Soluções das Equações de Navier-Stokes

Transcrição

Mecânica dos Fluidos II
Soluções das Equações de
Navier-Stokes
Monitor: Nuno Jorge S. Dias
http://www.vortex.unb.br/nuno/
14/20
Equações de Navier-Stokes
14/20
14/20
14/20
Cartesian Coordinates
Cylindrical Coordinates
14/20
Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas
u
h
y
Vamos assumir que o escoamento se
desenvolve na direção horizontal::
u=u( y) ê x ⇒ u . ∇ u=0
x
L
O escoamento é unidirecional, mas bidimensional:
Escoamento Incompressível:
∇ . u=0 ⇔
v=0 ; w=0
∂u
=0
∂x
14/20
Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas
Escoamento em Regime Permanente:
∂ =0
∂t
∂u
=0
Campo de Velocidade: u=u( y)→
∂x
Equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas, reduzem-se a:
y→
∂p
=0
∂y
∂p
z→
=0
∂z
p= p ( x)
dp
d2 u
0=− +μ
2
dx
dy
14/20
Análise de escalas aos termos de advecção e de difusão
∂u U2
u
∼
∂x
L
∂2 u U
∼ 2
2
∂x L
( )
∂2 u U
∼ 2
2
∂y h
∂ 2 u ∂2 u
≫ 2
2
∂y
∂x
Então para a direção “x”:
dp
d2u
0=−
+μ
2
dx
dy
d2u d p
μ
=
2
dy dx
∂ p p L − p0
=
=−G
∂x
L
p 0 > p L =−G
G 2
y +C 1 y +C 2
Integrando duas vezes u=−
2μ
em relação a y
As constantes de integração são encontradas
através das condições de contorno do problema
14/20
Caso I: Escoamento acontece por deslizamento da placa
superior e pela existência de um gradiente de pressão
p0
pL
U
Condições de Contorno
u ( y=d )=U ; u( y=0)=0
u
d
Aplicando as Condições de Contorno em:
L
u=−
G 2
y +C 1 y +C 2
2μ
u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0
U G
u ( y=d )=U ⇒C 1= +
d
d 2μ
u ( y)=
G
U
y (d − y)+ y
2μ
d
Este é o caso mais Geral
14/20
Caso II: Escoamento acontece por deslizamento da placa
superior; não existe gradiente de pressão
U
u ( y=d )=U ; u( y=0)=0
u
d
L
u=−
G 2
y +C 1 y +C 2
2μ
u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0
U
u ( y=d )=U ⇒C 1=
d
u ( y)=
U
y
d
Conhecido como
escoamento de Couette
entre placas paralelas
14/20
Caso III: Escoamento acontece pela existência de um
gradiente de pressão ; placa superior e inferior imóvel
p0
pL
u ( y=d )=0 ; u( y=0)=0
u
d
L
u=−
G 2
y +C 1 y +C 2
2μ
u ( y=0)=0 ⇒C 2 =0
G
u ( y=d )=0⇒ C 1=
d
2μ
u ( y)=
G
y (d − y)
2μ
Conhecido como escoamento de
Hagen-Poiseuille entre placas paralelas
14/20
Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille
14/20
Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille
r
p0
pL
O escoamento se
desenvolve na direção z
z
u=u( r) ê z =u z (r )
L
Considerações do problema
