DEC2547-Capitulo 2 - Critérios de ruptura para materiais ducteis e

Transcrição

Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Prof. Romel Dias Vanderlei
CAPÍTULO 2:
CRITÉRIOS DE RUPTURA PARA
MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS
2.1 – Critérios de Escoamento para Materiais
Dúcteis (Estado Plano de Tensões)
Projetar elementos estruturais de modo que o material
dúctil não entre em escoamento.
Para o estado simples de tensões (uniaxial):
σ
F
σx
σx
F
σe
σx < σe
ε
σe : ensaio de tração com corpos-de-prova do mesmo material;
O elemento estrutural e corpo-de-prova estão sob o mesmo
estado de tensões.
2.1 – Critérios de Escoamento para Materiais
Dúcteis (Estado Plano de Tensões)
Para o Estado Plano de Tensões:
F
F
σ2
σ1
• Tensões principais σ1 e σ2;
• O estado plano de tensões ≠ estado uniaxial de tensões;
• É necessário estabelecer critérios que considere:
a) Real mecanismo de ruptura do material;
b) Permita comparar os dois estados de tensão.
2.1.1 – Critério da Máxima Tensão de Cisalhamento
(TRESCA)
O
escoamento dos materiais dúcteis é causado
principalmente por tensões de cisalhamento:
τ máx ≤ τ e
F
σy
σy
τe : Tensão de cisalhamento correspondente ao
escoamento em ensaio de tração.
Onde:
τ máx
F
τe =
σe
2
sen 2α

=
.
τ
σ
x

2

σ
 p / α = 45° → τ máx = x
2

(TRESCA)
Para o estado plano de tensões, onde σ1 e σ2
são as tensões principais, o circulo do Mohr
pode ser:
τ
Se σ1 e σ2 são ambas positivas ou negativas:
τ máx =
τmáx
σ1
y
2
σ
x
σ2
σ1
z
(TRESCA)
Se σ1 > 0 e σ2 < 0 :
τ
τmáx
τ máx =
σ1 − σ 2
2
y
σ2
σ1
σ
x
z
(TRESCA)
Então:
• Se σ1 e σ2 tem mesmos sinais:
τ máx < τ e
σ máx
2
<
σe
| σ 1 |< σ e
2
e
→ σ máx < σ e
| σ 2 |< σ e
(TRESCA)
•
Se σ1 e σ2 tem sinais diferentes:
τ máx < τ e
σ1 − σ 2 σ e
2
<
2
| σ 1 − σ 2 |< σ e
(TRESCA)
Representação Gráfica (Hexágono de Tresca):
Qualquer estado de tensões será representado por um
ponto de coordenadas σ1 e σ2, que são as tensões
principais desse estado de tensão;
Se o ponto cair dentro da área indicada, significa
condições de segurança;
Se o ponto cair fora da área indicada, ruptura por
escoamento do material.
(TRESCA)
Hexágono de Tresca:
σ2
σe
Região de
Segurança
-σ
σe
σe
-σ
σe
σ1
2.1.2 – Critério da Máxima Energia de Distorção
(von Mises)
• É baseada na energia relacionada com
mudanças na forma do material;
• A segurança é garantida enquanto o maior valor
de energia de distorção (µd) permanecer abaixo
da energia de distorção necessária para
provocar o escoamento do corpo-de-prova no
ensaio de tração (µd)e
µd < (µd )e
(von Mises)
Para material isotrópico em estado plano de
tensões:
µd =
1
(σ 12 − σ 1σ 2 + σ 22 )
6G
Onde:
σ1 e σ2 : tensões principais;
G : Módulo de elasticidade transversal.
(von Mises)
Para o estado uniaxial de tensão, ensaio de tração,
no início do escoamento:
σ1 = σ e e σ 2 = 0
(µd )e =
Logo:
Então:
σ e2
6G
1
σ e2
2
2
µd =
(σ 1 − σ 1σ 2 + σ 2 ) <
6G
6G
σ 12 − σ 1σ 2 + σ 22 < σ e2 → Equação da Elipse
(von Mises)
Assim a segurança é garantida enquanto o ponto de
coordenadas σ1 e σ2 cair dentro da área da elipse.
σe
σ2
A
C
-σ
σe
σ1
σe
D
B
-σ
σe
(von Mises)
σe
σ2
A
C
-σ
σe
σ1
0,5σe 0,577σe
σe
D
B
-σ
σe
• A elipse intercepta os eixos em σ1=±σe e σ2=±σe;
• O eixo maior da elipse é a bissetriz do 1º e 3º quadrante, AB;
• O eixo menor de estende de C(-0,577σe;0,577σe) até D(0,577σe;-0,577σe);
• O hexágono de Tresca está localizado dentro da elipse de von Mises, o
que torna Tresca mais conservador.
Exemplo 1
Sabendo-se que σe=25 kN/cm² e considerando a σmáx=27
kN/cm², verifique quais os valores que podem ser admitidos
para σmín.
Considerando von Mises:
σ 1 = σ máx = 27 kN / cm²

