Física Aplicada à Engenharia Civil I

Transcrição

ISEL/DEC
Introdução
Grandezas Físicas
Existem cinco grandezas fundamentais no Sistema Internacional (SI):
•
•
•
•
•
comprimento (L)
massa (M)
tempo (T)
corrente eléctrica (I)
temperatura (Θ)
Sistemas de unidades
•
Sistema Internacional de Unidades - SI (o mais usado em física):
o Comprimento: metro (m)
o massa: quilograma (kg)
o tempo: segundo (s)
o Temperatura: Kelvin (K)
o Corrente Eléctrica: Ampere (A)
Este sistema é também conhecido por sistema mks devido a meter-kilogramsecond.
•
Sistema Gaussiano (usado principalmente em química):
o comprimento: centimetro (cm)
o massa: grama (g)
Este sistema é frequentemente referido como sistema cgs devido a centimetergram-second.
•
Sistema Britânico de Engenharia:
o Comprimento: pé (ft)
o massa: slug
Notação Científica
Por vezes é conveniente expressar números pequenos ou grandes em notação científica.
Por exemplo: 5,000 = 5 x 103 e 0.0004 = 4 x 10- 4 .
Os prefixos comuns mais usados são apresentados como potências de 10 e estão
apresentados na tabela seguinte.
Alexandra Afilhado e Pedro Silva
Folhas de apoio - versão 03-2003
1
ISEL/DEC
Tabela. Prefixos usados com o sistema métrico de unidades.
Potência
Prefixo
Abreviatura
10- 9
nano
10- 6
micro
10- 3
milli
M
10- 2
centi
C
10- 1
deci
D
103
kilo
K
106
Mega
M
N
Por exemplo:
a) 60.000 m = 6,0000 x 104 m = 60,000 km
b) 0,003 s = 3 x 10- 3 s = 3 ms
Análise dimensional
A análise dimensional refere-se à natureza qualitativa da quantidade física
(comprimento, massa, tempo). Os parentesis rectos denotam a dimensão ou unidades de
uma quantidade física (verificar tabela seguinte):
Tabela: Dimensões
Quantidade dimensão
Unidades SI
Área
[A] = L 2
m2
Volume
[V]=L 3
m3
Velocidade [v] = L/T
m/s
Aceleração [a] = L/T2 m/s 2
Massa
[m] = M
kg
Observação: A análise dimensional pode ser usada para a obtenção ou verificação de
fórmulas usando as dimensões como quantidades algébricas. Apenas se podem somar
ou subtrair quantidades que possuam a mesma dimensão. As quantidades em dois
membros de uma equação terão de ter a mesma dimensão.
Nota: A análise dimensional não fornece factores numéricos. Por exemplo: a distância
(x) percorrida por um carro num determinado tempo (t), partindo do repouso com
aceleração constante (a) é dado por: x = (1/2)at 2 . Esta equação pode ser verificada
através de análise dimensional:
2
ISEL/DEC
m.e.
[x] = L
m.d.
(1/2)at2 = (1/2) [a][t 2] = (L/T 2) T 2 = L.
Desde que a dimensão do membro esquerdo (m.e.) da equação seja a mesma que a
apresentada no membro direito (m.d.) da equação, a equação é dita,
dimensionalmente homogénea.
Conversão de Unidades
Observação: As unidades podem ser utilizadas como quantidades
algébricas. Por exemplo, podemos utilizar o factor de conversão 1 in = 2.54
cm para reescrever 15 polegadas em centimetros.
15 in = 15 in (2.54 cm / 1 in) = 38.1 cm
Notação Matemática
1.
- proporcional a
2.
< ou > - menor ou maior que
3.
<< ou >> - muito menor ou muito maior que
4.
- aproximadamenrte igual a
5.
- definido como
6.
x – variação da quantidade x
7.
- somatório
8.
|x| - valor absoluto de x
9.
∃ - Existe
10.
⇒ - implica que
11.
⇔ - equivalente a
12.
= - igual a
3
ISEL/DEC
Sistemas de Coordenadas
A localização de um ponto numa linha pode ser descrito por uma
coordenada; um ponto num plano pode ser descrito por duas coordenadas;
um ponto num volume tridimensional pode ser descrito por três
coordenadas. Em geral o número de coordenadas iguala o número de
dimensões do espaço. Um sistema de coordenadas consiste em:
1.
um ponto de referência fixo (origem)
2.
uma série de eixos com direcções e escalas especificadas
3.
instruções que especifiquem como caracterizar um ponto no espaço relativo à
origem e eixos.
Sistemas de coordenadas no plano
1 – cartesianas (sistema de coordenadas rectangular): (x, y)
Y
P(xo ,y0 )
Y0
0
X0
X
Com x e y ∈ ℜ
2 – polares: (r,θ)
Y
P(r,θ)
r
θ
0
X
Com r ∈ [0, + ∞] e θ ∈ [0, 2π[
4
ISEL/DEC
As coordenadas cilindricas (r, θ) de um ponto (x,y), são definidas por,
x = r cos θ
y = r sen θ
e com relações inversas dadas por,
r = (x2 + y2 )1/2
θ = arctg (y/x)
Sistemas de coordenadas no espaço
§
Sistemas de coordenadas cartesianas (x, y, z).
P’ é a projecção de P no plano XOY
r r r
OP = P − O = x i + y j + zk
z
P(x,y,z)
r
k
r
j
rO
i
y
P’(x,y,0)
x
Com x, y e z ∈ ℜ
§
Sistema de coordenadas cilindricas: (r, θ , z)
r
k
z
P(r, θ, z)
O
θ
x
r
eè
r
er
r
r
OP = re r + zk
y
r
P’ (r, θ, 0)
Com r ∈ [0, + ∞[, θ ∈ [0, 2π[ e z ∈ ℜ
5
ISEL/DEC
As coordenadas cilindricas (r, θ, z) de um ponto (x,y,z), são definidas por,
x = r cos θ
y = r sin θ
z=z
e inversamente,
r = (x2 + y2 )1/2
θ = arctg (y/x)
z=z
§
Sistema de coordenadas esféricas: (r, θ , ϕ )
r
er
z
ϕ
O
r
eϕ
P(r,θ,ϕ)
r
eè
r
OP = r e r
r
y
θ
P’(rsinϕ,θ,π/2)
x
Com r ∈ [0, + ∞[, θ ∈ [0, 2π[ e ϕ ∈ [0, π]
As coordenadas esféricas (r, θ, ϕ) de um ponto (x,y,z), são definidas por,
x = r cos θ sin ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos ϕ
e inversamente,
r = (x2 + y2 +z2 )1/2
θ = arctg (y/x)
ϕ = arcos (z/r)
Definição: O vector posição r, em qualquer sistema de coordenadas, especifica a
posição de um dado ponto relativamente à origem do sistema de eixos utilizado.
6
ISEL/DEC
Conceitos matemáticos necessários
1. Operações com vectores
r
r
r
a) Adição de vectores A = B + C
r
r
r
r
Notação: A = (B1 + C1 )e1 + (B2 + C 2 )e 2 + (B3 + C 3 )e3
Exemplo: calculo da força resultante
b) Produto de um vector por um escalar:
r
r
r
r
A = bB
r
r
Notação: A = bA 1e1 + bA 2 e 2 + bA 3 e 3
Exemplo: cálculo da força efectiva, quantidade de movimento
c) Produto interno:
r r
a =B|C
Notação: a = B1 C1 + B 2 C 2 + B3 C3
Exemplo: determinação da componente de uma força numa dada direcção,
cálculo do trabalho
r
r
r
d) Produto externo: A = B ∧ C
r
e1
r
A
= B1
Notação:
C1
r
e2
B2
C2
r
e3
B3
C3
Exemplo: cálculo do momento de uma força, cálculo do momento ângular,
cálculo da força magnética
e) Cálculo de determinantes 3x3
Notação:
7
ISEL/DEC
A1
A2
A3
B1
B2
B 3 = A1 ( B 2 C 3 − B3 C 2 ) + A 2 ( B3 C1 − B1C 3 ) + A3 (B1C 2 − B 2C 1 )
C1
C2
C3
Exemplo: cálculo de momentos e rotacionais
Cálculo diferencial
a) Derivada e diferencial duma função
Notação:
f = f(x) ⇒ df =
df
dx
dx
Exemplo: determinação da velocidade conhecida a posição em função do tempo
b) Derivada da função composta
Notação:
f = f [x(t)] ⇒
df df dx
=
dt dx dt
Exemplo: determinação da velocidade em função do tempo, de um corpo ligado
a uma mola ou ligado a um dispositivo de amortecimento viscoso
c) Derivada parcial
∂
e gradiente de um campo escalar V(P)
∂x
∂
∂V
V(P) =
∂x
∂x
∂V r ∂V r ∂V r
gradV =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
Notação:
Exemplo: relação entre um campo de força conservativo e a respectiva energia
potencial, determinação do trabalho de uma força conservativa
d) Rotacional de um campo vectorial
Notação:
r
i
r ∂
rot F =
∂x
Fx
r
F(P)
r
j
∂
∂y
Fy
r
k
∂
∂z
Fz
8
ISEL/DEC
Exemplo: verificação de que um campo de força é conservativo
Cálculo integral
a) Primitivas e integrais simples
Notação: f(x) =
dF
⇔ f(x)dx = dF ⇔ f(x)dx = F(x) + cte
dx
∫
dF
f(x) =
⇔ f(x)dx = dF ⇔
dx
x2
F2
x2
∫ f(x)dx = ∫ dF ⇔ ∫ f(x)dx = F
2
x1
F1
− F1
x1
Exemplo: determinação da velocidade e/ou posição de um corpo, conhecidas as
forças que sobre ele actuam
b) Integrais de linha de campos vectoriais
r
r
Notação: äW = F | dP ⇔ W = F | dP , em que γ representa um caminho
∫
ã
Exemplo: cálculo do trabalho de uma força
9
ISEL/DEC
Cinemática dos Corpos Rígidos
Introdução
Estudo das relações existentes entre o tempo, as posições, as velocidades e as
acelerações das várias partículas que formam um corpo rígido.
Vector posição, velocidade e aceleração
A posição de uma particula ou ponto material (PM) num dado intante t pode definir-se
pela utilização de um vector r, traçado num sistema de referência fixo OXYZ. Este
vector caracteriza-se pela sua:
a) Intensidade
b) Direcção
c) Sentido
Assim, define-se de um modo completo a posição de um PM em relação ao sistema de
eixos.
Considere a figura seguinte em que o representa um ponto fixo no espaço.
z
P’(x’,y’,z’)
r
∆r
r
r'
r
r
r
k
r
i
O
r
j
r
∆s
r
v
P(x,y,z)
y
x
O vector posição do PM num determinado instante t em relação a 0 é definido como o
r
vector OP , tal que,
r
r
r = OP (m)
r
Considere-se agora a posição P’ do PM no instante t + ∆t, caracterizado pelo vector r ’.
r
O vector ∆ r , que une P a P’, traduz a variação do vector posição durante ∆t, em termos
10
ISEL/DEC
de direcção e intensidade. Deste modo temos a velocidade média do PM, definida
como:
r
r
v m = ∆ r / ∆t
Escolhendo-se intervalos de tempo cada vez menores e por conseguinte, vectores ∆r
cada vez menores, obtemos a velocidade instantânea:
r
r
r
v = lim|∆t -> 0 (∆ r / ∆t) ≡ d r / dt (m/s)
r
A intensidades v do vector v , designa-se velocidade do PM ou intensidade da
velocidade. À medida que ∆t se torna menor, o comprimento aproxima-se do
comprimento do arco PP’, sendo v dado por:
v = lim|∆t -> 0 (PP’ / ∆t) = lim|∆t -> 0 (∆
∆ s / ∆t) ≡ ds / dt (m/s)
Pode-se assim obter a velocidade v, derivando em ordem a t o comprmento s do arco
descrito pelo PM.
De modo análogo se obtém a aceleração média do PM, como,
r
r
a m = ∆ v / ∆t
De salientar que a variação da velocidade se dá em direcção e intensidade.
A aceleração instantânea, a qual corresponde à taxa de variação da velocidade no
tempo, é representada pelo vector a dado por,
r
r
r
r
a = lim|∆t -> 0 (∆ v / ∆t) ≡ d v / dt = d r 2 / dt2 (m/s2 )
De salientar ainda que, geralmente o vector aceleração não é tangente à trajectória
descrita pelo PM.
A trajectória é a curva definida pelas sucessivas posições do PM. Em geral a posição,
velocidade e aceleração do PM dependem do tempo, ou seja,
r r
r = r (t)
r r
v = v (t)
r r
a = a (t)
11
ISEL/DEC
Translacção
O movimento de um corpo rígido (CR) diz-se de translacção quando qualquer recta
definida por dois pontos genéricos no CR conserva a mesma direcção durante o
movimento. Todas as particulas que formam o corpo deslocam-se segundo trajectórias
paralelas.
A’
a) Translacção rectilínea
Quando as trajectórias são linhas paralelas
A
B’
B
b) Translacção curvilínea
Quando as trajectórias são linhas curvas
A’
A
B’
B
Rotação em torno de um eixo fixo
Neste tipo de movimento de um CR, as partículas movem-se em planos paralelos e
segundo circuinferências em torno do mesmo eixo fixo. Se o eixo de rotação intersectar
o corpo rígido, as partículas localizadas sobre ele terão velocidades e aceleração nulas.
A
B
Observação:
Translacção curvilínea
Rotação
12
ISEL/DEC
Movimento rectílineo variado
O movimento de um corpo diz-se rectilíneo
r quando a respectiva trajectória é uma recta.
Para o movimento rectilíneo temos, r // v // a, e pode estudar-se o movimento apenas
com as seguintes expressões,
r
r
r =x i
r
r
r
v = vx i = v i , com v = dx/dt
r
r
r
a = ax i = a i , com a = dv/dt
O movimento diz-se variado quando a aceleração não é constante. Quando a aceleração
é constante o movimento diz-se uniformemente variado.
r
r
Dada a posição em função do tempo, a determinação de rv e a é obtida directamente
r
por derivação. Contudo, quando se pretende determinar v e r , dada a aceleração tem
que se efectuar a integração das equações do movimento.
Aceleração como função do tempo: a = a(t)
Sabendo-se que,
a(t) = dv/dt
obtém-se,
t
v = v0 + ∫ a( t )dt
t0
ou seja, dada a função a(t) e a velocidade num instante inicial t0 é possível determinar a
velocidade em função do tempo.
Para se obter a posição efectua-se o mesmo tipo de raciocinio, ou seja, sendo v = v(t) e
sabendo-se que,
v(t) = dx/dt
obtém-se
t
x = x 0 + ∫ v( t )dt
t0
Então, dada a velocidade v(t) e a posição num instante t0 é possível determinar a posição
em função do tempo.
Aceleração como função da velocidade: a = a(v)
Quando a aceleração é dada em função da velocidade a = a(v), tem de se efectuar
alguma manipulação das expressões antes de se integrar. Então de,
13
ISEL/DEC
a(v) = dv/dt ⇔ dt = dv/a(v)
obtém-se
v
1
dv
a
(
v
)
v0
t − t0 = ∫
conhecida a expressão a(v) e a velocidade no instante t0 , pode determinar-se a
velocidade em função do tempo.
Pode ainda determinar-se x directamente da a = a(v). Ou seja, sendo, a=a(v), então,
a(v) = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx
obtendo-se
v
v
dv
a
(
v
)
v0
x = x0 + ∫
Logo, obtém-se a posição em função da velocidade.
Aceleração como função da posição: a = a(x)
Seguindo o mesmo tipo de raciocínio, temos então,
a(x) = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v (dv/dx)
obtendo-se
x
v = v 0 + 2 ∫ a( x) dx
2
2
x0
ou seja, para determinar a velocidade basta conhecer a(x), e a posição e velocidade num
instante t0 .
Casos Particulares
1 – Movimento rectilíneo uniforme
Sendo,
v = dx/dt = cte,
logo da expressão anterior,
v
v
dv
a
(
v
)
v0
x = x0 + ∫
obtemos,
14
ISEL/DEC
x = x0 + v(t-t0 )
2 – Movimento rectilíneo uniformemente acelerado
Para este tipo de movimento, temos,
a = dv/dt = cte
Considerando a expressão, v = v0 +
t
∫t a( t )dt ,
obtém-se,
0
v = v0 + at
assumindo que t0 = 0. Considerando agora esta nova equação, e sabendo-se que:
v = dx/dt = v0 + at
obtém-se
at 2
x = x 0 + v 0t +
2
Considerando agora a expressão,
x
v = v 0 + 2 ∫ a( x) dx
2
2
x0
então para o tipo de movimento em questão obtemos,
v2 = v 20 + 2a( x − x0 )
15
ISEL/DEC
Componente tangencial e normal da aceleração
Como já se verificou, a velocidade de um corpo é um vector tangente à sua trajectória,
mas, em geral a aceleração não o é. Torna-se por conseguinte, conveniente decompor a
aceleração em componentes, dirigidas segundo a tangente e a normal à trajectória do
corpo.
C – centro da
curvatura
r
en ’ – versôr normal à
trajectória em P
ρ - raio da
curvatura
dθ
r
et ’ – versôr tangente à
trajectória em P’
P’
r
en – versôr normal à
r
et – versôr tangente à
trajectória em P
trajectória em P
Trajectória
P
r
et
Sendo a velocidade da particula tangente à trajectória, podemos expressá-la pelo
produto do escalar v pelo versor
r r
v = v et
, ou seja,
Para obter a aceleração do corpo, devemos derivar esta equação em ordem a t, ou seja,
r
r
r dv d r
dv r
det
a=
= ( vet ) =
et + v
dt dt
dt
dt
r
det
Desenvolvimento de:
dt
r
r
Projectando as componentes normal ( e n ) e tangencial ( e t ) no sistema de eixos
cartesianos, temos,
y
r
e t = cosθi + senθj
r
en = -senθi + cosθj
r
en
θ
j
r
et
θ
Então,
i
x
16
ISEL/DEC
r
r d
r
de t d
= (e t x ) i + (e t y ) j
dt dt
dt
r
r d
r dθ
r dθ
r dθ
r
r
de t
d
= cos θ i + sen θ j =
( −sen θ) i +
cos θ j =
( −sen θ i + cos θ j )
dt
dt
dt
dt
dt
dt
r
d et dθ r
=
e
dt
dt n
Sabendo-se que,
dθ dθ ds 1
=
= v
dt ds dt ρ
porque,
dθ 1
=
e
ds ρ
dθ
dS =ρ dθ
ρ
ds
=v
dt
onde ρ corresponde ao raio de curvatura. Então,
dθ v
=
dt ρ
logo,
r
det v r
= e
dt ρ n
então,
r
r dv dvr v2 r
a = = et + en
dt dt
ρ
sendo,
i)
aT =
dv
, a componente tangencial da aceleração. Taxa de varição do
dt
módulo da velocidade
ii)
an =
v2
, a componente normal da aceleração. Relaciona-se com a taxa
ρ
de variação da direcção da velocidade e é sempre ≥ 0, logo o vector da
aceleração aponta sempre para a parte concava da trajéctória.
17
ISEL/DEC
O módulo da aceleração vem então dado por,
2
4
 dv v
a = a +a =   + 2
 dt  ρ
2
T
2
n
P
eT
aT
en
an
a
Casos particulares
1)
dv
  v = cte
= 0 ⇒ v = cte i)
 ⇒ Movimento rectilíneouniforme
dt
ρ
=
∞

