FACULDADE DE PARÁ DE MINAS Curso de Matemática Ana Paula

FACULDADE DE PARÁ DE MINAS
Curso de Matemática
Ana Paula Néri Batista
ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Pará de Minas
2013
Ana Paula Néri Batista
ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Monografia
apresentada
à
Coordenação de Matemática da
Faculdade de Pará de Minas como
requisito parcial para a conclusão do
curso de Matemática.
Orientadora:
Aguiar
Pará de Minas
2013
Andréia
Fonseca
de
Ana Paula Néri Batista
ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Monografia
apresentada
à
coordenação de Matemática da
Faculdade de Pará de Minas como
requisito parcial para a conclusão do
curso de Matemática.
Aprovada em: _____/_____/_____
______________________________________________________
Orientadora: Andréia Fonseca de Aguiar
______________________________________________________
Examinador: Anderson Baptista Leite
Dedico este trabalho a todos aqueles que
de alguma forma contribuíram para a
realização do mesmo.
AGRADECIMENTO
Agradeço em primeiro lugar a Deus, que me iluminou nessa caminhada.
Aos meus pais e ao meu irmão pelo incentivo e apoio constantes.
Ao meu namorado, pelo carinho e companheirismo.
Ao coordenador e aos professores do curso que tanto me incentivaram.
A minha orientadora pelo comprometimento, compreensão e atenção.
“Conhece a Matemática e dominarás
o mundo.”
Galileu Galilei
RESUMO
Este trabalho retrata a evolução do ensino e aprendizagem da Geometria no Ensino
Fundamental, tendo como objetivo maior investigar a origem dos problemas
relacionados ao ensino da Geometria.
Busca analisar a evolução do ensino e
aprendizagem do conteúdo, avaliar a importância da Geometria no desenvolvimento
intelectual dos alunos, identificar o papel do professor nesse processo e apontar
algumas possibilidades de mudanças. Utiliza a pesquisa qualitativa como técnica de
investigação e faz uma pesquisa bibliográfica de obras de importantes autores,
visando buscar informações para responder todas as indagações sobre o ensino
atual. Os resultados obtidos mostram grandes problemas no ensino da Geometria
em décadas anteriores, gerando assim, problemas também em seu ensino na
atualidade. O professor tem papel fundamental para que ocorra mudanças positivas
no ensino desse tão importante conteúdo. Cabe a ele inovar sua ação pedagógica,
fazer cursos de formação continuada, utilizar diferentes atividades e recursos
buscando a qualidade do ensino e aprendizagem da Geometria.
Palavras-chave: Professor. Ensino-Fundamental. Ensino-Aprendizagem. Geometria.
Lista de Abreviaturas
a.C. - antes de Cristo
CBCs - Conteúdos Básicos Comuns
MG - Minas Gerais
M.M.M. - Movimento da Matemática Moderna
PCNs - Parâmetros curriculares Nacionais
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 09
2 A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ............................................................................ 111
3 HISTÓRIA DO ENSINO DA GEOMETRIA NO BRASIL ........................................ 14
3.1 O início do ensino no brasil ............................................................................. 14
3.2 O ensino nas primeiras décadas do século xx ............................................... 15
3.3 O Movimento da Matemática Moderna ............................................................ 18
3.4 O ensino da geometria nas últimas décadas .................................................. 21
4 A GEOMETRIA NAS PROPOSTAS CURRICULARES......................................... 22
5 A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA GEOMETRIA................................................. 31
6 O PAPEL DO PROFESSOR .................................................................................. 34
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 40
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 42
9
1 INTRODUÇÃO
Tendo como referência minhas experiências como aluna do Ensino
Fundamental e Médio e do Curso de Licenciatura em Matemática, tive como objetivo
neste trabalho, responder a seguinte problemática: “Conhecendo os erros e acertos
do passado é possível identificar soluções que levem a um processo de mudanças
no ensino e aprendizagem da Geometria?”.
O meu interesse pelo tema surgiu durante a realização do estágio no Ensino
Fundamental, na Escola Estadual “Viriato Melgaço”, localizada em Pequi - MG, onde
pude perceber que a maioria dos alunos tinha muitas dificuldades na resolução de
atividades que envolviam Geometria. A partir dessa observação, pude relembrar o
quanto o ensino desse conteúdo foi omitido em meus estudos na Educação Básica,
pois alguns dos meus professores simplesmente a abandonaram e os outros apenas
passavam o básico, alegando que não havia tempo. Além disso, durante a faculdade
tive várias matérias que abordavam Geometria, levando-me a perceber o quanto é
importante estudá-la.
A exigência da monografia para obter o título de Licenciada em Matemática
constituiu-se em uma ocasião apropriada para que eu procurasse pesquisar sobre
um tema que sempre me despertou interesse e assim aumentar os meus
conhecimentos sobre o ensino da Geometria.
Diante disso, tenho como objetivo principal, investigar a origem dos
problemas relacionados ao ensino e aprendizagem da Geometria. Como objetivos
específicos: analisar a evolução do ensino e aprendizagem da Geometria no Ensino
Fundamental, mostrar como a Geometria é importante, identificar o papel do
professor e apontar algumas possibilidades de mudanças.
Assim, este trabalho teve como metodologia a pesquisa qualitativa, por ser
uma técnica de investigação com características exploratórias, que desenvolve
conceitos, ideias e entendimentos a partir de padrões encontrados nos estudos.
Para colocar em foco a questão dos problemas relacionados ao ensino e
aprendizagem da Geometria, fiz um estudo bibliográfico de diferentes textos que
abordam o tema, como livros, revistas, periódicos científicos, dissertações e teses.
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Utilizei a pesquisa bibliográfica, pelo fato de fornecer várias informações e ser
indispensável em estudos históricos.
LAKATOS e MARCONI (2012) definem pesquisa bibliográfica da seguinte
maneira:
Trata-se do levantamento de toda bibliografia já publicada, em forma de
livros, revistas, publicações avulsas e imprensa escrita. Sua finalidade é
colocar o pesquisador direto com tudo aquilo que foi escrito sobre
determinado assunto. (LAKATOS e MARCONI, 2012, p.44 e 45).
Após o levantamento dos dados através da leitura analítica, que segundo GIL
(2010) tem a finalidade de ordenar e sumariar as informações que foram
encontradas nas fontes, fiz a interpretação dos resultados obtidos para assim
sintetizar as principais ideias e descrevê-las nesta monografia.
O presente estudo estrutura-se da seguinte maneira: o segundo capítulo “A
historia da Geometria” aborda o surgimento da Geometria, os estudos realizados
durante os séculos e as principais revoluções.
O terceiro capítulo: “A história do ensino da Geometria no Brasil” relata o
início do ensino de Geometria, como ele era abordado até as primeiras décadas do
século XX, o Movimento da Matemática Moderna e o ensino da Geometria nas
últimas décadas.
O quarto capítulo “A Geometria nas propostas curriculares” mostra como os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), propostos pelo Ministério da Educação e
os Conteúdos Básicos Comuns (CBCs), recomendados pela secretaria de Estado da
Educação de Minas Gerais, abordam o conteúdo Geometria no Ensino
Fundamental.
O quinto capítulo “A importância da Geometria” relata o quanto este conteúdo
é importante no cotidiano, possibilitando um ensino contextualizado onde se valoriza
o raciocínio lógico e a interpretação. A Geometria também tem seu valor na
preparação dos alunos para o mercado de trabalho e em sua formação ampla.
O sexto capítulo “O papel do professor” apresenta as atitudes que os
docentes devem ter para incentivar o aprendizado da Geometria, possibilitando
assim, uma melhor formação de seu aluno.
Por fim, o sétimo capítulo “Considerações finais”, descreve a origem dos
problemas relacionados ao processo do ensino e aprendizagem da Geometria e
aponta algumas mudanças necessárias para melhorar a qualidade de seu ensino.
11
2 A HISTÓRIA DA GEOMETRIA
A Geometria (palavra de origem grega, Geo “terra” e metron “medir”, ou seja,
medir a terra) iniciou quando o homem desenvolveu o conceito de espaço e sentiu
que era necessário descobrir as formas e as dimensões do que o rodeava.
Segundo Mlodinow (2010), algumas civilizações antigas como a dos egípcios
e babilônios tinham necessidade de medir com exatidão as terras cultiváveis; com
isso, adquiriram um conhecimento geométrico. Com o passar do tempo esse
conhecimento foi crescendo, o homem passou a observar os acontecimentos à sua
volta, desenvolvendo noções de figuras geométricas simples, como: quadrado,
triângulo, curva e círculo. Porém o uso deste conhecimento era apenas para resolver
problemas do cotidiano, não existindo qualquer organização.
Nas civilizações mais antigas - egípcia e babilônica -, a Geometria
desenvolveu-se sempre visando à resolução de problemas de medições,
como o cálculo de distâncias, áreas e volumes, os quais estavam
diretamente ligados à atividade de subsistência. (MATEMATICA: CIÊNCIA E
APLICAÇÕES, 2010, p. 158).
Por volta de 700 a.C., o pensamento humano evoluiu bastante, o conceito de
