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IV Congresso Internacional de Educação
VII Semana Acadêmica do Curso de Pedagogia da Uniamérica
PROCESSO DE INDUÇÃO E FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU COM USO DE
EXPERIMENTO MATEMÁTICO1
Carlos Alberto Mucelin2
Otto Hermann Friedrich Neto 3
RESUMO:
Este artigo teve como objeto de estudo a utilização do Experimento Matemático
denominado “Lei de Hooke” em atividades de ensino e aprendizagem,
especialmente em atividade de caracterização do processo de indução. Buscou-se
caracterizar e propor a utilização do referido experimento no processo ensino
aprendizagem de funções do primeiro grau. São apresentadas considerações
teóricas acerca do tema Matemática e das experimentações como atividades
importantes no processo de cognição. As atividades apresentadas pressupõem
facilitar a aprendizagem dos alunos e tornar as aulas de matemática mais
interessantes e significantes.
PALAVRAS-CHAVE: Indução, Função, Experimento Lei de Hooke.
Introdução
O que é Matemática? Por que o ensino de Matemática está presente em
todos os cursos da escola formal? Estas questões aparentemente simples são
importantes e nortearão as argumentações deste artigo.
Observa-se que a Matemática é uma Ciência que está presente em
praticamente todos os currículos dos cursos e das escolas de ensino formal. Ao
investigar acerca deste termo, Machado (1997) argumenta que a palavra Matemática
é de origem grega e significa aquilo que um sujeito pode aprender. Mathema é
sinônimo de aprendizagem. No contexto da matemática destaca-se a Lógica que
Charles Sanders Peirce denominou de semiótica ou a doutrina dos signos.
É universal o entendimento de que a matemática é extremamente importante
na formação intelectual/cognitiva das pessoas, uma vez que ela faz parte do
currículo das escolas de todos os países do Mundo, independente de raças, religião,
sistemas políticos. Machado (1998) considera que juntamente com a língua materna,
1
O artigo apresentado foi produzido em parceria com a aluna de graduação da UTFPR. E-mail:
[email protected].
2
Prof. Dr. Carlos Alberto Mucelin – Pesquisador da UTFPR. E-mail: [email protected].
3
Aluno de Graduação da UTFPR. E-mail: [email protected]
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a matemática é essencial para a representação da realidade pela interação de
número e alfabeto. Apesar de tal importância, cabe questionar: por que uma Ciência
tão antiga e entendida universalmente como essencial para a formação das pessoas
pode ser, na maioria das vezes, especialmente no contexto escolar tão odiada, tão
mal compreendida? Porque a aversão dos alunos por um ramo tão importante da
ciência?
Tais questões apresentam elevado nível de complexidade, mas é possível
enunciar determinadas hipóteses acerca de tais aversões ou incompreensões, tais
como as dificuldades observadas no processo ensino-aprendizagem, uma vez que
estão intrinsecamente correlacionados com inúmeros fatores como: a formação dos
professores, os recursos e condições de trabalho desses profissionais, os valores e
situação socioculturais entre outras.
Este artigo teve como objetivo apresentar argumentações teóricas acerca do
processo de indução no contexto educacional além de caracterizar e propor a
utilização do experimento denominado Lei de Hooke no processo ensino
aprendizagem de funções matemáticas.
O conhecimento humano: experiências sensíveis, abstrações e o ensino
de matemática
Em termos históricos, o conhecimento matemático, assim como o de outras
Ciências, foi forjado pela relação homem versus meio, suas intervenções, invenções,
experimentações diversas, culminando em muitos casos com a abstração de leis
gerais sobre fatos vivenciados.
A compreensão de mundo e a atuação/intervenção humana nele ocorrem
pela relação sujeito-objeto, abstração e juízo de valor. A esse respeito, Machado
(1998, p. 50) entende que:
[...] a assimilação da abstração ao que nada tem de real não parece um
alvo tão adequado para uma análise demorada quanto ao singular lugar
que as abstrações ocupam no processo de elaboração do conhecimento
[...] o processo de conhecimento, de uma maneira geral, desenvolve-se
numa ascensão do concreto para o abstrato, da realidade aos modelos
teóricos. Tal concepção reduz a função do pensamento teórico à de uma
via de mão única, através da qual são criadas abstrações generalizadoras,
que se tornam cada vez mais abrangente e, naturalmente, mais distantes
do real.
