Programa, referências bibliográficas, etc

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
COLEGIADO DO CURSO DE MATEMÀTICA
PLANO DE CURSO
DISCIPLINA: GEOMETRIA DIFERENCIAL
PERÍODO:
8O.
C.H. TEÓRICA: 108
CÓDIGO: GMA037
DISCIP. OBRIGATÓRIA
(X)
C.H. PRÁTICA: 0
DISCIP. OPTATIVA
( )
C.H. PIPE: 0
PRÉ-REQUISITOS: EDO Aplicada
CÓ-REQUISITOS:
PROFESSOR: Jocelino Sato
2011-1
UNIDADE ACADÊMICA:
FAMAT
C.H. TOTAL: 108
EMENTA DA DISCIPLINA
0 aparato de Frenet de uma curva parametrizada diferenciável em R2 e R3; representação
canônica de uma curva; isometrias de R3; Teorema Fundamental das Curvas. Superfícies
regulares; aplicação normal de Gauss; formas quadráticas; curvaturas gaussiana e média de
uma superfície; curvas sobre superfícies; Teorema Egregium de Gauss; transporte paralelo e
geodésica.
JUSTIFICATIVA
O conhecimento e o domínio das técnicas do Cálculo Diferencial e Integral são essenciais para
quem usa os conceitos da área de conhecimento chamada de Ciências Exatas. Os conteúdos
trabalhos na disciplina Geometria Diferencial por um lado, permitem um tratamento mais
unificado e geral de alguns tópicos do Cálculo e, por outro lado, constituem um primeiro curso
de uma área do conhecimento matemático que permite generalizar vários conceitos do Cálculo
Diferencial e Integral e da Geometria Euclidiana, sendo esses conhecimentos essenciais para a
formação de um bacharel em matemática.
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
Objetivos Gerais: Objetivo Geral: Caracterizar curvas através de sua curvatura e torção,
utilizar a primeira e segunda forma quadrática associada a uma superfície para estudar suas
propriedades locais e/ou globais.
Objetivos Específicos:
O estudo local das curvas tem como objetivo fornecer aos alunos os conceitos de curvatura e
torção de uma curva parametrizada regular, que permitem caracterizar, a menos de movimento
rígido de R3, várias classes de curvas bem como obter propriedades gerais dessas classes de
curvas.
A teoria local das superfícies tem como objetivos utilizar as formas quadráticas associadas a
uma superfície para estudar suas propriedades. A primeira forma quadrática (métrica) trata dos
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aspectos geométricos intrínsecos (comprimento de curvas, área etc.). E, a segunda, dos aspectos
extrínsecos que permitem entender a maneira como uma superfície se encontra mergulhada no
espaço ambiente R3 (linhas de curvatura, linhas assintóticas, etc.).
DESCRIÇÃO DO PROGRAMA
1. CURVAS PARAMETRIZADAS DIFERENCIÁVEIS EM R2 E R3 (34 aulas)
1.1. Fórmulas de Frenet para curvas planas e espaciais.
1.2. A aproximação de Frenet de uma curva na vizinhança de um ponto.
1.3. Isometrias de R2 e R3 e curvas congruentes.
1.4. Teorema Fundamental das Curvas Planas e Espaciais.
2. SUPERFÍCIES DIFERENCIÁVEIS (30 aulas)
2.1. Superfícies regulares e mudança de parâmetros.
2.2. Aplicações diferenciáveis entre superfícies.
2.3. Orientabilidade de superfícies.
2.4. A primeira forma quadrática.
2.5. Aplicações conformes e Isometrias.
3. TEORIA LOCAL DAS SUPERFÍCIES (44 aulas)
3.1. Aplicação normal de Gauss.
3.2. Segunda forma quadrática e curvatura normal.
3.3. Curvatura de Gauss e Curvatura média
3.4. Linhas de curvatura, linhas assintóticas.
3.5. Teorema Egregium de Gauss.
3.6. Transporte paralelo e geodésicas.
METODOLOGIA
O conteúdo da disciplina será desenvolvido na forma de aulas expositivas, utilizando quadro e
giz e apresentações em data show. Serão propostos pequenos temas para seminários,
apresentados por grupos de alunos e, em vários momentos serão utilizados rotinas
computacionais, implementadas em pacotes para cálculos algébricos/ simbólicos (Maple), que
tem como função ser um recurso gráfico para o entendimento de alguns conceitos da disciplina.
No cronograma de desenvolvimento do programa da disciplina está previsto 34 horas-aula para
uma revisão de pré–requisitos e o estudo de curvas diferenciáveis, 30 horas aulas para o estudo
do conceito de superfície regular e de sua primeira forma quadrática, 24 horas aulas para o
estudo da segunda forma quadrática de uma superfície e mais 20 horas aulas para o estudo de
transporte paralelo e geodésica.
AVALIAÇÃO
Serão realizadas três provas dissertativas que avaliarão partes proporcionais do conteúdo da
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disciplina. Um total de 100 pontos será distribuído da seguinte forma: primeira prova 30
pontos, segunda 30 pontos e terceira 30 pontos. Todas elas serão corrigidas tendo como
referência um gabarito, que estará à disposição dos alunos interessados. Também serão
elaboradas listas de exercícios com o objetivo de acompanhar a aprendizagem dos alunos. Elas
deverão ser resolvidas individualmente e entregue antes das respectivas provas. Um trabalho
será apresentado na forma de seminário valendo 10 pontos.
BIBLIOGRAFIA
Bibliografia Básica:
[1] TENEMBLAT, K., Introdução à Geometria Diferencial, Editora da UnB, Brasília, 1988.
[2] DO CARMO, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, Coleção Textos
Universitários, SBM, Rio de Janeiro, 2005.
[3] ARAUJO, P. V., Geometria Diferencial, Coleção Matemática Universitária, SBM, Rio de
Janeiro, 1.998.
Bibliografia Complementar:
[1] GRAY, A., Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with MATHEMATICA,
CRC Press LLC, Boston, 1998.
APROVAÇÃO
Aprovado em reunião do Colegiado do Curso de
Em ___/____/______
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Coordenador do curso
Datas das avaliações e de entrega das listas:
Primeira prova dia 12/04/11 (terça-feira) – das 16h50min às 19h00min horas.
Segunda prova dia 31/05/11 (terça-feira) – das 16h50min às 19h00min horas.
Terceira prova dia 05/07/10 (terça -feira) – das 16h50min às 19h00min horas.
Horário de Atendimento (Sala 1F107):
Segunda-feira: das 8h00min às 9h40min e das 14h50min as16h50min.
Quarta-feira: das 8h00min às 9h40min e das 14h50min as16h50min.
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