 
v
=
0


v2

an =
= 0 ⇒  ou  ii) v = 0 ⇒ Não existe movimento
ρ
ρ = ∞ 


aT =
2)
dv

= 0 ⇒ v = cte 

dt
2
 ⇒ Movimento circular uniforme
v
an =
= cte ⇒ ρ = cte

ρ
aT =
3)
Sempre que aT = 0 ⇔ dv/dt = 0 ⇒ v = cte, logo o movimento é uniforme.
4)
Sempre que aT = cte ⇔ dv/dt = cte ⇒ v ∝ t, e o movimento é uniformemente
variado.
5)
Sempre que an = 0 ⇔ v2 /ρ = 0, então v = 0 e não existe movimento, ou, ρ = ∞ e
o movimento é rectilíneo.
18
ISEL/DEC
Componentes radial e transversal da velocidade e
aceleração
Em alguns problemas do movimento plano, a posição de um corpo define-se através das
suas coordenadas polares r e θ.
r
eθ
y
P
r
v
j
O
r
er
θ
r
i
x
Torna-se então necessário decompor a velocidade e aceleração do corpo segundo duas
direcções, uma paralela e outra perpendicular à linha OP, as quais se designam por
componente radial e transversal, respectivamente.
Sendo,
r
r
d er r
deθ
r
= eθ e
= − er
dθ
dθ
e como,
r r
r = r er
então,
r
r
r
r dr d r
dr r
de r
r
der
v=
= (r e ) = e r + r
= r&er + r
dt dt r
dt
dt
dt
aplicando a regra da diferenciação em cadeia,
r
r
der de r dθ r &
=
eθ
dt
dθ dt θ
r
Então substituindo em v , temos,
r r
r
v = &r er + rθ& eθ
onde:
e
1) vr = &r , representa a componente radial da velocidade
2) vθ = r θ& , representa a componente transversal da velocidade
Diferenciando novamente em ordem a t, obtemos a aceleração, ou seja,
r
r
r
r dv r
der
r
r
deθ
&
&
&
&
a=
= &r&e r + &r
+ &rθ eθ + rθ eθ + r θ
dt
dt
dt
Sabendo-se que,
19
ISEL/DEC
r
d er & r
= θeθ
dt
r
d eθ
e aplicando agora a regra da diferenciação em cadeia a
, temos,
dt
r
r
deθ de θ dθ
r
=
= −e r θ&
dt
dθ dt
Substituindo agora na expressão da aceleração, obtemos,
r
r dv
r
r
r
r
2r
a=
= &r&e r + &rθ& eθ + &rθ& e θ + r&θ&eθ − r θ& er
dt
r
2 r
r
a = (&r& − r θ& ) er + ( r&θ& + 2&rθ& )e θ
()
()
com:
()
2
1) a r = &r& − r θ& , representando a componente radial aceleração
e
2) a θ = r&θ& + 2r&θ& , representando a componente transversal aceleração.
Caso Particular – Movimento Circular
Para este tipo de movimento temos, r = cte ⇒ &r = &r& = 0
Logo,
 vr = 0