cidadão era evidente e já havia uma valorização pela busca do conhecimento,
tornando os acontecimentos dessa época o alicerce do raciocínio moderno.
Em 600 a.C. aproximadamente, o homem já estudava a origem dos
problemas e suas soluções; na Grécia as primeiras academias eram construídas,
incentivando a busca por conhecimentos sobre Geometria.
As mudanças econômicas e políticas dos últimos séculos do segundo
milênio a.C. fizeram com que o poder do Egito e da Babilônia diminuíssem.
Novos povos passaram ao primeiro plano, e os desenvolvimentos
superiores da geometria foram passados aos gregos, que transformaram a
matéria em algo muito diferente do conjunto de conclusões empíricas
produzido por seus predecessores. (EVES, 1992, p. 7).
Nessa época Tales de Mileto fazia as suas primeiras tentativas para explicar
os fatos geométricos e procurava soluções teóricas para descobertas empíricas
feitas pelos egípcios, iniciando, portanto o processo de sistematização da
Geometria. “Esse gênio versátil, considerado um dos sete sábios da antiguidade, foi
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um digno fundador da geometria demonstrativa.” (Eves, 1992, p. 7). Este processo
continuou com Pitágoras, que demonstrou geometricamente a regularidade do
triângulo retângulo, além de ter feito várias outras descobertas.
Diante de tantas mudanças, o homem obteve um raciocínio mais elaborado e
conseguiu organizar o seu conhecimento. Com isso, a Geometria começou a ser
construída
de
afirmações,
baseadas
não
apenas
na
intuição,
mas
em
demonstrações. E foi Euclides o primeiro geômetra a organizar e sistematizar as
grandes descobertas matemáticas ocorridas em vários séculos e a estabelecer o
conceito de lugar geométrico. Ele usou o método de tornar explícitos os termos e os
conceitos, em seguida, deduzir as consequências lógicas e empregar regras. Ao
terminar este importantíssimo trabalho, Euclides o chamou de “Os Elementos”.
Demonstrar cada afirmação significa, em particular, que a intuição, embora
seja um guia valioso, deve ser conferida por um teste de demonstração (...)
O objetivo de Euclides era que o sistema fosse livre de suposições não
reconhecidas baseadas na intuição, em conjeturas e na inexatidão.
(MLODINOW, 2010, p. 40 e 43).
Este padrão de explicar Geometria de maneira dedutiva perdurou por vários
séculos e atualmente é conhecido como Geometria Euclidiana.
Agora vimos o que torna a Matemática única. Só na Matemática não há
correção significativa, só extensão. Uma vez que os gregos desenvolveram
o método dedutivo, o que fizeram estava correto, correto para todo sempre.
Euclides foi incompleto e sua obra foi enormemente estendida, mas não
teve que ser corrigida. Seus teoremas, todos eles, são válidos, até hoje.
(BOYER, 1991, p. 6).
Nessa época, os principais estudiosos se estabeleciam em Alexandria, onde
foi criado por Ptolomeu o primeiro Instituto de Pesquisa do mundo, conhecido como
Museu e uma biblioteca, onde havia um tesouro de livros, a famosa Biblioteca de
Alexandria.
De acordo com Boyer (1991), do século V até o Vll, a tradição grega de
abstração e demonstração, passava por momentos de desvalorização com Império
Romano. Nessa época havia poucos estudiosos e a Europa passava por um declínio
intelectual muito grande, chamado “Idade das Trevas”. As tradições e obras dos
gregos não tinham mais valor e ficaram perdidas e esquecidas ao longo do tempo.
No século lX, foram criadas escolas ligadas à religião, em seguida, algumas
universidades, promovendo assim, mudanças no pensamento dos europeus em
13
relação aos estudos. Com isso, a Europa voltou a ser uma potência intelectual,
graças aos avanços nos estudos.
No século XlV, houve vários estudos sobre linhas e superfícies, que hoje
chamamos de funções. E com o passar do tempo houve a unificação entre a
Geometria e os números.
A fim de economizar trabalho mental, René Descartes casou a Geometria
com os números. Com a sua ideia de coordenadas, lugar e forma podiam
ser manipulados como nunca tinham sido antes, e o número podia ser
visualizado geometricamente. (MLODINOW, 2010, p. 10).
Durante o século XVll, houve uma revolução nos estudos da Geometria , os
fatos geométricos eram conciliados com as relações algébricas. Essa relação entre
Geometria e Álgebra possibilitou vários estudos das figuras geométricas de
maneiras diferentes, mas principalmente proporcionou a interpretação geométrica
das relações algébricas.
Nos séculos seguintes, a Geometria passa a ganhar destaque nos estudos
matemáticos e cada vez mais é aplicada em problemas de outras ciências. Diante
de tanto desenvolvimento e transformações, começam a surgir diferentes
Geometrias: analítica, descritiva, projetiva, ortogonal, sintética métrica e não métrica,
esférica, fractal e outras. “Dentre os ramos da matemática, a geometria tem sido o
mais sujeito a mudanças de gosto, de uma época para outra.” (BOYER, 1991, p.
369).
A Geometria atualmente não pode ser definida apenas como “medir a terra”,
pois esta ciência nos fornece conhecimentos, linguagens e métodos que podem ser
aplicados em qualquer área da matemática. Além disso, o passado da Geometria
nos mostra o quanto é propícia a mudanças, sendo uma estrutura sempre crescente
e nunca corrigida. Essas características nos remete a pensar quais serão as
próximas revoluções que enriquecerão a história que estamos fazendo agora.
14
3 HISTÓRIA DO ENSINO DA GEOMETRIA NO BRASIL
O ensino da Geometria nas últimas décadas é caracterizado por um período
de transição. Grandes mudanças vêm acontecendo no que se referem ao seu
ensino e aos assuntos abordados. Por esse motivo o tema está sendo muito
pesquisado e recebendo destaque em congressos, não só do Brasil, mas do mundo.
Diante disso, é interessante saber quais as razões que levaram o ensino da
Geometria à sua atual situação.
3.1 O início do ensino no Brasil
Desde a chegada dos portugueses ao Brasil, o ensino foi dominado pelos
jesuítas, por cerca de 200 anos. Nesses dois séculos, foram construídos alguns
colégios e com isso teve início a doutrinação para a escrita e a leitura. Essas
escolas foram construídas para alfabetizar os índios, mas passaram a ser
desfrutadas pelos cristãos.
Com as primeiras missões de padres jesuítas, teve também o Brasil os seus
primeiros mestres. Durante pouco mais de dois séculos (1549-1759) foram
praticamente os únicos. Fundaram nossas primeiras "escolas de ler e
escrever”. (CASTRO, 1999, p. 11).
Os primeiros estudos de Geometria em terras brasileiras foram feitos em um
colégio de Salvador, por volta de 1570, até então não há registros de estudos da
disciplina no Brasil.
De acordo com Lopes (2000), durante os anos que os jesuítas permaneceram
em nosso país, o sistema educacional era bastante precário, sendo que as escolas
eram obrigadas a seguir normas burocráticas, como autorização de livros, definição
de conteúdos de ensino e adoção rígida de métodos educacionais.
As escolas dessa época ficavam em grandes propriedades, onde os filhos de
fazendeiros e até mesmo de escravos aprendiam a ler e a escrever com os padres
jesuítas. Já nas cidades, as pessoas estudavam para exercer alguma profissão.
Em 1759, os jesuítas foram expulsos, pelo fato de controlar cada vez mais o
ensino. Mas ao longo dos anos que permaneceram no Brasil, ocuparam um lugar de
destaque e importância no início da educação.
Segundo Ferreira (2005), com a expulsão dos jesuítas, a educação no Brasil
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passou por um período de muitas dificuldades, existindo apenas aulas régias (aulas
de disciplinas isoladas). Nessa época havia poucas aulas régias de Geometria e
mesmo assim a maioria atendia a pouquíssimos alunos.
A situação da educação melhorou um pouco no início do século XlX, mas
mesmo assim, apenas os filhos de quem tinha o poder ou de profissionais liberais é
que abdicavam do direito de estudar.
Os alunos nessa época eram promovidos por séries e não mais por
disciplinas, pelo fato de ter ocorrido a criação de um plano gradual e integral de
estudos destinados ao ensino secundário. Com isso, o ensino da Geometria tinha
lugar garantido, assim como o da Álgebra e da Aritmética.
Para Ferreira (2005), durante 4 séculos, o ensino da Geometria, assim como
o da Matemática, foi feito de maneira abstrata, sistematizado por definições,
axiomas e postulados, além de ter sido pouco divulgado. Os professores eram
apenas transmissores de conteúdos, limitando assim, os alunos à memorização e
reprodução de raciocínios.
3.2 O ensino nas primeiras décadas do século XX
No inicio do século XX, o Brasil era um país que dependia da comercialização
e exportação de produtos agrícolas, a maior parte da população não tinha acesso ao
ensino primário, resultando em milhões de analfabetos. Apenas os filhos de quem
tinha o poder conseguiam fazer cursos de nível superior e a maioria deles optava
por não seguir a área de exatas.
Segundo Pavanello (1993), nessa época os estudos de Geometria, assim
como o de toda a Matemática era principalmente utilitário. O ensino primário é
caracterizado por ensinar técnicas operatórias importantes para o cotidiano, não
acontecendo assim, um aprofundamento nos estudos. Apesar do ensino secundário
não ser gratuito, a maioria das cidades, também não apresenta boas condições para
a aprendizagem dos alunos.
Os conteúdos de matemática (aritmética, álgebra, geometria, etc.) são
ensinados separadamente e por professores diferentes. O tratamento dado
