Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Distribuições

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Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Métodos Numéricos e Estatı́sticos
Parte II-Métodos Estatı́sticos
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Luı́sa Morgado
Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010
Luı́sa Morgado
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variável aleatória
É uma função, com propriedades especiais, que transforma eventos
em números, ou mais genericamente, em vectores:
A função X : Ω → RX ⊂ Rn diz-se uma variável aleatória (v.a.)
se verifica a condição de mensurabilidade
∀x ∈ R,
X −1 ((−∞, x]) ∈ A,
onde X −1 ((−∞, x]) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x}, e o espaço de
resultados Ω está associado à σ-álgebra A.
A v.a. diz-se
unidimensional se n = 1;
bidimensional se n = 2;
multidimensional se n > 2.
ou ainda
discreta, caso tome valores em RX em número finito ou numerável;
contı́nua, quando o seu conjunto de valores é infinito não numerável.
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Função de probabilidade
Seja X uma v.a. discreta (RX = {x1 , x2 , . . .} é um conjunto finito
ou numerável). A função de probabilidade de X (f.p.) é dada por
P(X = xi ), x = xi ∈ RX
P(X = x) = P ({ω ∈ Ω : X (ω) = x}) =
0, c.c.
e satisfaz
P(X = x) > 0, ∀x ∈ RX ;
P
P
P
x∈R P(X = x) =
x∈RX P(X = x) =
i P(X = xi ) = 1.
Luı́sa Morgado
Variáveis aleatórias e suas distribuições
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Exemplo
Considere-se um teste americano com 3 questões, cujas respostas são dadas de forma
independente. A resposta a cada questão pode estar correcta (C ), com probabilidade
P(C ) = 0.5, ou incorrecta (C ), com probabilidade P(C ) = 0.5. A classificação das 3
questões é então uma e.a. cujo espaço de resultados é formado por 8 eventos
elementares:
Ω = {CCC , C C C , C CC , C CC , C C C , C C C , C C C , C C C }.
Considerando a v.a. X = no de respostas correctas no teste, verificamos que o seu
contradomı́nio é {0, 1, 2, 3} e portanto X é uma v.a. discreta.
A sua f.p. é dada por
P(X = 0)
=
P(C C C ) = P(C1 C2 C3 ) = P(C1 )P(C2 )P(C3 ) = 0.53
P(X = 1)
=
P(C C C ) + P(C C C ) + P(C C C ) = 3 × 0.53
P(X = 2)
=
P(CC C ) + P(C C ) + P(C CC ) = 3 × 0.53
P(X = 3)
=
P(CCC ) = 0.53
ou resumidamente P(X = x) =



1
,
8
3
,
8
0,
x = 0, 3
x = 1, 2
outros valores de
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x
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Função de distribuição
A função de distribuição (f.d.) de uma v.a. X (independentemente
de esta ser discreta ou contı́nua) é dada por
FX (x) = P(X ≤ x),
x ∈ R.
Nota: A f.d. tem como domı́nio R e toma valores no intervalo
[0, 1] uma vez que se trata de uma probabilidade, i.e.
FX (x) : R → [0, 1] quer X seja uma v.a. discreta ou contı́nua.
Função de distribuição de uma v.a. discreta
A f.d. de uma v.a. discreta (com contradomı́nio RX =
{x1 , x2 , . . .}) pode escrever-se à custa da f.p de X:
X
FX (x) = P(X ≤ x) =
P(X = xi ), x ∈ R.
xi ≤x
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Exemplo
No exemplo anterior, em que X =no de respostas correctas no
teste americano, temos

