Núcleo Atómico Propriedades fundamentais

Núcleo Atómico
Propriedades fundamentais
Descoberta do núcleo atómico
• dispersão de Rutherford - dispersão de partículas α por ouro
partículas ocasionalmente retro-dispersadas
partículas α rápidas, massivas fi energéticas
probabilidade de retro-dispersão por múltiplos pequenos
centros difusores muito pequena
• interpretação de Rutherford – partículas α dispersadas por um
centro difusor
muito pequeno comparado com a dimensão do átomo
contendo a grande parte da massa do átomo
com grande carga eléctrica
fi descoberta do núcleo atómico
1
Partículas α da dispersão de Rutherford
• feixe de partículas com energia cinética: E k ≈ 5.5MeV
 E rep = mα c 2 = 3730MeV
• 
 E k ≈ 5.5MeV
E 2 = m c 2 2
α
 rep
 E = E rep + E k
 2
2
2
 E = ( pc ) + mα c
(
•
)
(
• λ=
hc
pc
=
⇒ ( pc ) = E k (E k +2E rep )
2
) = ( pc)
2
hc
E k (E k +2 E rep )
2
≈ 6fm
2
+ E rep
da ordem de grandeza
da dimensão nuclear
comprimento de onda associado à partícula α
2
Secção eficaz da dispersão de Rutherford
• pressupostos
interacção puramente Coulombiana
partículas projéctil e alvo sem estrutura interna
dispersão elástica
desprezada a dinâmica do alvo
• secção eficaz não relativistade dispersão elástica é
dσ
=
1
p'α2
dΩ lab 4π 2 h 4 vα v 'α
rr
r
r
iq⋅r
3
I ( q ) = ∫ d re V ( r )
mα2 ← dispersão elástica
r
I (q )
2
aproximação
de Born
r
r
r
q = ( pα − p'α ) /h - momento transferido
vα - velocidade incial da partícula α ; v 'α - velocidade final da partícula α
p 'α - momento linear final da partícula α
3
Secção eficaz da dispersão de Rutherford
rr
r
iq⋅r
3
I (q ) = ∫ d re V (r ) = ∫ d 3 r V (r ) ∑ 4π i l jl (qr )Y * (qˆ )Y (rˆ)
lλ
lλ
lλ
sin(qr )
l
*
2
ˆ
ˆ
= ∑ 4π i Y (q ) ∫ jl (qr )V (r )r dr ∫ Y (r )dΩ = 4π ∫
V (r )r 2 dr
lλ
lλ243
14
qr
lλ
⇒ 4π δ l 0δ λ 0
potencial de Coulomb
V (r ) = lim V0
γ →0
e2
4πε 0
e−γ r
r
fi
r
1
I (q ) = V0 lim
⇒
2
2
γ → 0q +γ
Zα Z a
partícula α
alvo
dσ
dΩ lab
 mα
= 
 2πh 2



2


1
V0 4π


q 2 

2
4
Secção eficaz da dispersão de Rutherford
α=
r
q=
e2
4πε 0 hc
r
r
pα − p'α
E kin =
- constante de estrutura fina
⇒ q2 =
pα2 + p'α2 −2 pα p'α cos θ
h
p2
h
2
dΩ lab
h2
pα = p’α - dispersão elástica
2mα
dσ
=
4 pα2 sin 2 θ / 2
=α
2
 hc
Zα Z 
E
 kin
2
2
a




2


1


 2 sin(θ / 2) 