2
2
2
σ 1 − σ 1σ 2 + σ 2 = σ e → 
σ 2 = σ mín = ?
 σ = 25kN / cm²
e

27² − 27.σ 2 + σ 22 = 25²
729 − 27.σ 2 + σ 22 = 625
σ 22 − 27.σ 2 + 104 = 0
σ2 =
27 ± 27² − 4 ×1×104 27 ± 17,7 22,35kN / cm²
=
=
2 ×1
2
 4,65kN / cm²
Exemplo 1
Para σmáx=10 kN/cm²:
10² − 10.σ 2 + σ 22 = 25² ∴σ 22 − 10.σ 2 − 525 = 0
σ2 =
10 ± 46,9  28,45kN / cm²
=
2
− 18,45kN / cm²
Para σmáx=-15 kN/cm²:
(−15)² + 15σ 2 + σ 22 = 25² ∴σ 22 + 15σ 2 − 400 = 0
σ2 =
− 15 ± 42,72  13,86kN / cm²
=
2
− 28,86kN / cm²
Exemplo 1
Para σmáx=29 kN/cm²:
29² − 29σ 2 + σ 22 = 252 ∴σ 22 − 29σ 2 + 216 = 0
σ2 =
29 ± − 23
→
2
Raízes
Impossíveis
Exemplo 1
Elipse de von Mises:
σ2
28,45
25
22,35
13,86
4,65
-25
-15
10
25
σ1
27
-18,45
-25
-28,86
Exemplo 2
Verifique a segurança do elemento estrutural,
considerando o estado de tensões abaixo e
que σe=250 MPa.
10 MPa
40 MPa
50 MPa
Exemplo 2
a) Tensões principais:
σx=+50 MPa; σy=-10 MPa; τxy=+40 MPa.
σ 1, 2 =
σ x +σ y
2
 σ x −σ y
± 
 2
2

 + τ xy2

50 + (−10)
 50 − ( −10) 
± 
+ 40 2 = 20 ± 50
σ 1, 2 =

2
2


σ 1 = 70 MPa e
σ 2 = −30MPa
2
Exemplo 2
b) Von Mises:
σ1 = +70MPa; σ2 = -30MPa; σe = 250MPa
σ 12 − σ 1σ 2 + σ 22 < σ e2
70 ² − 70 .( −30 ) + ( −30 )² < 250 ²
4.900 + 2.100 + 900 < 62 .500
7.900 < 62 .500 (OK )
Exemplo 2
Graficamente (Elipse):
σ2
250
70
-250
σ1
250
-30
-250
2.2 – Critérios de Ruptura para Materiais Frágeis
(Estado plano de tensões)
Materiais frágeis atingem a ruptura sem que
ocorra escoamento.
2.2.1 – Critério da Máxima Tensão Normal
(Coulomb)
A estrutura se rompe quando a máxima
tensão normal atuante atinge o valor de
tensão última σu, obtida em ensaio de
tração em corpo-de-prova de mesmo
material.
| σ 1 |< σ u
| σ 2 |< σ u
e
(Coulomb)
Representação gráfica:
σ2
σu
-σu
σu
σ1
-σu
• σ1 e σ2 → Tensões principais;
• Se o ponto estiver dentro da área, indicará condição de
segurança;
• Se o ponto estiver fora dessa área, a estrutura irá romper.
(Coulomb)
Deficiência do critério:
É baseada na hipótese de que a tensão última é
a mesma na tração e na compressão.
2.2.2 – Critério da Máxima Deformação Específica
(Sain-Venant)
A segurança é garantia enquanto o valor
máximo da deformação específica não
exceder o valor da deformação específica
de ruptura (εu) de um cp submetido a ensaio
de tração.
Se chamarmos de ε1 e ε2 as deformações
específicas máximas, que atuam nos eixos
principais de tensão, temos:
| ε 1 |< ε u
e
| ε 2 |< ε u
(Sain-Venant)
Escrevendo em função das tensões principais:
σ1
ε1 =
E
εu =
σ1
E
− υ.
σu
E
− υ.
σ2
E
σ2
E
<
σu
E
σ 1 − υ .σ 2 < σ u
(Sain-Venant)
• Quando σ1=σ2 → (1-υ).σ1<σu:
σ1 <
σu
1−υ
• Quando σ1= -σ2 → (1+υ).σ1<σu:
σ1 <
σu
1+υ
• Quando σ2=0:
σ1 < σ u
(Sain-Venant)
Analogamente em relação a σ2:
ε2 =
σ2
E
− υ.
σ1
εu =
E
σu
E
σ 2 − υ.σ 1 < σ u
(Sain-Venant)
• Quando σ2=σ1 :
σ2 <
σu
1 −υ
σ2 <
σu
1+υ
• Quando σ2=-σ1 :
• Quando σ2=0 :
σ2 < σu
(Sain-Venant)
σ2
σu
σu
1−υ
σu
1+υ
σ1
σu
-σu
-σu
Área de segurança
• Critério bastante utilizado no séc. XIX, hoje
está em desuso.
Exemplo 3
Para os estados de tensão indicados, sabe-
se que σu=120 MPa e υ=0,3, determine se a
ruptura irá ocorrer usando os critérios de
Coulomb e o de Saint-Venant:
a)
80 MPa
b)
60 MPa
80 MPa
110 MPa
55 MPa
Exemplo 3
Tensões principais:
σ 1, 2 =
σ x +σ y
2
σ x −σ y
± 
 2
2