1) Comprimento (L) muito maior que o raio (a)
L≫a
2) Condição de Axissimetria
∂ =0
∂θ
3) Escoamento Unidirecional
u θ =0
4) Escoamento em Regime Permanente
∂ =0
∂t
14/20
Equação da Continuidade
1 ∂(r u r ) ∂ u z
+
=0
r ∂r
∂z
r∼a ; z∼L ; u z ∼U
a
u r ∼U ⇒ u r ≪1⇒ u r ≈0
L
Desta forma as equações de Quantidade de Movimento ficam :
r →0=−
∂p
∂r
∂p
θ→0=−
∂θ
(
2
∂
uz 1 ∂ uz
∂p
z →0=−
+μ
+
2
∂z
∂r r ∂r
)
∂ p p L − p0
=
=−G
∂z
L
p 0 > p L =−G
Nota que:
( ) [
2
]
2
1 d d uz 1 d u z d uz d u z 1 d u z
r
= r
+
=
+
2
2
r dr
dr
r dr
dr
dr r dr
14/20
( )
d uz
1 d
G
Assim escreve-se que:
r
=− μ
r dr dr
Integrando uma vez:
( )
d uz
d uz
G
G r C1
∫ d r d r =−∫ μ r dr ⇔ d r =− μ 2 + r
Note que: C1 tem que ser nulo para que
G 2
r +C 1 ln r+C 2
Integrando de novo: u z =−
em r=0 não obtenhamos um valor
4μ
infinito para uz (inconsistência física)
Assim o campo de velocidades é dado por:
u z (r)=−
G 2
r +C 2
4μ
14/20
O problema a ser resolvido é:
u z (r)=−
G 2
r +C 2
4μ
Condição de Contorno
=>
u z (r=a)=0
●
2
[ ( )]
Ga
r
u z (r)=
1−
4μ
a
2
Velocidade Máxima (centro do capilar)
G a2
u z (r=0)=
4μ
14/20
●
Vazão
dr
a
Q=∫ u . dA=∫ u(r) 2 π r dr
dr
0
a
Q=∫
0
[
G 2
( a −r
4μ
2 2
)
]
dr=
πGa
8μ
4
2π r
a
π G a4
Q=
8μ
A conhecida Equação de Hagen-Poiseuille
Por outro lado:
Q=U A⇔ Q=U π a 2
G a2
Igualando à Eq. de Hagen-Poiseuille: U =
8μ
Comparando a velocidade média com a máxima: U =
1
u z (r=0)
2
14/20
Tensão de Cisalhamento na Parede
●
1
Δ p π a =τ W 2 π a L ⇔ τ W = G a
2
2
τW
Δp
Outra forma de obter a tensão de cisalhamento na parede é pelas equações de Navier-Stokes
( )
d uz
1 d
G
1 d
r
=− μ ⇔0=G+
( r τ rz )
r dr dr
r dr
Integrando, obtém-se
(
∂ ur ∂ u z
τ rz =μ
+
∂z ∂r
r C1
τ rz =−G +
2 r
Em r=0 a tensão é finita e como tal C1 deve de ser nulo
Para r=a (parede) a tensão é:
1
τ rz (r=a)=τ w = G a
2
τ rz =−G
)
r
2
14/20
Fator de Atrito no Capilar
●
8μ L U
π a4 G
π a4 Δ p
1 64 ν ρ L U
2
Q=
⇔π a U =
⇔ Δ p=
⇔ Δ p=
2
2
8μ
8μ L
2
a
d
μ
ν= ρ Viscosidade cinemática
(
)
1 64 νρ L U
1
64
64
2 64 ν L
̃
̃
Δ p=
⇔
Δ
p=
ρ(U
)
⇔
Δ
p=
⇔
Δ
p=
2
2
x
2
2
Ud d
d
d U
Re
ν L
Ud d
d
x
Re = ν
=R e ≪1
L
L
14/20
Tubo Capilar: Viscosímetro
Medindo a Vazão e a Diferença de Pressão pode-se aferir sobre a viscosidade do fluido
a
a
Q=∫ u . dA=∫ u(r) 2 π r dr=∫ 2 π u r dr
0
Integração por partes:
0
∫ v . ds=v s−∫ s dv
v=u ⇒ dv=du⇔ dv= γ̇ dr
γ̇=
du
dr
r2
ds=r dr ⇐ s=
2
Segue que:
[( )
2 a
Q=2 π u
a
]
a
r
−∫ r 2 γ̇ dr ⇔ Q=−π ∫ r 2 γ̇ dr
2 0 0
0
14/20
Lembrando que:
r
2
1