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Segundo Peirce (2003) não é possível que a significação acerca dos
fenômenos vivenciados sem o processo de associação, ou seja, necessariamente a
produção cognitiva humana ocorre por meio de signos e de vivências de fenômenos
para que a significação das coisas aconteça.
Apesar de ser muito difundida a concepção de que o conhecimento se dá do
concreto ao abstrato, na prática pedagógica o que se observa é um processo de
forma inversa, predominando a sequência: das teorias às aplicações. Machado
(1998) considera as abstrações como mediações indispensáveis na estruturação do
conhecimento e defende que o conhecimento acontece em uma cadeia em geral
não linear que: “[...] podem coexistir, em um mesmo nível, diferentes estruturações
do concreto organizadas a partir de distintos sistemas de abstrações e que podem
dar origem a diversos prosseguimentos” (Ibid., 1998, p. 52).
Um dos processos de se ensinar a matemática bem como outras ciências é
através da indução, processo este que visa descobrir e justificar leis universais ou
gerais a partir da observação de casos particulares.
Galileu Galliei (1564-1642) considerado como “pai da ciência moderna” foi um
precursor
teórico
do
método
experimental
ou
método
empírico,
quando
contradizendo os ensinamentos de Aristóteles, preconizou que o conhecimento
íntimo das coisas deveria ser substituído pelo conhecimento de leis gerais que
condicionam as ocorrências. Segundo Razuk (2013) o método proposto por Galileu
Galilei pode ser considerado como de indução experimental, pois é a partir da
observação de casos particulares que se propõe a chegar a uma lei geral. As etapas
propostas por Galileu foram: observar os fenômenos; analisar seus elementos
constitutivos visando estabelecer relações quantitativas entre os mesmos; induzir
hipóteses com base na análise preliminar; verificar as hipóteses utilizando um
procedimento experimental; generalizar o resultado alcançado para situações
similares; confirmar estas generalizações para se chegar a uma lei geral.
Acredita-se que a experimentação matemática é uma alternativa saudável de
estabelecer no ensino e aprendizagem desta disciplina, tanto no ensino médio como
nas primeiras séries da graduação, associação de conceitos e definições
matemáticas, por meio de observações reflexivas construídas a partir de
experimentos matemáticos, com o propósito de contribuir para a fundamentação do
conhecimento.
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Mas o que é experimentação? Esse processo pode ser definido como o ato
de provar algo, de alguém que manipulou determinado experimento ou realizou um
ensaio. Ferreira (1999) define como o “Método científico que consiste em observar
um fenômeno natural sob condições determinadas que permitem aumentar o
conhecimento que se tenha das manifestações ou leis que regem esse fenômeno:
experiência”. Por sua vez, experimento é uma palavra de origem latina
experimentum e pode ser definido como um ensaio científico utilizado para se
realizar a verificação de um fenômeno observável, segundo determinado conceito.
Entre os precursores da utilização do método de indução na realização de
experimentos destaca-se o renascentista italiano Galileu Galilei, que por seus feitos,
como já foi mencionado é considerado o “pai da Física Experimental”. Em seus
estudos experimentais Galileu previa com precisão matemática a trajetória de
projéteis. Muito do que Galileu construiu foi baseado no uso frequente do método
indutivo em seus estudos de experimentação.
Entende-se que a experimentação matemática acontece pela associação de
conceitos matemáticos com experimentos que apresentam fenômenos naturais e,
em estudos pedagógicos aplicados, podem se constituir em uma ação facilitadora e
estimuladora da aprendizagem.
O experimento lei de hooke
Em 1660 o físico inglês R. Hooke (1635-1703) estudou determinados corpos
sólidos e movimento. Hooke observou e enunciou que dentro de certos limites tais
corpos apresentam comportamento elástico. Investigando o comportamento
mecânico de uma mola, observou que as deformações elásticas obedecem a uma lei
muito simples. Ele descobriu que quanto maior fosse o peso de um corpo suspenso
a uma das extremidades de uma mola (cuja outra extremidade era presa a um
suporte fixo) maior era a deformação (no caso: aumento de comprimento) sofrida
pela mola (PRÄSS, 2013).
