Antiderivadas

MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas
23 de setembro de 2015
MAT140 - Cálculo I - Antiderivadas
UFV
Operações como adição e subtração, definidas no conjunto dos números
reais, são operações reversı́veis, ou seja, possuem inversa. Neste tópico,
vamos desenvolver a operação inversa da diferenciação.
Uma função f é dita ser diferenciável em um ponto x0 de seu domı́nio
se existe a derivada f 0 (x0 ). O processo para encontrar a derivada de uma
função f , é chamado diferenciação. Este processo
f 7−→ f 0
é uma operação no conjunto das funções.
O processo reverso é chamado antidiferenciação e será apresentado
abaixo.
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Antiderivada
Definição
Uma função F , será chamada antiderivada de uma função f num
intervalo I ⊂ R, se
F 0 (x) = f (x)
para todo x ∈ I .
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Exemplo
Exemplo (1)
A função F (x) = sen(x) é a antiderivada da função f (x) = cos(x), pois
F 0 (x) = cos(x) = f (x) para todo x ∈ R.
Note que se G (x) = sen(x) + 1, então G 0 (x) = cos(x) = f (x), ou seja, G
é também uma antiderivada de f . Mais geralmente, G (x) = sen(x) + c
também é uma antiderivada de f para toda constante c.
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O próximo resultado, que segue logo abaixo, mostra que, o que ocorreu
no exemplo (1) não é exceção.
Teorema (1)
Sejam f e g funções reais definidas em um intervalo I tais que,
f 0 (x) = g 0 (x) para todo x ∈ I , então
f (x) = g (x) + k
para alguma constante k.
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Demonstração: Defina a função h da seguinte forma
h(x) = f (x) − g (x)
Como f e g são deriváveis segue que h também é. Derivando h, obtemos
h0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
Por hipótese, f 0 (x) = g 0 (x), daı́ h0 (x) = 0 para todo x ∈ I . Mas isto
implica que a função h é constante em I , ou seja, h = k, de onde obtemos
que f (x) = g (x) + k.
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Teorema (2)
Se F for uma antiderivada de f em I , então toda antiderivada de f em I
será dada por
F (x) + c
(1)
onde c é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas de f em I ,
poderão ser obtidas de (1) variando o valor de c.
Demonstração: Suponha que G seja uma antiderivada de f em I , então
temos
F 0 (x) = G 0 (x) para todo x ∈ I
Pelo teorema (1) existe c tal que
G (x) = F (x) + c para todo x ∈ I
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Notação
Como foi dito acima, dado uma função f diferenciável em um intervalo
I , antidiferenciação é o processo de encontrar a antiderivada de f , mais
precisamente, de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de f .
Z
Usaremos o sı́mbolo
para denotar a operação de antidiferenciação de
uma dada função. Escrevemos
Z
f (x)dx = F (x) + c
onde F 0 (x) = f (x) e d(F (x)) = f (x)dx.
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Observação
O
Z sı́mbolo d(F (x)) denota a diferencial da função F . Note que
d(F (x)) = F (x) + c, isto é, quando antidiferenciamos a diferencial de
uma função, obtemos a própria função mais uma constante arbitrária.
Como a antidiferenciação é a operação inversa da diferenciação, podemos
obter vários resultados sobre antidiferenciação de resultados já conhecidos
de diferenciação.
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Teorema (3)
Z
dx = x + c
0
Demonstração: Note que (x + c) = 1 e
Z
Z
1dx =
dx.
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Teorema (4)
Z
Z
af (x)dx = a
f (x)dx
onde a é uma constante qualquer.
Demonstração: Basta notar que (af (x))0 = af 0 (x).
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Teorema (5)
Se f1 e f2 estão definidas num intervalo I , então
Z
Z
Z
[f1 (x) + f2 (x)]dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx
Demonstração: Usamos o fato que (F1 (x) + F2 (x))0 = F10 (x) + F20 (x).
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Teorema (6)
Se f1 , f2 , . . . , fn estão definidas num intervalo I , então
Z
[c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)]dx =
Z
c1
Z
f1 (x)dx + c2
Z
f2 (x)dx + . . . + cn
fn (x)dx
Demonstração: Basta usar os teorema 4 e 5.