 v θ = rθ&
e
a r = −rθ& 2

&&
 a θ = rθ
20
ISEL/DEC
Movimento curvilíneo variado
Quando o movimento é variado, a aceleração não é constante e a determinação da
velocidade e posição em função do tempo a partir da aceleração envolve integração das
equações do movimento.
Seja,
r r
r
r
r r
a = a( t ), v 0 = v( t 0 ) e r0 = r (t 0 )
então,
r
r
v
t
r dv
r r
r tr
r r
r
a=
⇔ dv = adt ⇔ ∫ dv = ∫ adt ⇔ v = v 0 + ∫ adt
r
dt
v
t
t
0
0
0
e
r
r
r
r dr
r r
r tr
r r tr
v=
⇔ d r = vdt ⇔ ∫ dr = ∫ vdt ⇔ r = r0 + ∫ vdt
r
dt
r
t
t
0
0
0
Em coordenadas cartesianas estas equações vectoriais passam à forma:
t
v x = v 0 x + ∫ a xdt
t0
t
v Y = v0 Y + ∫ a Y dt
t0
t
v Z = v 0 Z + ∫ a Z dt
t0
e
t
x = x 0 + ∫ v xdt
t0
t
y = y 0 + ∫ v ydt
t0
t
z = z 0 + ∫ v zdt
t0
21
ISEL/DEC
Quando se conhecem as componentes tangencial e normal da aceleração pode
proceder-se à integração das equações do movimento como se descreveu para o
movimento rectilíneo, tendo em conta que se deve substituir a aceleração por aceleração
tangencial, ou seja,
Se aT =aT(t), pode usar-se a relação desta com v para determinar v(t):
v
t
t
0
0
0
dv
aT =
⇔ dv = a T dt ⇔ ∫ dv = ∫ a T dt ⇔ v = v0 + ∫ a T dt
dt
v
t
t
Se aT =aT(s) ou aT =aT(v), efectuam-se as mudanças de variável necessárias e obtêm-se
expressões análogas às obtidas no caso do movimento rectilíneo.
22
ISEL/DEC
Rotação em Torno de um eixo fixo
O movimento de um corpo rígido (CR, não deformável), diz-se de rotação em torno de
um eixo fixo quando todas os ponto do corpo se deslocam em trajectórias circulares
paralelas e centradas na mesma recta fixa, designada por eixo de rotação.
A
B
Deslocamento, velocidade e aceleração angular
Seja um corpo rígido plano, confinado ao plano xy, e considere-se uma das suas
partículas inicialmente sobre o eixo OX. Durante o movimento da partícula, desde o
eixo OX (θ = 0) até ao ponto P, ela
descreve um arco de circunferência de
y
comprimento S, que se relaciona com a
P
posição angular θ, através da
expressão,
r
θ
S
O
s = rθ
x
ou
θ = s/r
Sendo θ a razão entre o comprimento de arco e o raio da circunferência, então θ
corresponde a um número puro. Contudo atribui-se a θ a unidade artificial, radiano
(rad), para a qual:
1 rad ≡ ângulo compreendido por um comprimento de arco igual ao raio do arco.
Com o movimento da partícula em questão, de P para Q, num determinado ∆t, o raio
vector desloca-se,
∆θ = θf - θi
(deslocamento angular)
Definindo-se então a velocidade angular média como:
23
ISEL/DEC
ω=
θ f − θi ∆θ
=
t f − t i ∆t
Q, tf
y
e a velocidade angular instântanea, como,
r
∆θ dθ
=
(rad/s)
dt
∆t→0 ∆t
ω = lim
O
θf
P, ti
r
θi
x
A velocidade angular, ω, é positiva quando θ aumenta (movimento no sentido contrário
ao dos ponteiros do relógio) e negativo quando θ diminui (sentido dos ponteiros do
relógio).
A aceleração angular média, α , de um objecto em rotação é definida como:
α=
ωf − ωi ∆ω
=
tf − ti
∆t
e a aceleração instântanea, como,
∆ω dω d2 θ
=
= 2 (rad/s2 )
dt dt
∆t→0 ∆t
α = lim
α é positivo quando a taxa de rotação aumenta no sentido contrário ao dos ponteiros dos
relógio, ou quando a taxa de rotação decresce no sentido contrário dos ponteiros do
relógio.
Aquando da rotação em torno de um eixo fixo, qualquer que seja a partícula de um
objecto rígido, roda o mesmo ângulo e tem a mesma velocidade e aceleração angular
que o corpo. Isto é, as quantidades, θ, ω e α de um determinado ponto material do corpo
caracterizam o movimento rotacional de todo esse corpo rígido.
B
y
rB
θB
O
rA
A
θA
x
24
ISEL/DEC
Direcção de ω e α
Para a rotação em torno de um eixo fixo, a única direcção que específica o movimento
rotacional é a direcção ao longo do eixo de rotação. Portanto as direcções de ω e α são
ao longo deste eixo.
r
segue a
A direcção de ω
r
convenção da
regra da
ω
r
v
mão direita, isto é,
r
v
r
ω
r
v
r
r
r
A direcção de α segue a definição de dω /dt. Possui a mesma direcção de ω , se a
r
velocidade angular aumenta com o tempo e é antiparalela a ω se a velocidade angular
decresce com o tempo.
Componentes radial e transversal
Sabendo-se que o vector posição, velocidade e aceleração, em coordenadas radial e
transversal são dadas por:
r
r
r
r = rer + zk
r r
r
v = &r er + rθ& eθ
r
2 r
r
a = (&r& − r θ& ) er + ( r&θ& + 2&rθ& )e θ
r
k
z
()
r
er
O
θ
r
eè
r
y
x
então para o movimento de rotação em torno de um eixo fixo, temos para cada partícula
desse mesmo corpo, r = cte e z = cte. Então resulta,
r& = r&& = 0
z& = &&
z =0
resumindo as expressões gerais a:
r
r
r
r = rer + zk
r
r
r
v = rθ&eθ = rω eθ
2 r
r
r
r
r
a = −r θ& er + rθ&&eθ = −rω 2 er + rα eθ
( )
25
ISEL/DEC
De salientar que a coordenada angular θ define completamente a posição do corpo
rígido.
Relações entre as variáveis lineares e angulares
(forma escalar)
Uma partícula move-se uma distância s ao longo de um arco quando o corpo gira um
ângulo θ. Portanto:
s=r×θ
Diferenciando ambos os membros em ordem ao tempo, temos,
dS
dθ
=r
dt
dt
sendo r = cte
Como a velocidade linear é dada por, v =
dS
dθ
, e a velocidade angular por, ω =
,
dt
dt
então é válida a seguinte relação,
v=ω×r
o que nos permite relacionar os módulos da velocidade linear tangencial e da velocidade
angular.
Diferenciando esta última equação em ordem ao tempo, temos
dv
dω
=r
dt
dt
sendo r = cte
Como, a aceleração tangencial é dada por,
dv
= aT
dt
e a aceleração angular por,
dω
=α
dt
então, temos a relação entre os módulos da aceleração tangencial e angular dada por,
aT = α × r
Sabendo-se que a aceleração normal é dada por,
v2
an =
r
e utilizando agora a expressão que relaciona os módulos das velocidades temos,
an = ω 2 × r
26
ISEL/DEC
Propriedades
Na rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, tém-se,
r
i) v é sempre transversal e exprime-se como
v=ω×r
r
ii) sendo para este tipo de movimento, r = cte, então a tem componentes radial e
transversal que coincidem com as componentes normal e tangencial,
respectivamente, ou seja,
an = r ω2 = r × (θ& )2 = ar
e
aT = r × α = r × θ&& = - aθ
podendo o módulo da aceleração ser dado por,
a = aθ2 + ar2 = r 2ω 4 + r 2α 2 = r α 2 + ω 2
iii) As equações que definem a rotaçao de um corpo rígido em torno de um eixo
fixo são:
a)
t
dθ
ω (t ) =
⇒ θ = θ 0 + ∫ ω (t )dt
dt
t0
b)
t
dω d 2θ
α (t ) =
= 2 ⇒ ω = ω 0 + ∫α (t )dt
dt
dt
t0
c)
θ
dω dω dθ
dω
2
2
α (θ ) =
=
=ω
⇒ ω = ω 0 + ∫ α (θ )dθ
dt
dθ dt
dθ
θ0
iv) Casos particulares
a) movimento de rotação uniforme
para este tipo de movimento temos:
α = 0 ⇒ aT = 0
ω = cte ⇒ an = cte e v = cte
θ = θ0 + ωt, assumindo t0 = 0
27
ISEL/DEC
b) movimento de rotação uniformemente acelerado
Para este tipo de movimento temos,
α = cte ⇒ aT = cte
ω = ω0 + αt ⇒ an = f(t) e v = f(t), assumindo t0 = 0
θ = θ0 + ω0 t + (1/2)αt2 , assumindo t0 = 0
28
ISEL/DEC
Operadores Diferenciais
Os campos podem ser classificados tanto como escalares ou vectoriais.
Um campo escalar é uma função singular do espaço e tempo, onde para cada ponto do
espaço P(x, y, z) está associado um escalar (o qual é independente do sistema de
coordenadas escolhidas). A temperatura de um volume de gás, a altitude e a densidade
de um volume de rocha são exemplos de campos escalares.
Exemplos:
Z
1 – Temperatura T = T(x, y, z)
P(x,y,z)
Ao ponto P do espaço 3D corresponde um valor de
temperatura, ou seja, T é uma função de (x, y, z).
x
Y
2 – Altitude h = h(x,y)
Z
Ao ponto P de uma superfície corresponde
um cota ou altitude, que é a coordenada z
do ponto.
P(x,y,z)
h
x
Y
Um campo vectorial, tal como o fluxo de calor, velocidade de um fluido e a atracção
gravitacional, deve ser caracterizada por três funções do espaço e tempo,
nomeadamente, as componentes do campo em três direcções ortogonais.
Um campo vectorial pode ser caracterizado pelas suas linhas de campo (também
conhecidas como linhas de fluxo ou linhas de força), linhas essas, que são tangentes em
todos os pontos ao campo vectorial.
Portanto, para um campo vectorial, a cada ponto do espaço P(x, y, z) está associado um
vector.
29
ISEL/DEC
Exemplo: Velocidade de
escoamento numa contuda
Y
Para qualquer ponto P(x, y, z) há
uma velocidade de escoamento, em
r r
que v = v (x , y , z )
X
Exemplo: Velocidade de qualquer ponto de um corpo rígido em rotação, onde vr = vr (r ) ,
sendo r a distância de cada ponto ao eixo de rotação.
r r
v r= vr( r1 )
v = v (r2 )
r r
v = v ( r3 )
r r
Exemplo: Campo gravitacional G = G( r ) , sendo r a distância a O.
O
30
ISEL/DEC
Gradiente
O gradiente de um campo escalar num ponto é um vector que aponta no sentido da
maior variação de intensidade do campo escalar e cujo módulo é a derivada direccional
do campo escalar.
Matematicamente o gradiente de uma função escalar f em coordenadas cartesianas
escreve-se como:
r
r
∂f r ∂f r ∂f r
grad(f) = ∇f =
ex + ey + ez
∂x
∂y
∂z
r
sendo ∇ o operador nabla, o qual é dado em coordenadas cartesianas por,
r ∂ r
∂ r
∂ r
∇=
ex + ey + ez
∂x
∂y
∂z
Sendo u(x, y, z) = u0 uma função escalar representativa de uma superfície em ℜ3 de
valor constante u0 , então para qualquer ponto sobre esta superfície tem-se a diferencial
exacta
du =
∂u
∂u
∂u
dx +
dy +
dz = 0
∂x
∂y
∂z
visto que u = u0 = cte. Então
r
r  ∂u r ∂u r ∂u r 
r
r
r
du = ∇ u | d P =  e x + e y +
e z  | ( dxe x + dye y + dze z ) = 0
∂y
∂z 
 ∂x
r
r
r
ou seja, ∇ u ⊥ dP , em que dP é um vector elementar sobre a superfície. Então daqui
r
verifica-se que ∇ u para qualquer ponto da superfície u(x, y, z) = u0 = cte é
r
perpendicular à mesma (verifique exemplo apresentado na figura). Mais ainda, o ∇ u
aponta no sentido crescente da maior variação de u.
r
∇u
Superfície u (x, y, z)=u0
r
r
∇u
∇u
A r
r
r
dP
dP
dP
B
C
31
ISEL/DEC
Exemplo: Seja a função escalar u = 3x2 + 5y3 . O seu gradiente é então dado por:
r
r
r r
∇u = 6xi + 15y 2 j + 0k
em que para o ponto P(1,1), temos o gradiente dado por,
r
r
r
∇u = 6i + 15j
r
correspondendo a componente do ∇ u numa dada direcção à taxa de variação do campo
escalar definido pela função u nessa direcção:
 ∂u 
=6
 
 ∂x P(1,1)
e
 ∂u 
= 15
 
 ∂y  P(1,1)
Circulação e Rotacional de um campo vectorial
r
A circulação de um campo vectorial α é definido por:
r r
C = Ñ∫ α |dP
γ
r
α
r
dP
γ
correspondendo por conseguinte à soma da componente
r
tangencial de α ao longo do caminho fechado γ.
No exemplo da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo OZ, temos a
circulação máxima da velocidade quando escolhemos um circunferência paralela à
superfície OXY centrada em OZ. Seja então γ uma circunferência de raio r = r0 (como
se apresenta na figura adjacente). Logo a circulação do campo vectorial de velocidade
vem dado por,
r r
C = Ñ∫ v|dP =
γ
Ñ∫ vds = v
γ
Ñ∫
r
ω
ds = v2πr0
r= r0
r
r
tendo em consideração que v = veT com v
constante em γ e em qualquer instante, e que
r
r
dP = dse T
r
Como se pode depreender, a circulação de v
corresponde ao produto do módulo da velocidade
pelo perímetro de γ, mas pode também ser escrita
em função da velocidade angular ω e da área (A):
Z
γ
O
Y
X
V = ω r0 ⇒ C = 2πv r0 = 2πω(r0 )2 = 2ωA
32
ISEL/DEC
Se escolhermos uma circunferência de igual
raio mas paralela a OXZ ou a OYZ, então a
r
circulação de v será nula,
r
ω
r r
C = Ñ∫ v | d P = 0
Z
γ
γ
r
visto que v está restringido ao plano OXY
enquanto que as trajectórias se enquandram em
r
r
planos perpendiculares a este, ou seja, v ⊥ dP .
O
Y
X
Rotacional
r
O rotacional de um campo vectorial α num determinado ponto P corresponde a um
vector cuja direcção indica a orientação da curva fechada para a qual a circulação do
campo é máxima, e de módulo igual à circulação por unidade de área, ou seja,
r r
Ñ∫ α|dP
r
|rotα |= lim γ
A→ 0
A
r
rot α
A
r
Em coordenadas cartesianas, sendo o campo vectorial α ,
dado por:
P
r
r
r
r
α = α x i + αy j + α z k
γ
então
r
î
r r r
∂
rot α = ∇ ∧ α =
∂x
αx
r
j
∂
∂y
αy
r
k
∂  ∂α z ∂α y  r  ∂α x ∂α z  r  ∂α y ∂α x
=
−
−
j +
−
i +
∂z  ∂y
∂z   ∂z
∂x   ∂x
∂y
αz
r
k

r
ω
em que ∧ representa o produto vectorial (ou
externo).
Z
Exemplo:
Considere-se a rotação de um corpo rígido em
torno de um eixo fixo OZ. Então, sabendo-se
que o vector velocidade linear é dado pelo
produto externo entre a velocidade angular e o
raio da trajectória, temos,
r
r
Y
P(x, y, z)
X
33
ISEL/DEC
r
î
r r r
v=ω∧ r = 0
x
r r
j k
r
r
0 ω = −ω yi + ω xj
y z
r
então o rotacional de v , vem dado por,
r
r
r
î
j
k
r
r
r
r r r
∂
∂
∂
rotv = ∇ ∧ α =
= ωk + ωk = 2 ωk
∂ x ∂ y ∂z
−ωy ωx 0
Logo verifica-se que para a rotação de um corpo rígido, o rotacional do campo vectorial
das velocidades é um campo vectorial cujo valor é o mesmo em qualquer ponto e está
direccionado ao longo do eixo de rotação com o dobro da magnitude da velocidade
angular. Tal resultado pode ainda ser verificado a partir da definição do módulo do
rotacional, ou seja, sendo C = 2ωA, obtém-se,
r r
r
∫ v|dP = lim 2ωA = 2ω
|rotv|= lim Ñ
A→0 A
A
A→ 0
como seria de esperar.
Observação:
r
r
Um campo vectorial αré conservativo sse o rot α = 0 e neste caso existe um campo
r
escalar u tal que α = ∇ u.
r
Para verificar
se um campo α é conservativo, basta verificar se todas as componentes
r
de rot α se anulam, ou seja, verificar se,
 ∂α z ∂α y 
 ∂α y ∂α x
 ∂α x ∂α z 
−
−
=0 e 
−