4
• quanto < é Ekin mais tempo sofre a acção do potencial > é a secção eficaz
• distribuição angular: assinatura do potencial de Coulomb de alcance ¶
• aproximação drástica : partículas sem estrutura
5
Números A, Z e N
• Z – nº atómico = nº de protões; sendo = ao de electrões do seu
átomo define o elemento químico
• N – o nº de neutrões
• A =Z +N – o nº de massa = nº total de nucleões
• núcleo representado por ZA X onde X é o símbolo químico do
elemento correspondente.
Ex:
56
26
Fe - ferro com 26 protões, 30 neutrões e 56 nucleões
• núcleos com o mesmo A chamam-se isóbaros
• núcleos com o mesmo Z chamam-se isótopos
• núcleos com o mesmo N chamam-se isótonos
• ambundância natural dos isótopos depende da sua estabilidade
Ex: 11C , 12C , 13C ,14C
6
6
6
{
{
98% 1.1%
6
6
Núcleo : conjunto compacto de Z protões e N neutrões:
• ligados através da interacção nuclear de curto alcance
fortemente atractiva para distâncias ~ 1 fm
fortemente repulsiva para distâncias < 0.5 fm
• com repulsão coulombiana entre protões
Carga Q=Ze
massa do neutrão
Massa e energia de ligação M ( A, Z ) = Zm p + (1
A − Z )mn + E ( A, Z )
23
massa do protão
N
energia de ligação valor próprio de H
A − Z )mn ⇒ E ( A, Z ) < 0
M ( A, Z ) < Zm p + (1
23

• 
N
quanto maior for B(A,Z)/A - mais
B( A, Z ) = − E ( A, Z ) > 0

estável é o núcleo
7
“Modern Physics”, Serway, Moses & Moyer, 2005
Gráfico de Segré
núcleos leves maior
estabilidade para N=Z
núcleos mais pesados
maior estabilidade para N > Z.
Porque:
Z cresce fi repulsão de
Coulomb cresce e são
Linha de estabilidade
necessários mais neutrões
para se obter mais atracção
e, assim, estabilidade
Não se conhecem núcleos estáveis para Z > 83
8
Picos de estabilidade
Energia de ligação por nucleão
B/ A
max
≈ 8.7MeV para A ≈ 60
B / A ≈ 7.6 MeV para
238
92
U
B/A cresce com A para núcleos leves
B/A decresce com A para núcleos pesados
Em grande parte da Tabela Periódica
B/A~constante
“Nuclear and Particle Physics”, W.S.C. Williams, 1991
9
Núcleos leves
• B/A cresce com A fi fusão de 2 núcleos liberta energia
2
2
4
γ{
• exemplo: {
1H + {
1H → {
2 He +
α energia
d
d
2{m p + mn − 2[B / A]A = 2 }− {2m p + 2mn − 4[B / A]A = 4 } = 4[B / A]A = 4 − 4[B / A]A = 2 > 0
1444
424444
3 14444244443
inicial
final
Núcleos pesados
• B/A decresce com A fi fissão de 1 núcleo liberta energia
141
92
1
• exemplo: 01n + 235
U
→
Ba
+
Kr
+
3
92
56
36
0n
[
]
mn + 92m p + (235 − 92)mn − 235[B / A]A = 235 −
144444444244444444
3
inicial
{13m4n 4
+ 56m p + (141 − 56)mn − 141[B / A]A=141 + 36m p + (92 − 36)mn − 92[B / A]A = 92 } =
4444444444444424444444444444444
3
final
141[B / A]A =141 + 92[B / A]A = 92 − 235[B / A]A = 235 > 0
10
[
] [
]
Modelo da Gota Líquida
• núcleo esférico
• nucleões comportam-se como moléculas numa gota líquida
• força nuclear fortemente atractiva e de curto alcance fi nucleões
ocupam uma pequena região do espaço – análoga à força de
Wan-der-Walls
força nuclear repulsiva a curtíssimas distâncias fi nucleões não
colapsam – análoga à força de Wan-der-Walls
• densidade nuclear aproximadamente constante e independente
de A
• fórmula semi-empírica de massa
2
2
Z
(
N
−
Z
)
B( A, Z ) = aV A − aS A3 2 − aC 1 3 − a A
+ δ ( A, Z )
A
A
11
termo de volume aV A
• cada nucleão inteiramente rodeados de outros
• cada nucleão só interage com os 1ºs vizinhos fi ∂ A → saturação
da força nuclear
relacionada com o curto alcance da força nuclear
explica que a densidade seja independente de A: nº de 1ºs
vizinhos é sempre o mesmo
termo de superfície − aS A2 / 3
• negativo e diminui a energia de ligação
• introduz efeitos de superfície – análogo à tensão superficial –
nucleões perto da superfície não estão inteiramente rodeados de
outros
1/ 3
1/ 3
R
∝
A
•
- na gota líquida R ∝ n
⇓
R 2 ∝ A2 / 3
termo de superfície
nº de moléculas
12
termo de Coulomb − aC Z 2 / A1/ 3
• negativo e diminui a energia de ligação
• tem em consideração a repulsão de Coulomb entre protões
• análogo à energia de Coulomb de uma distribuição esférica de
carga ∝ Q 2 / R1/ 3
termo de assimetria − a A ( N − Z ) 2 / A
• negativo e diminui a energia de ligação
• com os restantes factores iguais, a maior estabilidade dá-se para
N=Z
a p A−1/ 2 - núcleos par - par