τ rz (r=a)=τ w = G a
2
τ rz =−G
τ rz
−a
r=−a τ ⇔ dr=
d τ rz
w
τw
Segue que:
a
2
Q=−π ∫ r γ̇ dr=−π
0
Q τ 3w
πa
[
τw
∫ γ̇ a
0
2
2 τ rz
2
τw
(
a
− τ d τ rz
w
)]
τw
=∫ γ̇ τ rz d τ rz
3
γ˙w =
2
0
( )
Q τ 3w
1 d
2
3
τw d τw π a
Relação de Weissenber-Rabinowitsch
14/20
γ˙w =
( )
Q τ 3w
1 d
2
3
τw d τw π a
Efetuando a derivada, segue-se que:
[
γ˙w =
1 1
2
3 dQ
3
τ
Q+
τ
w
w
3 2
d τw
π a τw
γ˙w =
Q
dQ / Q
3+
3
d τw / τw
πa
[
[
Q
d ln Q
γ˙w = 3 3+
d ln Δ p
πa
]
]
]
τ w =−
1 ΔP
a
2 L
ln Q
ln Δ p
14/20
Prevendo a vazão/pressão de um fluido Não-Newtoniano
Imagine que a viscosidade de um fluido é ajustada por uma Lei de Potência do tipo:
μ( γ̇)=C γ̇ n−1
1 d
dp 1 d
0=G+
( r τ rz ) ⇔ dz = r dr ( r τ rz )
r dr
dp r
τ
=
Segue que:
rz
dz 2
n
τ rz =μ ( γ̇) γ̇=C γ̇ =C
(
du dp r
=
dr dz 2C
u z (r)=
(
)
( )
du
dr
n
1/n
n dp r
1+n dz 2C
1/ n
)
r
14/20
a
Q=2 π ∫ u z (r) r dr
0
2
(
n
dp a
Q=2 π
(1+ n)(1+3n) dz 2C
1/ n
)
a
3
Para n=1, recupera-se a expressão de Hagen-Poisseuille (Fluido Newtoniano)
π a 4 dp
Q=
8C dz
14/20
Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)
14/20
Analisando o problema:
1) Cilindro externo parado.
2) Cilindro interno em movimento circular
3) em principio, em regime laminar, o escoamento não tem
instabilidades para que ocorra na direção z. Assim uz=0.
R0 −R1
≪1
L
4) A velocidade na direção θ (uθ) depende de r uma vez
que o cilindro está girando. u=u θ (r )ê θ
5) Escoamento com eixo de simetria
Escalas:
∂ =0
∂θ
u θ ∼ω R1 ; r∼δ ; z∼L
14/20
Equação da Continuidade em Coordenadas Cilíndricas
1 ∂( r u r ) 1 ∂ u θ ∂ u z
+
+
=0 ⇒ u r =0
∂
θ
r ∂r
r
∂z
Equações da Quantidade de Movimento
u 2θ 1 ∂ p
r→ =ρ
r
∂r
∂p
z→
=0
∂z
[
2
∂ uθ 1 ∂ u θ uθ
d 1 d (r u θ )
θ→ 0= 2 + 2
− 2 ⇔0=
dr r dr
∂r
r ∂r r
]
14/20
∂2 uθ 1 ∂ 2 u θ u θ
0= 2 + 2
− 2
2
∂ r r ∂θ
r
(
) ()
(
)
(
u θ 1 d dr
d uθ
d 1 d (r u θ )
d 1 1 d d (r u θ )
=
+
=− 2 +
uθ + r
d r r dr
dr r r dr
dr
r
dr
dr
dr
r
)
u θ 1 d u θ d 2 uθ
=− 2 +
+
r r dr d r 2
Então escreve-se que:
(
)
d 1 d (r u θ )
=0
d r r dr
r C2
Integrando duas vezes em relação a r: u θ =C 1 +
2 r
14/20
u θ (r=R 0 )=0 ; u θ (r=R1 )=ω R 1
R0 C 2
0=C 1 +
2 R0
R1 C 2
ω R 1=C 1 +
2 R1
C 1=−
C 2=
2 ω R 21
2
2
R 0 −R1
ω R 20 R12
2
2
R 0 −R1
Assim a expressão para o perfil de velocidades é:
ω R12 r
ω R 20 R 21 1
u θ (r)=− 2
+ 2
2
2
R 0 −R1 R 0−R 1 r
14/20
●
Tensão de Cisalhamento na parede externa do cilindro interno
[ ( )
uθ 1 ∂ u r
∂
τ r θ=μ r
+
∂ r r r ∂θ
]
[ ( )] [
2
2
2 ω R 0 R1 1
uθ
∂
