
conhecimento desenvolve por intuição, claro que já tendo a idéia correta do sinal de
igualdade, discutido anteriormente, e tendo domínio aritmético adequado.
Os PCN’s (1997) ressalvam a importância do planejamento das atividades
do professor estarem atrelados com outros conteúdos, áreas do conhecimento e
cotidiano com o objetivo de fazer com que o alunado consiga compreender que o
assunto estudado encontra-se além da escola. Tomando isto como base,
organizamos
uma
atividade
primeiramente
que
contivesse
assuntos
que
mencionassem o dia-a-dia das crianças, para ver como se sairiam resolvendo os
problemas por um modo somente usando a aritmética.
Em todo o desenvolvimento das duas atividades, pois estas serão
realizadas em dois momentos: o primeiro, o qual já foi mencionado e o segundo será
após uma aula ensinando os alunos a partir do que foi feito no primeiro momento,
pela tentativa e erro a continuação desta resolução usando o método da falsa
posição. Ou seja, partiremos de um conhecimento ou até mesmo um erro que será o
46
“gatilho” para a aprendizagem de um novo procedimento de resolução das equações
do primeiro grau.
Na aprendizagem escolar o erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser
interpretado como um caminho para buscar o acerto. Quando o aluno ainda
não sabe como acertar, faz tentativas, à sua maneira, construindo uma
lógica própria para encontrar a solução. Ao procurar identificar, mediante a
observação e o diálogo, como o aluno está pensando, o professor obtém as
pistas do que ele não está compreendendo e pode interferir para auxiliálo.(...) pode ter cometido erros de cálculo por falta de um repertório
básico.Quando o professor consegue identificar a causa do erro, ele planeja
a intervenção adequada para auxiliar o aluno a avaliar o caminho
percorrido. Se, por outro lado, todos os erros forem tratados da mesma
maneira, assinalando-se os erros e explicando-se novamente, poderá ser
útil para alguns alunos, se a explicação for suficiente para esclarecer algum
tipo particular de dúvida, mas é bem provável que outros continuarão sem
compreender e sem condições de reverter a situação. (BRASIL, p.41,1997)
Como os PCN’s (1997) mostraram e salientaram que quando o professor
utiliza a História da Matemática como aliada, expõe as necessidades humanas em
cada diferente momento histórico estabelecendo comparações com os conceitos e
processos históricos passados e presentes e que o docente consegue promover
uma resposta mais satisfatória do aluno diante do conhecimento. Sendo assim,
consideramos importante fazer uma comparação do método atual com o método
antigo usado para a resolução de equações do primeiro grau, mostrando um pouco
do cotidiano dos egípcios, mas com uma nova roupagem, buscando fazer com que o
aluno compreenda e tenha uma intimidade maior com a álgebra, amenizando a
aversão pela mesma.
Toda a postura que se assumiu na prática foi baseada em Walle (2009).
Para ele o ato de resolver problemas deve ser como um novo caminho para se
aprender uma nova matemática e não apenas uma aplicação da mesma, pois
quando o alunado está envolvido em um problema que foi escolhido com um
objetivo definido e o fazem se detiver em métodos diferenciados de resolução
resultando em novas compreensões a cerca do assunto referido, já que enquanto
estão analisando suas soluções, comparando-as, descobrindo métodos que
funcionam ou não, assumem uma postura reflexiva diante do problema proposto.
As situações-problema apresentadas aos alunos foram escritas de acordo
com as características que determinam problemas voltados para a aprendizagem
propostas por Walle (2009) que consistiam primeiramente na seleção do problema
conforme o nível cognitivo em que os discentes se encontram, pois devem conceber
47
idéias condizentes para a reflexão e resolução do problema e mesmo assim o
considerar interessante. Como segunda característica, temos que os problemas
envolvidos devem dar significado à matemática referida sem nenhum tipo de
distração, por exemplo, contextualização ou atividades do tipo - cortar e colar ou
desenhar que o autor denominou de “não-matemáticas”. E a terceira e última
característica, onde as justificativas e explicações são muito importantes para
aprendizagem, ou seja, o problema proposto deve exigir uma justificativa e o
estudante deve compreender que a responsabilidade de explicar a solução compete
também a ele.