termo de emparelhamento δ ( A, Z ) = 0 - núcleos ímpar
− a A−1/ 2 - núcleos ímpar - ímpar
 p
• nucleões do mesmo tipo emparelham-se, estas configurações
são mais favoráveis
Nota: este emparelhamento não parece ocorre nos núcleos leves, onde a simetria do
13
isospin é uma simetria importante
Energia de ligação por nucleão
Nuclear and Particle Physics, W.S.C. Williams1991
14
Números mágicos
• dados experimentais: picos de estabilidade quando Z ou N são
2, 8, 20, 28, 50, 82, 128 → nºs mágicos
• núcleo mágico - Z ou N mágicos
• núcleo duplamente mágico - Z e N mágicos
• modelo em camadas permite explicar os nºs mágicos
• evidências experimentais dos nºs mágicos
1. picos de estabilidade visíveis em B(A,Z)/A
2. energias de separação de neutrões e protões é
excessivamente alta em núcleos mágicos
3. núcleos com Z(N) mágicos têm mais isótopos(isótonos)
4. elementos químicos com Z mágico têm maiores
abundâncias naturais
5. núcleos com N mágico têm secções eficazes de absorção de
neutrões muito mais baixas
6. energia de excitação do 1º estado excitado de núcleos
15
duplamente mágicos é muito grande
Spin
• spin do núcleo resulta do acoplamento
dos spins intrínsecos do nucleões – s=1/2 – para S total
dos momentos angulares orbitais dos nucleões para L total
de L com S
ou do acoplamento
do momento angular orbital e spin intrínseco de cada nucleão
para j
de todos os j’s
• esquema impraticável para muitos nucleões MAS
• núcleos grandes: nucleões do mesmo tipo emparelham-se: com o
mesmo momento angular orbital e acoplam os seus j’s para zero fi
núcleos par-par: spin total nulo
núcleos ímpar-par: spin total dado pelo j do nucleão
desemparelhado
núcleos ímpar-ímpar: spin total dado pelo acoplamento dos j’s
16
dos nucleões desemparelhados
Paridade
• núcleo estado ligado de núcleos através da interacção forte
• interacção forte conserva a paridade ¤ interacção forte comuta
com o operdor paridade fi
• estados próprios do Hamiltoniano são estados próprios do
operador paridade fi
• núcleos têm paridade bem definida
• nucleões fermiões de paridade intrínseca positiva fi
• paridade do nucleão = (-1)l,l = momento angular orbital fi
núcleos par-par: paridade positiva – existem sempre 2
nucleões com o mesmo l
núcleos ímpar-par: paridade dada pela paridade do nucleão
desemparelhado
núcleos ímpar-ímpar: paridade dada pelo produto das
paridades dos nucleões desemparelhados
17
Dimensão e forma nucleares
• dispersão de electrões e factores de forma
secção eficaz de dispersão elástica de electrões
massa do electrão
2
 me 
r 2


