AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA

AA-220
AERODINÂMICA NÃO
ESTACIONÁRIA
Teoria das Faixas
Prof. Roberto GIL
Email: [email protected]
Ramal: 6482
1
Teoria das Faixas
Técnica para resolver um problema tridimensional empregando
soluções bidimensionais conhecidas;
Não é restrito apenas ao cálculo de carregamento não
estacionário para aeroelasticidade;
A idéia é subdividir uma dada superfície de sustentação em faixas
dispostas ao longo da envergadura:
2
Teoria das Faixas
Esta teoria é limitada a casos de asas onde os efeitos
tridimensionais do escoamento podem ser desprezados, por
exemplo, asas de grande alongamento;
Não são considerados efeitos de influência aerodinâmica entre as
faixas, lembre que a solução empregada para cada faixa é uma
solução bidimensional;
As faixas podem estar ou não alinhadas com o escoamento, no
caso de asas enflechadas. Usualmente adota-se faixas
perpendiculares ao eixo elástico – decomposição dos movimentos
da superfície de sustentação nos graus de liberdade da seção
típica. Neste caso, deve-se decompor o escoamento para um
sistema de coordenadas local da asa onde para a envergadura, o
eixo "y" deve coincidir com o eixo elástico.
3
Forma Matricial de Theodorsen
l
lα  h b 
2iC ( k )
− l ⋅ b 
4 2  h

 = πρ b ω 

 lh = 1 − k

 m y 
 mh mα   α 
2iC ( k )( 0.5 + a )
i 2C ( k ) 2iC ( k )( 0.5 − a )
m = −a +
lα = −a −
k
−
k
2
−
k
h
k
2
2
iC
k
0.25
−
a
(
)
0.5
−
2
0.5
+
i
a
C
k
a
(
)
(
)
(
)(
)
1
2
+
+
mα = + a −
2
8
k
k
k
A matriz na relação, é a matriz de coeficientes de influência da
seção típica;
Relaciona as "influências" entre os movimentos associados aos
graus de liberdade e os esforços atuantes.
4
Condição de contorno
Equação do movimento nos graus de liberdade da seção típica,
que são h e
α : z = −  h + α ( x − ab)
a


o que significa: um determinado deslocamento no eixo z,
perpendicular ao escoamento não perturbado é representado pelo
movimento vertical h // z e a resultante do ângulo de ataque
vezes o braço x, distância no eixo // ao escoamento não
perturbado.
Relação para a condição de contorno a pequenas perturbações
∂z a
∂z a
+U
= wa ( x, t ) = −  h + α ( x − ab ) − U α


∂t
∂x
a = distância
do ponto de
rotação em
5
ângulo de ataque
ao meio do aerofólio
Condição de contorno do
domínio da frequência
A TRASFORMAÇÃO DA EQUAÇÃO:
∂z a
∂z
+ U a = wa ( x, t ) = −  h + α ( x − ab ) − U α


∂t
∂x
Para o domínio da frequência e dada portanto:

∂za
1  ∂za
wa ( x, y, t ) = 
( x, y , t ) + U
( x, y, t ) ⇒

∂x
b  ∂t
wa
∂za
⇒ ℑ ⇒ ( x, y, ik ) = ikza ( x, y ) +
( x, y )
U
∂x
wa 
h
x
= (ika −1)α − ik  − ik α
U 
b 
b
ωb
k=
,
U
h h iωt
= e , α = αeiωt ,
b b
MHS
6
Condição de contorno do
domínio da frequência
Note que a condição de contorno assumida está implícita no
desenvolvimento do modelo de Theodorsen.
Por este motivo, pode-se empregar diretamente as amplitudes
dos deslocamentos complexos nos graus de liberdade assumidos
para a seção:
( h b ) 
i
{ xi } = 