a eles é puramente abstrato, sem qualquer preocupação com as aplicações
práticas. (PAVANELLO, 1993, p.8).
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O ensino de Geometria e das demais disciplinas é ministrado, em sua
maioria, por professores autodidatas ou por profissionais liberais. Nos livros
didáticos, os ramos da Matemática são desenvolvidos de maneira progressiva e
sistemática, não existindo qualquer relação entre eles.
Em sua dissertação de mestrado Pavanello (1989) comenta que diante de
tantos problemas, no início dos anos 20, já existiam debates e reivindicações ligados
à educação. Os principais temas eram o combate ao analfabetismo, pelo fato de ser
considerado um problema social gravíssimo e a divulgação do ensino primário, não
havendo nenhum interesse por outros níveis de ensino. Mesmo com investimentos o
ensino elementar passava por graves problemas e sua qualidade era questionada a
todo o momento.
Durante esta década, o governo investiu pouco na área da educação e com
isso não obteve resultados satisfatórios. Mas mesmo com dificuldades conseguiu
evoluir em relação à década passada.
De qualquer forma verificam-se algumas mudanças em relação á escola
elementar: procura-se embora timidamente, expandi-la, organizá-la e
melhorar a formação dos profissionais que nela atuam. (PAVANELLO,
1993, p. 9).
O ano de 1930 é marcado pela criação do Ministério da Educação e Saúde.
Segundo Miorim (1998), este episódio é reflexo de um Brasil com novas ideias, com
movimentos que buscam mudanças culturais, sociais e principalmente educacionais.
Em 1931, foram feitos decretos que visam à reestruturação dos ensinos secundário
e superior.
Esses projetos foram importantes, mas não aconteceram em todo o país, o
que demonstra que a política educacional não era global. Por esse motivo os
educadores brasileiros organizaram um documento onde expunham seus desejos e
colocam como a política educacional global deveria ser conduzida e o chamam de
“Manifesto dos Pioneiros da Educação Nova”.
Ele afirma, entre outras coisas, a necessidade da construção de um sistema
unificado de ensino, suficientemente democrático para garantir aos
educandos a ascensão a qualquer de seus níveis, de acordo, com sua
capacidade, aptidões e aspirações e independentemente de sua situação
econômica. (PAVANELLO, 1993, p. 10).
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Para Miorim (1998), este documento tinha o interesse de provocar
transformações importantes no ensino da Matemática, pelo fato de requerer que nas
escolas sejam introduzidas situações da vida real. Com isso os problemas
matemáticos deveriam atender aos verdadeiros interesses do educando, ou seja,
estar centrado na sua vida real.
Apesar do documento ter influenciado a Constituição de 1934, não houve
providências efetivas com o intuito de cumprir as novas leis. Com isso as escolas
continuavam a serem divididas de duas maneiras, as secundárias (elite) e as
profissionais, estas destinadas ao povo.
Nesse período, o ensino da Matemática era influenciado por ideias do
Movimento Internacional para a Modernização do Ensino de Matemática. E para
Pavanello (1993), dois fatos significativos caracterizam este momento da educação:
o primeiro é a criação das Universidades de São Paulo e do Rio de Janeiro, onde
essas passam a formar profissionais ligados ao magistério; e o segundo é divisão do
ensino secundário em dois ciclos: o fundamental e o complementar (o primeiro com
duração de 5 anos e o segundo de 2 anos). Com relação ao ensino da Matemática,
propõe-se a unificação da Aritmética, Geometria e Álgebra em uma única disciplina.
No que se refere ao ensino da matemática, observa-se a tentativa de
estabelecer a unidade entre os vários ramos da matemática, entregando o
ensino da disciplina a um só professor. Este deverá desenvolver, em cada
série, o ensino de vários assuntos, procurando integrá-los. (PAVANELLO,
1993, p. 10).
Essas reformas foram muito importantes, mas mesmo com a unificação dos 3
temas matemáticos, os livros didáticos ainda os abordavam por séries, o que não
permitia a integração entre eles.
As propostas que o ensino de Geometria recebia era que esse fosse iniciado
com explicações intuitivas, pelo fato de estabelecer conhecimentos imprescindíveis
para a construção de um sistema.
De acordo com Pavanello (1989), no início da década de 1940, o ensino
secundário é muito procurado, pelo fato de ser o único a promover o estudante à
cursos superiores. Mas, mesmo com sua importância, recebe muitas críticas com
relação ao ensino formalista. Por isso, a Lei Orgânica do Ensino Secundário, de abril
de 1942, fez uma reestruturação e o dividiu nos chamados ginásio (4 anos) e
clássico e científico ( 3 anos).
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As instruções pedagógicas de Matemática, não sugerem mais que a
Aritmética, Álgebra e Geometria, sejam trabalhadas em diferentes séries. Com isso,
a Geometria passa a ser ensinada em todas as séries.
Até a metade do século XX a Geometria era ensinada de maneira lógicodedutivo, seguindo o modelo euclidiano, sendo que apenas no 3º ano do ginásio é
que se dava certa importância ao conteúdo, com a introdução de conceitos
primitivos, como ponto, reta e plano, os axiomas e postulados, em seguida,
inúmeras definições e demonstrações de teoremas que influenciaram os alunos a
terem aversão à Geometria.
O modelo euclidiano caracteriza-se pela sistematização lógica do
conhecimento matemático a partir de elementos primitivos (definições,
axiomas, postulados). Essa sistematização é expressa através de teoremas
e corolários que são deduzidos dos elementos primitivos. (FIORENTINI,
1995, p. 5).
3.3 O Movimento da Matemática Moderna
Os avanços tecnológicos, científico, econômico e a urbanização acelerada no
final década de 50, têm grande influência na educação. O número de alunos
aumenta consideravelmente, não há escolas e professores suficientes para atendêlos. Há também mudanças nas diretrizes, onde essas passam a ser mais
condizentes com a realidade social da época.
Para Fiorentini, nesse período a educação matemática brasileira, passava por
uma grande mobilização. Entre os anos de 1955 à 1966, ocorrem 5 Congressos
Brasileiros de Ensino da Matemática, com isso, vários professores e matemáticos
brasileiros começam a fazer parte do movimento internacional de reformulação e
modernização do currículo escolar, que atualmente chamamos de Movimento da
Matemática Moderna (M.M.M.).
É no início da década de 60 que se generaliza, também no Brasil, a
influência do movimento da Matemática Moderna, cuja ideia central é
adaptar o ensino da matemática às novas concepções surgidas com a
evolução deste ramo do conhecimento. (PAVANELLO, 1993, p. 13 e 14).
Com o M.M.M., o ensino da Matemática foi muito discutido entre os
profissionais e divulgado em jornais, como nunca havia sido. O movimento tinha
como princípios, o rigor, a abstração, o formalismo e a Geometria sob novo enfoque,
19
ou seja, a Geometria passaria a ser trabalhada de maneira intuitiva, não havendo
preocupações com a organização de uma sistematização.
Tendo influência do M.M.M., os livros didáticos eram lançados seguindo os
mais importantes propósitos do movimento, que segundo Fiorentini, foram:
a)
Unificar os três campos fundamentais da matemática. Não uma
integração mecânica, mas a introdução de elementos unificadores como
Teoria dos Conjuntos, Estruturas Algébricas e Relações e Funções.
b)
Dar mais ênfase aos aspectos culturais e lógicos da matemática em
lugar de caráter pragmático, mecanizado, não-justificado e regrado,
presente, naquele momento, na matemática escolar.
c)
O ensino de 1º e 2º graus deveria refletir o espírito da matemática
contemporânea que, graças ao processo de algebrização, tornou-se mais
poderosa, precisa e fundamentada logicamente. (FIORENTINI, 1995, p. 13
e 14).
Com isso, houve uma preocupação maior com o ensino da Álgebra e a
linguagem formal da Matemática. A Geometria passava a ser trabalhada de uma
maneira intuitiva, utilizando teoremas como postulados, o que resultou em um
sistema consolidado a partir de noções primitivas e empiricamente elaboradas. “Sob
esta orientação, não só se enfatiza o ensino da álgebra, como se inviabilizava o da
Geometria da forma como este era feito tradicionalmente.” (PAVANELLO, 1989, p.
103).
O movimento também sugere que os estudos sobre Geometria fossem
baseados em transformações, o que acabaria gerando vários problemas, pelo fato
dos professores não saberem o conteúdo.
Ora, o ensino da geometria na abordagem tradicional já enfrentava grandes
problemas em relação ao conhecimento do professor, aos métodos
utilizados, à dificuldade em se estabelecer uma ponte entre a geometria
prática indicada para a escola elementar e a abordagem axiomática
introduzida no secundário. Problemas ainda maiores surgem com a
proposição de programas nos quais a geometria é desenvolvida sob o
enfoque das transformações. A maioria dos professores de matemática não
domina esse assunto, o que acaba por fazer com que muitos deles deixem
de ensinar geometria sob qualquer enfoque. (PAVANELLO, 1993, p. 13).
Para Pavanello (1993), o abandono da Geometria se torna realmente evidente
e preocupante, quando a Lei 5691/71 é promulgada, onde essa concedia às escolas
a decisão de montar os programas de todas as disciplinas, de acordo com o tipo de
alunos que a frequentava. Ou seja, os professores de Matemática, que se sentiam
