Imprimir artigo

Anais do I Simpósio Interdisciplinar de Tecnologias na Educação [SInTE] – IFSP Câmpus Boituva
24 a 26 de junho de 2015 – Boituva SP – Capital Nacional do Paraquedismo
Estudo sobre Modelos Matemáticos em Dinâmica
Populacional
Juliana Fernandes, Fernando Luiz Pio dos Santos
Departamento de Bioestatística – Universidade Estadual “Júlio de Mesquita Filho”
(UNESP) – Botucatu – SP - Brasil
[email protected], [email protected]
Abstract. This work has the goal of study of the classical continuos and
discrete mathematical models in population dynamics. In order to obtain a
good and a wide analysis to the results in this study, we used the assistance of
software of algebraic manipulation MAPLE and MS-Excel, which offer us
resources that help in models solution and graphics. We also extended this
study in the tumor growth problem.
Resumo. Este trabalho tem como objetivo estudar modelos contínuos e
discretos em problemas clássicos em dinâmica populacional. Afim de obter
uma ampla e boa análise dos resultados neste estudo, nós usamos a
assistência do software de manipulação algébrica MAPLE, bem como o MSExcel, que nos oferecem ferramentas que auxiliam na solução dos modelos e
construção de gráficos. Nós também estendemos esse estudo em problemas de
crescimento tumoral.
1. Introdução
A utilização da matemática para descrever o crescimento populacional começou com o
economista inglês Thomas Robert Malthus, com a publicação de sua obra An Essay on
the Principle of Population em 1798 [Bassanezi, Rodney. C. ]. Seu modelo propõe uma
população homogênea que não sofre inibições do meio, atingindo uma taxa de
crescimento exorbitante em um curto período de tempo. Após Malthus, a modelagem
matemática evoluiu e sofreu diversas modificações em relação ao crescimento
populacional. Em 1838, um novo modelo é proposto pelo sociólogo belga P. F.
Verhulst. Em seu modelo a população esta suscetível a sofrer inibições no decorrer de
seu crescimento. Estudaremos aqui modelos de tempo contínuo, onde se supõe uma
reprodução constante. Concluíremos com um exemplo de modelo discreto que será
ajustado pelos modelos contínuos exponencial e polinomial.
2. Modelos Matemáticos
Na matemática, tanto no campo contínuo, quanto no discreto, recursos computacionais
são importantes para obtenção das soluções analíticas, bem como a numérica,
respectivamente. Comparações entre estas duas soluções podem ser feitas, com vistas na
explicação, por exemplo, do problema biológico de interesse, no caso aqui, em dinâmica
populacional e crescimento de tumores.
2.1 Modelo Exponencial
Neste modelo, o crescimento populacional no instante t se dá por
74
Anais do I Simpósio Interdisciplinar de Tecnologias na Educação [SInTE] – IFSP Câmpus Boituva
24 a 26 de junho de 2015 – Boituva SP – Capital Nacional do Paraquedismo
P(t ) = P0e rt
(1)
sendo P0 a população inicial, o termo e rt a função exponencial, e r a taxa de
crescimento populacional, se r  0 ; decrescimento (ou decaimento), se r  0 e constante,
se r  0 . As Figuras 1 e 2 a seguir ilustram o comportamento deste modelo nos casos de
crescimento e decrescimento.
(a) População Crescente
(b) População Decrescente
Figura 1: Modelo exponencial (1). (a) Parâmetros:
Parâmetros:
,
,
(decaimento) e
;
. (b)
.
2.2 Modelo Logístico
Aqui o crescimento/decrescimento populacional se dá por
(2)
sendo que P0 se refere à população inicial, K é o carrying capacity (capacidade do
meio), e  rt a função exponencial com a taxa de variação do crescimento/decrescimento
r no tempo t . A Figura 2 abaixo ilustra a variação da populacional seguindo este
modelo.
75
Anais do I Simpósio Interdisciplinar de Tecnologias na Educação [SInTE] – IFSP Câmpus Boituva
24 a 26 de junho de 2015 – Boituva SP – Capital Nacional do Paraquedismo
Figura 2: Crescimento de uma população no modelo logístico. Dados:
,
,
e
.