 (α )i 
A forma de considerar as deformação de uma asa, por exemplo, é
assumir um padrão de movimento (modo de movimento) do tipo
harmônico simples, cujas amplitudes nos graus de liberdade são
representadas pelas amplitudes complexas em cada faixa.
7
Teoria das Faixas
Cada faixa possui uma largura finita, a partir da qual pode-se
calcular o a forá de sustentação e o momento por faixa
multiplicando:
Li = l ⋅ dyi
Note que o carregamento obtido através da teoria de Theodorsen,
é por unidade de comprimento de envergadura.
Para o cálculo do carregamento, emprega-se os movimentos
referentes aos graus de liberdade de uma determinada faixa.
Por exemplo, sendo as equações para uma dada faixa
representadas por:


l
 − ( l ⋅ b )i 
4 2  h

 = πρ bi ω 
 mh
 ( my )i 
lα  ( h b )i 

 ⇒ { Pi } =  A ( ik )  i { xi }

mα  i  (α ) 
i 

8
Teoria da Faixas
Supondo N o número total de faixas:
 b14  A ( ik ) 
 { P1 } 
1




0
 { P2 } 




 { P3 } 
πρ
=






 





0
{ PN } 

0
b24  A ( ik )  2
b34  A ( ik )  3 0
0
0

  { x1 } 
 {x } 
0
 2 
  { x3 } 
0




 
0


x
{
}
bN4  A ( ik )  N   N 
0
Onde a distribuição do carregamento sobre a asa pode ser
representada pela multiplicação do vetor dos deslocamentos das
faixas pela matriz de coeficientes de influência
Note que a matriz de coeficientes de influencia total é diagonal
por blocos o que representa a ausência de interferência
aerodinâmica entre as faixas.
9
Teoria das Faixas
Devemos tomar o cuidado de levar em conta o comprimento de
referência de cada faixa como sendo o valor da semi-corda de
cada seção. No caso de uma asa afilada este valor varia;
Por outro lado, deve-se também tomar o cuidado de empregar a
frequência reduzida para o cálculo dos elementos das matrizes de
coeficientes de influência de cada faixa;
Introduz-se, portanto o conceito de frequência reduzida local. Ou
seja, assume-se que a asa toda oscile a uma frequência reduzida
de referência, aqui denotada por kref.;
Para que as seções típicas que descreve o nosso modelo de asa
oscilem na mesma frequência reduzida kref,
A escolha da frequência reduzida de referência é feita levando em
conta o comprimento de referência como sendo a semi corda na
raiz;
kref =
ωbref
V0
⇒ ki = kref
 bi