Analisando outros sistemas elásticos, Hooke verificou que existia sempre
proporcionalidade entre força deformante e deformação elástica produzida. Pôde
então enunciar o resultado das suas observações sob a forma de uma lei geral. Essa
lei, que é conhecida como lei de Hooke, segundo Präss (2013) foi publicada por ele
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em 1676, quando enunciou: As forças deformantes são proporcionais às
deformações elásticas produzidas. Não obstante, para a maioria dos corpos a
variação de elasticidade é muito pequena. Como exemplo, ao pressionarmos uma
vidraça, a deformação que ocorre é de frações de milímetro.
A forma de observação dos fenômenos físicos que levaram Hooke a enunciar
a referida lei é uma vivência interessante para que se estabeleçam determinados
estudos e o processo cognitivo. O processo cognitivo humano ocorre, via de regra,
por associação. A construção de significados acerca dos conteúdos programáticos
das disciplinas que são explorados pelos professores pode apresentar melhores
resultados quando determinados recursos como um experimento é utilizado para
essa finalidade. Um experimento pode, por exemplo, viabilizar que determinados
fenômenos sejam observados e que determinadas comportamentos ou leis sejam
acompanhados/avaliados.
Um Experimento matemático pode ser definido como um equipamento cuja
finalidade é a de reproduzir fenômenos específicos os quais podem ser associados à
determinadas teorias ou conceitos matemáticos. O Experimento denominado “Lei de
Hooke” – Figura 1, e que compõe um conjunto de experimentos matemáticos do
Laboratório da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR câmpus
Medianeira, é um desses experimentos. Com esse experimento é possível realizar
atividades nas quais as observações realizadas por Hooke no século XVII podem ser
reproduzidas e vivenciadas.
O experimento Lei de Hooke pode ser utilizado para a realização de
atividades educacionais no contexto educacional denominada experimentação.
Mucelin (2007, p. 5) define experimentação matemática como:
[...] um processo sígnico, um conjunto de procedimentos
previamente determinados e fundamentados na observação de
variáveis que se apresentam nas manifestações ou leis de um
determinado fenômeno. Ela possibilita vincular conceitos e/ou
definições matemáticas às leis observáveis por associações,
estimulando produções e/ou ampliações de conhecimentos
lógicos.
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Figura 1 –O Experimento Lei de Hooke
Fonte: Carlos Alberto Mucelin (2013)
Uma mola em condições normais oferece certa resistência quando é
alongada (esticada). Se uma das extremidades da mola estiver fixada, a mola vai
apresentar uma resistência denominada Força elástica cujo sentido é contrário ao
qual ela é distendida. Se estiver sob a ação da gravidade e, inicialmente a mola for
deixada no seu comprimento normal e fixada pela parte superior, a outra
extremidade (parte inferior) pode ser considerada um ponto de referencia inicial ou
marco zero.
Quando uma massa é pendurada na mola ou ela é “esticada”, ocorre uma
deformação de certa distância d. Na Figura 2 pode-se observar como se comporta
uma mola, submetida à força peso de um corpo de massa M, a deformação que
produz.
A Figura 2 sugere a deformação e o surgimento de uma força Fm, cujo
sentido é para baixo, quando determinadas massas são inseridas na mola e nela,
age a força da gravidade . Se um professor utilizar o experimento Lei de Hooke, as
deformações proporcionais que foram observadas por Hooke podem ser observadas
e vivenciadas pelos alunos e professor. Em outras palavras, os participantes do
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processo de experimentação (professores e alunos) nesse caso, poderão observar
que as distâncias deformadas são proporcionais.
1 ud*
2 ud
3 ud
Figura 2 – deformação da mola em função de massas
*ud = unidade de distância
Como o experimento Lei de Hooke pode ser utilizado por um professor de
matemática
no
ensino
dessa
ciência?