inseguros para trabalhar a Geometria, poderiam ou não incluí-la na aprendizagem.
20
Como resultado, a maioria dos professores, deixou de ensiná-la e os pouquíssimos
que a colocavam na programação, reservavam o final do ano letivo para abordar o
conteúdo e tinham como desculpa a falta de tempo. Em virtude disso, a
preocupação de ensinar Geometria nas escolas reduzia a cada dia.
Pavanello (1989) ainda descreve em sua dissertação, que em 1968, há um
aumento no número de escolas públicas que oferecem os 1º e 2º graus, o que
obriga o governo a ter mais profissionais para suprir as necessidades. Como solução
o governo libera a criação de vários cursos superiores particulares, entre eles as
licenciaturas curtas.
Essas licenciaturas passam a ser muito procuradas, mas não seguem
critérios rigorosos de ingresso, além de terem como especialização uma das
disciplinas da área estudada. Ou seja, durante o curso é estudado apenas o básico
e na especialização também não há domínio do conteúdo. As pessoas que fizeram
esses cursos vão trabalhar na rede pública e passam por enormes dificuldades, que
os levam a fazer cursos de treinamento e reciclagem para complementar as suas
formações.
Em 1971 foi implantada a Lei 5692, que para Pavanello (1993) provocou
consequências gravíssimas no ensino, com a fusão dos cursos primários e ginasial.
Com a nova lei, o número de alunos matriculados nas escolas públicas aumentou,
os professores passaram a trabalhar em salas superlotadas, o salário não era mais
compensador, o que os levaram a trabalhar em carga horária maior. Os docentes
ainda tinham o desafio de se adaptarem com o novo comportamento dos alunos,
que por sinal, mudou drasticamente. Esses acontecimentos refletiram diretamente
na maneira dos professores lecionarem, pois eles não recebiam apoio pedagógico.
Os professores (...) defrontam-se, ainda, com o desafio de trabalhar com
uma população diferente daquela com a qual estavam acostumados a lidar
e não contam com qualquer apoio pedagógico ou tempo e espaço para
debates ou reflexão sobre seu trabalho. (PAVANELO, 1993, p. 15).
Ferreira (2005) relata que a partir de 1970 surgiram as primeiras críticas ao
M.M.M.. Foram lançados alguns livros que abordaram o assunto, onde a maioria
deles relata que a Geometria de Euclides foi substituída por uma Geometria dedutiva
e muito rigorosa, que acaba afastando os jovens. Em virtude disso, o movimento não
produziu o efeito esperado.
21
3.4 O ensino da Geometria nas últimas décadas
Segundo Fillos (2007), nas décadas de 80 e 90, aconteceram várias
mudanças no ambiente escolar: as práticas pedagógicas são direcionadas à
resolução de problemas e a escola passa a ter a finalidade de preparar e integrar os
alunos à sociedade. Mas, no entanto, o ensino da Geometria continuava a ser
conduzido da mesma maneira que nas duas décadas anteriores.
Silva (2006) chegou à conclusão que o ensino da Geometria ainda sofre
consequências do M.M.M., pelo fato de alguns dos professores que lecionam
atualmente terem terminado o curso superior pouco tempo depois do movimento.
De acordo com Crescenti (2005), as pesquisas realizadas nos últimos anos
revelam que a maioria dos alunos ainda apresenta dificuldades gravíssimas ao
resolver problemas que envolvem conceitos geométricos e os professores ainda
expressam muitas dificuldades e inseguranças no que se refere ao ensino da
Geometria, com isso não abordam ou abordam pouco o conteúdo.
Para Hiratsuka (2005), estes acontecimentos se tornam um ciclo, pois alguns
dos atuais alunos se tornarão professores e provavelmente terão a mesma
insegurança dos professores que lecionam atualmente. Com isso haverá uma
continuação desse quadro desfavorável que se encontra o ensino da Geometria.
De acordo com Oliveira e Velasco (2007), atualmente, o ensino no Brasil de
um modo geral, está mais organizado, pois possui uma política de planejamento
educacional expressiva. Para os autores, a substituição da Lei nº 5.692/71 pela lei nº
9.394/96, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, foi um fato
importantíssimo para o futuro escolar.
A Lei das Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) expressa a
política e o planejamento educacional do país. Essas diretrizes são
embasadas na Constituição Federal, e sua finalidade é ajustar os princípios
enunciados no texto constitucional para as situações reais que envolvam
várias questões, entre elas o funcionamento das redes escolares.
(OLIVEIRA e VELASCO, 2007, p. 5).
Outros acontecimentos de expressão foram a criação dos PCNs para todo o
território brasileiro e dos CBCs para Minas Gerais. Esses documentos são um
conjunto de propostas que abordam as sugestões, os objetivos e os fundamentos de
cada área, com o intuito de auxiliar o trabalho do professor. O próximo capítulo
retrata os PCNs e os CBCs, bem como o ensino da Geometria proposto por eles.
22
4 A GEOMETRIA NAS PROPOSTAS CURRICULARES
Segundo Oliveira e Velasco (2007), a sociedade nas últimas décadas está
passando por um processo de globalização crescente. Por isso é muito importante
que o processo educacional esteja baseado no desenvolvimento das capacidades
de resolver problemas, de relacionar, de comunicar, criar e aperfeiçoar seus
conhecimentos e trabalhar em grupo.
De acordo com os mesmos autores, para orientar o trabalho cotidiano
realizado pelos docentes e especialistas educacionais sobre essas mudanças e
outras questões, foram criados os PCNs que têm como objetivo, transformar o
sistema educacional brasileiro.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática têm como finalidade
fornecer elementos para ampliar o debate nacional sobre o ensino dessa
área do conhecimento, socializar informações e resultados de pesquisas,
levando-as ao conjunto dos professores brasileiros. (BRASIL, 1998, p. 15).
Os PCNs em um primeiro momento pretendem criar condições para a
inserção dos alunos em um mundo que sofre constantes mudanças, para que esses
desenvolvam capacidades importantes para a sua vida profissional e social.
Diante desses novos contornos, as necessidades culturais, sociais e
profissionais necessitam de competências matemáticas, pois, a compreensão dos
conceitos e dos procedimentos matemáticos é importante tanto para argumentar e
tirar conclusões, quanto para auxiliar os alunos quando adultos na sua vida pessoal
e profissional.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (...) visam à construção de um
referencial que oriente a prática escolar de forma a contribuir para que toda
criança e jovem brasileiros tenham acesso a um conhecimento matemático
que lhes possibilite de fato sua inserção, como cidadãos, no mundo do
trabalho, das relações sociais e da cultura. (BRASIL, 1998, p. 15).
Os PCNs sugerem conteúdos que envolvam formas de raciocínio,
sentimentos, valores, condutas e interesses. Com isso eles podem ser trabalhados
de maneira mais ampla, fazendo com que os alunos identifiquem esses conteúdos
como formas e saberes culturais, que auxiliem em uma compreensão mais rápida,
gerando novos conhecimentos.
23
A seleção de conteúdos a serem trabalhados pode se dar numa perspectiva
mais ampla, ao procurar identificá-los como formas e saberes culturais cuja
assimilação é essencial para que produza novos conhecimentos.(BRASIL,
1998, p. 49).
O conteúdo Geometria para o ensino fundamental encontra-se distribuído em
dois blocos nos PCNs: “Espaço e Forma” e “Grandezas e Medidas”. O primeiro
destaca as questões relacionadas com as formas e as relações entre elas, a
localização e o deslocamento de objetos no campo espacial são essenciais no
cotidiano das pessoas.
Também é cada vez mais indispensável que as pessoas desenvolvam a
capacidade de observar o espaço tridimensional e de elaborar modos de
comunicar-se a respeito dele, pois a imagem é um instrumento de
informação essencial no mundo moderno. (BRASIL, 1998, p. 122).
O bloco “Espaço e Forma” ainda relata que os estudos do espaço e das
formas envolvem três objetos: o espaço físico (ele próprio), a Geometria e os
sistemas
de
representação
plana
das
figuras
espaciais.
Esses
objetos
correspondem ao desenvolvimento das habilidades de percepção espacial, à
elaboração de um sistema com propriedades geométricas e à codificação e
decodificação de figuras.
O segundo bloco “Grandezas e Medidas” é composto por conteúdos que
segundo os PCNs têm o papel de estabelecer conexões entre temas diferentes,
proporcionando a ampliação e consolidação do conceito de número, para assim
aplicar os conceitos geométricos. E como as medidas quantificam as grandezas e
são essenciais para a compreensão da Geometria, os dois conceitos possibilitam a
integração dessa com outras áreas.
Ou seja, o professor, ao propor situações-problema envolvendo grandezas
e medidas, proporcionará contextos para a construção de conceitos e
procedimentos não só os estritamente relacionados a este tema, mas
também a outros, como ampliação dos campos numéricos, razões e
proporções, gráficos cartesianos, relações geométricas, medidas
estatísticas etc. (BRASIL, 1998, p. 131).
De acordo com os PCNs, para desenvolver habilidades envolvendo
“Grandezas e Medidas”, o aluno deve associar as atividades a situações reais,
podendo assim compreender com mais facilidade o processo de medida e conhecer
melhor as unidades padronizadas das grandezas que envolvem a atividade dada.
24
Os conteúdos relacionados nos PCNs, que se referem aos blocos “Espaço e
Forma” e “Grandezas e Medidas”, estão descritos nos quadros a seguir:
Espaço e Forma