0, x < 0



1

, 0≤x <1


 81 3
1≤x <2
8 + 8,
FX (x) =
3
3
1
+
+
, 2≤x <3


 8 8 8



 1 3 3 1
x ≥3
8 + 8 + 8 + 8,
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Uma v.a. pode ser caracterizada, embora parcialmente, por
parâmetros que se podem dividir em três grupos:
1 Parâmetros de localização central
valor esperado
moda
mediana
2
Parâmetros de localização não central
3
Parâmetros de dispersão
quantil de probabilidade (ou quantil de ordem) p
variância
desvio padrão
coeficiente de variação
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Valor esperado de uma v.a. discreta
O valor esperado de uma v.a. discreta (com contradomı́nio
RX = {x1 , x2 , . . .}) é dado por:
X
E (X ) =
xP(X = x).
x
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O valor esperado de uma v.a. X satisfaz as propriedades
∀b ∈ R;
1
E (b) = b,
2
E (aX + b) = aE (X ) + b∀a, b ∈ R;
3
Sendo Y = ψ(X ) uma v.a. função
P mensurável da v.a.
discreta X , E (Y ) = E [ψ(X )] = x ψ(x)P(X = x);
4
Geralmente, tem-se E [ψ(X )] 6= ψ[E (X )];
5
Se X é uma v.a. inteira não negativa, i.e.,
RX = {0, 1, 2, 3, . . .}, então
E (X ) =
+∞
X
+∞
X
P(X > x) =
[1 − FX (x)].
x=0
x=0
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Recordemos o exemplo anterior, em que
X = no de respostas correctas no teste americano
e
 1
 8 , x = 0, 3
3
P(X = x) =
, x = 1, 2
 8
0, outros valores de x
Assim
E (X ) =
3
X
xP(X = x) = 0 ×
x=0
1
3
3
1
+ 1 × + 2 × + 3 × = 1.5
8
8
8
8
Nota: Note que o valor esperado não pertence ao conjunto de
valores possı́veis da v.a. X .
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Moda de uma v.a. discreta
A moda de uma v.a. discreta X , mo = mo(X ), é o valor da
v.a. que ocorre com mais frequência e como tal, corresponde
ao ponto de máximo da f.p. de X , i.e.
mo(X ) : P(X = mo) = maxx P(X = x).
Exemplo
No exemplo que temos vindo a considerar, mo = mo(X ) = 1 e 2.
Tal como este exemplo ilustra, nem sempre a moda é única.
Diz-se, neste caso, que X é bimodal (tem duas modas).
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Mediana de uma v.a. discreta
A mediana de uma v.a. discreta, me = me(X ) = FX−1
tem a particularidade de verificar
P(X ≤ me) ≥ 12
P(X ≥ me) ≥ 12
1
2
,
o que é equivalente a
me :
1
1
≤ FX (me) ≤ + P(X = me).
2
2
Nota: A mediana de uma v.a. discreta pode não ser única,
passando, neste caso, a falar-se de classe mediana.
Exemplo
No exemplo que temos vindo a apresentar, a mediana não é única.
Esta pode ser dada por qualquer valor no intervalo [1, 2]. Diz-se,
neste caso, que o intervalo [1, 2] é a classe mediana.
