AULA 6 - Mudanças Abruptas

MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS
Disciplina de Computação
Aula 06
Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano
1
Guia de Estudo para Aula 06
•Aplicação de AutoValores
- Usando autovalor para encontrar pontos ótimos de uma curva
- Usando o toolbox simbólico do Matlab
Geração de superfície
- Utilização da função Mesh do Matlab
Exercícios
- Pontos ótimos de função
- Autovalores na determinação de pontos críticos de uma função
Objetivos da Aula
- Compreender autovalores em otimização.
- Determinar a característica de um ponto crítico.
- Aplicar mínimos quadrados e autovalores.
- Utilizar de forma adequada o Mesh.
- Aprender a usar o toolbox de resolução simbólica do matlab.
2
Aplicação de Autovalores em Otimização
Premissas
Considerando uma função f(x), tem-se que:
• A primeira derivada igual a zero determina os pontos críticos de f(x).
• Se a segunda derivada calculada no ponto crítico for positiva tem-se
ponto de mínimo local.
• Se a segunda derivada calculada no ponto crítico for negativa tem-se
ponto de máximo local.
• Se a segunda derivada é nula e ocorre mudança de concavidade na
função f(x) o ponto é de inflexão.
3
Exemplo- 1
Primeira derivada f ‘ (x) = 2x
f(x) = x2
Segunda derivada f “ (x) = 2
4
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 2x
f(x) = x2
Segunda derivada f “ (x) = 2
5
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 2x
Ponto Crítico
f(x) = x2
Segunda derivada f “ (x) = 2
Mínimo Local
6
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 2x
f(x) = x2
Segunda derivada f “ (x) = 2
7
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 2x
f(x) = x2
Segunda derivada f “ (x) = 2
8
Exemplo-2
Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2
f(x) = x4 – 4x3 + 10
Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x
9
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2
f(x) = x4 – 4x3 + 10
Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x
10
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2
Ponto Crítico
f(x) = x4 – 4x3 + 10
Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x
Inflexão
11
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2
f(x) = x4 – 4x3 + 10
Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x
12
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2
f(x) = x4 – 4x3 + 10
Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x
Inflexão
13
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2
Ponto Crítico
f(x) = x4 – 4x3 + 10
Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x
Mínimo Local
14
Exemplo
Primeira derivada f ‘ (x) = 4x3-12x2
f(x) = x4 – 4x3 + 10
Segunda derivada f “ (x) = 12x2- 24x
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Funções bivariáveis f(x,y)
Premissas
Dada uma função f(x,y)
•Encontra-se as derivadas parciais de primeira ordem fx, fy
•Resolve-se o sistema linear formado pelas derivadas e encontram-se
os pontos críticos.
•Calculam-se as derivadas parciais fxx , fxy e fyy.
•Cria-se a matriz Hessiana:
⎛ f xx
H = ⎜⎜
⎝ f xy
f xy ⎞
⎟
f yy ⎟⎠
16
Classificação dos pontos críticos
Sejam
λ1
e
λ2
os autovalores da matriz Hessiana
• f(x,y) tem um mínimo em (x*,y*) se
λ1 > 0
λ2 > 0
• f(x,y) tem um máximo em (x*,y*) se λ1 < 0
λ2 < 0
• f(x,y) tem uma sela em (x*,y*) se os autovalores
tem sinais diferentes.
17
Exercício
Encontre e classifique todos os pontos estacionários da função
x3
f ( x, y ) = + xy 2 − 4 xy + 1
3
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
4
5
2
0
0
eixo y
-2
-4
-5
eixo x
18
Derivadas de primeira ordem
f x = x2 + y2 − 4 y
f y = 2 xy − 4 x = 2 x( y − 2)
Igualando fy = 0 obtemos,
x=0
ou
y=2
Igualando fx = 0
P/ x = 0
0 = 02 + y 2 − 4 y
⇒
y=0
ou
y=4
P/ y = 2
0 = x 2 + 22 − 8
⇒
x=2
ou
x = −2
Ptos Críticos
(0,0)
(0,4)
(2,2)
(-2,2)
19
A Matriz Hessiana
Derivadas segunda ordem
f xx = 2 x
f xy = 2 y − 4
f yy = 2 x
Matriz Hessiana
⎛ f xx f xy ⎞
⎟
H = ⎜⎜
⎟
⎝ f xy f yy ⎠
⎛ 2 x∗
2 y∗ − 4 ⎞
⎟
H = ⎜⎜ ∗
∗
2 x ⎟⎠
⎝2y − 4
(x*,y*) ponto crítico
20
AutoValores
(0,0)
⎛ 0 − 4⎞
⎟⎟
H = ⎜⎜
⎝− 4 0 ⎠
(0,0)
⎛ 0 4⎞
⎟⎟
H = ⎜⎜
4
0
⎝
⎠
(2,2)
⎛ 4 0⎞
⎟⎟
H = ⎜⎜
0
4
⎝
⎠
(−2,2)
⎛− 4 0 ⎞
⎟⎟
H = ⎜⎜
0
4
−
⎝
⎠
λ1 = 4
λ2 = −4
Ponto de Sela
λ1 = 4
λ2 = −4
Ponto de Sela
λ1 = 4
λ2 = 4
λ1 = −4
λ2 = −4
Mínimo Local
Máximo Local
21
200
150
100
50
0
CONTORNO de f(x,y)
-50
-100
-150
4
4
2
2
0
eixo y
Sela
0
-2
-2
-4
-4
eixo x
4
Mínimo
Máximo
3
2
Sela
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
22
Grafico usando Mesh
• Deve ser criada uma “malha” de pontos para o eixo x e y.
• Antes do comando para criar a malha de pontos, deve ser
fornecido um vetor com a quantidade de pontos do eixo:
início
fim
Qtde pontos
•Deve ser usado o programa “meshgride” para gerar a malha
•Deve ser inserida a função para plot em 3D
23
O gráfico
Programa para plot 3D
Programa para alterar a
Matriz de cores:
- Hot (cores quentes)
- Pink (tons de rosa)
- Sem o uso do colormap
aparedem cores diversas
24
Gerando o Contorno de curvas 3D
Programa Contour
Precisa dos pontos inseridos num vetor para eixos x, y e z:
Qtde de curvas de isolinhas desejadas
25
Toolbox de Matemática
Simbólica
Objetos simbólicos são criados a partir de strings de caracteres ou de
valores numéricos usando-se a função sym
26
O uso de funções
matemáticas
1
2x
cos( x 2 ) =
27
Matriz simbólica
Define diversas variáveis
simbólicas
Matriz de elementos
simbólicos
Determinante
28
Inserindo valores numéricos
29
Extraindo numerador e
denominador de expressões
racionais
2
ax
f=
b−x
30
Operações Algébricas
31
Funções Compostas
f (g (x ))
g (f (x ))
32
Simplificando Expressões
Agrupa todos os termos semelhantes
Expressa a função como produto de
polinômios
33
Expandindo funções
Distribui os produtos sobre
as somas
34
Simplificando funções
35
A função pretty
Forma mais fácil de ver uma expressão matemática
36
Resolvendo Equações
(comando Solve)
y = ax 2 + bx + x
37
Melhorando a saída
38
Calculando a derivada (diff)
d (ax + bx + x )
dx
2
d (sen 2 ( x ))
dx
39
A integração ( int(f))
1
∫ x dx
∫ x. cos(x )dx
2
1
∫1 x dx
Integral Definida
40