Walle (2009) fala sobre uma aula completamente diferenciada das
ministradas pelos professores norte-americanos, com os quais se deu sua pesquisa,
onde esta se resumia em uma explicação e após, a prática de exercícios. O tipo de
aula a qual o autor se refere é dividida em três fases, onde cada fase possui um
cronograma e um objetivo a ser alcançado. A prática dentro da proposta desse
apoiou-se fundamentalmente nestas três fases, porém é importante salientar que a
aplicação dos exercícios deu-se em duas etapas, a primeira é a qual a prática foi
baseada no outro supracitado.
Na fase antes, os alunos foram preparados e a atividade foi apresentada,
em seguida se verificou a compreensão dos problemas propostos, sem nenhuma
orientação anterior, porém foram levados em consideração os conhecimentos
antecessores dos discentes. Os conhecimentos prévios sobre equações do primeiro
grau foram ativados: foi relembrado como montar a equação a partir de um problema
dado, já que esse não era o foco dos testes e sim a resolução pelos métodos. Além
de encaminhá-los para o quê esperávamos deles diante do apresentado, ou seja,
calcular o que era pedido sem usar o método da transposição ensinado nas salas de
aula, no entanto deixando claro que o objetivo não era achar apenas uma resposta
correta, e sim direcioná-los para algo maior, mais abrangente que os levaria a um
conhecimento diferenciado.
Em frente à importância do diálogo entre os alunos, mesmo não sendo
esta atividade em grupo, concedeu-se a troca de idéias entre eles, não vendo a
resposta do outro para copiá-la, mas a tentativa de conceber, traçar estratégias para
as resoluções.
Na fase durante a lição, ajudas não foram dadas, a não ser quando os
alunos perguntavam algo, mesmo assim eram direcionamentos, não respostas.
48
Abster-se de respostas e enchê-los de perguntas foi um caminho bastante
proveitoso, pôde se chegar à conclusão de que eles possuem uma lógica muito
pessoal. Quando as perguntas surgiam com o objetivo de obter-se uma resposta
direta, as dicas eram dadas cuidadosamente como: “e se você tentar com este
número?”, “será que você não pode obter isto de uma maneira mais simples?”. Com
relação à verificação do que foi feito, a confirmação se estava correto, não fora dado
ao aluno, o próprio tinha que verificar a lógica, dentro do que lhe foi proposto. E na
fase depois, procurou-se mostrar interesse na resolução de cada aluno envolvido
além de resumir e enfatizar os pontos mais importantes das discussões.
Pôde-se confirmar durante a aplicação da primeira parte do teste o que
Medeiros e Medeiros (2004) afirmaram dizendo que o método da falsa posição é em
sua essência o método da tentativa e erro e levando em consideração sua origem
desconhecida conclui-se que era intuitivo, por isso não se havia justificativas do seu
uso naquela época. Estudos mostram: crianças que a princípio não tinham tido
nenhum contato com a álgebra e eram confrontadas com a mesma, quando
conseguiam resolver as questões quase sempre utilizavam o método da tentativa e
erro, que como foi mencionado anteriormente é a essência do método da falsa
posição.
Dentre os maiores objetivos a serem alcançados na primeira parte do
teste, que era mostrar para o aluno a importância do erro, o quão este pode ser um
dos caminhos mais importantes para o acerto, pois, o erro não é algo descartável.
Kistemann (2010) atenta para a importância da discussão sobre os erros enquanto
propiciador da construção do conhecimento matemático. Testes padronizados
impossibilitam uma avaliação apropriada do professor, já que o erro é mascarado.
Quando o erro é avaliado dentro de uma conduta investigativa docente ele assume
uma importância igualitária ao acerto para construção de um conceito matemático
qualquer.