= σ (θ ) = 
I (q )
carga do electrão

2
dΩ lab
 2πh 
rr
r
r
r
r
iq⋅r
3
I (q ) = ∫ d re V (r ) ; V (r ) = (− e )φ (r )
dσ
Teorema de Gauss
rr
rr
rr
r
r
r
r
e
e
iq⋅r
iq⋅r
3
3
2 iq ⋅r
3
2
I (q ) = ∫ d re V (r ) =
d r∇ e
φ ( r ) = ∫ d re ∇ φ ( r )
∫
q2
q2
(
)
(
)
densidade da distribuição de
cargas que gera orpotencial
r
ρ (r )
∇ 2φ (r ) = −
ε0
Equação de Poisson
rr
r
r
e
iq⋅r
3
I (q ) = −
d
r
e
ρ
(
r
)
∫
ε 0q 2
18
Dimensão e forma nucleares
• dispersão de electrões e factores de forma
factor de forma: transformada de Fourier da densidade de carga
2
rr
r
r
r
r
1
Ze
iq⋅r
3
F (q ) =
d re ρ (r ) ⇒ I (q ) = −
F (q )
∫
2
Ze
ε 0q
carga total da distribuição de cargas
se a distribuição de cargas for pontual
r
r
r
r
Ze 2
ρ (r ) = δ (r ) ; V (r ) = −eφ (r ) = −
4πε 0 r
r
; F (q ) = 1
expressão final para a secção eficaz
 me 

σ (θ ) = 
2
 2πh 
2
2
 Ze2 

 F (qr) 2 →
 ε q2 
q = 2 p / h sinθ / 2
 0 
19
2
 Zα hc  F (qr) 2
r


σ (θ ) =
⇔ σ (θ ) = σ (θ ) pontual F (q)
 E  (2sinθ/2)4
 kin 
2
secção eficaz de Rutherford substituíndo
a partícula α pelo electrão
factor de forma – correcção decorrente
da estrutura interna do alvo
• limite dos baixos momentos transferidos
r
lim F (q ) = 1 ⇒ σ (θ ) = σ (θ ) pontual
q→0
estrutura interna do alvo não se
manifesta ; sonda não “vê” a
estrutura interna do alvo
• à medida que q cresce, a natureza oscilatória do factor de forma
reduz a secção eficaz
20
Dispersão elástica
αN
10 MeV
Descoberta do núcleo
Núcleo pontual
σ (θ ) = σ (θ ) pontual
cosθ
eN
100 MeV
Observação da
estrutura nuclear
σ (θ ) < σ (θ ) pontual
cosθ
Protão pontual
σ (θ ) = σ (θ ) pontual
ep
small angle
cosθ
21
Dispersão elástica
1 GeV
descoberta da
estrurura do protão
σ (θ ) < σ (θ ) pontual
ep
θ grande
cosθ
10 GeV
descoberta dos
quarks
eq σ (θ ) = σ (θ ) pontual
cosθ
100 GeV
qq σ (θ ) = σ (θ ) pontual
quark pontual
cosθ
22
EXEMPLOS DE FACTORES DE FORMA
densidade isotrópica
rr
r
r
1
4π 2
iq⋅r
3
ρ ( r ) = ρ ( r ) ⇒ F ( q ) = ∫ d re ρ ( r ) =
r drj0 (qr ) ρ (r )
∫
Ze
Ze
1
1
q2 1
3
3
2
j0 (qr ) = 1 − (qr ) 2 + L ⇒ F (q 2 ) =
ρ
(
)
−
ρ (r )
d
r
r
d
r
r
∫
∫
6
Ze4
Ze442443
1
4244
3 6 1
=1
r2
F (q 2 ) = 1 −
q2
r 2 + L fi quanto mais extenso é o alvo mais
6
rápido é o decaimento de F(q2)
fi F(q2) apresenta máximos e mínimos da difracção do feixe
incidente pelo alvo
23
EXEMPLOS DE FACTORES DE FORMA
densidade isotrópica
r
2
= −6
d 2 F (q 2 )
dq 2
q 2 =0
• retirando o factor de forma da secção eficaz para núcleos pesados
obteve-se
r 2 = 0.94 A1/ 3fm
• se o núcleo for esférico e homogéneo
ρ=
Ze
⇒ r2 =
1
3 2
3
2
d
r
r
r
R
ρ
=
(
)
∫
Ze
5
4 / 3πR 3
5 2
2
⇒ R = r ⇒ R = 1.21A1/ 3fm
3
24
EXEMPLOS DE FACTORES DE FORMA
ρ (r )
ρ0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
r
ρ ( r ) = ρ 0θ( r − R )
25
FACTORES DE FORMA
F (q)
F (0)
2
1
R = 2 fm
R = 5 fm
R = 10 fm
0.01
10-4
10-6
10-8
10-10
1
 ρ 0 para r ≤ R
ρ (r ) = 
0 para r > R
2
3
4
q
∞
F (q) = ∫ r 2 j0 (qr ) ρ (r )dr
0
26
FACTORES DE FORMA
ρ (r )
ρ0
1.0
R = 4.1 fm
d = 0.7 fm
0.8
R – raio a meia altura
d– espessura da superfície
0.6
R
0.4
0.2
2
4
6
8
10
r
ρ (r ) =
ρ0
1+ e
r −R
d
Função de Saxon Wood
∞
F (q) = ∫ r 2 j0 (qr ) ρ (r )dr
0
27
FACTORES DE FORMA
F (q)
F (0)
2
R = 4.1 fm
d = 0.7 fm
0.01
10-5
10-8
10-11
1
ρ (r ) =
ρ0
1+ e
r −R
d
2
3
4 q
∞
F (q) = ∫ r 2 j0 (qr ) ρ (r )dr
0
28
Dispersão elástica
de electrões por
ouro
σ (θ )
carga pontual
Ekin=135MeV
θ
“Nuclear and Particle Physics”, Burcham and Jobes, 1995
29
Correcções relativistas
σ (θ ) =
2π 1
ρ (E p )
h Fp
1
∑
gp
m pm p '
r
r
pp ' mp ' T ppmp
2
• na densidade de estados
ρ (E p ' ) =
V
2
(2πh )
3
p '
p
dp p '
dE p '