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Quantil de probabilidade p de uma v.a. discreta
O quantil de probabilidade p de uma v.a. discreta, χp =
χp (X ) = FX−1 (p), tem a particularidade de verificar
P(X ≤ χp ) ≥ p
P(X ≥ χp ) ≥ 1 − p
A mediana da v.a. discreta X , corresponde a χ 1 . Outros quantis frequentemente
2
usados:
FX−1
1
χ 3 = FX−1
3
χ1 =
4
4
χ
χ
χ
1
100
= FX−1
n
100
= FX−1
1
10
= FX−1
4
1o quantil
3o quantil
o
1
1 percentil
100
n
n−ésimo percentil, n = 1, 2, 3, . . . , 99
100
o
1
1 decil
10
4
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Variância
A variância de uma v.a. X discreta ou contı́nua é dada por:
V (X ) = E (X 2 ) − E 2 (X ).
A variância de uma v.a. X satisfaz as propriedades
∀b ∈ R;
1
V (b) = 0,
2
V (X ) ≥ 0, qualquer que seja a v.a. X ;
3
V (aX + b) = a2 V (X )∀a, b ∈ R.
A variância não é expressa nas mesmas unidades que a v.a., pelo
que é costume recorrer-se a outra medida de dispersão absoluta: o
desvio padrão.
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Desvio padrão
É a raı́z quadrada positiva da variância de uma v.a. X discreta
ou contı́nua:
p
DP(X ) = V (X ).
Finalizamos, apresentando uma medida de dispersão relativa:
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação de uma v.a. X discreta ou contı́nua,
é dado por:
DP(X )
CV (X ) =
.
|E (X )|
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Distribuição uniforme discreta
Esta distribuição é razoável quando a v.a. discreta toma n valores
distintos x1 < x2 < . . . < xn , todos com igual probabilidade.
Distribuição uniforme discreta
A v.a. X diz-se ter distribuição uniforme discreta no
conjunto {x1 , x2 , . . . , xn }, e escreve-se X ∼ uniforme
discreta({x1 , x2 , . . . , xn }), caso a sua f.p. seja igual a
1
n , x = x1 , x2 , . . . , xn
P(X = x) =
0, c.c.
P
Valor esperado: E (X ) = n1 ni=1 xi
2
P
P
Variância: V (X ) = n1 ni=1 xi2 − n1 ni=1 xi
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Exemplo
Um conjunto de n amostras de solo, das quais só uma está contaminada com uma
perigosa substância quı́mica, chega a um laboratório. Suponhamos que a amostra de
solo contaminado não foi devidamente etiquetada e consideremos a v.a. X que
representa o no total de amostras inspeccionadas, obviamente sem reposição, até ser
identificada a amostra contaminada.. Determinemos a f.p. de X . Ora:
P(X = 1)
=
P(X = 2)
=
P(X = 3)
=
1
n
1
n−1 1
=
n n−1
n
n−1n−2 1
1
=
n n−1n−2
n
..
.
P(X = x)
=
1
, x = 1, 2, . . . , n
n
0, c.c.
donde se conclui que X ∼ uniforme discreta({1, 2, . . . , n}).
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A f.d de X é:

0, x < 1



1

,1 ≤ x < 2


n

2

 n,2 ≤ x < 3
FX (x) = P(X ≤ x) =
..


.


 n−1

,n − 1 ≤ x < n


 n
1, x ≥ n
P
e atendendo a que nx=1 x =
o valor esperado de X é
E (X ) =
n
X
n(n+1)
2
xP(X = x) =
x=1
e
Pn
x=1
x2 =
n(n+1)(2n+1)
,
6
n
n
X
1
1X
1 n(n + 1)
n+1
=
x =
x=
n
n
n
2
2
x=1
x=1
e a variância de X é
V (X ) = E (X 2 )−E 2 (X ) =
n
n+1 2
1X 2
n+1 2
n2 − 1
x −
x 2 P(X = x)−
=
=
2
n x=1
2
12
x=1
n
X
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Distribuição de Bernoulli
Uma e.a. diz-se uma prova de Bernoulli se tiver apenas dois
resultados possı́veis:
um sucesso, que ocorre com probabilidade p, 0 ≤ p ≤ 1;
um insucesso, que ocorre com probabilidade 1 − p
Distribuição de Bernoulli
A v.a. X =no de sucessos numa prova de Berrnoulli, tem
distribuição de Bernoulli, com parâmetro p, e escreve-se
X ∼Bernoulli(p), e a sua f.p. é dada por
x
p (1 − p)1−x , x = 0, 1
P(X = x) =
0, c.c.
Valor esperado: E (X ) = p
Variância: V (X ) = p(1 − p)
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Distribuição binomial
Esta distribuição é particularmente útil na caracterização
probabilı́stica do no de sucessos em n provas de Bernoulli,
realizadas de forma independente e com probabilidade de sucesso
comum p.
Distribuição binomial
A v.a. X =no de sucessos num conjunto de n provas de
Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso comum
p, tem distribuição binomial, de parâmetros (n, p), e escreve-se
X ∼binomial(n, p), e a sua f.p. é dada por
 n

p x (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2, . . . , n
x
P(X = x) =