Na segunda parte do teste foram aplicadas mais quatro questões, cujo
objetivo era apenas comparar em qual método os alunos se saíam melhor,
compreendiam melhor, tinham mais segurança, se era no método da transposição
ou no método da falsa posição.
49
3.1
Análise dos resultados:
a) Análise da primeira etapa:
01-
José resolveu limpar sua caixa d’água que inicialmente estava cheia. Porém,
depois de sua filha tomar um longo banho, a caixa ficou agora com apenas um terço
da capacidade. Para a limpeza foram retirados
de água. O volume que restou
após essas operações, era igual a três quintos da capacidade total. Quantos litros
cabem nessa caixa d’água?
Objetivo: Achar o volume desta caixa d’água a partir da descoberta da equação que
representa esta situação.
Análise à priori: Esperávamos uma compreensão primeiramente do problema para
montar a equação que representasse a situação descrita, além de entender o que
significava a incógnita dentro da equação e por conseqüência resolvê-la por um
método diferenciado, assim como foi pedido. Este método seria intuitivamente da
tentativa e erro.
Análise à posteriori: 50% dos alunos tiveram dificuldades evidentes em representar
a situação descrita, tanto que houve vários esclarecimentos sobre como montar a
equação. Referente ao entendimento da significação da incógnita, todos a
compreenderam, porém, 75% registraram o seu significado. Na resolução foi
necessário esclarecer o significado verdadeiro do sinal de igualdade dentro de uma
equação e, somente assim os alunos conseguiram aplicar um método utilizando
valores aleatórios na equação e analisando se esses se aproximavam ou não do
valor verdadeiro de “x”.
Imagem 1: Resolução do aluno.
Imagem 2: Continuação da resolução.
Fonte: Campo de pesquisa.
Fonte: Campo de pesquisa.
50
02-
Mariana liga a bomba para encher sua caixa d’água, porém ela esquece a
bomba ligada, enquanto assistia tevê. Quando ela desligou a bomba percebeu que
havia vazado bastante água então conferiu seu medidor e percebeu que vazou 68
litros de água e ainda a caixa ficou com a terça parte da sua capacidade total. Qual
é a capacidade total da caixa d’água de Mariana?
Objetivo: Achar o volume desta caixa d’água a partir da descoberta da equação que
representa esta situação.
Análise à priori: Almejava-se uma compreensão do problema para montar a
equação que representasse a situação descrita, além de entender o que significava
a incógnita dentro da equação e por consequência resolvê-la por um método
diferenciado, assim como foi pedido.
Análise à posteriori: 50% dos alunos, devido à semelhança dessa questão com a
anterior, tiveram mais facilidade em representar a situação descrita.
Todos
entenderam o significado da incógnita, porém apenas 25% fizeram o registro. Na
resolução os alunos conseguiram aplicar o método anteriormente usado.
03-
O professor de Luana passou uma obra clássica da literatura para ela, após a
leitura do mesmo era necessário fazer um resumo. O prazo dado foi de um mês para
entrega deste trabalho. Ela já leu
do livro e ainda faltam 72 páginas. Quantas
páginas têm este livro?
Objetivo: Encontrar o número de páginas totais do livro em questão a partir da
descoberta da equação que representa esta situação.
Análise à priori: Ansiava-se montar a equação que simulasse a situação; entender
que a incógnita significava o número total de páginas na equação e resolvê-la por
outro método diferenciado, assim como foi pedido.
Análise à posteriori: 75% não tiveram mais dificuldades para montar a equação;
25% entenderam o significado da incógnita e registraram isso, porém outros 50%
compreenderam, todavia apenas falaram e não registraram, enquanto os outros 25%
não registraram e muito menos falaram. A partir desta questão 50% dos alunos
utilizaram uma lógica pessoal que o faziam encontrar a incógnita sem muitas
tentativas utilizando o método da tentativa e erro.