2.1.3 Modelos de crescimento tumoral
Entender a dinâmica do crescimento de um tumor pode nos ajudar a desenvolver
melhores prognósticos e planos de tratamento para pacientes doentes [Xu,X.]. O modelo
matemático de crescimento tumoral ideal, que seja mais próximo da situação-problema
real deve ter [Vaidya,V e Alexandro, Jr. F.]:
i. Base fisiológica;
ii. Proporcionar uma melhor compreensão do tumor em níveis microscópicos e
macroscópicos;
iii.
Deve ser amplo, no sentido em que deve ser aplicado para diferentes pacientes
incluindo animais com o mesmo tipo de tumor.

Modelo de Von Bertalanffy
Na metade do século XX, Ludwing Von Bertalanffy propôs um modelo de
tempo contínuo geral de crescimento tumoral. Para os tumores, o tamanho pode ser
medido pelo volume, biomassa ou quantidade de células. O volume V (t ) do tumor no
instante t é calculado aqui por:
(3)
sendo e constantes. A Figura 3 abaixo descreve a variação do volume do tumor ao
longo do tempo, segundo este modelo.
76
Anais do I Simpósio Interdisciplinar de Tecnologias na Educação [SInTE] – IFSP Câmpus Boituva
24 a 26 de junho de 2015 – Boituva SP – Capital Nacional do Paraquedismo
Figura 3: Crescimento tumoral pelo modelo de Von Bertalanffy. Parâmetros do
modelo:

e
V0 = 100 .
Modelo de Gompertz
Em 1825, o matemático inglês Benjamin Gompertz propôs um novo modelo de
crescimento tumoral logístico, cujo conceito de carrying capacity tem uma perspectiva
diferente da vista anteriormente. Isto é, leva em conta que o ambiente é rico em
recursos. Porém, a utilização deste recurso dependerá da localização de cada célula
dentro do tumor. Assim, a célula que estiver mais próxima da superfície exterior terá
mais acesso ao oxigênio e aos nutrientes (recursos), enquanto as células que estiverem
mais ao interior possuíram mais dificuldades de alcançar tais recursos. Em resumo, a
equação de Gompertz é motivada pela consideração de crescimento em ambientes que
limitam os recursos naturais. Equação (4) abaixo descreve o crescimento/decrescimento
do volume V do tumor no instante t segundo Gompertz, cujo gráfico pode ser visto na
Figura (4) abaixo.
(4)
77
Anais do I Simpósio Interdisciplinar de Tecnologias na Educação [SInTE] – IFSP Câmpus Boituva
24 a 26 de junho de 2015 – Boituva SP – Capital Nacional do Paraquedismo
Figura 4: Crescimento tumoral pelo modelo de Gompertz. Parâmetros do modelo:
a = 5, b =
1
, V0 = 10 e t = 60 .
2
Como comparação, a Figura (5) abaixo mostra o crescimento tumoral, segundo o
tamanho do seu volume ao longo do tempo, segundo os modelos de Von Bertalanffy e
Gompertz.
Figura 5: Comparação entre os gráficos obtidos a partir do modelo de Von Bertalanffy e
Gompertz.
O uso de modelos auxilia no diagnóstico médico para descrever a evolução do
tumor, sendo assim possível para o profissional analisar se o orgão esta seriamente
afetado ou se ainda é possível recorrer a tratamentos adequados. O modelo de Gompertz
é basicamente empregado em situações de tumores agressivos em que por ora antige um
valor máximo que o organismo pode suportar, uma vez que este modelo considera a
78
Anais do I Simpósio Interdisciplinar de Tecnologias na Educação [SInTE] – IFSP Câmpus Boituva
24 a 26 de junho de 2015 – Boituva SP – Capital Nacional do Paraquedismo
capacidade do meio. De uma forma geral, não há um modelo que seja satisfatório para
todos as possíveis situações, depende fortemente da caracteristica do problema
estudado. Por exemplo, o modelo de Von Bertalanffy têm apresentado grande empenho
em aplicações no crescimento de tumores em ratos [Vaidya,V e Alexandro, Jr. F.]. O
importante é ter o amplo conhecimento das características específicas do fenômeno
estudado (biológico, físico ou químico, etc.) para a decisão sobre qual o melhor modelo
matemático que poderá trazer bons resultados..