=0 e 

∂z 
∂x 
∂y
 ∂z
 ∂y
 ∂x

=0

r
ou seja, para que α seja conservativo deve ter-se:
∂α z ∂α y
=
,
∂y
∂z
∂α y ∂α x
∂α x ∂α z
=
e
=
∂z
∂x
∂x
∂y
ou seja, verificar se as derivadas cruzadas são nulas.
Exemplos:
1 – Verificar que o campo de velocidades de um corpo rígido em rotação em torno do
eixo OZ não é conservativo.
34
ISEL/DEC
Como já se verificou,
r
r
r
v = − ωyi + ω xj
resultando
∂v y
=ω
∂x
∂v x
=−ω
∂y
logo não se verifica a igualdade para estas derivadas cruzadas, pelo que o campo de
velocidades não é conservativo.
2 – Verificar que o campo gravítico à superfície terrestre é conservativo
r
r
P Sendo o peso à superfície ( P ) dado por:
r
r
r
P = mg = −mgj
então, verifica-se que,
∂α z ∂α y
=
= 0,
∂y
∂z
r
P
Z
X
Y
∂α y ∂α x
∂α x ∂α z
=
=0 e
=
=0
∂z
∂x
∂x
∂y
pelo que se conclui que o campo gravítico à superfície terrestre é conservativo.
Integral de Linha
Para o cálculo do integral de linha, ou seja, o integral ao longo de uma trajectória, dado
r r
r r
por, Ñ
tem
que
se
conhecer
a
expressão
de
F
= F (x, y, z) e determinar a respectiva
F|dP
∫
γ
componente tangencial ao longo do caminho γ:
r r
r
r
r
r
r
r
FT ds = F | d P = (Fx i + Fy j + Fzk ) | ( d x i + dyj + dzk) = Fx dx + Fy dy + Fdz
.
z
r
r r
r
r
r
Exemplo: Seja F = 2i + 4 j + 5zk e a trajectória dada pelo gráfico, ou seja, dP = dyj
Z
A
B
Z =Z
A
B
X
Y
A
Y
B
Y
35
ISEL/DEC
Então de A para B, temos,
r r
r r
r
r
F | d P = (2i + 4 j + 5z A k)|(dyj) = 4dy
integrando, obtemos,
r r YB
∫ F | d P = ∫ 4dy = 4 ( y B − y A )
γ
YA
Quando o trajecto γ é constituido por vários segmentos como se apresenta na figura,
então podemos escrever,
r r
F
∫ |dP =
γ
∫
r r
F|dP+
A →B
∫
r r
F|dP +
B →C
∫
r r
F|dP
Z
D
C →D
C
X
A
B
Y
r
r
r
Se o campo F é conservativo deve ter-se F = ∇ u, logo,
r
r
r
r
∫ F | d P = ∫ ∇u | d P = ∫
γ
γ
uB
uA
du = u B − u A
36
ISEL/DEC
Dinâmica
Ao estudo da relação entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento,
chama-se dinâmica. Pela experiência diária sabemos que o movimento de um corpo é
um resultado directo da sua interacção com outros corpos que o cercam. As interacções
são convenientemente descritas por um conceito matemático denominado força. O
estudo da dinâmica é basicamente a análise da relação entre a força e as variações do
estado de movimento de um corpo.
Neste capítulo será introduzido o conceito de força. Serão discutidas as leis de Newton,
as quais descrevem o modo de como um corpo responde a um conjunto de forças. Serão
também apresentadas as forças de atrito e o modo de como podem ser matematicamente
representadas.
Observações
1 - A força é a causa do movimento na mecânica clássica. A mecânica clássica trabalha
com sistemas de dimensão >> 10-10 m (dimensões atómicas) e velocidades << 3.0 × 108
m/s (aproximadamente a velocidade da luz).
2 – A força é um vector
3 – Existem dois tipos de forças:
a) Forças de contacto. As quais envolvem o contacto físico entre objectos. A
compressão de uma bola, o puxar de uma porta, são exemplos deste tipo de força.
b) Campos de forças. As quais não implicam contacto físico entre objectos. O campo
gravitacional e o campo electromagnético são exemplos deste tipo de forças.
Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia
Enunciado: um objecto que se encontre em repouso ficará em repouso e um objecto
que se encontre em movimento manterá o seu movimento a velocidade constante, se não
existir qualquer tipo força externa entre o objecto e o ambiente que o rodeia. De
salientar no entanto, que tal comportamento não existe no universo, uma vez que toda a
partícula está sujeita a interacções com o resto do universo físico.
Um corpo que não está sujeito à interacção é dito livre.
A expressão matemática que traduz a Primeira Lei de Newton, está de acordo com,
r
r
∑F =0 ⇒a =0
37
ISEL/DEC
Segunda Lei de Newton ou Lei fundamental da
dinâmica
Antes de se considerar a 2ª Lei, propriamente dita, tem de se ter em consideração:
i)
a quantidade de movimento
ii)
o princípio da conservação da quantidade de movimento
e
A quantidade de movimento, também denominado de momento cinético, ou
simplesmente momento de um partícula, é definido como o produto da sua massa pela
sua velocidade. Designado por,
r
r
P = mv
Pode-se agora dar outro enunciado à Lei de Inércia, dizendo-se que,
Uma partícula livre move-se sempre com quantidade de movimento constante.
O princípio da conservação diz-nos que a quantidade de movimento total de um sistema
de partículas isolado é constante, ou seja,
r
P = ∑ Pi = P1 + P2 + P3 + ... + Pn = cte
i
À variação temporal da quantidade de movimento de uma partícula dá-se o nome força
(resultante), ou seja,
r
r dP
F=
dt
Então, a massa constante, temos,
r
r d
r r dm
dv
r
F = ( mv ) = v
+m
= 0 + ma
dt
dt
dt
r
r
dv
r
F=m
= ma ⇐ 2ª Lei de Newton
dt
Observações
•
•
•
r
r
quando F é constante e a é inversamente proporcional à massa. Tal significa, que
para a mesma força, uma massa mais pequena terá uma maior aceleração.
A 2ª Lei de Newton é uma quantidade vectorial que compreende três equações
escalares (em três dimensões): ∑ Fx = ma x , ∑ Fy = may , ∑ Fz = ma z
A 1ª Lei de Newton é um caso especial da 2ª Lei de newton.
38
ISEL/DEC
•
A unidade de força no Sistema Internacional (SI) é o Newton (N). 1 Newton é a
força que produz uma aceleração de 1m/s2 quando actua sobre uma massa de 1kg.
Equilíbrio dinâmico
Tendo em consideração a 2ª Lei de Newton, na forma,
r
r
F − ma = 0
r
a qual pode ser interpretada como uma adição do vector − ma ao conjunto das forças
actuantes sobre partículas cujo resultado é um sistema de vectores equivalente a zero.
Se tivermos,
r
F2
r
ma
r
F1
r
r
( ∑ F = ma)
m
então para o sistema se encontrar em equilíbrio dinâmico teremos de ter,
r
F2
r
F1
m
r
- ma
r
r
( ∑ F − ma = 0)
r
em que − ma corresponde à força de inércia.
Definição:
a) Inércia, é a tendência que um objecto tem em resistir a qualquer tentativa de
alteração do seu estado de movimento.
Por exemplo, se considerarmos as componentes normal e tangencial da aceleração,
teremos o vector inércia segundo essas duas componentes, -man e –mat , em que,
i)
a componente tangencial traduz a resistência que o corpo oferece a uma
mudança da intensidade da sua velocidade.
ii)
a componente normal (ou força centrifuga), representa a tendência do corpo
para deixar a trajectória curva.
39
ISEL/DEC
dv
v2
e − m , surgem como uma
dt
r
resistência à variação do estado de movimento dos corpos. No caso de um elevador,
dv
− m , é a oposição à variação de v. No caso de um automóvel a efectuar uma
dt
v2
curva, − m , corresponde à oposição à mudança de direcção de v.
r
As forças de inércia, como por exemplo, − m
b) Massa (m), é a força necessária por unidade de aceleração produzida e é uma
medida da inércia. A massa é uma quantidade escalar e tem como unidades no
sistema internacional (SI) o quilograma (kg).
Por exemplo, se uma bola de “bowling” e uma bola de golfe forem projectadas,
verificar-se-à que será mais difícil de obter movimento para a bola de “bowling”,
uma vez que possui mais massa e por conseguinte uma maior inércia.
r
c) Peso ( p ), é a força exercida num objecto pelo campo gravitacional. Da segunda lei
de Newton, vem,
r
r
p = mg
De salientar que:
O peso é um vector dirigido para o centro de Terra, ou perpendicular à superfície da
Terra.
O peso de um objecto é diferente na Terra e na Lua, uma vez que a intensidade do
campo gravitacional é diferente (gTerra ≠ gLua ).
O valor de g varia com a distância ao centro da Terra. Como consequência,
i)
como o planeta Terra não é uma esfera perfeita, o peso de um corpo varia
ligeiramente de lugar para lugar na superfície terrestre.
ii)
o peso de um corpo varia ligeiramente com a altitude acima da superfície
terrestre.
iii)
Assume-se que na superfície terrestre, o valor de g é aproximadamente
constante e dado por 9.8m/s2 .
Em comparação, a massa é uma quantidade escalar com valor independente da
localização. De salientar no entanto, assumindo-se que g é aproximadamente
constante, a massa é proporcional à magnitude do peso e as duas quantidades podem
ser mutuamente usadas. A tal correlação chama-se, princípio da equivalência.
40
ISEL/DEC
Terceira Lei de Newton
Enunciado: As forças na natureza existem sempre aos pares. A Terceira Lei de Newton
diz-nos que, para cada acção, existe uma reacção de intensidade igual e sentido oposto.
r
r
Quando dois corpos interagem F12 = − F21 , ou seja a força exercida pelo corpo 1 no
corpo 2, é de intensidade igual e sinal contrário à força exercida pelo corpo 2 no corpo
1, ou seja a reacção.
Por exemplo, quando um objecto está em queda devido à acção da gravidade, a Terra
exerce uma força sobre ele que provoca a sua aceleração na direcção do centro da Terra.
De acordo com a 3ª Lei de Newton, o objecto exerce uma força na Terra, assim como, a
Terra acelera na direcção do objecto.
Então agora questiona-se o porquê de não sentirmos a aceleração da Terra?
Da 2ª Lei de Newton sabemos que,
r
r
FobjectonaTerra = mTerra aTerra
e da 3ª Lei de Newton que,
r
r
r
FobjectonaTerra = − FTerranoobjecto ≡ − p
logo,
r
aTerra = −
r
p
mTerra
⇔
m