 bref



10
Teoria da Faixas
Desta forma garante-se que a frequência reduzida será igual ao
longo de toda a envergadura.
k1V0 k2V0 k3V0
k NV0
=
=
= =
=ω
b1
b2
b3
bN
Cada faixa deverá ter uma frequência reduzida local, garantindo
que a frequência circular (ω) do movimento seja a mesma.
Além da semi-corda, e consequentemente a frequência reduzida,
outros parâmetro, tais como a distância do eixo elástico a bem
como a envergadura da faixa devem ser levadas em conta
supondo a geometria do modelo e a estratégia de discretização
11
Teoria da Faixas
E finalmente, cabe lembrar que as componentes do vetor do
carregamento aerodinâmico {P } são quantias por unidade de
envergadura. Para o cálculo do esforço total por faixa, devemos
multiplicar cada um dos vetores por dyi que é a largura da faixa.
Após multiplicação, o carregamento total é dado como a soma de
cada carregamento associada a cada faixa como:
M i = myi ⋅ dyi
Li = li ⋅ dyi
nfaixas
Ltot =
∑
n =1
nfaixas
Li
M tot =
∑
Mi
n =1
12
Teoria das Faixas Modificada (1)
Limitações das Teoria das Faixas
Aplicável a asa com grande alongamento;
Sem enflechamento
Aerodinâmica incompressível (Theodorsen)
Proposta:
"CALCULATION OF FLUTTER CHARACTERISTICS FOR
FINITE-SPAN SWEPT OR UNSWEPT WINGS AT SUBSONIC
AND SUPERSONIC SPEEDS BY A MODIFIED
STRIPANALYSIS" por E. Carson Yates, Jr., March 18, 1958 NACA-RM-L57L10.
Referências:
Barmby, J. G, Cunningham, H. J. and Garrick, I. E., “Study of
Effects of Sweep on the flutter of Cantilever Wings”- NACA-REPT
1014.
LIVRO - Scanlan, R. H., and Rosenbaum, R. “Introduction to the
Study of Aircraft Vibration and Flutter”; MacMillan Co. – New York,
13
Cap. XVI e Apêndice A.2
Teoria das Faixas Modificada (2)
O emprego da Teoria da Faixas Modificada (TFM), permite:
Minimizar a limitação a grande alongamentos corrigindo os
coeficientes aerodinâmicos estacionários, implícitos da na
parcela circulatória da formulação de Theodorsen;
Corrige para efeitos de enflechamento;
Sugere a correção dos efeitos de compressibilidade através do
emprego de regras de similaridade (Prandtl-Glauert), bem
como a correção da função de Theodorsen (C(K)) para levar
em conta o efeito da esteira em regime compressível.
Vamos apresentar as correção em três partes:
A) Correção dos efeitos de enflechamento
B) Correção de compressibilidade (Jordan)
C) Correção para efeitos tridimensionais (baixo alongamento)
2

CLα ( y ) = 2π 1 − ( y lw ) 


14
Teoria das Faixas Modificada
Asa enflechada:
15
Teoria das Faixas Modificada (3)
Enflechamento:
Método das
componentes de
velocidade
Usualmente, a asa é
discretizada em faixas, cuja
corda de cada seção típica é
perpendicular ao seu eixo
elástico;
Entretanto, se a asa é
enflechada, o eixo elástico
também será.
16
Teoria das Faixas Modificada (4)
Quando a asa é enflechada, deve-se tomar o cuidado em
considerar que as seções típicas não estão alinhadas com o
escoamento.
A solução bidimensional para resolver o problemas por faixas
continua ser Theodorsen.
Entretanto, alguns “termos novos”surgirão nas relação de
sustentação e momento, pois existirão outros potenciais de
velocidade resultantes do acoplamento entre o modo de
movimento da asa e o ângulo de enflechamento.
O primeiro passo será escrever a velocidade de deformação da
asa na direção vertical como função de coordenadas de um novo
sistema de eixos, onde um deles é coincidente com as meias
cordas das seções típicas que discretizam a asa.
17
Teoria das Faixas Modificada (5)
Extraído de NACA-REPT-1014
18
Teoria das Faixas Modificada (6)
Sendo “s”o eixo alinhado com a direção da envergadura e “r”
perpendicular a “s”, um deslocamento Z escrito neste novo
sistema de coordenadas é uma função: za = za ( r , s, t ) . (y’ = s)
E a condição de contorno, ou seja o normalwash induzido pela
superfície da asa é:
∂za
∂za
W ( r , s, t ) =
( r , s, t ) + U
( r , s, t )
∂t
∂ξ
onde a coordenada ξ é paralela com o escoamento não
perturbado e com relação a esta variável é que faz sentido
diferenciar o deslocamento vertical para se computar a parcela do
normalwash com relação ao escoamento V0.
Como ξ //V
0
∂za ∂za ∂r ∂za ∂s
∂za
∂za
=
+
= cos Λ
+ sin Λ
∂ξ
∂r ∂ξ ∂s ∂ξ
∂r
∂s
19
Teoria das Faixas Modificada (7)
Condição de contorno:
W ( r , s, t ) =
∂za
∂z
∂z
+ V0 cos Λ a + V0 sin Λ a
∂t
∂r
∂s
Porém o deslocamento na direção do eixo Z pode ser escrito como
uma função de h s, t
e α s, t :
( )
( )
z a ( r , s, t ) = r ⋅ α ( s , t ) + h ( s , t )
onde se considerou que cos α ≅ 1.0 e sin α ≅ α
Substituindo esta última relação na condição de contorno:
W ( r , s, t ) =
+U sin Λ
∂
∂
 r ⋅ α ( s, t ) + h ( s, t ) + U cos Λ  r ⋅ α ( s, t ) + h ( s, t )  +
∂t
∂r
∂
 r ⋅ α ( s, t ) + h ( s, t )  ⇒
∂s
∂h
 ∂α


