AULA: Superfícies Quádricas

AULA: Superfícies Quádricas
Definição 1: Uma equação geral do 20 grau em três variáveis é uma equação do tipo:
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
(I),
com pelo menos uma das constantes A, B, C, D, E ou F é diferente de zero.
Definição 2: Uma superfície cuja equação é do tipo (I) é chamada de superfície quádrica.
Obs: A interseção de uma superfície quádrica com um dos planos coordenados ou por
planos paralelos a eles é uma cônica. Em casos particulares, a interseção pode ser uma reta,
duas retas, um ponto ou o conjunto vazio. Esses casos constituem as cônicas degeneradas.
Através de uma rotação e/ou translação de eixos a equação (I) pode assumir uma das
seguintes formas:
(II)
Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D
 Ax 2 + By 2 = Cz


( III ) Ax 2 + Bz 2 = Cy
 2
2
 Ay + Bz = Cx
(quádricas cêntricas)
(quádricas não cêntricas)
Quádricas Cêntricas: Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D
Se as constantes A, B, C e D são não nulas, podemos escrever a equação (II) na
x2 y2 z2
±
±
= 1 (IV), com a,b e c números reais positivos.
forma canônica: ±
a2 b2 c2
Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio. Logo,
existem três possibilidades: todos os sinais são positivos, dois sinais positivos e um
negativo ou um positivo e dois negativos.
A) Todos os sinais positivos: Elipsóide:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
Características:
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos
coordenados e a origem.
1
2) Se duas das constantes a, b e c são iguais temos um elipsóide de revolução.
3) Interseções com os eixos coordenados:
9 Eixo Ox : A (± a,0,0 )
9 Eixo Oy: B (0,±b,0)
9 Eixo Oz: C (0,0,± c )
4) Traços sobre os planos coordenados: elipses
 x2
 2 +
a
z = 0

 x2 z2
 y2 z2
=1
+
=1  +
=1

, a2 c2
,  b2 c2
b2
y = 0
x = 0


y2
5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
 x2
 2+
a
z = k

y2
b2
= 1−
k2
c 2 , elipses para -c < k < c.
 x2 z 2
k2
+
=
−
1
 2
a
c2
b 2 , elipses para -b < k < b
y = k

 y2 z2
k2
 2 + 2 = 1− 2
b
c
a , elipses para -a < k < a.
x = k

(0,0,c)
Esboço da superficie:
x
(a,0,0)
(0,b,0)
y
2
B) Dois sinais positivos e um negativo: Hiperbolóide de uma folha:
x2
a2
x2
a2
−
y2
+
−
x2
a2
−
b2
y2
b2
+
z2
c2
z2
+
c2
y2
b2
+
= 1 (a = b, superfície de revolução),
= 1 (a = c, superfície de revolução),
z2
c2
= 1 (b = c, superfície de revolução).
Características:
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos
coordenados e a origem.
2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo
coeficiente é negativo na forma canônica de sua equação.
Analisando a equação:
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1
3) Interseções com os eixos coordenados:
9 Eixo Ox : A (± a,0,0 )
9 Eixo Oy: B (0,±b,0)
9 Eixo Oz: não existe
4) Traços sobre os planos coordenados:
 x2
 2 +
a
z = 0

y2
b2
=1
( Elipse) ,
 x2 z2
 2 − 2 =1
(Hipérbole)
a
c
y = 0

 y2 z2
 2 − 2 =1
( Hipérbole)
b
c
x = 0

3
5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
 x2
 2+
a
z = k

y2
= 1+
b2
k2
c 2 , elipses para qualquer k em R,
 x2 z2
k2
 2 − 2 = 1− 2
a
c
b , hipérboles ,
y = k

 y2 z2
k2
 2 − 2 = 1− 2
b
c
a , hipérboles
x = k

Esboço da superficie:
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
z
=1
y
x
x2
a2
−
y2
b2
+
z2
c2
=1
z
y
x
−
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
z
y
x
4
B) Dois sinais negativos e um positivo: Hiperbolóide de duas folhas:
−
−
x2
a2
x2
a2
x2
a2
−
−
+
y2
b2
y2
b2
y2
b2
−
z2
+
−
c2
z2
c2
z2
c2
= 1 (a = b, superfície de revolução),
= 1 (a = c, superfície de revolução),
= 1 (b = c, superfície de revolução),
Características:
1) A superfície é simétrica em relação a todos os eixos coordenados, a todos os planos
coordenados e a origem.
2) A superfície está ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo
coeficiente é positivo na forma canônica de sua equação.
Analisando a equação: −
x2
a2
−
y2
b2
+
z2
c2
=1
3) Interseções com os eixos coordenados:
9 Eixo Ox : não existe
9 Eixo Oy: não existe
9 Eixo Oz: C (0,0,± c )
4) Traços sobre os planos coordenados:
 x2 y2
− 2 − 2 = 1
( vazio) ,
 a
b
z = 0

 x2 z2
− 2 + 2 = 1
(Hipérbole)
 a
c
y = 0

 y2 z2
− 2 + 2 = 1
( Hipérbole)
 b
c
x = 0

5
5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
 x2
 2+
a
z = k

y2
b2
=
k2
c2
−1
, elipses para k < -c ou k > c
 x2 z2
k2
− 2 + 2 = 1 + 2
 a
c
b , hipérboles , ∀k ∈ R ,
y = k

 y2
− 2 +
 b
x = k

z2
c2
= 1+
k2
a 2 , hipérboles ∀k ∈ R
Esboço da superficie:
−
x2
a
2
−
y2
b
2
+
z2
c
2
=1
z
x
y
−
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1
y
x
6
x2
a
2
−
y2
b
2
−
z2
c
2
=1
z
x
y
 Ax 2 + By 2 = Cz