Modelo discreto
Para não deixar de ilustrar um modelo de tempo discreto, em contrapartida aos
modelos de tempo contínuo apresentados anteriormente, foi desenvolvido o estudo
abaixo. Tal estudo consiste em, dado a evolução anual de uma certa população P,
representar o comportamento desta população, em termos de crescimento ou
decrescimento, segundo algum modelo matemático. Na Figura (6) a seguir é possível
ver a evolução temporal de P, levando-se em conta os dados da Tabela (1)
t (anos)
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
P(t)
3929
5308
7240
9638
12861
17064
23192
31443
38558
50189
62980
76212
92228
106021
123203
132165
151326
179323
203302
226456
255712
Tabela 1: População anual de uma certa cidade [2].
O gráfico que representa a Tabela (1) anterior pode ser visto na Figura (6) a
seguir. Note neste gráfico que o modelo contínuo polinomial (linha vermelha) é o que
melhor se aproximou da curva discreta de P, em comparação com o modelo
exponencial (linha preta).
79
Anais do I Simpósio Interdisciplinar de Tecnologias na Educação [SInTE] – IFSP Câmpus Boituva
24 a 26 de junho de 2015 – Boituva SP – Capital Nacional do Paraquedismo
Figura 6: Evolução no tempo discreto da população P. Linha vermelha é o modelo de
ajuste contínuo exponencial da população ao longo do tempo; Linha preta é o modelo
contínuo polinomial ajustando o mesmo conjunto de dados.
4. Conclusões
1. Taxa de crescimento
negativa, demonstra o decaimento populacional;
2. A população se torna constante após atingir o limite do carrying capacity
;
3. No problema de crescimento tumoral, observa-se que o modelo de Gompertz
apresenta um crescimento muito rápido do volume do tumor em um curto
período de tempo. O modelo de Bertalanffy apresenta crescimento mais lento, se
comparado com o modelo de Gompertz
4. Ambos os modelos de crescimento tumoral levam em conta a capacidade do
meio, mantendo-se constante após atingir o limite dessa capacidade;
5. Modelos contínuos podem servir de ajuste a dados discretos.
6. O modelo polinomial de grau 2 forneceu o melhor ajuste para o crescimento
populacional discreto, se comparado ao modelo exponencial.
5. Agradecimentos
Nós agradecemos ao CNPq/PIBIC-Jr. pelo apoio financeiro.
Referências
Ludwig, Lewis. D. (2010). Discrete vs. continuous population models. Computational
science, University National Science Foundation.
Iannelli, M. e Pugliese, A. (2013). Mathematical Biology, notes from the blackboard,
Universit`a di Trento; Dipartimento di Matematica, (2013).
Bassanezi, Rodney. C. Modelagem Matemática., Minicurso: UFABC, (2013).
80
Anais do I Simpósio Interdisciplinar de Tecnologias na Educação [SInTE] – IFSP Câmpus Boituva
24 a 26 de junho de 2015 – Boituva SP – Capital Nacional do Paraquedismo
Vaidya, Vinay. G. and Alexandro, Jr. F. J., Evaluation of some mathematical Models
for Tumor Growth,
Department of Electrical Engineering,
University of
Washington Seattle, WA 98195 (U.S.A.); (Received 21 April, 1981).
Xu, X., The Biological Foundation of the Gompertz Model, Shanghai Medical
Universify, Shanghai Zoo032 (China)., Int. J. Bio-Medical., Computing, 20 (1987)
35-39, Elsevier Scientific Publishers Ireland Ltd.
Mahaffy, J. M.; Chávez- Ross, A. Calculus: A modeling approach for the life sciences.
(2004).
Da Costa, I. M. Salvador, J.A.; Malagutti, P. L.; Paterlini, R., Furuya, Y. Baldin, Y.
Matemática Universitária básica com maple V. Editora da Ufscar.
81