51
04-
As aulas de Matemática, Ciências e Desenho Geométrico representam juntas
do número total de aulas que um aluno tem durante a semana. Sabendo que o
aluno tem 18 aulas de outras disciplinas, durante a semana. Qual o total de aulas
que um aluno assiste por semana?
Objetivo: Encontrar o número total de aulas semanais claro que descobrindo a
equação que representa esta situação.
Análise à priori: Esperava-se que representassem a situação com uma equação
correta e compreendessem que a incógnita era o número de aulas semanais e
resolvê-la por outro método, como foi pedido.
Análise à posteriori: eles não tiveram mais dificuldades para montar a equação;
todos entenderam o sentido da incógnita, mas somente 25% registraram. A partir
desta questão 50% dos alunos utilizaram novamente uma lógica que o faziam
encontrar a incógnita sem muitas tentativas utilizando o método da tentativa e erro.
b) Análise da segunda etapa:
01-
Um carpinteiro na época do dia dos namorados decidiu fazer uma caixinha de
jóias para sua namorada. Porém, ele só tinha uma tábua de 200 cm que resolveu
dividir em três partes: uma parte maior, uma parte média e uma parte menor.
Sabendo que o comprimento da parte maior mede um valor desconhecido, a média
mede três quartos da maior e a menor mede um quartos da maior. Quando mede a
parte maior, a parte média e a parte menor?
Objetivo: Achar quanto mede cada parte da tábua (maior, média e menor), a partir
da equação modeladora da equação.
Análise à priori: Almejava-se que o aluno conseguisse interpretar corretamente o
problema e assim montasse a equação para posteriormente achar quanto valia cada
parte constituinte da tábua usando primeiramente o método ensinado após o término
da primeira parte e posteriormente aplicarem o método da transposição aprendido
em sala de aula com seu respectivo professor.
52
Imagem 4: Continuação da resolução.
Imagem 3: Resolução do aluno.
Fonte: Pesquisa de Campo
Fonte: Pesquisa de Campo
Análise à posteriori: Todos os alunos conseguiram montar a respectiva equação e
compreenderam o que a incógnita significa dentro da situação. Com relação aos
métodos de resolução: todos conseguiram resolver das duas formas, porém 75%
chegaram ao mesmo resultado pelas duas formas, 100%conseguiram executar
corretamente o método da falsa posição ensinado naquela hora a eles; 25% erraram
na execução do método da transposição.
02-
Luiz foi comprar um tênis e levou apenas R$ 50,00, porém para realizar a
compra ele precisava de mais um terço do valor do tênis. Quanto custou o tênis?
Objetivo: Chegar ao valor total do tênis descobrindo a equação, por meio de dois
métodos: Falsa Posição e Transposição.
Análise à priori: Pretendia-se que o discente interpretasse corretamente o
problema e assim extraísse a equação para encontrar o valor do tênis utilizando o
método da falsa posição após aplicarem o método da transposição.
Análise à posteriori: Todos os alunos conseguiram montar a respectiva equação e
compreenderam o significado da incógnita na situação. Com relação aos métodos
de resolução: todos conseguiram resolver das duas formas corretamente.
53
03-
Carina vendeu
do seu terreno para sua irmã e ainda sobraram
.
Quanto mede a área total do terreno de Carina?
Objetivo: Obter a medida da área total do terreno de Carina a partir da equação
descoberta por eles, usando os dois métodos: Falsa Posição e Transposição.
Análise à priori: Desejava-se que o alunado interpretasse o problema e assim
extraísse a equação para achar quanto media o terreno de Carina utilizando os
métodos.
Análise à posteriori: Todos os alunos conseguiram montar a respectiva equação,
porém nenhum registrou o significado da incógnita, no entanto a compreendem
diante da situação. Com relação aos métodos de resolução: todos conseguiram
resolver das duas formas corretamente.