Interpretação, a partir de situações-problema (leitura de plantas, croquis, mapas), da
posição de pontos e de seus deslocamentos no plano, pelo estudo das representações em um
sistema de coordenadas cartesianas.

Distinção, em contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais,
descrevendo algumas de suas características, estabelecendo relações entre elas e utilizando
nomenclatura própria.

Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos,
como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e
outros poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; número de lados dos polígonos; eixos de
simetria de um polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados.

Composição e decomposição de figuras planas.

Identificação de diferentes planificações de alguns poliedros.

Transformação de uma figura no plano por meio de reflexões, translações e rotações e
identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos
3º Ciclo
lados, dos ângulos, da superfície).

Ampliação e redução de figuras planas segundo uma razão e identificação dos
elementos que não se alteram (medidas de ângulos) e dos que se modificam (medidas dos
lados, do perímetro e da área).

Quantificação e estabelecimento de relações entre o número de vértices, faces e arestas
de prismas e de pirâmides, da relação desse número com o polígono da base e identificação de
algumas propriedades, que caracterizam cada um desses sólidos, em função desses números.

Construção da noção de ângulo associada à idéia de mudança de direção e pelo seu
reconhecimento em figuras planas.

Verificação de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º .
25

Representação e interpretação do deslocamento de um ponto num plano cartesiano por
um segmento de reta orientado.

Secções de figuras tridimensionais por um plano e análise das figuras obtidas.

Análise em poliedros da posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares,
reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares).

Representação de diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais
e reconhecimento da figura representada por diferentes vistas.

Divisão de segmentos em partes proporcionais e construção de retas paralelas e retas
perpendiculares com régua e compasso.

Identificação de ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de
retas paralelas cortadas por retas transversais.

Estabelecimento da razão aproximada entre a medida do comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro.

Determinação da soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.

Verificação da validade da soma dos ângulos internos de um polígono convexo para os
polígonos não-convexos.

Resolução de situações-problema que envolvam a obtenção da mediatriz de um
segmento, da bissetriz de um ângulo, de retas paralelas e perpendiculares e de alguns ângulos
notáveis, fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor.
4º Ciclo

Desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas a partir de
transformações (reflexões em retas, translações, rotações e composições destas), identificando
as medidas invariantes (dos lados, dos ângulos, da superfície).

Verificar propriedades de triângulos e quadriláteros pelo reconhecimento dos casos de
congruência de triângulos.

Identificação e construção das alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um
triângulo utilizando régua e compasso.

Desenvolvimento da noção de semelhança de figuras planas a partir de ampliações ou
reduções, identificando as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos
lados, da superfície e perímetro).

Verificações experimentais e aplicações do teorema de Tales.

Verificações experimentais, aplicações e demonstração do teorema de Pitágoras.
26
Grandezas e Medidas

Reconhecimento de grandezas como comprimento, massa, capacidade, superfície,
volume, ângulo, tempo, temperatura, velocidade e identificação de unidades adequadas
(padronizadas ou não) para medi-las, fazendo uso de terminologia própria.

Reconhecimento e compreensão das unidades de memória da informática, como bytes,
quilobytes, megabytes e gigabytes em contextos apropriados, pela utilização da potenciação.

Obtenção de medidas por meio de estimativas e aproximações e decisão quanto a
resultados razoáveis dependendo da situação-problema.
3º Ciclo

Utilização de instrumentos de medida, como régua, escalímetro, transferidor, esquadro,
trena, relógios, cronômetros, balanças para fazer medições, selecionando os instrumentos e
unidades de medida adequadas à precisão que se requerem, em função da situação-problema.

Compreensão da noção de medida de superfície e de equivalência de figuras planas por
meio da composição e decomposição de figuras.

Cálculo da área de figuras planas pela decomposição e/ou composição em figuras de
áreas conhecidas, ou por meio de estimativas.

Indicar o volume de um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo pela contagem
de cubos utilizados para preencher seu interior.

Estabelecimento de conversões entre algumas unidades de medida mais usuais (para
comprimento, massa, capacidade, tempo) em resolução de situações-problema.

Resolução de situações-problema envolvendo grandezas (capacidade, tempo, massa,
temperatura) e as respectivas unidades de medida, fazendo conversões adequadas para efetuar
cálculos e expressar resultados.

Cálculo da área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras
e por aproximações.

Construção de procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas
(limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência).
4º Ciclo

Cálculo da área da superfície total de alguns sólidos geométricos (prismas e cilindros).

Cálculo do volume de alguns prismas retos e composições destes.

Análise das variações do perímetro e da área de um quadrado em relação à variação da
medida do lado e construção dos gráficos cartesianos para representar essas interdependências.

Resolução de situações-problema envolvendo grandezas determinadas pela razão de
duas outras (densidade e velocidade) ou pelo produto (energia elétrica: kWh).