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Teorema (7)
Se n for um número racional, n 6= −1, então
Z
x n+1
+c
x n dx =
n+1
Demonstração: Observe que
(
x n+1 0
(n + 1)x n
) =
= xn
n+1
n+1
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Exemplos
Exemplo (2)
Calcule
Z
√
x 3 xdx
√
4
Solução: Note que x 3 x = x 3 , daı́
Z
√
x 3 xdx =
Z
4
4
x 3 dx =
7
=
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x3
7
3
x 3 +1
+c
4
3 +1
7
+c =
3x 3
+c
7
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Exemplo (3)
Calcule
Z
(2x 4 − 7x 2 + 3x − 1)dx
Solução:
Z
Z
Z
Z
Z
(2x 4 − 7x 2 + 3x − 1)dx = 2 x 4 dx − 7 x 2 dx + 3 xdx − dx
=2
=
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x3
x2
x5
−7 +3 −x +c
5
3
2
2x 5
7x 3
3x 2
−
+
−x +c
5
3
2
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Exemplo (4)
Calcule
Z
x2 + 1
dx
x
Solução:
Z
x2 + 1
dx =
x
Z
=
pois, (ln(x))0 =
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1
(x + )dx =
x
Z
Z
xdx +
1
dx
x
x2
+ ln(x) + c
2
1
.
x
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Teorema (8)
Z
sen(x)dx
= −cos(x) + c
cos(x)dx
= sen(x) + c
sec 2 (x)dx
= tg (x) + c
Z
Z
Z
cosec 2 (x)dx
= −cotg (x) + c
Z
sec(x)tg (x)dx
= sec(x) + c
Z
cosec(x)cotg 9x)dx
= −cosec(x) + c
Demonstração: Imediato.
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Exemplo (5)
Calcule
Z
sen(x) + sec(x)cosec(x)
dx
tg (x)
Solução:
Z
Z
Z
sen(x)
sec(x)cosec(x)
sen(x) + sec(x)cosec(x)
dx =
dx +
dx
tg (x)
tg (x)
tg (x)
Z
Z
Z
Z
1
= cos(x)dx +
dx
=
cos(x)dx
+
cosec 2 (x)dx
sen2 (x)
= sen(x) − cotg 2 (x) + c
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Exemplo (6)
Calcule
Z
Solução:
Z
3tg (t) − 4cos 2 (t)
dt
cos(t)
Z
Z
3tg (t)
cos 2 (t)
3tg (t) − 4cos 2 (t)
dt =
dt − 4
dt =
cos(t)
cos(t)
cos(t)
Z
Z
= 3 sec(t)tg (t)dt − 4 cos(t)dt =
= 3sec(t) − 4sen(t) + c
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Exemplo (7)
Suponha que y = f (x) defina uma função real, no intervalo I, tal que
dy
exista a derivada de f em I e que
= −x 2 + 3. Se f (2) = 3,
dx
determine a função f .
Solução: Note que
dy
= −x 2 + 3
dx
assim,
Z
−x 3
f (x) = (−x 2 + 3)dx =
+ 3x + c
3
Como, f (2) = 3, temos
f (2) = 3 =
−33
+ 3.3 + c ⇒ c = 3 + 9 − 9 = 3
3
Portanto,
f (x) =
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−x 3
+ 3x + 3
3
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Exemplo (8)
Seja C uma curva no plano. Suponha que em cada ponto (x, y ) de C
exista reta tangente, cuja inclinação é dada por 2x − 3. Encontre a
equação da curva C, sabendo que esta contém o ponto P = (1, 2).
Solução: A inclinação da reta tangente à curva C no ponto P é o valor
da derivada nesse ponto. Temos
Z
dy
= 2x − 3 ⇒ y = (2x − 3)dx = x 2 − 3x + c
dx
Para cada valor de c temos uma determinada curva. Queremos encontrar
a curva que contenha o ponto P = (1, 2), assim, substituindo x = 1 e
y = 2, obtemos
2 = 12 − 3.1 + c ⇒ c = 4
Portanto, a equação é y = x 2 − 3x + 4.
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