NR →
=
=
=
= vp '

dp p ' dp p ' 2m m
m

⇔
2
dE p '
mγv p ' 2
d
p' c
2 4
2 2
m c + p' c =
R→
c = v p '
=
=

dp p ' dp p '
E'
mγc 2

2
V pp '
a mesma nos 2 contextos
ρ (E p ' ) =
3
(2πh ) v p '
dE p '
d
p 2p '
p' p
mv p '
30
spinores de Dirac
• nos estados de spin
r
1
m p → u ( p, m p ) ⇒
∑
g p m pm p '
{
=2
r
r
pp ' mp ' V ppmp
2
electrões
2




2
r
r
θ
1
v
= I (q 2 ) ∑ u + ( p ' , m' p )u ( p, m p ) = I (q 2 ) 1 −   sin 2 
 c
2 m pm p '
2 

depende do quadrado
σ (θ )
do 4-momento
NR
64444
474
4444
8
 hc 
σ (θ ) = Z α 

 Ekin 
2
2




v
2
2
1 −   sin 2 θ  F (q 2 )
4
 
2 

θ   c
 2 sin 
 422444444443
14444444
σ (θ ) Mott
1
2
secção eficaz da dispersão relativista de electrões deprezada a
estrutura e dinâmica do alvo
31
Correcções relativas à dinâmica do alvo
σ (θ ) = σ (θ ) Mott
E' p
2
F (q )
2
Ep
142
4 43
4
σ (θ )
Mott c/ recuo
Se o alvo tiver spin 1/2


2θ
σ (θ ) = σ (θ ) Mott c/ recuo 1 + 2τ tan  F (q 2 )
2

q2
τ =−
4ma2 c 2
2
32
MOMENTOS MULTIPOLARES DOS NÚCLEOS
momento dipolar magnético
r
partícula
r de massa m, carga q, momento angular orbital L e
spin S tem um momento magnético
em unidades Ñ
r
r
qh
µ = µL + µS =
gL L + gS S
2m
r
r
r
(
)
-Factor de Landé – depende fortemente
da estrutura interna da partícula
- Partícula de Dirac – gs@ 2
interage com o campo magnético atraves de
H int
r r
= −µ ⋅ B
33
• momento dipolar magnético do electrão – partícula de Dirac, sem
estrutura interna, q=-e, massa me e spin 1/2
r
r
µ = µL + µS = −µB L + g S S
r
Magnetão
de Bohr
r
µB =
r
eh
(
)
;
g S = 2.00232
= 9.274 × 10 − 24 JT −1 = 5.788 × 10 −11 MeVT −1
2me
• momento dipolar magnético do protão – partícula com estrutura
interna, q=e, massa mp e spin 1/2
r
r
r r
r
µ = µ L + µ S = −µ B L + g S S
(
Magnetão
de Bohr
µN =
eh
)
;
g S = 5.5856
= 5.051 × 10 − 27 JT −1 = 3.152 × 10 −14 MeVT −1
2m p
• momento dipolar magnético do neutrão – partícula com estrutura
interna, sem carga, massa mn e spin 1/2
r
r r
r
µ = µL + µS = −µB g S S ;
g S = −3.8261
34
• momento dipolar magnético do núcleo de spin J e descrito pelo
JM
ψ
estado quântico
µ J = ψ JJ µ 0 ψ JJ
r
A
µ 0 = µ z de µ = µ N ∑
r
r
g L Li + g S S i
(
i =1
i
i
)
1 para protões
5.5856 para protões
gL 
; gS 
i 0 para neutrões
i − 3.8261 para neutrões