r
⇔ aTerra =  objecto  g = g
 mTerra 
concluindo-se assim, que a aceleração da Terra é demasiadamente baixa para se
detectar, porque a massa da Terra é muito maior que a do objecto.
41
ISEL/DEC
Atrito
O atrito surge das forças entre átomos e moléculas aquando do contacto entre
superficies. Por exemplo, o atrito surge quando um corpo se move sobre uma superfície
ou através de um meio fluido (água, ar, ...).
Existem dois tipos de forças de atrito seco (ou de Coulomb):
1. força de atrito estático ( fs ), é a força entre dois objectos quando não
existe movimento.
2. força de atrito cinética ( fk ), é a força de atrito entre dois objectos
quando dois objectos estão em movimento
Considere um bloco sobre um superfície rugosa horizontal. Aplique uma força externa
Fext ao bloco, paralelamente à superfície de contacto:
•
•
•
Se Fext < f s(max) o bloco não se move.
Com o aumento de Fext , a f s aumentará até atingir um valor máximo. Quando,
Fext = f s(max) o bloco iniciará o movimento (obtém-se assim o ponto de
deslizamento eminente).
Uma vez iniciado o movimento, a força de atrito será dada por f k .
Factos experimentais sobre o atrito
1 – fs ≤ µ s × N onde µs é o coeficiente de atrito estático e N a magnitude da força normal.
A igualdade é obtida quando o objecto se encontra na situação de deslizamento
eminente, fs(max) = µs×N.
2 – fk = µ k × N onde µk é o coeficiente de atrito cinético e é aproximadamente constante
para qualquer par de materiais
3 – os valores de µk e µs dependem da natureza das superfícies de contacto. Usualmente
µk < µs.
4 – o sentido da força de atrito é oposto ao sentido de movimento do objecto.
5 – os valores de µk e µs são aproximadamente independentes da área de contacto entre
as duas superfícies.
6 – µk é aproximadamente independente da velocidade do objecto considerado.
42
ISEL/DEC
Estratégia na resolução de problemas
•
•
Desenhar a situação e o diagrama de forças (ou de corpo livre) de todas as forças
para cada corpo.
o No diagrama de forças para cada objecto, inclua apenas as forças que
actuam nesse objecto.
o A força exercida por um cabo é denominada de tensão e denota-se
r
usualmente por T .
o A força de contacto exercida por uma superfície tem duas componentes:
a reacção normal, que actua sempre perpendicularmente à superfície e a
força de atrito, tangente à superfície.
Esboce um sistema de coordenadas e aplique a 2ª Lei de Newton. Se tivermos
movimento no plano, então:
r
r ∑ Fx = ma x
∑F = ma ⇔ ∑F = ma
y
 y
•
Se necessário use as equações da cinemática do movimento para a resolução das
quantidades desejadas.
43
ISEL/DEC
Trabalho e Enegia
Trabalho
r
O trabalho realizado por um agente que exerce uma força constante F no deslocamento
r r
r
elementar dr de A para B, define-se como o produto interno F | dr , ou seja,
r r
dW = F | dr
Pode-se ainda escrever,
dW = FT ds = Fds cosθ
r
sabendo ds =| dr | e que FT =Fcosθ é a componente tangencial da força.
Em coordenadas cartesianas pode-se também ter,
dW = Fxdx + Fydy + F zdz
r
O trabalho realizado pela força F ao longo de um deslocamento finito da partícula de A
para B, é obtido pela integração ao longo da trajectória descrita pela partícula, ou seja,
B
r r
WA → B = ∫ F | dr =
A
( xB , yB , zB )
∫
( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) =
( x A , y A, z A)
SB
∫ F cos θ ds
SA
sendo s a variável de integração que mede a distância percorrida pela partícula ao longo
da trajectória.
r
F
r
dr
B
A
Observações:
•
•
•
r
Se r = 0 ⇒ W = 0, isto é, não é realizado trabalho quando se segura uma caixa
pesada ou se empurra contra uma parede.
r
r
W = 0 se F ⊥ dr , isto é, não é realizado trabalho ao se transportar qualquer peso
horizontalmente.
r
r
O sinal do trabalho depende da direcção de F relativamente a dr . Se:
44
ISEL/DEC
θ < 90, então dW > 0
θ > 90, então dW < 0
i)
ii)
r
r
O sinal é dado automaticamente considerando θ como o ângulo entre F e dr e
escrever-se dW = Fdscosθ
•
•
•
r
r
Se F actua ao longo da direcção da trajectória ds , então dW = Fds, visto que,
cosθ=cos0=1.
O trabalho é um escalar, quando depende do caminho entre o ponto inicial e o
ponto final.
A unidade do trabalho no sistema internacional é o Joule (J; 1J = 1Nm=kgm2 s-2 ).
Princípio do Trabalho e da Energia
A força é um vector, o trabalho e a energia são escalares, sendo frequentemente mais
fácil a resolução de problemas usando considerações da energia em vez de usar as leis
de Newton (os escalares são de mais fácil manipulação do que os vectores).
r
Considere-se uma partícula de massa m sujeita à acção de uma força F e que se
desloca ao longo de uma trajectória curva ou rectilínea. Tendo em conta a 2ª Lei de
Newton em função da sua componente tangencial,
FT = maT = m dv/dt
sabendo que v = ds/dt, e aplicando a regra da derivação em cadeia, resulta,
FT = m
dv ds
dv
=mv
ds dt
ds
B
FT
então,
m
r
F
FT ds = m vdv/ds
A
integrando,
sB
∫ FT ds =
sA
vB
∫ mvdv ⇔ W
A→ B
vA
=
Fn
1
m( vB2 − v A2 )
2
definindo a energia cinética de uma massa em movimento como,
EC =
1 2
mv
2
então podemos escrever o trabalho como,
WA → B = E C (B) - EC (A)
45
ISEL/DEC
Esta última equação traduz o princípio do trabalho e energia: o trabalho realizado
num objecto pela força resultante, entre duas posições A e B é igual à variação da
energia cinética entre essas duas posições.
Observação:
•
•
•
•
•
Se a velocidade do objecto aumenta (v f > v i ) ⇒ W > 0.
Se W < 0 então o objecto está a realizar trabalho no agente que exerce o
conjunto de forças
Pode-se interpretar a energia cinética da última equação como o trabalho que um
objecto pode efectuar para obter o repouso.
A energia cinética é um campo escalar.
As unidades da energia cinética são as mesmas do trabalho (isto é, Joules, J).
Energia Potencial e trabalho
A energia potencial (EP ) corresponde à energia armazenada num sistema em
consequência da posição e orientação das sua partes constituintes.
r
A energia potencial ou função potencial de F é apenas definida para forças
conservativas.
O trabalho de forças conservativas pode ser dado em função da energia potencial,
correspondendo neste caso à variação da energia potencial, ou seja,
WA→B=EP (A) – EP (B) = -∆EP
em que EP (A) = EP (xA, yA, zA) e EP (B) = EP (xB, yB, zB).
De salientar que o trabalho calculado deste modo, não vai depender da trajectória mas
apenas da diferença de energia potencial.
r
Se F é conservativa tem-se,
r
r
Ñ∫ F | dr = 0
ou seja, se fizermos A coincidir com B ao longo de uma trajectória fechada, o seu
trabalho é nulo.
Se considerarmos dois pontos vizinhos A(x, y, z) e A’(x+dx, y+dy, z+dz), para os quais
é válida a equação WA→A’=EP (A) – EP (A’), então o trabalho elementar dW, o qual
corresponde ao deslocamento dr de A para A’, é:
dW = EP (x, y, z) – EP (x+dx, y+dy, z+dz)
ou
dW = -dEP (x, y, z)
46
ISEL/DEC
daqui verifica-se que o trabalho elementar realizado por uma força conservativa é uma
diferencial exacta.
No caso unidimensional tem-se
∂E P
dx
∂x
r r
logo, comparando com dW = F | dr = Fx dx, resulta que,
dEP =
∂E P
∂x
e no caso tridimensional,
Fx = −
r r
dW = F | dr = Fx dx + Fy dy + Fzdz ⇔
r
∂E
∂E
∂E
r
⇔ dW = −( P dx + P dy + P dz) = − grad ( EP ) =−∇ EP
∂x
∂y
∂z
Escolha do sistema de coordenanadas
Aquando da resolução de problemas com energia potencial, a escolha da origem do
sistema de eixos é equivalente a escolher o lugar onde a energia potencial é nula. Sabese que a física deve ser independente da escolha do sistema de eixos coordenados, logo
o valor da energia potencial num dado lugar não tem significado físico. A quantidade
que possui significado físico é a variação de energia potencial de uma posição para
outra.
Conservação da Energia
Existem muitas formas de energia – mecânica, química, electroestática, calorifica,
nuclear. Num qualquer sistema isolado, a energia pode ser transformada de um tipo para
outro tipo de energia, mas a quantidade total de energia é constante, ou seja, conservase. Exemplos, i) uma bateria contém energia química que pode ser utilizada para
produzir energia mecânica, ii) quando um bloco escorrega sobre uma superfície rugosa,
a força de atrito dá origem ao aquecimento do bloco e da superfície. Como resultado, a
energia mecânica é transformada em energia térmica, mas a quantidade total de energia
conserva-se.
Nesta secção estamos interessados em dois tipos de energia mecânica:
•
•
Energia cinética (EC ) (energia do movimento)
Energia potencial ( EP ) (energia da posição)
Forças Conservativas e Não Conservativas
Nem sempre é verdade que o trabalho realizado por uma força externa é armazenado
como uma forma de energia potencial. Tal é apenas verdade se a força fôr conservativa,
onde é válida a relação:
47
ISEL/DEC
B r
r
W = ∫ F | dr = EP ( A) − EP ( B)
A
Definição: o trabalho que uma força conservativa realiza num objecto que se move de A
para B, é independente do caminho – apenas depende dos pontos extremos do
movimento. Para uma força não conservativa (ou dissipativa), o trabalho realizado no
movimento de A para B depende do cominho efectuado (a força de atrito e a resistência
do ar são alguns exemplos).
A conservação da energia mecânica
Já verificamos que o trabalho realizado por uma força conservativa pode ser expresso
como uma variação da energia potencial.
Quando um objecto se desloca sob a acção de força conservativas, o princípio do
trabalho e da energia pode ser escrito como
EP (A) - EP (B) = EC(B) - EC(A) ⇔ EP (A) + Ec(A) = EP (B) + EC(B)
Tal significa que quando um objecto se desloca sob a acção de forças conservativas, a
soma da sua energia cinética e da sua energia potencial se mantém constante.
Quando todas as forças que actuam num corpo são conservativas, a quantidade,
Em = Ec + EP
conserva-se durante o movimento e designa-se por energia mecânica.
Forças não conservativas e o princípio do trabalho e da energia
Se existem forças não conservativas então a energia mecânica não se conserva, e
escreve-se,
W = Wnc + Wc = Ec(f) – Ec(i)
Em que Wnc representa o trabalho das forças não conservativas e Wc o trabalho das
forças conservativas. Sendo,
Wc = EP (i)-EP (f)
Temos,
Wnc = (Ec(f) – Ec(i)) + (EP (f)-EP (i)) = ∆EC + ∆EP = ∆(EC + EP ) = ∆Em
Ou seja, o trabalho realizado por uma força não conservativa é igual à variação de
energia mecânica.
48
ISEL/DEC
Potência e rendimento mecânico
Potência (P)
A potência é o trabalho realizado por unidade de tempo, ou a quantidade de trabalho
realizado por segundo, ou seja,
P=
dW
dt
(Watt – W, 1W = 1J/s=Nm/s)
r r
Sabendo-se que, dW = F|dr , então,
r r
r
dW F | d r r dr r r
P=
=
= F|
=F|v
dt
dt
dt
r
para F constante.
Rendimento Mecânico (η
η)
O rendimento mecânico é dado pela razão entre o trabalho realizado e o absorvido, ou
seja,
η=
Wrealizado
<1
Wabsorvido
sendo o rendimento sempre inferior à unidade. Este assunto será mais desenvolvido
aquando do capítulo dedicado à termodinâmica.
Esta definição pressupõe que o trabalho seja realizado a uma razão constante.
Se o rendimento mecânico é dado pela razão apresentada, logo também será igual à
razão entre as suas taxas de variação temporal, isto é,
η=
Prealizado
<1
Pabsorvido
49
ISEL/DEC
Quantidade de Movimento
A quantidade de movimento é definida como:
r
r
P = mv
[kgm/s]
Tendo em consideração a 2ª Lei de newton,
r
r
∑ F = ma
pode-se escrever,
r
r
r
dv d
r dP
∑ F = m dt = dt (mv) = dt
r
r dP
⇔ ∑F =
dt
isto é, a força resultante é igual à taxa de variação da quantidade de movimento.
Graficamente, temos,
m
r
v
r
P
Princípio da conservação da quantidade de
movimento
O princípio diz-nos que perante a ausência de forças externas aplicadas às massas, ou
seja, se a a soma das forças externas fôr nula, a quantidade de movimento permanece
constante. Então temos,
r
r
∑ F = 0 ⇒ P = cte
50
ISEL/DEC
Impulso de uma força
r
Define-se o impulso resultante IR da aplicação de uma ou várias forças durante um
intervalo de tempo como,
r Tf r
IR = ∫ Fdt
[Ns]
Ti
Princípio do impulso e da quantidade de movimento
Expressando a 2ª Lei de Newton na forma,
r
d
r
∑ F = dt (mv)
então,
r
r
r
r
Fdt = d(mv) ⇔ Fdt = mdv
integrando os dois membros da equação,
vf
Tf
Tf
r
r
r
r
r r
r
r
Fdt
=
mdv
⇔
Fdt
=
m(v
−
v
)
⇔
mv
+
Fdt
f
i
i
∫
∫
∫
∫ = mvf ⇔
Tf
Ti
vf
Ti
Ti
r Tf r
r
⇔ Pi + ∫ Fdt = Pf
Ti
r
Pi
+
r
IR
r
Pf
=
ou seja, podemos escrever,
r r
r
Pi + I R = P f
r
o que indica que a quantidade de movimento final Pf de uma massa pode ser obtida pela
r
soma vectorial da sua quantidade de movimento inicial Pi com o impulso resultante
r
r
IR exercido pela força F durante o intervalo de tempo considerado, ou ainda,
r r
∆P = IR
ou seja, a variação da quantidade de movimento de um corpo é igual ao impulso da
força resultante no mesmo intervalo de tempo.
51
ISEL/DEC
Considerando o princípio da quantidade de movimento em coordenadas cartesianas,
componente a componente, temos,
Tf
mv xi + ∫ Fx dt = mvxf
Ti
Tf
mv yi + ∫ Fy dt = mv yf
Ti
Tf
mv zi + ∫ Fz dt = mv zf
Ti
r
r
Quando o ∑ F = 0 , resulta IR =0, logo a quantidade de movimento conserva-se, ou
r r
r
r
seja, de, Pi + I R = P f , com IR =0, resulta,
r r
Pi = Pf
Se um sistema envolve duas ou mais partículas, deve considerar-se a soma vectorial das
respectivas quantidades de movimento e impulso. Contudo, tendo em conta que as
forças de acção – reacção exercidas pelas partículas entre si formam pares de forças
iguais e de sentidos opostos, levando a que os impulsos exercidos por estas forças se
cancelem entre si, restam apenas os impulsos originados pelas forças externas, ou seja,
r
r
∑P +∑ I
i
R − externas
r
= ∑ Pf
o qual se reduz a:
r
r
i
f
∑P = ∑P
para um sistema isolado (ou seja, sistema para o qual não existe interacções com forças
exteriores). Esta última equação traduz a conservação da quantidade de movimento total
das partículas.
Movimento Impulsivo
Def: Movimento sob a acção de forças impulsivas que têm uma elevada intensidade,
embora actuem num intervalo de tempo muito curto.
r
I ; ∑ F∆t
r
( ∑F ; cte)
Os impulsos de forças não impulsivas podem em geral ser desprezados no movimento
impulsivo, como exemplos, o peso do corpo, força exercida por uma mola,...
Aquando do movimento impulsivo, podemos escrever o princípio do impulso e da
quantidade de movimento, como,
52
ISEL/DEC
r
r
r
Pi + ∑ F ∆t = Pf
Problema: Considere-se o embate entre um taco e
uma bola de basebol, em que a bola com uma massa
de 113 g é lançada inicialmente com uma
velocidade de 24.4m/s em direcção a um taco. Após
a pancada do taco a velocidade passa a ser de
36.6m/s na direcção que se apresenta na figura
seguinte. Se o taco e a bola estiverem em contacto
durante 0,015s, determine a força impulsiva média
exercida sobre a bola durante o choque.
36.6m/s
40º
24.4m/s
Esquematicamente temos,
Quantidade de
movimento inicial
Quantidade de
movimento final
Forças impulsivas
mvf
mvi
+
Y
40º
=
F∆
∆t
P∆
∆ t=0
X
Então,
x : -mv i + Fx ∆t = mv f cos40 ⇔ Fx = 395N

