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Departamento de Engenharia Química
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Operações Unitárias II
2004/2005
Algoritmo do Método de Wang-Henke para Projecto de Colunas de Destilação Multicomponentes
1. Sistema de Equações MESH e sua Estrutura
O método de Wang-Henke baseia-se nas chamadas equações MESH: balanços de massa (M),
equações de equilíbrio líquido-vapor (E), somatório das fracções molares igual a 1 (S) e balanços de
entalpia (H). Estas equações aplicam-se aos N andares de equilíbrio da coluna de destilação
representada na figura (o índice i refere-se ao componente e o índice j ao andar):
M: L j −1 x j −1,i + V j +1 y j +1,i + F j xF , j ,i =
(1)
= ( L j + U j ) x j ,i + (V j + W j ) y j ,i
E: y j ,i = k j ,i x j ,i
S: ∑ y j ,i = 1 e
i
(2)
∑ x j ,i = 1
(3)
i
H: L j −1h j −1 + V j +1 H j +1 + F j hF j − Q j =
= ( L j + U j )h j + (V j + W j ) H j
(4)
i = 1, nc e j = 1, N
i = 1: condensador (ainda que seja total)
i = N: revaporizador
Para o caso do nosso modelo de equilíbrio (gás
perfeito e método de UNIFAC para estimar os
coeficientes de actividade na fase líquida):
k j ,i = p*j ,i (T j ) γ j ,i ( x j ,i , T j ) / p j
Análise dos graus de liberdade:
Dados: N , F j , xF , j ,i , TF j , p j ,U j ,W j , Q j (excepto Q1
e QN)
Variáveis: L j ,V j , T j , x j ,i , y j ,i
Número de equações = nc×N (M) + nc×N (E) + 2N (S) + N (H) = 2×nc×N + 3N
Número de graus de liberdade = 2
No método de Wang-Henke especifica-se a razão de refluxo (R) e o caudal de destilado (igual a V1 no
caso de condensador parcial ou U1 no caso de condensador total).
Substituindo (2) em (1), obtém-se, para cada componente i, o seguinte sistema de equações, com
estrutura tridiagonal relativamente a xj,i:
1
L j −1 x j −1,i −  L j + U j + k j ,i (V j + W j )  x j ,i + V j +1k j +1,i x j +1,i = − F j xF , j ,i
⇔ A j x j −1,i + B j ,i x j ,i + C j ,i x j +1,i = D j ,i , j = 1, N
A j = L j −1 , j = 2, N
(5)
B j ,i = −  L j + U j + k j ,i (V j + W j )  , j = 1, N
C j ,i = V j +1k j +1,i , j = 1, N − 1
D j ,i = − F j xF , j ,i , j = 1, N
Na forma matricial:
 B1
A
 2
0




0
0

 0
C1
B2
A3
0
0
C2 0
B3 C3
0
0
AN − 2
0
BN − 2
AN −1
0
0
0
CN − 2
BN −1
AN
0   x1,i   D1 


0   x2,i   D2 
0   x3,i   D3 
 


   
=
   
 