Compreensão dos termos algarismo duvidoso, algarismo significativo e erro de medição,
na utilização de instrumentos de medida.

Estabelecimento da relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um
quadrado e a relação entre as medidas do perímetro e do diâmetro de um círculo.
27
Os conteúdos são acompanhados de alguns critérios de avaliação que
expressam as expectativas de aprendizagem e apontam as experiências que os
alunos devem passar por serem importantíssimas para o desenvolvimento e
socialização. Segundo os PCNs esses critérios têm os seguintes objetivos:
Nesse sentido, eles procuram refletir de forma equilibrada os diferentes
tipos de capacidades e as três dimensões dos conteúdos (conceitos,
procedimentos e atitudes de modo que o professor possa identificar
assuntos que necessitam ser retomados e organizar novas situações que
possibilitem sua efetiva aprendizagem. (BRASIL, 1998, p. 75).
De acordo com os PCNs, no 3º ciclo o professor pode verificar a
aprendizagem da Geometria através de três critérios:

Utilizar as noções de direção, sentido, ângulo, paralelismo e
perpendicularismo para representar num sistema de coordenadas a posição
e a translação de figuras no plano.

Analisar, classificar e construir figuras geométricas bidimensionais e
tridimensionais, utilizando as noções geométricas como ângulos,
paralelismo, perpendicularismo, estabelecendo relações e identificando
propriedades.

Obter e expressar resultados de medições, utilizando as principais
unidades padronizadas de medida de comprimento, capacidade, massa,
superfície, volume, ângulo e tempo. (BRASIL, 1998, p. 76 e 77).
No 4º ciclo, o ensino da Geometria pode ser avaliado em três critérios:

Resolver situações-problema que envolvem a variação de duas
grandezas direta ou inversamente proporcionais e representar em um
sistema de coordenadas cartesianas essa variação.

Estabelecer relações de congruência e de semelhança entre figuras
planas e identificar propriedades dessas relações.