Neste problema τ r θ=μ r
=μ − 2
2
2
∂r r
R0 −R1 r
Na parede externa do cilindro interno
]
τ r θ (r=R1 )=−2μ r
ω R02
2
2
R0 −R1
Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro
F θ =τ r θ A=τ r θ (2 π R1 L)=−4 π μ L
ω R 20 R1
2
2
R 0 −R1
14/20
●
Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro
F θ =τ r θ A=τ r θ (2 π R1 L)=−4 π μ L
●
2
2
R 0 −R1
Força Tangencial que o Cilindro exerce no Liquido
F θ =4 π μ L
●
ω R 20 R1
Torque
ω R02 R1
2
2
R 0 −R 1
T =F θ R 1=4 π μ L
ω R02 R 21
2
2
R 0 − R1
14/20
●
Torque
T =F θ R 1=4 π μ L
ω R02 R 21
2
2
R 0 − R1
ω R 20 R12
T =4 π μ L
( R 0 −R 1 )( R0 + R1 )
Se
R 0≈R 1 ⇒ R 0 −R 1=δ⇒ R 0 + R1≈2R 1
ω R02 R 21
R 20 R1 ω R 1
T =2 π μ L
=2 π μ L
δ
R1 δ
R1
ω R1
2
T =2 π L R μ
=2 π L R 0 μ γ̇
δ
2
0
T =C μ γ̇
Em que C só depende de parâmetros geométricos
14/20
T =C μ γ̇
1) Em que C só depende de parâmetros geométricos
2) Expressão idêntica ao cisalhamento simples entre placas corrigido por um fator
3) O torque medido pelo viscosímetro permite determinar a viscosidade
14/20
Escoamento entre Pratos Rotativos
14/20
Escoamento entre Pratos Rotativos (Couette)
Hipótese: O movimento imposto
à haste é controlado de tal forma
que não haja escoamento na
direção vertical nem radial.
Escoamento somente na direção
angular.
ρ uθ2
∂p
r →−
=−
r
∂r
∂2 uθ
1∂p
θ→ 0=−
+μ
∂
θ
r
∂ z2
∂p
z →0=−
+ρ g
∂z
Integrando
ρ u 2θ (r , z)
p=∫
dr+ h(θ , z)
r
Substituindo θ→0=− 1 ∂
r ∂θ
[
2
]
ρ uθ ( r , z)
∂ 2 uθ
∫ r dr+h(θ , z) +μ ∂ z 2
14/20
1
θ→0=− ∂
r ∂θ
∂
∂θ
[
[
]
2
ρ uθ ( r , z)
∂2 uθ
∫ r dr+h(θ , z) +μ ∂ z 2
]
2
ρ u θ (r , z)
∫ r dr+ h(θ , z) =0 ⇒ ∂∂ θp =0
d 2 uθ
θ→0=μ
d z2
Integrando duas vezes
u θ =C 1 z+C 2
u θ (r , z=0)=0 ; uθ (r , z=δ)=ω r
u θ=
ωr
z
δ
14/20
●
Tensão de Cisalhamento
[
∂ uθ 1 ∂ u z
τ z θ =μ
+
∂ z r ∂θ
●
]
τ z θ =μ
[ ]
ωr
δ
Torque sobre o disco devido a resistência imposta pela lâmina de fluido
dF θ =τ z θ 2 π r dr
R
μπωR
T =∫ dF θ . r=
2δ
0
4
14/20
Exercícios
Escoamento entre placas paralelas infinitas
b
μ1, ρ1
b
μ 2, ρ2
I ) Escoamento induzido por um
gradiente de pressão
II ) Escoamento induzido pelo
movimento da placa superior com
velocidade Uêx
14/20
I ) Escoamento induzido por um gradiente de pressão
Deduzido em Escoamento entre placas
u=−
u 1=−
G 2
y +C 1 y+C 2
2μ 1
b< y <2b
u 2 =−
G 2
y +C 3 y +C 4
2μ 2
0< y <b
G 2
y +C 1 y +C 2
2μ
u 1 (2b)=0 ; u 2 (0)=0
u 1 (b)=u 2 (b) ; τ 1 (b)=τ 2 (b)
∂ u1
τ 1 (b)=μ 1
∂y
∂ u2
τ 2 (b)=μ 2
∂y
14/20
G
2
u 1 (2b)=0⇒ C 2 =
(2b) −C 1 (2b)
2μ 1