As
observações
dos
fenômenos
coletadas/vivenciadas durante o funcionamento geram informações que podem ser
utilizadas, por exemplo, na indução da lei da função, correlação de variáveis, pares
ordenados, entre outros. Neste trabalho será apresentada a indução da lei de
função.
O processo de experimentação com uso do experimento “lei de hooke”:
obtenção de dados
No processo de experimentação com uso do Experimento Lei de Hooke é
possível vivenciar/observar o processo de deformação da mola na medida em que
as massas são inseridas no sistema – Figura 3.
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Inicialmente, sem a inserção de massa Figura 4(a), registrou-se a posição
inicial da mola – posição zero. Depois, com a inserção de uma massa4 foi possível
observar que a posição da mola ocupava a posição 5 cm - Figura 4 (b).
Figura 3 – O Experimento Lei de Hooke e a deformação da mola em função de massas
Fotografia Carlos Alberto Mucelin 2013.
Nas Figuras 4(c) e (d) pode-se observar que a deformação era de 10 cm para
2 massas e 15 cm para 3.
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(a)
(b)
(c)
(d)
Cada massa do experimento foi produzida com 100 g (cem gramas).
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Figura 4 – Deformação da mola em função de diferentes massas
Fotografia Carlos Alberto Mucelin 2013.
O que ocorre ao se realizar os ensaios é uma deformação da mola de acordo
com a massa pendurada na mola do experimento, pela ação da força da gravidade–
Figura 5.
É adequado que os alunos participantes façam registros das deformações
para a obtenção de dados, os quais podem ser utilizados no processo ensino
aprendizagem de matemática, como por exemplo, na indução da lei da função do
primeiro grau.
A diferença entre as posições P1 e P2 apresentada na Figura 5, indica a
deformação que os alunos poderão observar/vivenciar quando realizarem os ensaios
experimentais. A posição P1 pode assumir qualquer valor, 1cm, 5cm ou 10cm, pois
se trata do ponto inicial da deformação. A definição dessa posição implicará que a lei
da função induzida a partir do experimento apresente coeficiente linear diferente de
zero.
P1
P2
Figura 5 – Deformação da mola
As deformações da mola em função das massas podem ser registradas em
uma tabela e, exploradas pelo professor de Matemática para o ensino de função do
primeiro grau ou linear e ainda, para o estudo e aplicação de um processo de
indução.
O estudo de funções com uso dos dados experimentais
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A função do primeiro grau (no conjunto dos números reais: f : ℜ → ℜ ) é
definida como a função f ( x) = ax + b , na qual a e b pertencem aos reais e a é
diferente de zero. Depois que o professor explorou/trabalhou o conceito de
função, a definição de função linear, é adequado mencionar a forma algébrica da
função do primeiro grau como propósito de utilizar os dados obtidos com a
utilização de experimento Lei de Hooke – Tabela 1.
Tabela 1 – Deformação versus
número de massas
Como foi mencionado por Hooke, existe um
intervalo limite para que ocorra a proporcionalidade
da deformação, ou seja, a variação de deformação
que atenda a proporcionalidade do corpo elástico.
Logo, se for inserido um número de massas fora
deste limite, pode ocorrer uma ruptura na mola,
bem como uma deformação que não atenda a
proporcionalidade.
Os dados da Tabela 1 permitem que o professor explore/construa com os
alunos o processo de indução da lei da função matemática que representa a
deformação da mola com respeito ao número crescente de massa que são
inseridos no sistema. Embora matematicamente, a relação entre massa e
deformação seja biunívoca, a variável dependente neste experimento é a
deformação, que depende do número de massas (variável independente) que são
inseridos na mola. A indução se estabelece e pode ser vivenciada pelos alunos
quando se reescreve os dados da Tabela 1 como apresentados na Tabela 2.