0, c.c.
n
n!
= x!(n−x)!
. Valor esperado: E (X ) = np
x
Variância: V (X ) = np(1 − p)
onde
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A f.d. da v.a. X ∼binomial (n, p) é dada por

0, x < 0


 P n
[x]
p i (1 − p)n−i , 0 ≤ x < n
FX (x) = P(X ≤ x) =
i=0
i



1, x ≥ n
onde [x] representa a parte inteira do real x, i.e., corresponde ao
maior inteiro menor ou igual a x. Assim, note que [1.7] = 1 e
[−1.7] = −2, por exemplo.
Esta função encontra-se tabelada para alguns valores de n e p.
Consultando as tabelas, podemos escrever, por exemplo
v.a.
X ∼ binomial(9, 0.1)
X ∼ binomial(10, 0.4)
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x
4
8
FX (x)
0.9991
0.9983
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No scilab, sendo X ∼ binomial(n, p), o comando
pr=binomial(p,n)
devolve um vector pr cujas entradas são os valores de P(X = x),
x = 0, 1, 2, . . . , n. Assim sendo, pr(k+1) representa P(X = k),
k = 0, 1, 2, . . . , n.
O comando cdfbin(”PQ”,x,n,p,1-p) representa FX (x).
Para obter os valores da tabela, terı́amos que executar os comandos
cdfbin(”PQ”,4,9,0.1,0.9)
cdfbin(”PQ”,8,10,0.4,0.6).
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Exemplo
A probabilidade de as leis de Kirchhoff virem a ser violadas,
durante um teste laboratorial a que se submete certo tipo e
indutor, é igual a 0.1.
Determinemos a probabilidade desta lei vir a ser violada mais de 4
vezes em 9 destes testes laboratoriais.
Sendo X = no de violações das leis de Kirchhoff em 9 testes
laboratoriais, tem-se
X ' binomial(9, 0.1)
A probabilidade pedida é dada por
P(X > 4) = 1 − P(x ≤ 4) = 1 − 0.9991 = 0.0009.
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Distribuição geométrica
Esta distribuição é útil quando pretendemos contabilizar o no total
de provas de Bernoulli realizadas até o registo do 1o sucesso.
Distribuição geométrica
A v.a. X =no de provas de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso comum p, realizadas até à ocorrência do 1o
sucesso, tem distribuição geométrica, de parâmetro p, e escreve-se
X ∼geométrica(p), e a sua f.p. é dada por
P(X = x) =
Valor esperado: E (X ) =
Variância: V (X ) =
(1 − p)x−1 p, x = 0, 1, 2, . . .
0, c.c.
1
p
1−p
p2
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A f.d. da v.a. X ∼ geométrica(p) não está tabelada por se obter
facilmente, uma vez que estamos a lidar com uma série
geométrica. Com efeito:
(
0, x < 1
P[x]
FX (x) = P(X ≤ x) =
[x]
i=1 (1 − p)i − 1p = 1 − (1 − p) , x ≥ 1
onde [x] representa a parte inteira de x.
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Exemplo
Estudos efectuados indicaram que a probabilidade de ser detectada
a presnça de alto teor de metais pesados numa amostra de solo
proveniente de um certo local é de 0.01.
determinemos o valor esperado do no total de amostras
selecionadas ao acaso até que seja detectada a primeira com alto
teor de metais pesados.
Ora, sendo X = no total de amostras seleccionadas até que seja
detectada a primeira com alto teor de metais pesados, tem-se
X ∼ geométrica(0.01).
O valor pedido é então dado por
E (X ) =
1
= 100 amostras.
0.01
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Distribuição hipergeométrica
Distribuição hipergeométrica
Considere-se que
N =no total de elementos de uma população (dimensão da população);
M =no de elementos dessa população que possuem uma determinada
caracterı́stica (sucesso);
N =no de extracções sem reposição.
A v.a. X =no elementos com certa caracterı́stica (sucesso), em n extraı́dos ao acaso,
sem reposição, da população de dimensão N, tem distribuição hipergeométrica, de
parâmetros (N, M, n), e escreve-se X ∼hipergeométrica(N, M, n), e a sua f.p. é dada
por
P(X = x) =