 + τ xy2

a) σx = 0, σy = -80MPa, τxy = -60MPa
0 − 80
 0 + 80 
2
=
± 
 + (−80) = −40 ± 72,11
2
 2 
2
σ 1, 2
 σ 1 = 32,11MPa

σ 2 = −112,11MPa
Exemplo 3
b) σx = 55 MPa, σy = -80MPa, τxy = -110MPa
55 − 80
 55 + 80 
2
=
± 
 + (−110) = −12,5 ± 129,06
2
 2 
2
σ 1, 2
 σ 1 = 116,56 MPa

σ 2 = −141,56 MPa
Exemplo 3
Critérios de ruptura:
COULOMB: |σ1| < σu e |σ2| < σu
a) 32,11 < 120 (ok)
|-112,11| < 120 (ok) → Não há ruptura
b) 116,56 < 120 (ok)
|-141,56| < 120 (falso) → Há ruptura
Exemplo 3
SAINT-VENANT: |σ1 - υ.σ2| < σu e |σ2 - υ.σ1| <
σu
a) |32,11 - 0,3.(-112,11)| < 120
|65,74| < 120 (ok) → Não há ruptura
|-112,11 – 0,3.(32,11)| < 120
|-121,74| < 120 (falso) → Há ruptura
Exemplo 3
b) |116,56 - 0,3.(-141,56)| < 120
|159,03| < 120 (falso)
|121,56 - 0,3.(-116,56)| < 120
|-176,53| < 120 (falso) ) → Há ruptura
Exemplo 3
σ2
σ2
171,43
120
120
92,31
-120
32,11 116,56
120
-112,11
-171,43
-120
32,11 92,31116,56 171,43
120
-92,31
-92,31
-120
-141,56
σ1
-120 -112,11
-171,43
-141,56
σ1
2.2.3 – Critério de Mohr
É necessário conhecimento de resultados de
ensaios de tração (σut), compressão (σuc) e
torção (τu);
Representação do círculo de Mohr para os
ensaios de tração e compressão:
τ
• Qualquer círculo contido
em qualquer dos dois
círculos é um estado de
tensão seguro.
σuc
σa
σb
Ensaio de compressão
σ1
σ2
σut
Ensaio de tração
σ
• Para σ1 e σ2 > 0 → σ1 < σut e σ2 < σut
• Para σ1 e σ2 < 0 → |σ1| < |σuc| e |σ2| < |σuc|
σ2
Mesmo
sinal
σut
σuc
σ1
σut
Área de segurança
Mesmo
sinal
σuc
Para σ1 e σ2 com sinais diferentes, e considerando
a tensão última de cisalhamento (τu) do ensaio de
τ
torção.
τu
σuc
Envoltória
σut
τu
Ensaio de torção
σ
O critério de Mohr estabelece que um estado
de tensão é seguro se for representado por
um círculo localizado inteiramente dentro da
área limitada pela envoltória dos círculos que
correspondem aos dados de ensaios.
O diagrama de tensões principais fica determinado:
σ2
Quanto maior o número
de ensaios, mais exato
pode ser o diagrama.
σut
σuc
σut
σuc
σ1
Quando se dispõe apenas da tensões últimas
σut e σuc, a envoltória é substituída pelas
tangentes AB e A’B’ aos círculos.
τ
σ2
2º Quadrante
σ1 σ 2
−
= 1 σut
σ uc σ ut
A
R
σb
B
σa
σ
-σuc
σut
4º Quadrante
B’
A’
-σuc
σ1 σ 2
−
=1
σ ut σ uc
4º Quadrante:
y = a.x + b
p/ x = σut → y = 0 → 0 = a.σ ut + b
b = −σ uc