04-
Em um torneio de futebol, uma equipe venceu
empatou
dos jogos que disputou,
dos jogos e perdeu apenas 2. Quantos jogos a equipe disputou nesse
torneio e quantos empataram?
Objetivo: Obter o número de jogos que empataram e disputaram a partir da
equação descoberta, usando os dois métodos.
Análise à priori: Esperávamos que os alunos interpretassem o problema e
montassem a equação para achar quantos jogos foram disputados e empatados
usando os métodos.
Análise à posteriori: Todos os alunos conseguiram montar a respectiva equação,
porém nenhum registrou o significado da incógnita, no entanto a compreenderam
diante da situação. Com relação aos métodos de resolução: todos acertaram e
conseguiram executar tranquilamente o método da falsa posição, porém 50% não
conseguiram acertar a questão usando o método da transposição.
54
CONSIDERAÇÕES
Percebemos que os alunos durante a execução das duas etapas da
prática mostraram-se bastante envolvidos e interessados no que os aguardava na
segunda fase do teste, aonde viria ser revelado o novo método, ou seja, o método
da Falsa Posição. Embora em alguns momentos da primeira fase manifestassem-se
cansados, pois estavam tentando encontrar as respostas pelo método da tentativa e
erro. Na segunda parte eles mostraram-se bastante animados, até porque afirmaram
ter uma grande facilidade com proporção. No geral todos apresentaram dificuldades
em utilizar o Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C quando preciso, não sabiam nem
como começar, inventando contas sem nexo ou confundindo com a transformação
de um número misto para uma fração normal. Todos se ateram em encontrar o “x” e
se esqueceram do que realmente ele significava dentro de cada questão, isso devese ao fato do ensino tradicional enfatizar essa busca incessante pelo “x”, difundido
pelos próprios professores que buscam apenas métodos diretos, sem conduzir os
alunos á experimentação e questionar os processos.
Os alunos ficaram fascinados quando apresentados a este método,
relataram ser muito mais simples de compreender e fazer. O professor dos discentes
relatou que não ensinou este método apesar de ser mais fácil por não ter tido
contato com o mesmo em sua formação acadêmica.
Em relação a isto, Chimentão (2009) atenta para a importância de uma
formação continuada, porque esse fato pode contribuir significativamente para uma
melhora na educação, o tornando mais reflexivo a partir do momento que tem
contato com novas concepções, metodologias, entre outros.
No geral, o objetivo do trabalho foi alcançado. Os alunos compreenderam
a resolução diferenciada (Método da Falsa Posição) de equação do primeiro grau e
a consideraram um método muito interessante e fácil de compreender.
55
REFERÊNCIAS
ABRANTES, P. et.al. A natureza da Matemática. Lisboa, 1997. Disponível em:
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/fdm/textos/Ponte-Boavida-GracaAbrantes(Cap2-Natureza).pdf acessado em 01 de Novembro de 2013 às 14:01.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC/SEF, 1998.
CHIMENTÃO, L.K. O significado da Formação Continuada Docente. Paraná, 2010.
Disponível
em:
http://www.uel.br/eventos/conpef/conpef4/trabalhos/comunicacaooralartigo/artigocom
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57
ANEXOS
58
ANEXO A – 1ª parte do questionário de equações do primeiro grau.
59
60
ANEXO B – Resolução de um aluno A.
61
62
63
64
65
66
ANEXO C – Resolução de outro aluno B.
67
68
69
ANEXO D – Resolução do Aluno C.
70
71
72
73
ANEXO E – Resolução do Aluno D.
74
75
76
ANEXO F – 2ª parte do questionário aplicado.
77
78
ANEXO G – Resolução do aluno A.
79
80
81
82
ANEXO H- Resolução do aluno B.
83
84
85
ANEXO I – Resolução do aluno C.
86
87
ANEXO
J
–
Resolução
do
aluno
D.
11
12
13
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais da Educação
Curso Licenciatura em Matemática
Tv Djalma Dutra, (91) 3244-8957
Belém-PA

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