y :  0 + Fy ∆t = mv f cos40 ⇔ Fy = 177N
pelo que a intensidade da força resulta em F = 433N e o ângulo com a horizontal β =
arctg(Fy / Fx ) = 24.2º.
53
ISEL/DEC
Choques ou Colisões
Utiliza-se o termo choque para representar a colisão entre dois corpos num intervalo de
tempo muito curto. Aquando do choque os corpos produzem forças impulsivas em cada
um. Estas forças assumem-se como muito mais elevadas do que qualquer outra força
externa.
As forças internas ao sistema de duas partículas são forças impulsivas enquanto que as
forças externas não o são, logo estamos em condições de conservação da quantidade de
movimento, ou seja (verifique figura),
tc
r
r
P
=
P
∑ antes do choque ∑ depois do choque
ou
r
va’
r
vb’
nc
∑ P = ∑ P'
ou
r
r
r
r
m a va + m b v b = m a v´a + m b v´b
ma
mb
va
vb
Observação: Aquando da resolução de problemas relativos a colisões, usa-se para
simplificação da resolução um sistema de eixos ortogonais (nc, tc), como se apresenta
na figura ao lado, onde, nc – corresponde ao eixo normal comum às superfícies dos dois
corpos, e tc – corresponde ao eixo tangente comum às superfícies de contacto.
Colisões centrais
Diz-se que estamos perante um choque ou colisão central quando os centros de massa
dos corpos que colidem estão alinhados segundo a normal de choque (nc). As colisões
podem ainda ser divididas em colisão central directa e colisão central obliqua,
consoante as velocidades das duas partículas que colidem se encontram ou não
alinhadas com a nc.
Colisão central directa
Define-se colisão central directa quando os centros de massa e as velocidades dos dois
corpos que colidem estão alinhadas segundo a nc.
va
vb
nc
va // vb // nc
54
ISEL/DEC
Aquando do choque de partículas , estas inicialmente deformam-se, ao que se seguirá
um período de restituição, no fim do qual, e dependendo da intensidade das forças de
choque e dos materiais em jogo, as duas partículas recuperarão a sua forma original ou
permanecerão deformadas. Esquematicamente, temos,
r
a) antes do choque as velocidades são rva e vb
r
vb
r
va
nc
r
u
nc
r'
va
r
v 'b
nc
b) Aquando do choque temos deformação das duas
partículas e a velocidade é a mesma para as duas
massas, sendo ur .
c) depois do choque cada partícula adquire
r
velocidades v'a e vr 'b diferentes das iniciais
r
De modo a se conhecer as velociaddes v'a e vr 'b , considere-se agora o movimento da
partícula A durante o período de deformação e aplique-se o princípio do impulso e da
quantidade de movimento, ou seja,
nc
ma rva
+
nc
∫ Ddt
=
nc
r
ma u
Força impulsiva que actua
em A durante este período,
correspondendo à força D
(de deformação) exercida
por B sobre A
Em componentes escalares podemos traduzir matematicamente o período de
deformação como,
55
ISEL/DEC
m a va − ∫ Ddt = m a u
Considere-se agora o movimento de A durante o período de restituição,
r
ma u
nc
nc
+
∫ Rdt
=
nc
r
ma v'a
Força exercida por B sobre
A durante este período.
Em componentes escalares podemos traduzir matematicamente o período de restituição
como,
m a u − ∫ Rdt = m a v 'a
Em geral os impulsos das forças de deformação são mais elevados que os impulsos das
forças de restituição, ou seja,
∫ Rdt ≤ ∫ Ddt
definindo-se o coeficiente de restituição como a razão entre estes impulsos, ou seja,
e=
∫ Rdt ,
∫ Ddt
com 0 ≤ e ≤ 1
em que o valor de 1 está de acordo com uma restituição completa da deformação prévia.
Resolvendo em ordem aos integrais podemos ainda escrever o coeficiente de restituição,
como,
e=
∫ Rdt = u − v ,
∫ Ddt v − u
'
a
com 0 ≤ e ≤ 1
a
seguindo o mesmo raciocinio para a partícla B, teremos,
e=
∫ Rdt = u − v ,
∫ Ddt v − u
'
b
com 0 ≤ e ≤ 1
b
56
ISEL/DEC
sendo os coeficientes de restituição para A e B iguais também o serão os quociente da
adição, ou seja,
(u − v ) +(v
e=
'
a
'
b
−u
)=
( va − u ) + (u − vb )
v 'b − va'
⇔
va − v b
⇔ v'b − va' = e(va − vb )
ou seja, a velocidade relativa das duas partículas depois do choque pode ser obtida pela
multiplicação da velocidade relativa antes do choque pelo coeficiente de restituição.
Casos particulares
1 – Choque perfeitamente plástico (e = 0)
Para um choque deste tipo não existe período de restituição, pelo que, considerando a
última equação se verifica que as partículas depois do choque mantêm-se juntas, ou
seja,
e = 0 ⇒ va’ = vb’ = v’
Substituindo esta igualdade na equação que traduz a conservação da quantidade de
movimento total das partículas, escrevemos,
P = cte ⇔ mava + mbvb = (ma + mb)v’
2 – choque perfeitamente elástico (e = 1)
Para este tipo de condição verifica-se através das equação que define o coeficiente de
restituição que os impulsos de deformação e restituiçao são iguais. Neste caso, depois
do choque os corpos afastam-se com a mesma velocidade relativa que tinham antes do
choque, ou seja, para e = 1, temos,
va - vb = vb’ - va’ ⇔ va + va’ = vb’ + vb
(*)
É importante salientar que para um choque perfeitamente elástico, não só se conserva,
i)
a quantidade de movimento total das duas partículas (como já se
verificou para um choque perfeitamente plástico).
mas também
ii)
a energia total das partículas.
Sendo a quantidade de movimento (P) constante, então podemos escrever,
57
ISEL/DEC
mava + mbvb = mava’+ mbvb’ ⇔ ma(va - va’) = mb(vb’ - vb)
multiplicando membro a membro a equação anterior com a equação (*), temos,
ma(va - va’) × (va + va’) = mb(vb’ - vb) × (vb’ + vb) ⇔
⇔ mava2 - ma(va’)2 = mb(vb’)2 - mbvb2
reordenando os membros da equação e multiplicando por ½, vem,
1
1
1
1
m a v2a + m b vb2 = m a (v 'a )2 + m b (v'b ) 2
2
2
2
2
equação esta que traduz a conservação da energia cinética total das partículas para um
choque perfeitamente elástico.
Observação: No caso geral do choque, isto é, quando e ≠ 1, a energia total das partículas
não se conserva. A energia cinética perdida é em parte transformada em calor e em parte
gasta na criação de ondas elásticas que se propoagam no interior dos corpos em colisão.
Colisão central oblíqua (partículas em movimento livre)
tc
Define-se colisão central oblíqua quando os centros
de massa e as velocidades dos dois corpos que
colidem não estão alinhados segundo a nc, como se
pode observar através da figura que se apresenta ao
lado.
va’
ma
vb’ nc
mb
va
vb
Admitindo que as superfícies são lisas e sem atrito as únicas forças impulsivas que
ocorrem durante o choque são as forças internas dirigidas segundo a normal de choque
(nc), como ilustrado na figura imediatamente abaixo.
tc
tc
tc
ma rv'a
nc
ma rva
mb rvb
+
nc
r
F∆t
=
mb rv'b
nc
r
- F∆t
58
ISEL/DEC
Então perante as condições da colisão temos,
i)
não existindo qualquer tipo de atrito e sabendo que as forças impulsivas
estão dirigidas segunda a nc, então existe conservação da quantidade de
movimento ao longo do eixo tc para cada partícula isoladamente. Logo,
(va)tc = (va’)tc porque (Pa)tc = cte
(vb)tc = (vb’)tc porque (Pb)tc = cte
ii)
conservação da quantidade de movimento total (para as duas partículas) ao
longo da nc
ma(va)nc + mb(vb)nc = ma(va’)nc + mb(vb’)nc porque (Pa)nc + (Pb)nc = cte
iii)
Da relação já verificada anteriormente para o coeficiente de restituição,
temos também válida a equação,
(v 'b ) nc − (va' ) nc = e[(va ) nc − (v b ) nc ]
Colisão central oblíqua (corpos com movimento condicionado)
Considere-se o seguinte exemplo em que uma bola (corpo A) com movimento livre
embate de encontra um bloco (corpo B) com movimento condicionado à horizontal,
como se apresenta na figura seguinte,
tc
Vb
nc
Va ’
Va
A
B
Vb’
Não existindo atrito entre a bola e o bloco, nem entre o bloco e a superfície, então os
impulsos exercidos sobre o sistema são originados por:
i)
acção das forças internas F e –F exercidas segundo a normal de choque.
ii)
acção da força externa Fext, exercida pela superfície sobre o bloco A e
segundo a vertical.
59
ISEL/DEC
mbvb
tc
Y
nc
A
ma va
θ
B
X
F∆
∆t
Fext ∆ t
nc
B
X
tc
B
A
ma va ’
-F∆
∆t
A
+
Y
=
tc
Y
nc
mbvb’
X
Pelas considerações supracitadas e com a ajuda da figura podemos deduzir que:
i)
a componente da quantidade de movimento de B, ao longo do eixo tc,
mantém-se constante, ou seja,
(vb)tc = (vb’)tc
ii)
a componente da quantidade de movimento de A e B, ao longo do eixo x
mantém-se constante. Então,
mava + mb(vb)x = mava’ + mb(vb’)x
iii)
A componente das velocidades de A e B depois do choque, segundo nc,
pode ser dada por,
(vb’)nc – (va’)nc = e [(va)nc – (vb)nc]
Para a determinação do coeficiente de restituição do bloco A quando sujeito ao impulso
exercido pela superfície horizontal, considere-se a componente horizontal do princípio
do impulso e da quantidade de movimento de A durante o período de deformação, ou
seja,
tc
∫ Ddt θ
A
ma va
+
A
∫D
ext
=
ma u
dt
A
60
ISEL/DEC
Pela análise do esquema gráfico temos para o período de deformação,
m a va −
( ∫ Ddt ) cos θ = m u
a
e para o período de restituição,
ma u −
( ∫ Rdt ) cos θ = m v
a
'
a
resultando por conseguinte o coeficiente de restituição em,
e=
∫ Rdt = u − v
∫ Ddt v − u
'
a
a
ou multiplicando todas as velocidades por cos(θ) de modo a se obter a sua componente
segundo projectada ao longo de nc, temos,
e=
( )
u nc − v 'a
( )
va
nc
nc
− u nc
61
ISEL/DEC
Momento de uma força em relação a um ponto
Qual a razão das fechaduras e dobradiças se encontrarem em arestas opostas de uma
porta?
Quando uma força é aplicada num corpo rígido assente sobre um eixo, o objecto tende a
rodar sobre esse mesmo eixo. A tendência de uma força para fazer rodar um objecto
sobre um eixo é medido pela quantidade vectorial denominada de Momento da Força
r
r
( M 0 ) ou Torque (τ ).
r
F
θ
r
r
r
M0
θ
d
Em que
r
r r
M 0 = r ∧ F, (Nm)
verificando-se através desta expressão que,
r
r r
i) M 0 é perpendicular ao plano definido por r e F
ii) o módulo de M0 = rFsinθ
r
M0 – representa a tendência para a força F provocar movimento de rotação em torno do
r
eixo paralelo a M 0 que passa em O.
r
d – representa a distância de O à linha de acção de F , também conhecida por momento
r
do braço (ou braço de alavanca) de F , em que d = rsinθ
Portanto podemos ter,
M 0 = Fd
62
ISEL/DEC
No caso bidimensional, se definirmos o sentido positivo da rotação como,
Y
X
então o momento da força será dado por:
r
F
r
F
d
d
M 0 = d×
×F
M 0 = - d×
×F
Momento angular de uma partícula
Imagine-se um patinador em movimento de translacção que se aproxima de uma vara
fixa ao solo e que a agarra. Ao agarrar a vara o patinador inicia imediatamente um
movimento de rotação em torno desta. Do mesmo modo que o momento linear (ou
conservação da quantidade de movimento) nos ajuda na análize do movimento de
translacção, o momento angular, ajuda-nos a descrever o movimento de corpo sujeito à
rotação.
r
O momento angular instantâneo L de uma partícula relativamente à origem O é
r
definido como o produto vectorial do vector posição instantâneo r da partícula e a sua
r
quantidade de movimento P , ou seja,
r r r
L=r∧P
Z
2
vindo a unidade expressa em [kgm /s].
r r r
L=r∧P
O
r
r
P = mv
X
r r r
Considerando a figura e sabendo que L = r ∧ P ,
então sabe-se que:
m
Y
θ
63
ISEL/DEC
i)
ii)
r
o momento angular L é perpendicular ao plano definido pelos vectores
r
r
r e P.
O módulo do momento angular L, vem dado por, L = rPsinθ = rmvsinθ,
r
r
onde θ é o ângulo entre r e P
Aquando do estudo do movimento de translacção verificou-se que o confunto de forças
aplicadas a uma partícula era igual à taxa de variação do momento linear. Pretende-se
agora transpor a mesma ideia para a taxa de variação do momento angular.
Pretendendo-se então avaliar a variação temporal do momento angular, temos,
r
r
r
dL
d r r
r dP dr r r r r r r
= ( r ∧ P) = r ∧
+
∧ P = r ∧ F + v ∧P = M 0
dt dt
dt dt
já que,
r
r
r
r dP
r r
r r
F = ma =
, M0 = r ∧ F e
v // P
dt
Então verifica-se que a soma dos momentos das forças que actuam numa partícula é
igual à taxa de variação temporal do momento angular da partícula, ou seja,
r
r
dL
∑ M 0 = dt
De salientar que esta equação só é válida se
mesmo ponto fixo.
r
∑M
0
r
e L são medidos em torno da
Se o momento das forças é nulo, então verifica-se a conservação do momento angular,
ou seja,
r
r
r
dL
∑ M 0 = 0 ⇒ dt = 0 ⇒ L = cte
64
ISEL/DEC
Sistema de partículas
Considere-se um sistema de n partículas designada por i= 1, 2, ... As grandezas físicas
referentes a cada partícula são afectadas de um índice corresponde à designação de
partículas.
As grandezas referentes ao sistema que são
proporcionais à quantidade de matéria que o constitui
(grandezas extensivas são obtidas por somatório em
todas as partículas). Então temos,
r
Pi
Z
r
Loi
r
ri
r
vi
r
ai
m
a) massa: m = ∑ m i
i
b) Quantidade de movimento:
r
r
P = ∑ pi
i
r
r
c) Momento angular: L 0 = ∑ L 0i
O
Y
X
i