p/ x = 0 → y = −σ uc → −σ uc = 0 + b →  a = σ uc

σ ut
y=
σ uc
x − σ uc
σ ut
σ1
σ2 =
σ uc
σ 1 − σ 2 = σ uc (÷σ uc )
σ ut
σ uc
σ 1 − σ uc
σ ut
σ1 σ 2
−
<1
σ ut σ uc
2º Quadrante:
p/ x = 0 → y = σ ut → σ ut = 0 + b → b = σ ut
p/ x = 0 → y = 0 → 0 = −a.σ uc + σ ut → a = σ ut
y =
σ
σ
ut
σ
σ
σ uc
ut
x −σ
σ
⇒
ut
2
=
uc
σ1 −σ
uc
2
= σ
ut
( ÷σ
ut
σ
σ
ut
σ1 −σ
ut
uc
)
σ1
σ2
−
<1
σ uc
σ ut
Exemplo 4
Para os estados de tensão indicados, sabendo-se
que σut=80 MPa e σuc=200 MPa, determine se a
ruptura irá ocorrer usando o critério de Mohr.
a)
b)
80 MPa
60 MPa
80 MPa
110 MPa
55 MPa
Exemplo 4
a)
80 MPa
60 MPa
σ 1, 2 =
σ x +σ y
2
± (
σ x −σ y
2
) 2 + τ xy2
0 − 80
0 + 80 2
± (
) + ( −60) 2
2
2
 σ = 32,11MPa
= −40 ± 72,11 1
σ 2 = −112,11MPa
σ 1, 2 =
σ 1, 2
σ1 σ 2
−
<1
σ ut σ uc
32,11 − 112,11
−
< 1 ⇒ 0,96 < 1 (OK)
80
200
Sem ruptura
Exemplo 4
b)
80 MPa
110 MPa
55 MPa
55 − 80
55 + 80 2
± (
) + (−110) 2
2
2
 σ = 116,56MPa
= −12,50 ± 129,06 1
σ 2 = −141,56MPa
σ 1, 2 =
σ1 σ 2
−
<1
σ ut σ uc
σ 1, 2
116,56 − 141,56
−
< 1 ⇒ 2,16 < 1 (Falso)
80
200
Ocorrerá a
ruptura
Exemplo 4
σ2
80
-200
32,11
116,56
σ1
80
-112,11
-141,56
a
b
-200
Exemplo 5
Um elemento estrutural é construido com material
caracterizado como σut=4 MPa e σuc=30 MPa. Para o
estado de tensão no ponto indicado, verifique a
segurança do elemento.
10KN
y
2m
5 cm
10
DFC
20 KN.m
DMF
x
z
30 cm
15 cm
10 cm
10 cm
V ⋅ Ms 10 × [0,1× 0,15 × 0,1]
=
= 296kPa ≅ 0,3MPa
0,15 × 0,33
b⋅ Iz
0,15 ×
12
M ⋅y
( −20) × ( −0,05)
σ =−
=−
= −2,96MPa
0,15 × 0,33
Iz
12
τ=
Exemplo 5
Estado de tensão:
0,3 MPa
σ x +σ y
σ 1, 2 =
2,96 MPa
2
± (
σ x −σ y
2
− 2,96 + 0
− 2,96 − 0 2 2
) +3
± (
2
2
 σ = 0,03MPa
= −1,48 ± 1,51 1
σ 2 = −2,99 MPa
σ 1, 2 =
σ1 σ 2
−
<1
σ ut σ uc
σ 1, 2
0,03 − 2,99
−
< 1 ⇒ 0,11 < 1 (OK)
4
30
) 2 + τ xy2
Exemplo 5
σ2
4
-30
0,03
-3
-30
σ1
4

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