MAT140 - Cálculo I - Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

Teortema de Rolle
Teortema do Valor Médio (TVM)
Consequência do TVM
MAT140 - Cálculo I - Teorema de Rolle e
Teorema do Valor Médio
23 de setembro de 2015
MAT140 - Cálculo I - Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
UFV
Teortema de Rolle
Teortema do Valor Médio (TVM)
Consequência do TVM
Teorema
Teorema de Role: Se f é uma função tal que:
(i) f é contı́nua em [a, b];
(ii) f é derivável em (a, b);
(iii) f (a) = f (b) = 0.
Então existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0.
Obs: Na verdade, pode se trocar a hipótese f (a) = f (b) = 0 por f (a) =
f (b), pois sendo f (a) = f (b) = k, k ∈ R, redefinimos F (x) = f (x) − k
e observamos que F satisfaz as 3 hipóteses do teorema uma vez que
F 0 (x) = f 0 (x).
MAT140 - Cálculo I - Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
UFV
Teortema de Rolle
Teortema do Valor Médio (TVM)
Consequência do TVM
Exemplos: Considere f (x) = x 3 − 25x e verifica as hipóteses do teorema
de Rolle para cada um dos intervalos abaixo. Para os quais as hipóteses
forem verdadeiras determine o c da conclusão do teorema.
(i) [−5, 0];
(ii) [0, 5];
(iii) [−5, 5].
MAT140 - Cálculo I - Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
UFV
Teortema de Rolle
Teortema do Valor Médio (TVM)
Consequência do TVM
Teorema
Teorema do Valor Médio: Se f é uma função tal que:
(i) f é contı́nua em [a, b];
(ii) f é derivável em (a, b);
f (b) − f (a)
.
b−a
A prova se baseia em obter a terceira hipótese do teorema de Rolle e então
aplica-lo para concluir a demonstração.
Então existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) =
MAT140 - Cálculo I - Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
UFV
Teortema de Rolle
Teortema do Valor Médio (TVM)
Consequência do TVM
Exemplos: Verifica as hipóteses do teorema de Rolle para cada função
com os respectivos intervalos abaixo. Para os quais as hipóteses forem
verdadeiras determine o c da conclusão do teorema.
(i) f (x) = x 3 − 5x 2 − 3x em [1, 3];
(ii) f (x) = x 2/3 em [−2, 2].
MAT140 - Cálculo I - Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
UFV
Teortema de Rolle
Teortema do Valor Médio (TVM)
Consequência do TVM
Teorema
Se f é uma função tal que f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b), então
f (x) = c para x ∈ (a, b) e com c ∈ R.
Corolário
Se f 0 (x) = g 0 (x) para todo x ∈ (a, b), então f (x) = g (x) + c para
x ∈ (a, b) e com c ∈ R.
1
Exemplo: Use o TVM aplicado a função f (x) = no inervalo (a, b) com
x
0 < a < b para garantir a existência da média geométrica entre a e b.
MAT140 - Cálculo I - Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
UFV