⇒ W ( r , s, t ) = r ⋅ α ( s, t ) + h ( s, t ) + U cos Λ α ( s, t )  + U sin Λ  r ⋅
( s, t ) + ( s,20t )
∂s
 ∂s

Teoria das Faixas Modificada (8)
Note que os termos circulatórios são calculados através dos
potenciais de velocidade associados devido a distribuição de
fontes e sumidouros no extradorso e intradorso, respectivamente.
E a intensidade das fontes e sumidouros é proporcional a W.
Portanto, surgem novos termos (últimos do lado direito da
equação para a condição de contorno, ponderados pela
componente da velocidade de escoamento não perturbado
alinhado com o eixo enflechado).
Estes novos termos serão responsáveis por modificar o
carregamento não circulatório devido o efeito do enflechamento.
21
Teoria das Faixas Modificada (9)
A parte circulatória da nossa seção típica “guinada” também
apresentará uma contribuição do efeito de enflechamento.
Note que a velocidade efetiva à qual a seção típica guinada está
sujeita é uma componente do escoamento não perturbado:
Vn = U cos Λ
∂α
E além disto, existem os potenciais associados a
∂s
∂h
e
.
∂s
Da condição de Kutta, já levando em conta os efeitos do
enflechamento:
∂h
∂h

 1
 
QΛ = h + Vn  α + tan Λ  + b  − a  α + Vn
tan Λ 
∂s
∂s

 2


Chamando :
∂h
=σ
∂s
e
∂α
=τ
∂s
22
Teoria das Faixas Modificada (10)
Theodorsen para a seção típica “guinada”
Sustentação....
 
∂h
∂α


l = −πρ b  h + Vnα + Vn
tan Λ − ba  α + Vn
tan Λ   −
∂s
∂s




∂h
∂h

 1
 
−2πρV0bC ( k )  h + Vn  α + tan Λ  + b  − a   α + Vn
tan Λ  
∂s
∂s

 2



QΛ
Λ
2
23
Teoria das Faixas Modificada (11)
Momento....
∂α
∂h




2
m = πρ b 1 8 + a  α + Vn
tan Λ  + πρ b Vn  h + Vn
tan Λ  +
∂s
∂s





∂h
∂α


3  +πρ b a  h + Vn
tan Λ  + πρ b 2Vn2 α − ab
tan Λ 
∂s
∂s




Λ
y
4
(
2
)