Obter e expressar resultados de medidas de comprimento, massa,
tempo, capacidade, superfície, volume, densidade e velocidade e resolver
situações-problema envolvendo essas medidas. (BRASIL, 1998, p. 92 e 93).
Os CBCs têm como principal objetivo tornar as escolas estaduais de Minas
Gerais um sistema com desempenho excelente. E para tornar esse objetivo real, os
CBCs estabelecem os conhecimentos, as habilidades e competências que devem
ser adquiridas pelos discentes. No documento também consta a relação de metas a
serem alcançadas pelos professores em cada ano e os conteúdos que devem ser
trabalhados para os alunos adquirirem as habilidades e as competências desejadas:
28
Os CBCs não esgotam todos os conteúdos a serem abordados na escola,
mas expressam os aspectos fundamentais de cada disciplina, que não
podem deixar de ser ensinados e que o aluno não pode deixar de aprender.
Ao mesmo tempo, estão indicadas as habilidades e competências que ele
não pode deixar de adquirir e desenvolver. (SEE-MG, 2007, p. 9).
O documento é organizado em eixos temáticos, que são divididos em temas
que abordam os tópicos e as habilidades a serem compreendidos pelos alunos.
A Geometria encontra-se no eixo temático “Espaço e Forma”, dentro do tema
“Relações Geométricas entre Figuras Planas” que aborda os seguintes tópicos e
habilidades para a construção dos conhecimentos geométricos:
TÓPICOS
HABILIDADES
13.1. Reconhecer as principais propriedades dos triângulos isósceles e
equiláteros,
e
dos
principais
quadriláteros:
quadrado,
retângulo,
paralelogramo, trapézio, losango.
13.2. Identificar segmento, ponto médio de um segmento, triângulo e seus
13. Figuras Planas
elementos, polígonos e seus elementos, circunferência, disco, raio,
diâmetro, corda, retas tangentes e secantes.
13.3. Identificar ângulo como mudança de direção.
13.4. Identificar retas concorrentes, perpendiculares e paralelas.
13.5. Reconhecer e descrever objetos do mundo físico utilizando termos
geométricos.
13.6. Reconhecer a altura de um triângulo relativa a um de seus lados.
14.1. Utilizar os termos ângulo, paralelas e transversais e perpendiculares
para descrever situações do mundo físico ou objetos.
14.
Ângulos
entre
formados
paralelas
e
transversais
14.2. Reconhecer as relações entre os ângulos formados por retas paralelas
com uma transversal.
14.3. Utilizar as relações entre ângulos formados por retas paralelas com
transversais para obter a soma dos ângulos internos de um triângulo.
15.1. Reconhecer triângulos congruentes a partir dos critérios de
congruência.
15.2. Resolver problemas que envolvam critérios de congruência de
15.
Congruência
triângulos
de
triângulos.
15.3. Utilizar congruência de triângulos para descrever propriedades de
quadriláteros: quadrados, retângulos, losangos e paralelogramos.
29
16.
Construções
16.1. Construir perpendiculares, paralelas e mediatriz de um segmento
usando régua e compasso.
geométricas
16.2. Construir um triângulo a partir de seus lados, com régua e compasso.
17. Teorema de Tales e
17.1. Resolver problemas que envolvam o teorema de Tales.
semelhança
17.2. Reconhecer triângulos semelhantes a partir dos critérios de
de
semelhança.
triângulos
17.3. Resolver problemas que envolvam semelhança de triângulos.
18.
Teorema
de
18.1. Utilizar semelhança de triângulos para obter o teorema de Pitágoras.
18.2. Resolver problemas que envolvam o teorema de Pitágoras.
Pitágoras
• Reconhecer as propriedades do ponto de encontro das medianas de um
triângulo (baricentro).
• Reconhecer as propriedades do ponto de encontro das três alturas de um
V. Pontos notáveis de
triângulo (ortocentro).
um triângulo
• Reconhecer as propriedades do ponto de encontro das bissetrizes de um
triângulo (incentro).
• Resolver problemas que envolvam segmentos que unem cada vértice de
um triângulo a pontos do lado oposto (cevianas).
Vl.
Semelhança
trigonometria
e
no
• Utilizar semelhança de triângulos para descrever as relações métricas no
triângulo retângulo.
• Resolver problemas que envolvam as razões trigonométricas seno,
triângulo retângulo
cosseno e tangente.
• Identificar simetrias de figuras em relação a uma reta ou em relação a um
Vll. Simetrias
ponto.
Vlll.
Construções
• Reconhecer o ponto médio de um segmento, a mediatriz de um segmento,
a bissetriz de um ângulo com figuras obtidas a partir de simetrias.
geométricas
• Construir com régua e compasso: a mediatriz de um segmento, a bissetriz
de um ângulo,retas paralelas, retas perpendiculares,transporte de ângulos e
de segmentos.
• Construir triângulos isósceles e eqüiláteros, quadrados e hexágonos
regulares.
lX.
Ângulos
circunferência
em
uma
• Identificar ângulos centrais e inscritos em uma circunferência.
• Relacionar medidas de ângulos centrais, inscritos e arcos em uma
circunferência.
30
Os CBCs ainda relatam que os tópicos, representam um caminho para as
escolas seguirem conforme seus objetivos e projeto pedagógico.
Com isso, podemos constatar que a Geometria não está abandonada nos
documentos oficiais da educação (PCNs e CBCs) e que, portanto basta o professor
seguir as orientações desses documentos para fazer um trabalho que valorize o
ensino geométrico.
31
5 A IMPORTÂNCIA DO ENSINO DA GEOMETRIA
Para Fillos (2007), a Geometria é classificada como um conjunto de
conhecimentos essenciais para entender o mundo, além de auxiliar o ser humano
em seu cotidiano pelo fato de desenvolver a percepção espacial e estar diretamente
ligada a diferentes áreas do conhecimento. “A Geometria nos ajuda a compreender
e apreciar o mundo em torno de nós.” (SHERARD, 1981, p. 4).
Para Crescenti (2005), se passarmos a observar, percebemos que a
Geometria está presente em nosso dia-a-dia, como: na arquitetura de edifícios e
casas, nas embalagens, nas plantas de terrenos, no artesanato, nas coreografias,
nos campos e quadras de esportes e até mesmo nas letras do alfabeto.
A Geometria é uma das melhores oportunidades que existem para aprender
como matematizar a realidade. (...) Com certeza, os números são também
um domínio aberto às investigações, e pode-se aprender a pensar através
da realização de cálculos, mas as descobertas feitas pelos próprios olhos e
mãos são mais surpreendentes e convincentes. (FREUDENTHAL apud
FONSECA, 2002, p. 92 e 93).
Sherard (1981) classifica a Geometria como uma competência essencial, pois
em nosso vocabulário falado e escrito existem muitos termos geométricos, ou seja,
ajuda na comunicação. E também pode ser aplicada em várias situações da vida
real.
Para Lorenzato (1995), a Geometria tem uma função indispensável na
formação dos seres humanos, pois possibilita uma comunicação maior de ideias e
facilita a compreensão da Matemática de uma maneira mais equilibrada.
No ensino, segundo Fainguelernt (1995), a Geometria ocupa um papel muito
importante, pois ativa as estruturas da mente, principalmente na passagem de
informações concretas e experimentais para o processo de abstração dessas
informações e assim generalizar. Para o mesmo autor a essência da Geometria é a
intuição, a abstração, o formalismo e a dedução.
A geometria apresenta-se como um campo profícuo para o desenvolvimento
da “capacidadede abstrair, generalizar, projetar, transcender o que é
imediatamente sensível” - que é um dos objetivos do ensino da matemática
– oferecendo condições para que níveis sucessivos de abstração possam
ser alcançados. (PAVANELLO, 2004, p. 3 e 4).
32
O ensino da Geometria também favorece o pensamento do aluno, pois o
incentiva a buscar novas situações, onde ele passa a especular, ou seja, a imaginar
o que aconteceria se..., e é por isso que a Geometria pode ser chamada de espaço
intelectual. Esse pensamento que a Geometria proporciona é chamado de
hipotético-dedutivo por Whelen (1981).
Sobre a importância do ensino da Geometria, Oliveira e Velasco (2007),
relatam:
O ensino da geometria além de possuir um vasto campo de aplicação
prática, permite igualmente ao educando construir conhecimentos teóricos.
Estes conhecimentos, compostos por definições, temas, postulados e
teoremas, possibilitam um amplo desenvolvimento intelectual, ou seja, um
grande desenvolvimento da interpretação e do raciocínio teórico e prático.
(OLIVEIRA E VELASCO, 2007, p. 2 e 3).
Para Soares (2009), a Geometria é importante porque possibilita a
contextualização dos conteúdos. Se os alunos perceberem e valorizarem a sua
presença na natureza e em criações dos seres humanos, com certeza haverá uma
contribuição enorme para o significado correto dos conceitos aprendidos, por isso é
importante aplicar atividades como a seguinte:
Figura 1 - Atividade Contextualizada
Fonte: A CONQUISTA DA MATEMÁTICA, 6º ano, 2009, p. 283.
A Geometria deve ser ensinada na educação básica de maneira correta e
eficaz, pois auxilia diretamente na compreensão dos conceitos matemáticos, ou
seja, ela pode ser aplicada em tópicos básicos da Matemática.
A Geometria é um tema unificador em todo o currículo da Matemática, e
como tal é uma rica fonte de visualização para os conceitos aritmético,
algébricos e estatísticos. (SHERARD III, 1981, p. 6).
33
A seguinte questão envolve Geometria, equações e inequações, além do
aluno ter que interpretar a escrita e fazer o desenho pra visualizar a situação.
Figura 2 – Atividade Matemática
Fonte: MATEMÁTICA E REALIDADE, 8º ano, 2005, p. 319.
Para Sherard (1981), a Geometria tem uma importância enorme para a
preparação dos alunos para cursos mais avançados em Matemática e também para
as diversas carreiras que exigem conceitos matemáticos. A Geometria é importante
em diversas áreas, como: física, astronomia, química, biologia, arquitetura, desenho,
engenharia, etc.
Por esse motivo é necessário que os alunos estudem os conceitos
geométricos para que possam ter opções de escolher, quando adultos, profissões
que abordam Geometria ou algum outro conteúdo matemático.
Um conhecimento insuficiente de Matemática, e de Geometria em particular,
pode ter o efeito de limitar as oportunidades de trabalho de uma pessoa e
assim indiretamente diminuir a qualidade de vida que essa pessoa poderia
ter. (SHERARD III, 1981, p. 7).
Enfim, a Geometria é importante porque proporciona oportunidades de
enxergar, comparar, conjecturar, medir e principalmente generalizar e abstrair. Ela
auxilia os alunos a descobrir relações tornando mais fácil a resolução de problemas,
estimulando assim o raciocínio lógico e diversas habilidades.
34
6 O PAPEL DO PROFESSOR
A sociedade brasileira atualmente está passando por mudanças intensas em
diversos setores, como: político, econômico e cultural. E a base para termos
profissionais competentes para atuar nessas áreas é a qualificação, ou seja, a
educação é primordial. Mas para termos um ensino de qualidade, é preciso
profissionais com autonomia, consciência de seus deveres e principalmente
criatividade.
(...) é mais valorizado um trabalhador que tem ideias originais, inovadoras e
que pode auxiliar e resolver situações-problemas em diversas áreas, em
oposição a quem nunca demonstrou criatividade em sua atividade. (PEREZ,
1999, p. 267).
Segundo Perez (1999), o professor tem o papel de estimular os alunos a
serem criativos, oferecendo liberdade para se expressarem e usar a imaginação.
Com isso, eles irão desenvolver o raciocínio de maneira mais rápida, com
originalidade e descobrirão sozinhos os diversos caminhos para chegar às
respostas.
Ainda segundo o mesmo autor, o professor deve aplicar atividades
desafiadoras, algumas com grau de dificuldade maior. Para ele, essa maneira de
lecionar, torna os estudantes mais propícios aos estímulos e com isso terão mais
facilidade para se adaptarem às mudanças e conseguirão assim solucionar