Quádricas não Cêntricas: ( III ) Ax 2 + Bz 2 = Cy
 2
2
 Ay + Bz = Cx
Se as constantes A, B e C são não nulas, podemos escrever as equações (II) nas
 x2 y2
± 2 ± 2 = cz
b
 a
 2
z2
 x
formas canônicas: ±
±
= cy (IV), com a,b números reais positivos e c real não nulo.
2
2
a
b


2
2
± y ± z = cx
 a 2 b 2
Temos duas possibilidades: os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais
ou contrários.
A) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais iguais: Parabolóide elíptico.
x2
a2
+
y2
b2
= cz ,
x2
a2
+
z2
b2
= cy ,
y2
a2
+
z2
b2
= cx .
Características:
1) Se a = b temos um parabolóide de revolução.
2) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0).
3) A superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro
grau na forma canônica da equação.
7
Analisando a equação
x2
a2
+
y2
b2
= cz (c > 0)
4) Observe que para c > 0 temos que z ≥ 0. Logo, a superfície se encontra inteiramente
acima do plano xy.
5) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz.
6) Traços sobre os planos coordenados:
 x2
 2 +
a
z = 0

y2
b2
=0
= (0,0,0) ,
 x2
 2 = cz
(parábola),
a
y = 0

 y2
 2 = cz
( parábola)
b
x = 0

7) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
 x2
 2 +
a
z = k

y2
b2
= ck
, elipses para k > 0.
 x2
k2
 2 = cz − 2
a
b , parábolas
y = k

e
 y2
k2
 2 = cz − 2
b
a , parábolas.
x = k

Esboço da superficie:
x2
a2
+
y2
b2
= cz (c > 0)
x2
a2
+
y2
b2
= cz (c < 0)
z
z
x
x
8
x2
a2
+
z
z2
b2
x2
= cy (c > 0)
a2
+
z2
b2
z
x
y
y
y2
a2
= cy (c < 0)
+
z2
b2
x
y2
= cx (c > 0)
a2
z
+
z2
b2
= cx (c < 0)
z
y
x
x
y
B) os coeficientes dos termos de 20 grau têm sinais contrários:
Parabolóide hiperbólico (sela)
−
x2
a2
+
y2
b2
= cz , −
x2
a2
+
z2
b2
= cy , −
y2
a2
+
z2
b2
= cx .
Características:
1) A interseção da superfície com os eixos coordenados é O(0,0,0).
2) A superfície se encontra ao longo do eixo correspondente à variável do primeiro
grau na forma canônica da equação.
9
Analisando a equação −
x2
a2
+
y2
b2
= cz (c > 0).
3) A superfície é simétrica em relação ao eixo Oz, aos planos xz e yz.
4) Traços sobre os planos coordenados:
 x2
− 2 +
 a
z = 0

y2
b
2
=0
 y x  y x 
 −  +  = 0
=  b a  b a 
, par de retas concorrentes
z = 0

 x2
− 2 = cz
(parábola),
 a
y = 0

 y2
 2 = cz
( parábola)
b
x = 0

5) Seções por planos paralelos aos planos coordenados:
 x2
− 2 +
 a
z = k

y2
b2
= ck
, hipérboles para k ≠ 0. Para k > 0, hipérboles no plano z = k, com
o eixo focal paralelo ao eixo Oy e para k < 0, hipérboles no plano z = k, com o eixo focal
paralelo ao eixo Ox.
 x2
k2
− 2 = cz − 2
 a
b , parábolas e
y = k

 y2
 2 = cz +
b
x = k

k2
a 2 , parábolas.
10
Esboço da superficie:
−
x2
a2
+
y2
b2
= cz (c > 0)
−
x2
+
a2
y2
= cz (c < 0)
b2
z
z
y
x
y
x
−
x2
a2
+
z2
b2
= cy (c > 0)
−
z
x2
a2
+
z2
b2
= cy (c < 0)
z
y
y
x
x
−
z
y2
a2
+
z2
b2
= cx (c > 0)
−
y2
a2
+
z2
b2
= cx (c < 0)
z
x
y
x
y
11
Bibliografia:
Lehmann. Charles, Geometria Analítica, Editora Globo
Boulos, Paulo, Geometria Analítica um tratamento vetorial, MAKRON Books.
12