Lista de Antiderivadas e Integrais - FUV
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Lista de Antiderivadas e Integrais - FUV
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Lista 6 Funções de Uma Variável Antiderivadas e Integral I i) 1 O gráco da função f é apresentado abaixo. Identique o gráco da antiderivada de f. j) k) l) m) Z e4x dx Z cos(3x)dx Z Z x + 3e5x + cos(2x) dx 1 − cos(4x) + sen Z √ x 7 dx 1 dx 1 − x2 Z 1 n) dx 1 + x2 Z o) 3x dx Z p) sec2 (2x)dx Z q) sen2 (x)dx a) b) 2 ZCalcule as seguintes antiderivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) xdx Uma partícula se desloca sobre o eixo x com uma função posição x = x(t). Determine x = x(t) sabendo que: a) Z (3x + 1)dx Z 3dx Z Z 3 x2 + x + 1 dx 1 dx x2 Z 1 x + 3 dx x Z √ 3 xdx Z √ 7 3 x2 + cos(x) dx b) c) d) e) 4 a) dx = 2t − 1 e x(0) = 2 dt dx 1 = 1+t 2 e x(0) = 0 dt d2 x = 3 e v(0) = 1 e x(0) = 1 dt2 d2 x = e−t e v(0) = 0 e x(0) = 1 dt2 d2 x = cos(3t) e v(0) = 1 e x(0) = 0 dt2 Ache os valores numéricos das seguintes somas: 5 X k=1 k b) 3 X 22r+1 r=0 c) d) e) 6 X i=0 5 X n=2 4 X (2i + 1) 2n−2 a) nn n=1 f) 4 X n2 n=2 5 Prove por indução as seguintes propriedades do somatório: a) b) c) n X k=1 n X k=1 n X (ak + bk ) = n X ak + k=1 cak = c n X n X bk (aditividade) b) k=1 8 ak (homogeneidade) k=1 a) Dena precisamente partição de um intervalo. b) Dena precisamente soma de Riemann. (ak − ak−1 ) = an − a0 (telescópica) k=1 d) n X 9 1=n Use uma soma de Riemann com extremos a direita e n = 8 para achar uma aproximação da integral k=1 6 Z5 Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que: a) n X 2 (2k − 1) = n k=1 k2 − b) c) n X k=1 n X k=1 x2 − 3x 0 (Dica: Use que 2k − 1 = 10 (k − 1)2 ) Use uma soma de Riemann centrado no ponto médio para achar aproximações da integrais n2 n + (Dica: Use o item anterior) k= 2 2 k2 = a) n3 n2 n + + (Dica: k3 − (k − 1)3 = 3 2 6 b) 3k2 − 3k + 1) n X n4 n3 n2 d) k3 = + + 4 2 4 Z1 sen(x)dx n=4 0 Z1 2x dx n = 10 0 11 O gráco de g consiste de dois segmentos de retas e um semi-circulo, conforme gura abaixo. Calcule k=1 7 a) Usando as guras abaixo ache estimativas inferiores e superiores para a área abaixo do gráco de f(x) para 0 ≤ x ≤ 10 usando primeiramente 5 retângulos e posteriormente 10 retângulos. b) c) 2 R2 0 g(x)dx 2 g(x)dx 0 g(x)dx R6 R6 d) Z4 √ 2x + 5 x dx 1 e) f) g) Z π/3 cos(2x)dx −π/3 Zπ sen(3x)dx −π Z1 0 h) 12 grais: a) b) c) Zb j) xdx k) 2xdx 0 Z1 l) e−3x dx −1 Z1 2 2xex dx Z1 4 x3 e−x dx Z π/2 cos2 (x)dx 0 m) x3 dx Z π/4 sec2 (x)dx 0 0 e) sen(x)dx 0 Z1 −1 x2 dx 2 Z1 Z π/4 0 a Z1 0 d) i) Calcule a partir da denição as seguintes inte- 1 dt 1 + t2 Z3 n) x2 + xdx Z1 4x dx 0 0 f) Zb 16 (x2 + x)dx O gráco abaixo representa a velocidade de um carro em função do tempo. Esboce o gráco da posição do carro em função do tempo. a 13 Expresse as seguintes integrais como limite de somatório Z a) b) c) π cos(x)dx 0 Z1 ex dx 0 Z5 17 A velocidade mínima necessária para que um objeto escape da força gravitacional da Terra é obtida da solução da equação cos(x)ex dx 0 14 Enuncie o teorema Fundamental do Cálculo 15 Z Calcule a) Z vdv = −GM 1 dy y2 onde v é a velocidade do objeto , y é a distância do objeto ao centro da Terra, G é a constante gravitacional e M é a massa da Terra. Mostre que v e y estão relacionados pela equação 1 (x + 3)dx 0 Z4 1 dx 0 3 Z1 c) 5x3 + 2x + 4 dx b) Z 2 v = 0 3 v20 + 2GM 1 1 − y R sendo v0 é a velocidade mínima para o objeto escapar Terra quando lançado da superfície da terra e R é o raio da (Sugestão: use o fato que se y = R então v = v0 ). 4 2 Respostas dos Exercícios 2 a.) x2 b.)x + 2 2 3 3 4 2 3x x x 1 1 x 2 c.)3x d.)x + 2 + 3 e.)− x f.)− 2x2 + 2 4x 1/7 + sin(x) i.) e4 j.) 13 sin(3x) k.)(3e( 5x))/5 + h.) 73 x x2 2 x /2 + 1/2Sin[2x] 1 2 5 a.)x(t) = 2 − t + t2 b.)x(t) 2 + 2t + 3t2 d.)x(t) = e−t + t a.)15 b.)170 d.)15 = tg(t) c.)x(t) =