∂h
∂α
1


 1
 
+2πρVnb  + a  C ( k )  h + Vn  α + tan Λ  + b  − a   α + Vn
tan Λ  
∂s
∂s
2

   2



QΛ
∂h
∂α
Lembrando que as derivadas
e
são obtidas dos modos
∂s
∂s
2
de deformação da superfície de sustentação.
24
Teoria das Faixas Modificada (12)
Correção para considerar efeitos tridimensionais, incluindo o
enflechamento.
Na formulação de Theodorsen, chegou-se a conclusão que o
coeficiente de sustentação por unidade de ângulo de ataque é o
mesmo valor encontrado para a placa plana;
E a posição do centro aerodinâmico a 1/4 da corda (a = -1/2) por
estarmos trabalhando em regime incompressível, o mesmo
permanece a 1/4 nesta posição.
Ou seja, apenas as componentes circulatórias, proporcionais ao
Clα serão modificadas.
(C )
lα
 1 
=
=
=
⋅
⇒
2
1
1
1
ρVn2 2bα
ρU 2 cos 2 Λ 2bα
ρU 2 2bα  cos Λ 
2
2
2 l
n
( )
⇒ Clα
l
n
=
Clα
cos 2 Λ
l
Clα
25
Teoria das Faixas Modificada (13)
Além do efeito do enflechamento, pode-se empregar coeficientes
de sustentação obtidos a partir de experimentos na asa real
tridimensional.
Este coeficientes serão diferentes de estação para estação pois
implicitamente representam os efeitos tridimensionais sobre a
asa.
Além destes tipos de correção, existe também a possibilidade de
corrigir para efeitos de compressibilidade.
26
Correção para compressibilidade
Baseado na solução bidimensional para um aerofólio oscilante em
regime subsônico, obtida formalmente por Camilo Possio, Jordan
(P. F. Jordan - Aerodynamic Flutter Coefficients for Subsonic,
Sonic and Supersonic Flow (Linear Two-dimensional Theory) –
R&M 2957. ) sistematizou o emprego deste solução gerando
coeficientes de correção na forma de tabelas.
A aplicação destas tabelas é apresentada em "CALCULATION OF
FLUTTER CHARACTERISTICS FOR FINITE-SPAN SWEPT OR
UNSWEPT WINGS AT SUBSONIC AND SUPERSONIC SPEEDS
BY A MODIFIED STRIP ANALYSIS" por E. Carson Yates, Jr.,
March 18, 1958 - NACA-RM-L57L10, ver apêndice B.
27
Equação do potencial 2D
Para o caso em foco, a solução geral apresentada para o caso 3D
é particularizada para o caso 2D.
É um procedimento análogo ao que foi visto, e dispensa maiores
detalhes no momento.
Em linhas gerais a solução bidimensional para o caso compressível
e potencial é apresentada a seguir.
28
Equação do potencial aerodinâmico
Equação do potencial, regime subsônico e supersônico:
E a solução elementar obtida é dada por:
Note que temos duas soluções na realidade. Busca-se portanto uma
29
interpretação física para o entendimento destas soluções.
Problema Bidimensional
Dipolo 3D:
Dipolo 2D:
30
Problema Bidimensional
Desenvolve-se de forma análoga daqui em diante um Kernel de
uma relação integral, agora em um contexto bidimensional;
A diferença é que o Kernel refere-se a uma solução elementar da
equação da onda convectada na sua versão bidimensional;
Mais detalhes sobre a solução de Possio podem ser vistos em
Bisplinghoff, Ashley e Halfman – Aeroelasticity, e P. F. Jordan Aerodynamic Flutter Coefficients for Subsonic, Sonic and
Supersonic Flow (Linear Two-dimensional Theory) – R&M 2957.
Em especial, aplica-se a solução bidimensional através da forma
sistemática apresentada por Jordan, onde se gera uma correção
para a função de Theodorsen para os efeitos da compressibilidade
a ser apresentada na sequência.
31
Correção de Jordan
Jordan corrige a função de Theodorsen para o efeito da
compressibilidade aplicando a relação:
onde Ccomp e Cincomp são as funções de Theodorsen corrigida para
a compressibilidade e a original para o regime compressível,
Fincomp é a real da função de Theodorsen, e Fcomp é dado por:
Jordan, P.F. ”Aerodynamic Flutter Coefficients of Subsonic, Sonic,
and Supersonic Flow (Linear Two-Dimensional Theory).” R.A.E
32
Reports and Memorandum No. 2932, April 1953.
Tabelas de Jordan I
33
Tabelas de Jordan II
34
Tabelas de Jordan III
35
Tabelas de Jordan IV
36
Tabelas de Jordan V
37
Tabelas de Jordan VI
38
Tabelas de Jordan VII
39
Tabelas de Jordan VIII
40