0   xN − 2,i   DN − 2 
C N −1   xN −1,i   DN −1 
 


BN   xN ,i   DN 
(6)
Os caudais de líquido podem ser calculados a partir dos caudais de vapor, efectuando-se um
balanço global envolvendo o andar j e o topo da coluna:
j
L j = V j +1 + ∑ ( Fm − U m − Wm ) − V1 , j = 1, N
(7)
m =1
Para que esta equação seja válida para j = 1 e j = N, faz-se VN+1 = 0, UN = 0 e W1 = 0.
No caso do condensador ser total, o andar 1 não é de facto um andar de equilíbrio. Além disso,
faz-se V1 = 0 e a sangria U1 corresponde à corrente de destilado. O vapor do topo da coluna é então
V2.
2. Algoritmo do Método de Wang-Henke
O sistema tridiagonal (6) pode ser resolvido, conhecendo-se os caudais de vapor Vj, as razões de
equilíbiro kj,i, e calculando-se os caudais de líquido a partir de (7). Obtém-se assim as composição das
correntes líquidas xj,i e por cálculos bubble point as temperaturas Tj e composições do vapor yj,i. Pode
então recalcular-se as razões de equilíbrio ki,j = yj,i / xj,i . Os caudais de vapor são recalculados a partir
dos balanços entálpicos (4), como veremos mais adiante. Volta então a resolver-se o sistema
tridiagonal (6) e assim sucessivamente até convergência no perfil de temperaturas.
O algoritmo do método de Wang-Henke é então:
Variáveis de entrada:
N , F j , xF , j ,i , TF j , p j ,U j ,W j , Q j (excepto Q1 e QN), razão de refluxo R e caudal de destilado D
Estimativas iniciais: T1 e TN
Variáveis de saída: L j ,V j , T j , x j ,i , y j ,i , Q1 e QN
1. Calcular o perfil inicial de temperaturas: perfil linear entre T1 e TN. Calcular estimativa das razões
de equilíbrio, admitindo modelo ideal: k j ,i = p*j ,i (T j ) / p j .
2. Calcular estimativa inicial para os caudais de vapor. No caso de uma só alimentação de líquido
saturado é razoável considerar caudais constantes e iguais a (R+1)D.
2
3. Calcular Lj por (7) e coeficientes A, B, C e D por (5).
4. Para cada componente i, resolver o sistema tridiagonal (6). Normalizar as soluções.
5. Obter novo perfil de temperaturas por cálculos bubble-T. Recalcular razões de equilíbrio.
6. Recorrendo aos balanços entálpicos, calcular Q1 e QN e recalcular nova estimativa para os caudais
de vapor (este ponto do algoritmo encontra-se desenvolvido mais adiante).
7. Voltar a 3. até que o erro quadrático médio no perfil de temperaturas seja inferior a uma tolerância:
2
1 N  (k )
T j − T j( k −1)  ≤ ε , ε ~ 10-4−10-5
∑

N j =1
Balanços entálpicos (ponto 6 do algoritmo)
No final do ponto 5. do algoritmo dispõe-se da temperatura e composição das correntes de líquido e
vapor, podendo então estimar-se a sua entalpia. Por um balanço entálpico ao condensador obtém-se
Q1 e por um balanço envolvendo toda a coluna pode calcular-se QN.
Para refinar os caudais de vapor, recorre-se ao conjunto de balanços entálpicos (4). Combinando (7) e
(4), de forma a eliminar Lj-1 e Lj, obtém-se o seguinte sistema de equações, com estrutura bidiagonal
em relação aos caudais de vapor:
α jV j + β jV j +1 = γ j
α j = h j −1 − H j , j = 2, N − 1
β j = H j +1 − h j , j = 2, N − 1
(8)
 j −1

γ j =  ∑ ( Fm − U m − Wm ) − V1  (h j − h j −1 ) + F j (h j − hF j ) +
 m =1

+ W j ( H j − h j ) + Q j , j = 2, N − 1
Na forma matricial:
α 2
0




 0
β2 0 0
α3 β3 0
0 α N −1
  V2   γ 2 
 V   γ 
 3   3 
   =  
  

    
β N −1  VN   γ N −1 
0
0
(9)
V2 é conhecido e não muda ao longo do processo iterativo: V2 = (R+1)D ou, no caso geral
V2 = L1 + U1 − F1 + V1 = ( R + 1) D − F1 + V1 .
O sistema (9) pode ser resolvido recursivamente de cima para baixo:
α 2V2 + β 2V3 = γ 2 ⇔ V3 = ( γ 2 − α 2V ) / β2 e assim sucessivamente até se obter VN.
O algoritmo detalhado do ponto 6 é então:
6.1. Calcular entalpias H j , h j e hF j .
6.2. Calcular os calores trocados no condensador e revaporizador (Q1 e QN).
6.3. Calcular coeficientes α, β e γ por (8).
6.4. Calcular os caudais de vapor, resolvendo o sistema bidiagonal (9).
3
Bibliografia
Henley, E. J. e Seader, J. D. (1981). Equilibrium-Stage Separation Operations in Chemical
Engineering, John Wiley & Sons, New York.
Wankat, P. C. (1988). Equilibrium Staged Separations, Elsevier Publishing Co., Inc., New York.
Vladerrama, J. O. e Henning, R. H., 1984, “Simulación rigurosa de una columna de destilación para
sistemas multicomponentes”, Ingenieria Quimica, p. 351-361.
4