problemas não convencionais. Exemplo de atividade com desafio:
Figura 3 – Atividade com Desafio
Fonte: A CONQUISTA DA MATEMÁTICA, 9º ano, 2009, p. 235.
35
Para Perez (1999), ao aplicar atividades envolvendo desafios, o professor
incentiva os alunos a desenvolverem o hábito de estudar, pesquisar, analisar e com
isso terem um pensamento crítico, reflexivo, ou seja, serão estudantes com iniciativa
e autonomia.
De acordo com Marcelo (2002), os professores devem estar preparados para
trabalhar em um ambiente que passa por mudanças constantes, aonde os alunos
chegam às informações de diversas maneiras, como rádio, televisão, computador,
internet, etc. E para o autor, os docentes devem usar essa tecnologia como uma
aliada nas suas aulas, mostrando para os alunos que podem ser transformadores da
sua realidade.
As tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos
principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que
exercem nos meios de produção por suas consequências no cotidiano das
pessoas. (BRASIL, 1998, p. 43).
Para Crescenti (2005), o professor deve saber que para desenvolver melhor o
seu trabalho, tem que estar consciente de que é ele quem constrói o ambiente de
ensino e que o estudante é um ser único com características particulares que devem
ser incentivadas sempre. “Considerar as diferenças apresentadas pelos alunos em
diferentes momentos do desenvolvimento auxilia o professor a planejar melhor a sua
ação docente.” (OLIVEIRA E VELASCO, 2007 p. 2).
Para Marcelo (2002), o docente que deseja fazer um trabalho interessante,
deve procurar interagir com seus alunos. E para isso, ele deve conhecer as
características
culturais,
socioeconômicas
dos
discentes,
saber
se
têm
oportunidades e quais são as suas expectativas para o futuro.
Crescenti (2005), também relata em sua tese de doutorado, que os saberes
dos docentes estão relacionados com a experiência, o conhecimento e a pedagogia.
Ou seja, para tornar as suas aulas mais compreensíveis e de uma maneira geral
mais prazerosas, o professor deve utilizar como referência a sua vida (experiência),
a sua formação (conhecimento) e o que adquiriu na prática como docente
(pedagogia). Sendo que os três saberes não devem ser trabalhados separadamente,
pois serão insuficientes para a prática de ensino.
Segundo Crescenti (2005), se o professor usar esses saberes, ele terá
algumas características importantíssimas, que são:
36
- ter conhecimento sobre o conteúdo, sua importância para os alunos e para
a sociedade e sua aplicabilidade a outras áreas do conhecimento e ao
cotidiano. - usar metodologias adequadas a cada assunto. – ter um bom
tom de voz, clareza e objetividade de expressão, ser coerente entre o que
diz e o que faz em aula, usar adequadamente materiais e recursos.–
envolver o aluno na própria aprendizagem, incentivar sua participação,
possibilitar a comunicação e a troca de informações entre professor-aluno e
aluno-aluno. (...) (CRESCENTI, 2005, p. 50).
A maioria dessas características é adquirida em cursos de graduação e
aperfeiçoada na prática, ou seja, em sala de aula. Mas, os professores devem ter a
consciência que apenas a formação inicial não é suficiente para obter um trabalho
expressivo, por isso é importante sempre estar fazendo novos cursos e
aperfeiçoando cada vez mais o conhecimento.
A formação continuada pode contribuir muito para que os professores se
desenvolvam de forma satisfatória, melhorando sua atuação docente. A
formação inicial dos professores de Matemática dificilmente pode dar conta
de formar o futuro professor devido à complexidade de variáveis que
compõem a arte de ensinar. (CRESCENTI, 2005, p. 50).
Segundo Marcelo (2002), é muito importante para o professor conhecer o
conteúdo, pois permite ensiná-lo ao aluno, mas se ele conhecer o conteúdo de
forma precisa e detalhada, com certeza estará mais preparado para explicá-lo e terá
uma facilidade maior para organizá-lo mentalmente. A ausência de domínio sobre
algum conteúdo pode fazer com que o professor o ensine de maneira superficial ou
até mesmo deixe de ensiná-lo.
Para desempenhar seu papel de mediador entre o conhecimento
matemático e o aluno, o professor precisa ter um sólido conhecimento dos
conceitos e procedimentos dessa área e uma concepção de matemática
como ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos
conhecimentos. (BRASIL, 1998, p. 36).
Para Hiratsuka (2005), apesar da Geometria também ter passado por
mudanças nos últimos anos, ela ainda permanece como uma ciência rigorosa,
abstrata e formal, pelo fato da maioria dos professores ainda não associar seu
ensino à realidade. Outro ponto que os docentes erram, é ao pensarem que a
aprendizagem ocorre se o aluno reproduz apenas o conteúdo.
37
Não há como despertar o interesse das crianças quando se faz uma
apresentação de conteúdos desprovidos de significados para elas, quando
se prioriza a reprodução e não a construção do conhecimento.
(HIRATSUKA, 2005, p. 408).
Na opinião de Hiratsuka (2005), o docente deve utilizar metodologias para
que ocorra a aprendizagem dos alunos efetivamente. E como a Geometria pode ser
relacionada com outros conteúdos da própria Matemática e de outras ciências, o
professor pode aplicar atividades que envolvam diversas situações e sejam
importantes para a construção do conhecimento. Como esta atividade que envolve
História e Geometria.
Figura 4 - Atividade Interdisciplinar
Fonte: A CONQUISTA DA MATEMÁTICA, 9º ano, 2009, p. 199.
Segundo Hiratsuka (2005), o aluno constrói seu conhecimento geométrico a
partir de atividades interessantes, mas compreensíveis. O professor no início deve
aplicar exercícios que envolvam as experiências e o conhecimento que os alunos já
possuem, para assim deixá-los mais seguros. A partir do momento que os discentes
amadurecem os conceitos da Geometria de forma concreta, o professor pode aplicar
atividades mais elaboradas e que exijam maior raciocínio e abstração .
Já para Pavanello (2004), o professor deve percorrer um caminho que leve
primeiramente o aluno a reconhecer figuras geométricas, em seguida, perceber as
propriedades que essas figuras possuem. Logo após; o docente deve auxiliá-lo a
estabelecer as relações entre as figuras e suas propriedades e a organizá-las. Com
isso os alunos irão atingir um nível de abstração que possibilita desconsiderar a
natureza concreta das figuras. “O desenvolvimento dos processos de visualização
depende da exploração de modelos ou materiais que possibilitem ao aluno a
construção de imagens mentais.” (NACARATO, 2005, p. 4).
38
Para Nacarato (2005), uma das principais maneiras de facilitar o processo de
aprendizagem do aluno é trabalhar com material concreto (materiais manipuláveis),
pois auxilia no desenvolvimento da visualização. Mas, o docente deve ter atenção,
principalmente no ensino da Geometria, para não apresentar materiais que estejam
distantes das relações a serem discutidas e principalmente do material deixar de ser
uma concretização natural para ter características de um símbolo arbitrário.
No caso da Geometria, há vários materiais sugeridos e utilizados pelos
professores, como: conjunto de sólidos geométricos, tangram, geoplano e
poliminós. Em momento algum, questiono a utilização desses materiais;
pelo contrário, considero-a fundamental em todas as séries e níveis de
ensino, uma vez que podem contribuir para o desenvolvimento da
visualização. Estudos na área da Geometria apontam a importância dos
processos de visualização. (NACARATO, 2005, p. 4).
Atividade com tangram, que o professor pode aplicar em sala de aula:
Figura 5-Atividade com material concreto
Fonte: A CONQUISTA DA MATEMÁTICA, 6º ano, 2009, p. 289.
Segundo Nacarato (2005), o uso do tangram possibilita diferentes rotações
das peças, com isso haverá diversas composições e decomposições, aumentando o
repertório das possíveis representações.
De acordo com Pais (2000), após o uso de materiais concretos para ensinar
Geometria, deve acontecer uma reflexão pedagógica simbolizando a concretização
da aprendizagem. Pois não é o uso do material concreto em si, que é importante na
construção do conhecimento geométrico, mas as ações do aluno e o refletir sobre
essas ações.
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Enfim, o papel do professor é muito importante no desenvolvimento cognitivo
dos alunos, por isso compete a ele: inovar, estimular a criatividade, usar tecnologias,
investir na sua formação, compreender claramente os conteúdos. Além disso, o
docente deve conhecer o ambiente de trabalho e as características de seus
discentes, pois ele é a pessoa mais próxima do aluno no ambiente escolar para
diagnosticar os problemas e solucioná-los.
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7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Voltamos à pergunta inicial: “Conhecendo os erros e acertos do passado é
possível identificar soluções que levem a um processo de mudanças no ensino e
aprendizagem da Geometria?”
O ensino da Geometria até a metade do século XX ocorria de maneira
abstrata, sem qualquer preocupação com a prática, levando os alunos a terem
aversão ao conteúdo, além disso, os professores eram autodidatas e não
trabalhavam o conteúdo como deveria. Com a influência do M.M.M., no final da
década de 60, a Geometria passou a ser trabalhada de maneira abstrata, baseada
em transformações. Como não dominavam o conteúdo, os docentes passam a
abordá-lo cada vez menos em suas aulas. Na década de 70 o ensino passa por
diversas mudanças, o número de alunos aumenta, os professores não recebem
apoio pedagógico para lidar com a nova sociedade, o salário não é mais
compensador, refletindo diretamente no seu trabalho. A maioria deles passa a
trabalhar em uma carga horária maior e não têm tempo ou espaço para refletir sobre
seu trabalho, continuando assim a deixar a Geometria de lado. Esta situação se
mantém até a década de 90.
Atualmente a educação possui uma política de planejamento expressiva, pois
foram criadas novas diretrizes e documentos como PCNs e CBCs, que valorizam o
ensino da Geometria. Portanto, se o professor seguir esses documentos, a
Geometria não continuará abandonada. Os docentes devem estimular os alunos a
serem criativos, oferecendo liberdade para se expressarem e usar a imaginação,
aplicando atividades desafiadoras e interdisciplinares, que sejam importantes para a
construção do conhecimento. A aplicação de atividades que envolvam experiências
que os alunos já possuem, o trabalho com material concreto, exercícios
contextualizados e uso de tecnologias, despertam o interesse dos alunos,
estimulando o raciocínio lógico e os ajudam a descobrirem suas diversas
habilidades.
Para acontecer mudanças no processo de ensino e aprendizagem da
Geometria, o professor deve estar ciente da importância dessa disciplina, na
formação dos seres humanos, no desenvolvimento intelectual e na preparação dos
alunos para o mercado de trabalho. O docente tem ainda o papel de interagir com
seus alunos, estar preparado para trabalhar em um ambiente que passa por
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mudanças constantes, conhecer o conteúdo detalhadamente e investir na sua
formação. Ou seja, o professor é o alicerce para o processo de mudanças no ensino
e aprendizagem da Geometria, cabe a ele inovar, ter autonomia e principalmente ter
consciência de seus deveres.
Logo, os erros e acertos do passado estudados neste trabalho serviram de
referência para as sugestões aqui citadas, buscando um ensino de Geometria de
qualidade.
42
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