M
x
0,
!
N −M
n−x
!
N
n
!
, x = max{0, n − (N − M)}, . . . , min{n, M}
c.c.
Valor esperado: E (X ) = n M
N
Variância: V (X ) = n M
1−
N
M
N
N−n
N−1
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Variáveis aleatórias e suas distribuições
Exemplo
Na fase de concepção de um processo de controlo de qualidade do fabrico, foram
escolhidos 100 cabos dos quais apenas 2 apresentavam desvios superiores a 9.8
microns. Se desses 100 cabos forem seleccionados 10 ao acaso e sem reposição, qual a
probabilidade de mais do que um ter um desvio superior a 9.8 microns?
Ora, sendo N = 100, M = 2 e n = 10, a v.a.
X =no de cabos com um desvio superior a 9.8 microns, em 10 cabos seleccionados ao
acaso e sem reposição de um lote de 100, dos quais apenas 2 apresentam desvios
superiores a 9.8 microns
tem-se
X ∼hipergeométrica(100, 2, 10).
A probabilidade pedida é então dada por
P(X > 1) = P(X = 2) =
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2
2
100 − 2
10 − 2
100
10
=
1
.
110
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Distribuição de Poisson
É frequentemente utilizada na contagem de ocorrências de certo
tipo de eventos, em perı́odos fixos de tempo. Exemplos do tipo de
eventos são chegadas, partidas, acidentes, falhas de equipamento,
no de excedências de nı́veis de pluviosidade, ondas, marés, etc.
Distribuição de Poisson
A v.a. X que tem distribuição de Poisson, de parâmetro λ, e escrevese X ∼Poisson(λ), tem a particularidade de possuir valor esperado
e variância iguais ao parâmetro que define a sua distribuição. A sua
f.p. é dada por
P(X = x) =
x
e −λ λx! , x = 0, 1, 2, . . .
0, c.c.
Valor esperado: E (X ) = λ
Variância: V (X ) = λ
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Variáveis aleatórias e suas distribuições
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A f.d. da v.a. X ∼Poisson(λ), dada por
(
0, x < 0
P[x] −λ λi
FX (x) = P(X ≤ x) =
i=0 e
i!
encontra-se tabelada. Podemos também recorrer ao scilab.
X ∼Poisson(λ)
λ = 0.05
λ=3
λ = 12
λ = 20
x
0
1
1
14
FX (x) (tabelas)
FX (0) = 0.9512
FX (1) = 0.1991
FX (1) = 0.0001
FX (14) = 0.1049
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FX (x) ←cdfpoi(”PQ”, x, λ) (scilab)
cdfpoi(”PQ”, 0, 0.05) = 0.9512294
cdfpoi(”PQ”, 1, 3) = 0.1991483
cdfpoi(”PQ”, 1, 12) = 0.0000799
cdfpoi(”PQ”, 14, 20) = 0.1048643
Variáveis aleatórias e suas distribuições
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Exemplo
A procura de uma luxuosa marca de automóvel segue uma lei de
Poisson. Sabe-se ainda que a probabilidade de numa semana não
existir procura é igual a e −3 . Pretende-se saber qual a
probabilidade de a procura semanal exceder pelo menos 2
automóveis.
x
Sabemos então que P(X = x) = e −λ λx! , x = 0, 1, 2, . . . e que
P(X = 0) = e −3 . Daqui resulta que
P(X = 0) = e −3 ⇔ e −λ
λ0
= e −3 ⇔ λ = 3.
0!
A probabilidade pedida é então dada por
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − P(X ≤ 1) = 1 − FPoisson(3) (1)
= 1 − 0.1991 = 0.8009
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Variável aleatória contı́nua
A v.a X diz-se contı́nua ,caso
possua f.d. FX (x) = P(X ≤ x) contı́nua em R
e exista uma função real de variável real fX (x), que verifique
fX (x) ≥ 0, ∀x ∈ R
FX (x) = P(X ≤ x) =
Rx
−∞ fX (t)dt
A função fX (x) é denominada de função densidade de
probabilidade (f.d.p).
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Propriedades da f.d.p
R +∞
−∞ fX (x)dx
Rb
a
= 1;
fX (x)dx = P(a < x ≤ b), ∀a < b.
Note ainda que sendo X uma v.a. contı́nua:
1
P(X = x) = 0, ∀x ∈ R
2
P(a < x ≤ b) = FX (b) − FX (a), ∀a < b.
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Exemplo
O tempo (em anos) entre duas colisões consecutivas de detritos
espaciais com diâmetro maior que 1mm num satélite em MEO
(Medium Earth Orbit) é uma v.a. contı́nua com f.d.p. dada por
0, x < 0
fX (x) =
0.4e −0.4x , x ≥ 0
Determinemos a probabilidade do tempo entre duas colisões
consecutivas exceder um ano e três meses:
Z 1.25
P(X > 1.25) = 1 − P(X ≤ 1.25) = 1 −
fX (x)dx
−∞
Z
+∞
=
fX (x)dx = e −0.5 .
1.25
Luı́sa Morgado
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Tal como no caso das v.a. discretas é importante sabermos
determinar medidas de
localização central
localização não central
dispersão.
O processo é análogo ao caso discreto, tendo em conta que onde
tı́nhamos
P
v.a. discreta:
x∈R ou P(X = x)
passamos a ter
v.a. contı́nua:
R +∞
−∞
ou fX (x)
Luı́sa Morgado
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Distribuição uniforme contı́nua
Distribuição uniforme contı́nua
A v.a. X diz-se ter distribuição uniforme contı́nua no intervalo
[a, b], e escreve-se X ∼ uniforme (a, b), caso a sua f.d.p. seja
dada por
1
b−a , a ≤ x ≤ b
fX (x) =
0, c.c.
Valor esperado: E (X ) =
Variância: V (X ) =
a+b
2
(b−a)2
12
Luı́sa Morgado
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
A f.d. da v.a. X ∼ uniforme (a, b) é igual a