Tabela 2 – deformação versus
número de massas
A tabela 2 permite que se observe que a
deformação,
neste
caso,
ocorre
na
proporção 5 para 1, ou seja, para cada
massa inserida ocorre uma deformação de 5
cm. Isto permite que se escreva a lei da
10
d ( m ) = 5m
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função para o fenômeno observado:
(1)
Na sentença (1) tem-se que
d é a deformação da mola dada em cm
m é o número de massas
Vale lembrar e associar aos alunos, que a lei da função dada na sentença (1)
possui a forma algébrica: f ( x) = ax + b (2)
Portanto, a função (1) pode ser escrita como:
f ( x) = 5 x + 0 (3)
A partir da lei da função o professor pode retomar conceitos já estudados,
como o coeficiente angular (a), o coeficiente linear (b), além de utilizar os dados para
construir o gráfico da função. É importante destacar que a lei da função obtida a
partir da observação dos ensaios com o experimento, foi construída e, portanto tem
uma origem lógica e prática, diferentemente das funções que são apresentadas nos
livros didáticos e desprovidas de contexto.
É comum os livros didáticos trazerem as funções e apresentá-las como:
“Dada a função [...]”. Por vezes, esta expressão se apresenta com uma conotação
“mágica”, que não tem uma origem lógica ou que possa estar vinculada a um
fenômeno natural. Não se pretende negar a importância da resolução de uma série
de exercícios, mesmo porque a habilidade em explorar uma função algébrica,
independentemente de sua origem tem sua importância intrínseca, no que tange a
fixação e facilidade operacional de elementos de álgebra.
Considerações finais
A experimentação pode ser considerada fundamental para o estudo ou
aplicação do método indutivo, uma vez que permite ao aluno acompanhar e avaliar
os fenômenos observáveis, como é o caso de se verificar/acompanhar o processo
de deformação de uma mola por meio de variações de quantidade massas iguais,
relacionando esse processo com o conteúdo de funções de primeiro grau. Vivenciar
esse processo pode contribuir com a assimilação de determinados conteúdos a
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serem estudados, além de potencializar e tornar as aulas mais significativas e
interessantes.
Outra vantagem do experimento é a simplicidade com que ele é construído,
uma vez que seus componentes podem ser facilmente adquiridos e são constituídos
de material de baixo custo. O professor pode sugerir que o experimento seja
construído pelos próprios alunos, sob suas orientações e, dessa maneira, ampliar a
utilização do equipamento/experimento e promover a melhoria da aprendizagem dos
interessados.
Destaca-se que o experimento Lei de Hooke apresenta potencialidade para
ser utilizado em outras possibilidades de associação de conceitos matemáticos,
além daquela que foi explorada neste trabalho. Por exemplo, nos estudos de:
proporção, fração, gráfico de função linear, gráfico de pontos, resolução de
equações, domínio, imagem e contra domínio de função, sequências, progressão
aritmética.
A utilização de um experimento no processo de ensino e aprendizagem pode
estimular os alunos para a participação e, consequentemente, para a melhoria da
aprendizagem. De forma prática e objetiva, conteúdos programáticos podem ser
relacionados, como é o caso das funções de primeiro grau e, estimular a melhoraria
dos processos de ensino e de aprendizagem.
REFERÊNCIAS
FERREIRA, A. B. de H. Dicionário Aurélio eletrônico século XXI. Rio de Janeiro:
Nova Fronteira, 1999. 1 CD-ROOM.
IEZZI, G.; et al. Matemática ciência e aplicações. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
MACHADO, N. J. Matemática e realidade: análise dos pressupostos filosóficos que
fundamentam o ensino da matemática. 4. ed. São Paulo: Cortez, 1997.
MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação
múltipla. 4. ed. São Paulo: Cortez, 1998.
MUCELIN, C. A. Experimentação matemática: a talha exponencial no ensino de
função e limites. Teoria e Prática da Educação, Maringá, Eduem, v. 10, n. 3, 2009.
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PEIRCE, C. S. Semiótica. Trad. José Teixeira Coelho Neto. 3. ed. São Paulo:
Perspectiva, 2003.
PRÄSS, A. R. A lei de Hooke. Disponível em: <http://www.fisica.net/
mecanicaclassica/a_ lei_de _ hooke.pdf>. Acesso em: 17 mai. 2013.
RAZUK, P. C. O método científico. Disponível em: <http://www.unisc.br/portal/
upload/com_arquivo/o_metodo_cientifico_04.pdf>. Acesso em: 24 jun. 2013.
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