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MA12 – Matemática Discreta – AVF – 2014
Questão 1
[ 2,0 pt ]
Prove, por indução em n, que:
1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23 + · · · + n · 2n = (n − 1) · 2n+1 + 2, para todo n ≥ 1.
Questão 2
[ 2,0 pt ]
(a) Defina progressão aritmética de primeiro termo a e razão r.
(b) Conjecture uma fórmula para o termo geral an em função de a, n e r. Em seguida, prove-a
por indução em n.
(c) Se Sn = a1 + a2 + · · · + an , conjecture uma fórmula para Sn em função de a, n e r. Em seguida,
prove-a por indução em n.
(d) A partir dos itens (b) e (c), obtenha uma fórmula para Sn em função de a, an e r.
Questão 3
[ 2,0 pt ]
(a) Prove a Convolução de Vandermonde:
r X
n
m
n m
n
m
=
+
k
r
−
k
0
r
1
r−1
k=0
n
m
n m
n+m
+
+ ··· +
=
.
2
r−2
r
0
r
Sugestão: Considere um grupo com n homens e m mulheres. Calcule, de duas maneiras
diferentes, a quantidade de comissões de tamanho r que podem ser formadas com pessoas
desse grupo.
(b) Usando o item (a), deduza a Identidade de Lagrange:
n 2
X
n
k=0
k
2 2 2
2 n
n
n
n
2n
=
+
+
+ ··· +
=
.
0
1
2
n
n
Questão 4
[ 2,0 pt ]
(a) Imagine que um prédio de quatro andares deva ser pintado usando-se uma cor para cada
andar. Sabendo que as cores utilizadas podem ser verde e amarelo e que andares consecutivos
não poderão ser pintados de amarelo, de quantas maneiras é possı́vel fazer a pintura deste
prédio?
(b) Resolva o mesmo problema para um prédio de 10 andares.
Questão 5
[ 2,0 pt ]
Dados a e b dois números reais positivos, use a desigualdade das médias para encontrar o valor
mı́nimo e o ponto em que esse valor mı́nimo ocorre, para cada uma das funções abaixo:
(a) f : (0, +∞) → R, f (x) = ax2 +
b
.
x2
b
(b) f : (0, +∞) → R, f (x) = ax2 + .
x
√
x
Sugestão: Inspire-se no seguinte exemplo. Considere f : [0, +∞) → R dada por f (x) = 2
.
x +5
Pela desigualdade das médias, temos que
r
r
√
5 5 5
5
5
5
4
4 125
2
2
x + 5 = x + + + ≥ 4 x2 · · · = 4
x.
3 3 3
3 3 3
27
r
√
x
1 4 27
5
Logo f (x) = 2
≤
e a igualdade ocorre se e só se x2 = . Portanto o valor máximo
4 125 r
3
r x +5
5
1 4 27
de f é
e ocorre para x =
.
4 125
3