Teorema de Wigner Eckart fi valor médio só é diferente de
zero para J ¥ 1/2
núcleos para-par, J=0, tem µJ=0
35
momentos multipolares eléctricos
momento multipolar eléctrico de ordem l de um do núcleo de spin J
e descrito pelo estado quântico
ψ JM
Z
Ql = ψ
JJ
r
r
r 3
1
JJ
JJ
Qlλ (ri ) ψ
= ∫ ρ carga (r )Qlλ ( r ) d r
∑
i =1
e
r
Qlλ ( ri ) = cl r lYlλ (rˆi )
• momento monopolar eléctrico
Q0 =
1
ρ
∫
e
JJ
carga
r
r 3
r 3
1
Ze
JJ
( r )Q00 (r ) d r = ∫ ρ carga (r )d r =
⇒ eQ0
e
e
r
Q00 ( r ) = 1
carga do núcleo
36
• momento multipolares eléctricos ímpares são nulos porque a
funções de onda têm paridade bem definida
Z
Ql = ∑ ∫ψ
JJ +
r r
r
r r
r
l
JJ r r
ˆ
(r1 , r2 ,L , rA )cl ri Ylλ (ri )ψ ( r1 , r2 ,L, rA )dr1 L drA
i =1
Z
r r
r 2 l
r
r
= ∑ cl ∫ ψ (r1 , r2 ,L , rA ) ri Ylλ ( rˆi )dr1 L drA
144
42444
3{
i =1
ímpar
par
=0
JJ
• momento quadripolar eléctrico
r
16π 2
Q20 (r ) =
r Y20 ( rˆ) = 3 z 2 − r 2 ⇒
5
16π
Q2 =
=
Z
ψ
JJ
5
i =1
1 16π
e
2
JJ
ˆ
ψ
r
Y
(
r
)
∑ i 20 i
5
∫ρ
JJ
carga
r 2
r
1
3
JJ
ˆ
(r ) r Yl 0 (r )d r = ∫ ρ carga ( r )(3 z 2 − r 2 )d 3 r
e
37
• momento quadripolar eléctrico
Q2 =
16π
5
Z
ψ
JJ
∑ ri Y20 (rˆi ) ψ JJ
2
i =1
Teorema de Wigner Eckart fi valor médio só é diferente
de zero para J ¥ 1
núcleos com J < 1 tem momento quadripolar eléctrico
nulo
necessárias componentes na função de onda com L=0,2
para que o momento quadripolar eléctrico seja não nulo
38
momento quadripolar eléctrico nulo
Q2 = 0 ⇔ r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 3 z 2 ⇔ x 2 = y 2 = z 2
distribuição de carga média é isotrópica
momento quadripolar eléctrico positico
Q2 > 0 ⇔ r 2 < 3 z 2
maior presença média do protões junto ao
eixo dos ZZ – núcleo assume a forma prolate
momento quadripolar eléctrico positico
Q2 > 0 ⇔ r 2 > 3 z 2
maior presença média do protões junto ao
plano XY – núcleo assume a forma oblate
39
Eixo dos ZZ – eixo de quantificação
eixo de quantificação
Q>0
Q<0
eixo de quantificação
forma prolate
forma oblate
40