 0, x < a
x−a
,a ≤ x ≤ b
FX (x) = P(X ≤ x) =
 b−a
1, x > b
Dada a sua simplicidade, não se encontra tabelada.
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Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Distribuição normal
Esta distribuição surge associada à modelação de observações
relativas a diversas medições.
Distribuição normal
A v.a. X diz-se ter distribuição normal de parâmetros µ e σ 2 ,
e escreve-se X ∼ normal (µ, σ 2 ), se a sua f.d.p. é
fX (x) = √
(x−µ)2
1
e − 2σ2
2πσ
Valor esperado: E (X ) = µ
Variância: V (X ) = σ 2
A sua f.d. é
Z
x
√
FX (x) =
−∞
1
2πσ
e
−
(t−µ)2
2σ 2
dt
que apenas pode ser obtida numericamente.
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Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Se X ∼ normal(µ, σ 2 ), então a v.a. Z = X σ−µ ∼ normal(0, 1).
Rz
t2
1
Z possui f.d. dada por FZ (z) = −∞ √2πσ
e − 2 dt = Φ(z).
A função Φ encontra-se tabelada. Podemos também recorrer ao
scilab.
z
0
1.07
4.04
Φ(z)(tabelas)
0.5
0.8577
0.99997
Φ(z) ← cdfnor(”PQ”, z, µ, σ) (scilab)
cdfnor(”PQ”, 0, 0, 1)=0.5
cdfnor(”PQ”, 1.07, 0, 1)=0.8576903
cdfnor(”PQ”, 4.04, 0, 1)=0.9999733
Para o cálculo de Φ em valores negativos, recorrendo às tabelas, temos que atender
em primeiro lugar à simetria da f.d.p. da normal padrão para concluir que dado z ∈ R,
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
Exemplo
Φ(−2.53) = 1 − Φ(2.53) = 0.0057
No scilab faz-se cdfnor(”PQ”, −2.53, 0, 1).
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Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Existem também tabelas de quantis da distribuição normal padrão.
Os quantis de probabilidade p, 0.5 ≤ p ≤ 1, (FZ−1 (p), são obtidos
sem dificuldade, como p.e.,
FZ−1 (0.975) = Φ−1 (0.975) = 1.9600.
Mas note-se que os quantis de probabilidade p < 0.5 são negativos
e p.e.:
Φ−1 (0.023) = −Φ−1 (1 − 0.023) = −1.9954.
No scilab para determinar o quantil de probabilidade p,
(independentemente deste ser superior ou inferior a 0.5) de uma
v.a. com distribuição normal, basta executar o comando
cdfnor(”X ”, µ, σ, p, 1 − p).
Luı́sa Morgado
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Exemplo
As especificações sobre o diâmetro de em certo tipo de cabo admitem um desvio
máximo, face ao valor de referência de ±10 mı́crons. Contudo, no seu fabrico apenas
se consegue garantir que esse desvio tem distribuição normal de valor esperado igual a
0 mı́crons.
que valor deve ter a variância para se poder garantir que em 95% dos cabos
produzidos os desvios estão entre ±9.8 mı́crons?
Recorrendo às tabelas: Considerando a v.a. X = desvio do diâmetro dos cabos
face ao valor de referência, temos que X ∼normal(0, σ 2 ).
−0
Ao considerar-se a v.a. Z = X σ
= Xσ , temos Z ∼normal(0, 1).
2
Pretendemos assim o valor de σ tal que:
Z
z }| {
−9.8 − 0
X −0
9.8 − 0
P(−9.8 ≤ X ≤ 9.8) = 0.95 ⇔ P(
≤
≤
) = 0.95
σ
σ
σ
9.8
9.8
9.8
⇔Φ
−Φ −
= 0.95 ⇔ 2Φ
− 1 = 0.95
σ
σ
σ
9.8
9.8
⇔
= Φ−1 (0.975) ⇔ σ =
⇒ σ 2 = 25
σ
1.96
Luı́sa Morgado
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Ou
Recorrendo ao scilab:
P(−9.8 ≤ X ≤ 9.8) = 0.95 ⇔ FX (9.8) − FX (−9.8) = 0.95
2FX (9.8) − 1 = 0.95 ⇔ FX (9.8) = 0.975
O comando
cdfnor(”Std”, p, 1 − p, x, µ)
devolve o valor de σ tal que FX (x) = p, supondo
X ∼normal(µ, σ 2 ).
Neste caso terı́amos que fazer
cdfnor(”Std”, 0.975, 1 − 0.975, 9.8, 0).
Supondo X ∼normal(µ, σ ), explore no scilab os comandos
2
cdfnor(”Mean”, σ, p, 1 − p, x) e cdfnor(”X ”, µ, σ, p, 1 − p)
Luı́sa Morgado
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Variáveis aleatórias e suas distribuições
Distribuição exponencial
Trata-se da distribuição mais utilizada na caracterização da
duração de equipamento. Surge também na modelação dos
tempos entre ocorrências de eventos do mesmo tipo, como p.e.,
chegadas de clientes, falhas mecânicas, colisões, etc.
Distribuição exponencial
A v.a. X diz-se ter distribuição exponencial de parâmetro λ,
e escreve-se X ∼ exponencial(λ), caso a sua f.d.p. seja dada
por
λe −λx , x ≥ 0
fX (x) =
0, c.c.
Valor esperado: E (X ) =
Variância: V (X ) = λ12
1
λ
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Variáveis aleatórias e suas distribuições
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A sua f.d. é
FX (x) =
1 − e −λx , x ≥ 0
0, c.c.
que não se encontra tabelada dada a sua simplicidade.
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