Lista de exercícios 03

CÁLCULO 2 :: LISTA DE EXERCÍCIOS 03
PROF. TIAGO MACEDO
Exercı́cio 1. Neste exercı́cio vamos mostrar que uma determinada função é diferenciável.
(a)
(b)
(c)
(d)
(?)
Escreva uma função f : R2 → R não constante e diferenciável no ponto (0, 0).
Escreva a definição de diferenciabilidade.
Calcule ∂f
(0, 0) e ∂f
(0, 0).
∂x
∂y
Mostre que f é diferenciável no ponto (0, 0), calculando o limite
f (a + h, b + k) − f (a, b) − (uh + vk)
√
,
h2 +k2 →0
h2 + k 2
∂f
(0,
0),
(0,
0)
.
com (a, b) = (0, 0) e (u, v) = ∂f
∂x
∂y
√
lim
Conclusão: Pelo cálculo do item (d) e pela definição do item (b), a função f é diferenciável em (0, 0).
Exercı́cio 2. Considere a função G : R2 → R, G(x, y) = |y|. Vamos mostrar que G não
é diferenciável no ponto (0, 0).
(a) Esboce o gráfico de G.
(b) Esboce o gráfico da função g : R → R, g(y) = |y|.
(0, 0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de g no ponto (0, 0),
(c) Usando que ∂G
∂y
∂G
explique que ∂y (0, 0) não existe.
Conclusão: Se G fosse diferenciável no ponto (0, 0), então tanto ∂G
(0, 0) quanto ∂G
(0, 0)
∂x
∂y
∂G
deveriam existir. Pelo item (c), ∂y (0, 0) não existe, portanto G não pode ser diferenciável
em (0, 0).
Exercı́cio 3. Usando a definição, calcule as derivadas parciais das seguintes funções
(a) F : R2 → R, F (x, y) = c para todo (x, y) ∈ R2 , onde c ∈ R é fixa.
(b) F : R2 → R, F (x, y) = f (x, y)+g(x, y), onde f, g : R2 → R são funções diferenciáveis.
(c) F : R2 → R, F (x, y) = f (x)y para todo (x, y) ∈ R2 , onde f : R → R é uma função
diferenciável. (Neste item, basta calcular a derivada parcial em relação a y.)
Exercı́cio 4. Decida se as seguintes funções são diferenciáveis ou não no pontos (a, b).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
h : R2
h : R2
h : R2
h : R2
h : R2
h : R2
→ R, h(x, y) = 5x4 y 2 + xy 3 + 4 e (a, b) = (1, 2).
3 +y 2
→ R, h(x, y) = xx2 +y
2 e (a, b) = (0, 0).
→ R, h(x, y) = x cos(y) e (a, b) = (1, π/2).
→ R, h(x, y) = ey cos(πx) e (a, b) = (0, 1).
√
→ R, h(x, y) = x ln(y) e (a, b) = (4, 2).
p
→ R, h(x, y) = x2 + y 2 e (a, b) = (1, 1).
Data: 8 de abril de 2014.
1
2
(g)
(h)
(i)
(j)
PROF. TIAGO MACEDO
h : R2
h : R2
h : R2
h : R2
2
2
−y
e (a, b) = (3, 4).
→ R, h(x, y) = xx−y
→ R, h(x, y) = y sin(1/x) e (a, b) = (0, 0).
→ R, h(x, y) = 1/y e (a, b) = (0, 0).
→ R, h(x, y) = 1/xy e (a, b) = (0, 0).
Sugestão: Calcule as derivadas parciais ∂h
(a, b) e ∂h
(a, b) nos pontos (a, b) indicados e
∂x
∂y
substitua no limite análogo a (?). Justifique suas contas, explicitando o método usado
(por exemplo, regra da soma, da diferença, do produto, da cadeia, etc.).