2. Teorema do Valor Médio

4.2 Teorema do Valor Médio Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a)  f é contínua no intervalo [a,b]
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)
c)  f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a)  f é contínua no intervalo [a,b]
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)
c)  f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Prova: caso 1: f(x) = k constante
f’(x)=0 para qualquer x em (a,b)
caso 2: f(x) > f(a) para algum x em (a,b)
Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge um valor
máximo f(xM) em algum xM em [a,b]. Como f(a)=f(b)< f(x) para algum x,
xM deve estar no aberto (a,b).
Como f é diferenciável em (a,b) e xM é ponto de máximo, temos f’(xM)=0,
Dai c=xM.
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a)  f é contínua no intervalo [a,b]
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)
c)  f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Prova: caso 3: f(x) < f(a) para algum x em (a,b)
Analogamente, f atinge um valor mínimo f(xm)
em algum xm em (a,b), onde teremos f’(xm)=0,
Dai c=xm.
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a)  f é contínua no intervalo [a,b]
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)
c)  f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Exemplo: Considere uma bola jogada para cima de uma altura inicial de 2m. f(c) Em algum momento, a bola para de subir e desce, até atingir
novamente a altura de 2m.
Logo, se f é uma função que dá a altura da bola em metros no
instante t, o Teorema de Rolle nos garante que em algum momento a
velocidade da bola se anula, pois:
f(t0)=f(t1)= 2, onde t0 é o instante de tempo inicial e t1 o instante de
tempo final onde a altura mede 2m. Como a função altura é contínua e diferencial, existe c
em (t0, t1) tal que f’(c)=0. 2m Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
a)  f é contínua no intervalo [a,b]
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)
c)  f(a) = f(b)
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.
Exemplo: Demonstre que a equação x3 + x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Temos que f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é
contínua, existe um número c entre 0 e 1 tal que f(c) = 0. Logo, f tem pelo menos uma raiz real. Suponha agora que f tem duas raízes reais. Então f(a) = f(b) = 0. f é derivável e contínua em todo ponto, pois é polinômio. Logo, pelo
Teorema de Rolle, existe c entre a e b tal que f’(c) = 0. Mas isso é um absurdo, pois f’(c) = 3x2 + 1 ≥ 1 para todo x. f (b) − f (a)
ou
f (c) =
b−a
�
A = (a, f (a))
B = (b, f (b))
y=f(x) P = (c, f (c))
f (b) − f (a)
ou
f (c) =
b−a
�
f (b) − f (a)
ou
f (c) =
b−a
�
Prova: Considere a funcão h(x) que dá a diferença entre
f e a função linear cujo gráfico é a secante que
por A e B.
Equação da reta por A e B: y − f (a) =
mAB
f (b) − f (a)
(x − a),
b−a
f (b) − f (a)
=
b−a
f (b) − f (a)
y = f (a) +
(x − a),
b−a
f (b) − f (a)
ou
f (c) =
b−a
�
Prova: f (b) − f (a)
y = f (a) +
(x − a),
b−a
1.  h é contínua em [a,b]
2.  h é derivável em (a,b) 3.  h(a) = 0 = h(b) Pelo Teorema de Rolle, existe c em (a,b) tal que h’(c) = 0 f (b) − f (a)
Mas h (x) = f (x) −
.