d) Energia cinética: E C = ∑ E Ci
i
Para estudar o movimento do sistema podemos considerar separadamente o movimento
de um ponto representativo do sistema e considerar o movimento das diversas partículas
do sistema a esse ponto. O ponto representativo do movimento do sistema denomina-se
de centro de massa (CM), no qual se fixa
um sistema de eixos OX’Y’Z’. Por
CM
conseguinte os vectores posição,
r
velociadde e aceleração para um
ri '
determinado ponto do sistema
Z
referentemente ao sistema OXYZ serão
r
rCM
fornecidos por (verifique figura anexa),
r
ri
r r
r
ri = rCM + ri '
r r
r
vi = vC M + vi '
X O
Y
r r
r
a i = a CM + a i '
m
O centro de massa do sistema corresponde ao centro do sistema de forças paralelas
constituído pelos pesos das partículas, ou seja,
r
rCM
r
r
r
∑mgr ∑m r ∑m r
=
=
=
m
∑ m g ∑m
i
i
i
i i
i
i
i
i
i i
i
i
65
ISEL/DEC
As componentes cartesianas vêm dadas por,
x CM =
∑m x
i
i
i
y CM =
;
m
∑m y
i
i
m
i
; zCM =
∑m z
i i
i
m
A velocidade do CM é obtida por derivação, ou seja,
r
drCM
=
=
dt
r
vCM
r
∑m v
i
i
i
m
⇒
r
r
P = mv CM
Do mesmo modo, a aceleração do centro de massa vem dada por,
r
mia i
r
∑
dv
= CM = i
dt
m
r
a CM
Segunda Lei de Newton de um sistema de partículas
r
r
Designemos por Fi ext a resultante das forças externas sobre a partícula i e Fij a força de
interacção com a partícula j. Somando as equações fundamentais da dinâmica de todas
as n partículas que actuam sobre a partícula i obtém-se a equação da dinâmica para i
dado por,
n r
r
r
Fiext + ∑ Fij = m i a i
j
Consequentemente, considerando agora, não apenas a equação da dinâmica para uma
determinada partícula i mas sim para as n partículas do nosso sistema, temos,
n
r ext n n r
r
F
+
F
=
∑ i ∑∑ ij ∑ mi ai
n
i
i
j
i
Mas sendo, como já se verificou,
r
r
ma CM = ∑ m i a i
i
e
n
n
r
∑∑ F
ij
i
r
r
= 0 , porque Fij = −Fji (princípio da acção reacção)
j
66
ISEL/DEC
resulta,
n
r ext
∑F
i
r
= maC M
i
Verificando-se através desta expressão que o centro de massa move-se como se toda a
massa do sistema aí estivesse concentrada e sujeito à força resultante do sistema de
forças externas aplicadas às diversas partículas.
Princípio da conservação da quantidade de movimento de um sistema
de partículas
Sabendo-se que para um sistema de partículas,
r
r
r
r
P = ∑ Pi = ∑ m i v i = mv CM
então,
r
r ext dP
∑i Fi = dt
n
Se,
n
r ext
∑F
i
= 0,
i
então,
r
dP
=0
dt
e
r
P = cte
r
Se além disso m = cte, também vCM = cte , o que traduz a princípio de conservação da
quantidade de movimento do sistema.
Princípio da conservação do momento angular de um sistema de
partículas
Do mesmo modo se obtém a lei fundamental da dinâmica de rotação para o sistema de
partículas. Para duas partículas 1 e 2, tem-se,
r
r
r ext r
dL01
r r ext r r
dL01
M 01 + M 012 =
⇔ r1 ∧ F1 + r1 ∧ F12 =
dt
dt
r
r
r ext r
dL02
r r ext r r
dL02
M 02 + M 021 =
⇔ r2 ∧ F2 + r2 ∧ F21 =
dt
dt
67
ISEL/DEC
r
em que M 01ext corresponde ao momento angular da partícula 1 em torno de O, originado
r
pelas forças externas e M 012 o momento angular originado pela força de interacção
entre a partícula 1 e 2 do sistema.
Somando as duas espressões anteriores, resulta,
r
r
r r
r r
r r
d r
r1 ∧ F1ext + r2 ∧ F2ext + (r1 − r2 ) ∧ F12 = (L01 + L02 )
dt
r
r
r r
r r
sendo, ( r1 − r2 ) ∧ F12 = 0 , já que, ( r1 − r2 )// F12 conforme se pode observar através da
figura, então,
r
F12
r ext r ext d r
r
M 01
+ M 02 = ( L01 + L02 )
dt
r
r r
r1
r1 − r2
Generalizando para um qualquer número de partículas,
temos,
r
r ext dL0
∑i M 0i = dt
r
F21
r
r2
O
Assim verifica-se que a taxa de variação do momento angular do sistema relativamente
r
a O é igual ao momento resultante das Fi ext , relativamente ao mesmo ponto.
Quando
r ext
∑M
0i
r
= 0 , então, L0 = cte , o que traduz a princípio da conservação do
i
momento angular do sistema.
Momento angular do sistema relativamente ao Centro de Massa
Perante determinadas condições
torna-se conveniente considerar o
movimento das partículas do
sistema em relação a um sistema de
eixos baricênctricos, ou seja, a um
sistema de eixos centrado no centro
de massa CMX’Y’Z’, em
translacção relativamente a um
referencial Newtoniano OXYZ.
Z’
X’
Z
r
ri '
r
rCM
i
Seja o momento angular de uma
partícula i relativamente ao centro
de massa, dado por,
r
r r
r
LCM = ∑ ri ' ∧ Pi ' = ∑ mi ri ' ∧ vi'
Y’
CM
r
ri
X
O
Y
68
ISEL/DEC
Considerando a figura, verifica-se que,
r r r
ri ' = ri − rCM
(*)
e claro que,
r r r
vi' = vi − v CM
(**)
Substituindo a equação (*) na do momento angular temos,
r
r
r r r
r r
r r
LCM = ∑ mi ri ' ∧ vi' = ∑ mi ri ' ∧ ( vi − vCM ) =∑ mi ri ' ∧ vi − ∑ mi ri ' ∧ vCM
considerando agora a equaçao (**), vem,
r
r r
r
r
r
LCM = ∑ mi ri ' ∧ vi − ( ∑ mi ri − ∑ mi rC M ) ∧ vCM
sendo, a soma das distâncias ao centro de massa de cada ponto de massa mi nula, ou
seja,
r
r
∑ m r −∑ m r
i i
i CM
=0
resulta,
r
r r
LCM = ∑ mi ri ' ∧ vi
r
r
concluindo-se que o LCM pode ser calculado com vi , ou seja, com a velocidade
absoluta da partícula (velocidade realtiva ao sistema de eixos newtoniano).
A lei fundamental da dinâmica de rotação, usando o Centro de Massa, é então dada por,
r
r ext dLCM
M CMi =
dt
o que nos diz que o momento resultante das forças relativo ao centro de massa é igual à
taxa de variação do momento angular do sistema relativo ao centro de massa, em que o
momento angular pode ser dado em função das velocidades relativas ao centro de massa
ou das velocidades absolutas.
69
ISEL/DEC
Trabalho realizado pelas forças exteriores e interiores ao sistema
Quando um sistema passa de uma configuração A para uma outra B, o trabalho
realizado pelas forças exteriores vem dado por,
ext
WAB
=∑
i
∫
r
r
Fi ext | dri
AB
Do mesmo modo, as forças internas realizam trabalho dado por,
int
WAB
= ∑∑
i
j
r
∫F
ij
r
| dri
AB
ext
Prova-se que a soma WAB
+ WABint dá a variação de energia cinética do sistema, o que
traduz o princípio do trabalho e energia para o sistema, ou seja,
ext
int
WAB = WAB
+ WAB
= EC ( B) − EC ( A)
As forças internas são frequentemente conservativas e centrais (gravidade,
electroestática, elasticidade). Neste caso, o trabalho das forças internas pode ser
expresso como a variação da energia potencial interna, ou seja,
int
WAB
= EP ( A) − E P ( B ) = −∆EPint
Em que a energia potencial interna representa fisicamente o trabalho que é necessário
r
realizar entre as F int para todas as partículas em interacção, a partir de uma situação em
que não existia interacção.
O princípio do trabalho e da energia pode ser expresso como,
ext
int
ext
WAB = WAB
+ WAB
= WAB
− ∆E intP = ∆E C ⇔
ext
⇔ WAB
= ∆ EC + ∆ EPint = ∆U
com,
U = Ec + Eint
P
em que U representa a energia própria do sistema.
Se as forças externas também forem conservativas, podemos dizer que
ext
WAB
=−∆ EPext
e temos por conseguinte,
∆U = −∆E Pext ⇔ ∆U + ∆E Pext = 0
ou seja,
70
ISEL/DEC
U + EPext = cte
quantidade esta que se designa por Energia total do sistema, ou seja,
ETotal = Ec + EPint + EPext
a qual se conserva quando as forças são conservativas.
A energia cinética pode ser expressa pela soma da energia cinética do CM ( ECCM ), com
a energia cinética relativa ao CM, designada por energia cinética interna, ( ECint ). Então
seja,
1
1
2
Ec = ∑ mi vi2 = ∑ mi (v i'2 + vCM
)⇔
2
2
1
1
2
⇔ Ec = ∑ mi vi'2 + ∑ mi vCM
⇔
2
2
CM
⇔ EC = Eint
C + EC
Então a energia total do sistema é,
ETotal = Ecint + EPint + EPext + E CCM
Definindo a energia interna do sistema como,
Uint = ECint + EPint
resulta a energia total do sistema dada por,
ETotal = Uint + EPext + ECCM
com,
ECCM =
1 2
mvCM
2
71
ISEL/DEC
Equações do movimento para um corpo rígido
r r
Considere-se um CR de massa total m sujeito à acção de forças externas F1 , F2 , ...
Admitindo que o corpo é constituído por várias partículas contiguas de unidade de
massa elementar dm, de tal modo que m = ∫ dm , podem aplicar-se as equações
determinadas para um sistema de partículas, em que o movimento do centro de massa é
dado pela equação,
r
r
F1
F3
r
r
∑ Fi = maCM
Z’ dm
e o movimento en torno do centro
de massa dado por,
Z
r
r '
X’
r
r
dLCM
∑ M CM = dt
CM
X
O
Y’
r
F2
Y
O sistema de forças externas é equipolente e também equivalente
r ao sistema formado
r
dL
pelo vector ma aplicado no CM e pelo binário de momento, CM .
dt
r
F3
r
F1
r
dLCM
dt
≡
CM
CM
r
maCM
r
F2
72
ISEL/DEC
Movimento plano
Um corpo rígido tem um movimento plano quando cada ponto do campo permanece a
uma dada distância constante de um plano de referência fixo.
Momento angular de um corpo rígido em movimento plano
Neste subcapítulo ir-se-à prestar atenção ao estudo do movimento de placas planas ou
corpo simétricos em relação a um plano de referência. Considere-se por conseguinte
uma placa plana em movimento plano.
Y’
Tenha-se um corpo rígido para o qual r’ = cte
r r
e v ' ⊥ r ' . A velocidade relativa ao CM só tem
componente transversal, isto é,
v ' = vθ' = r 'θ& = r ' ω
Y
CM
O momento angular de dm relativo ao CM é
perpendicular ao plano e vem dado por,
dLCM = (r ')2 ω dm
O momento angular do CR em relação ao CM
é dado por:
O
r
v'
r
ri '
d
θ
m
X’
X
LCM = ∫ dLCM = ∫ r´2 ω dm = ω ∫ r´2 dm
sendo a velocidade angular constante para qualquer ponto do CR.
Definindo-se o momento de inércia da placa em torno do eixo perpendicular à placa e
que passa no CM como:
I CM = ∫ r '2 dm
Obtém-se assim:
LCM = ICMω
Resultando a taxa de variação do momento angular em relação ao centro de massa,
como,
dLCM
= I CM α
dt
Este resultado é válido para placas em movimento plano ou para corpos rígidos em
movimento plano e simétricos em relação a um plano de referência. Não são válidos
para movimentos tridimensionais ou para corpos assimétricos.
73
ISEL/DEC
Movimento plano de um corpo rígido. Princípio de D’Alembert
O movimento plano do CR fica completamente definido pela resultante e pelo momento
resultante em torno do CM das forças externas que sobre ele actuam, ou seja,
∑F
r
F3
x
= maCMx ,
∑F
y
∑M
= maCMy e
r
F1
≡
CM
CM
= I CM α
r
maCM
Icmα
CM
r
F2
Princípio de D’Alembert – as forças externas que actuam num CR são equivalentes às
forças efectivas das várias partículas que formam o corpo.
Casos partículares:
Translacção (ω
ω = 0)
r
F3
r
F1
r
maCM
≡
CM
CM
r
F2
r
r
Rotação em torno do CM ( aCM = 0 )
r
F3
r
F1
CM
≡
Icmα
CM
r
F2
74
ISEL/DEC
Movimento plano geral – pode ser sempre obtido pela sobreposição de uma rotação
em torno do CM com translacção do CM.
O CM de um CR em movimento plano desloca-se como se a massa total do corpo aí
estivesse concentrado e como se todas as forças externas aí actuassem.
Um CR em movimento plano roda em torno do seu CM como se este ponto fosse fixo.
Rotação em torno de um eixo fixo
Quando um corpo roda em torno de um eixo fixo, o CM do corpo descreve uma
circunferêmcia centrada no eixo de rotação. Sendo ω a velocidade angular do CM
relativamente a O e α a sua aceleração angular, tem-se:
(acm)t = rcmα
e (acm)n = rcmω2
α é também a aceleração angular do movimento de rotação do corpo em torno do CM.
Se calcularmos os momentos relativamente a O das forças e binários representados
acima tem-se (com rcm=OCM):
∑ M = I α + r ma
⇔ ∑ M = ( I + mr
0
CM
0
cm
CM
cmt
2
CM
2
= I CM α + mrCM
α⇔
)α = I0α
sendo I0 o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa em O. Esta
relação,
2
I 0 = I CM + mrCM
traduz o Teorema de Steiner ou dos eixos paralelos.
Quando um corpo tem movimento de rotação em torno de um eixo fixo, a sua
velocidade e aceleração angulares de rotação em torno do CM são iguais às velocidade e
aceleração angular do CM em torno do eixo fixo e a equação fundamental da dinâmica
de rotação para este caso pode escrever-se:
∑M
0
= I oα
Movimento de rolamento
Rolamento sem escorregamento:
Fa ≤ µ s N ⇒ acm = rα
Rolamento com escorregamento iminente: Fa = µ s N ⇒ acm = rα
Rotação com escorregamento: Fa = µ c N ⇒ acm e rα são independentes.
75
ISEL/DEC
Deslizamento e Tombamento
Diz-se que o deslizamento está iminente quando um corpo inicialmente em repouso
num referencial inercial, está na eminência de iniciar um movimento de translacção.
Considere-se um corpo simplesmente apoiado numa
superfície horizontal. Na ausência de forças exteriores
r
aplicadas, o corpo está em repouso e a linha de acção de N
passa no CM do corpo, por forma a verificar ∑ M CM = 0 .
CM
r
N
r
F
r
Se aplicarmos uma força vertical F , a linha de acção de
r
N desloca-se por forma a manter ∑ M CM = 0 . Como se
pode observar pela figura não há tendência para iniciar
qualquer movimento.
r
mg
CM
r
mg
r
N
r
F
Y
CM
r
Se a linha de acção de F fôr obliqua, para não
existir movimento tem que existir atrito entre as
superfícies. Então pela 2ª Lei de Newton, temos,
r
mg
r
 F =F
F
∑ = 0 ⇔  N =aFy + xmg

X
r
N
em que Fa < µsN ⇒ não existe movimento.
r
Se a componente horizontal de F aumentar,
pode atingir o valor máximo de Fa = µsN e dizse que o deslizamento está iminente.
r

r
F
Y
Fa = Fx
y + mg
∑ F = 0 ⇔ N = F

em que Fa = µsN ⇒ deslizamento iminente.
CM
r
N
r
mg
X
76
ISEL/DEC
Se aumentarmos mais a componente horizontal
r
de F , de tal modo que Fx >µsN, passamos a ter
movimento de translacção.
r
F
Y
CM
r
 F − F = ma
r
∑ F = ma ⇔  Nx = Fay + mg

em que Fx = µcN (µc – atrito cinético) existindo
movimento
r
mg
X
r
N
Define-se ângulo de atrito como o ângulo cuja tangente é numericamente igual ao
coeficiente de atrito.
Diz-se que o tombamento está iminente quando o corpo está na eminência de tombar,
ou seja, está na eminência de iniciar um movimento de rotação em torno de um ponto de
contacto com a superfície.
r
Nos exemplos anteriores supôs-se que N podia ser
aplicada sempre por forma a verificar ∑ M CM = 0 .
CM
r
mg
r
N
r
Quando N está aplicada numa das extremidades da
superfície de contacto, o tombamento está iminente.
r
F
Y
CM
+
r
mg
X
H/2
r
N
X
Quando não existem forças aplicadas,
r
a linha de acção de N passa pelo
CM e tem-se ∑ M CM = 0 . Se
r
aplicarmos uma força horizontal F
na extremidade A do corpo, a linha
r
de acção de N desloca-se para a
direita de modo a manter o equilibrio
∑ M CM = 0 .
r
O corpo tem tendência a tombar para a direita, mas N pode ser aplicada de modo a
r
r
equilibrar os momentos de F e Fa :
∑M
CM
= 0 ⇔ Nx −
h
h
F − Fa = 0
2
2
77
ISEL/DEC
r
Quando N está aplicado na extremidade B, então o tombamento está iminente, uma vez
que o seu momento relativo ao CM não pode aumentar mais visto que o braço (x) toma
o seu valor máximo: x = b/2
r
F
b h
h
∑ M CM = 0 ⇔ N 2 − 2 F −2 Fa = 0
CM
r
 Fx − Fa = 0
r
mg
 Fx = Fa
∑ F = 0 ⇔  N − mg = 0 ⇔  N = mg
H/2
r
N
Y
+
X
B/2
O deslizamento e o tombamento podem ocorrer também quando a fundação tem
movimento. Um exemplo disso é o movimento do solo devido a um sismo. Neste caso o
deslizamento iminente ocorre quando Fa = µsN e a aceleração do corpo ainda é igual à
aceleração do solo, ou seja, a = asolo (o corpo move-se com a fundação sem
deslizamento).
Considere-se um corpo de secção rectangular, de altura h e base b, simplesmente
apoiado numa superfície horizontal com atrito de coeficiente µs. Se a fundação tiver
aceleração tem-se o diagrama de corpo livre dado por,
≡
CM
H
r
mg
r
Fa
CM
r
ma
r
N
Y
x
+
asolo
X
As equações do movimento escrevem-se,
r
r
 Fa = ma
∑ F = ma ⇔  N − mg = 0
e
∑M
CM
= 0⇔
h
Fa − xN = 0
2
ou seja, tem-se,


Fa = ma (1) → determina o valor de Fa

N = mg (2) → determina o valor de N


h Fa
x =
(3) → determina o ponto de aplicaçao de N

2 N
78
ISEL/DEC
Quando o deslizamento está iminente então Fa = µsN e de (2) vem Fa = µsmg e o valor
de aceleração do solo que torna o deslizamento iminente é,
Fa µs mg
=
= µs g
m
m
Para determinar o valor de a que torna o tombamento iminente, considere-se x = b/2 e
da equação (3) resulta,
a=
b h Fa
b
=
⇔ hma = bmg ⇔ a= g
2 2N
h
Habitualmente designa-se por PGA (Peak Ground Aceleration) o valor mais elevado da
aceleração do solo registada num determinado local, assim tem-se:
Deslizamento iminente ⇒ PGA = µsg
Tombamento iminente ⇒ PGA = (b/h)g
Bibliografia
Beer & Johnston, Mecânica Vectorial para Engenheiros, McGraw Hill, 6ª ed. 1997.
Meriam & Kraige, Engineering Mechanics, Jonh Willey and Sons, 4th ed., 1998.
Halliday, Resnick & Walker, Fundamentos de Física, LTC, 4ª ed., 1996.
79

Física Aplicada à Engenharia Civil I

Transcrição

Documentos relacionados

OBRAS EM EXECUÇÃO A Academia Militar das Agulhas Negras

Informativo Nr 217 2014 DEC

Movimento Circular Uniformemente Variado Quando um corpo, que

Ciclo Sessões Meio Dia José Pedro Fev 2010.cdr

Arizona: pluralidade de paisagens e culturas O

ESI COLÉGIO SÃO JOSÉ - Lista de Material 2016 7º Ano

Relação de Alunos - Agrupamento de Escolas Pegões, Canha e Stº

LISTA DE MATERIAL ESCOLAR 2015 6º Ano 2 lápis pretos

bizhub pro c1060l

848.500