b−a
f (b) − f (a)
f (b) − f (a)
�
�
�
0 = h (c) = f (c) −
� f (c) =
b−a
b−a
�
�
Exemplo: Se um objeto se move em linha reta com função posição s = f(t), então a
velocidade média entre t = a e t = b é
vm =
f (b) − f (a)
b−a
Pelo Teorema do Valor Médio, em algum instante t = c entre a e b, temos f � (c) =
f (b) − f (a)
= vm
b−a
Mas f’(c) é a velocidade instantânea do objeto quando t = c. Logo, o Teorema do Valor Médio nos diz que em algum momento entre a e b a
velocidade instantânea é igual a velocidade média. Por exemplo, se um carro percorre 180 km em duas horas, sua velocidade média é
de 90 km/h. Logo, em algum instante nessas duas horas, o velocímetro marcou 90
km/h. Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f
(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte? Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos: f � (c) =
f (2) − f (0)
f (2) + 3
=
2−0
2
Mas f’(c) ≤ 5, logo: f (2) + 3
≤5
2
f (2) + 3 ≤ 10
f (2) ≤ 7
Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f
(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte? Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos: f � (c) =
f (2) − f (0)
f (2) + 3
=
2−0
2
Mas f’(c) ≤ 5, logo: f (2) + 3
≤5
2
f (2) + 3 ≤ 10
f (2) ≤ 7
f’(c) = 0 = f(b) – f(a) f(b) = f(a) Podemos, analogamente, tomar b < a e chegar a mesma conclusão de que f(b) = f(a). Logo, f(x) = f(a) para todo x, e f é constante. Corolário: Se f’(x) = g’(x) para todo x em um intervalo aberto (a,b) então f – g é
constante em (a, b), isto é, f(x) = g(x) + c, onde c é uma constante.
Demonstração: Seja F(x) = f(x) – g(x). F’(x) = f’(x) – g'(x) Como f’(x) = g’(x) em (a,b) , F’(x) = 0 Pelo corolário anterior, F é constante em (a,b). Exemplo: Demonstre que arctg(x) + arccotg(x) = π/2.
Seja F(x) = arctg(x) + arccotg(x). 1
1
−
=0
F (x) =
2
2
1+x
1+x
�
Pelo corolário, F é constante. Resta mostrar que essa constante vale π/2.
Basta tomar um valor qualquer de x, por exemplo, x=1: F(1) = arctg(1) + arccotg(1) = π/4 + π/4 = π/2. Logo, arctg(x) + arccotg(x) = F(x) = F(1) = π/2. Exercício: Mostre que
√
1
1 + x < 1 + x se x > 0.
2
Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio… Tome f (x) =
√
1+x
1
f (x) = √
2 1+x
�
1
Se x > 0, f (x) <
2
�
Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0,
podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em
(a, b) tal que f (b) − f (a)
1
f (c) =
<
b−a
2
√
√
1+b− 1+a
1
<
b−a
2
�
√
Exercício: Mostre que
1
1 + x < 1 + x se x > 0.
2
Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio… Tome f (x) =
√
1+x
1
f (x) = √
2 1+x
�
1
Se x > 0, f (x) <
2
�
Pelo Teorema do Valor Médio, como f é
contínua e derivável quando x > 0, podemos
tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de
modo que existe c em (a, b) tal que f (b) − f (a)
1
f (c) =
<
b−a
2
√
√
1+b− 1+a
1
<
b−a
2
�
√
1+b−
√
1
1 + a < (b − a)
2
Para chegar próximo da
expressão desejada,
façamos b = x: √
1+x−
√
1+x<
√
1+a<
√
1
1
x− a
2
2
1
1
1+a+ x− a
2
2
Finalmente, faça a = 0: √
1
1+x<1+ x
2
Exercício: Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio
na função
f (x) = e−2x ,
Solução: �
f (x) = e
−2x
[0,3] d
·
[−2x] = −2 · e−2x
dx
f (0) = e−2·0 = e0 = 1
f (3) = e−2·3 = e−6
f � (c) = −2 · e−2c
−2 · e−2c
−6
e
−1
f
(b)
−
f
(a)
�
=
= f (c) =
3−0
b−a
�
�
−6
� −2c �
1−e
log e
= log
6
�
�
1
1
c = − log (1 − e−6 )
2
6
Exercício: Suponha que 3 ≤ f � (x) ≤ 5 para todo x. Mostre que 18 ≤ f (8) − f (2) ≤ 30.
Solução: Vamos aplicar o Teorema do Valor no intervalo (2,8). f (8) − f (2)
f (8) − f (2)
f (c) =
=
8−2
6
�
Como 3 ≤ f � (c) ≤ 5 : f (8) − f (2)
3≤
≤5
6
18 ≤ f (8) − f (2) ≤ 30