u 2 (0)=0 ⇒C 4 =0
μ2
τ 1 (b)=τ 2 (b)⇔C 1 = μ C 3
1
μ2
G
2
2
u 1 ( y )=
((2b) − y )+ μ C 3 ( y−2b)
1
2μ1
u 2 ( y)=−
[
G 2
y +C 3 y
2μ 2
μ1
G
G
u 1 (b)=u 2 (b)⇔ C 3= μ +μ
3b+
b
1
2 2μ
2μ 2
1
[
]
μ2
G
G
G
2
2
u 1 ( y )=
((2b) − y )+( y−2b) μ +μ
3b+
b
1
2 2μ
2μ1
2μ 2
1
[
]
]
μ1
G 2
G
G
u 2 ( y)=−
y + μ +μ
3b+
b y
1
2 2μ
2μ 2
2μ
1
2
14/20
II ) Escoamento induzido pelo movimento da placa superior com velocidade Uêx
Deduzido em Escoamento entre placas
u=−
u 1=C 1 y +C 2
b< y <2b
u 2 =C 3 y +C 4
0< y <b
G 2
y +C 1 y +C 2
2μ
u 1 (2b)=U ; u 2 (0)=0
u 1 (b)=u 2 (b); τ 1 (b)=τ 2 (b)
14/20
u 1 (2b)=0⇒ C 2 =U +C 1 ( y−2b)
u 2 (0)=0 ⇒C 4 =0
μ2
τ 1 (b)=τ 2 (b)⇔C 1 = μ C 3
1
μ2
u 1 ( y )=U + μ C 3 ( y−2b)
1
u 2 ( y)=C 3 y
μ1 U
u 1 (b)=u 2 (b)⇔ C 3= μ +μ
1
2 b
[
μ2
y
u 1 ( y )=U 1− μ +μ (2− )
1
2
b
]
μ1 y
u 2 ( y)= μ +μ U
1
2 b
14/20
r
p0
z
p1
μ1
u
μ2
RB a
L
Escoamento de dois fluidos em tubo capilar. O fluido 1 tem comportamento newtoniano.
O fluido 2 tem comportamento não-newtoniano. A viscosidade do fluido 2 é descrito por
uma Lei de Potência. Calcule o perfil de velocidades para cada fluido e a vazão.
μ 2 ( γ̇)=C γ̇ n−1
14/20
Pela análise de escala na equação da continuidade e da quantidade de movimento,
chega-se a:
1 d
dp
r
τ
=
( rz ) dz
r dr
1 d
dp
r
τ
=
( rz 2 ) dz
r dr
1 d
dp
r
τ
=
( rz 1 ) dz
r dr
dp r C 1
τ rz 2 =
+
dz 2 r
dp r C 2
τ rz 1=
+
dz 2 r
0<r< R B
R B <r <a
C 1=C 2 =0
Tensão Finita
em r=0
τ rz 2=μ ( γ̇) γ̇
γ̇=
τ rz 1 =μ γ̇
(
du 1 dp r
=
dr C dz 2
du
dr
(1/ n)
)
du 1 dp r
=
dr μ1 dz 2
14/20
Integrando encontra-se o perfil de velocidade para cada fluido
(
1 dp r
u 2 (r)=
C dz 2
(1/n)
)
nr
+C 1
n+1
1 dp r 2
u 1 (r)= μ
+C 2
1 dz 4
1 dp 2 2
u 1 (r=a)=0 ⇒ u 1 ( r)=
(r −a )
4μ 1 dz
A velocidade dos fluidos é igual em r=RB
1 dp r
u 2 (r )=
C dz 2
(
(1/ n)
)
nr
1 dp R B
−
n+1 C dz 2
(
(1/ n)
)
n R B 1 dp 2 2
+
( R B −a )
n+1 4 μ 1 dz
A vazão é calculada como:
RB
a
Q=∫ (u 2 (2 π r))dr +∫ (u 1 (2 π r)) dr
0
RB
14/20
r
p0
p1
z
u
a
RB
L
Um fluido de Bingham é um fluido que permanece em estado de repouso
se a tensão de cisalhamento for menor que uma tensão crítica que a partir
da qual o fluido começa a escoar. A viscosidade de um fluido de Bingham
pode ser descrita da seguinte forma:
μ=∞ ⇒ τ< τ 0
τ0
μ=μ 0 +
⇒ τ> τ 0
1/2
(2 D : D)
0<r< R B
R B <r <a
Calcule a vazão.
14/20
α R0
R0
R( z)
Escoamento incompressível de fluido newtoniano em capilar
com seção variável. Calcule a vazão em função de G.
π R04
Q=
G
16μ (1+5 α)
14/20
L
Fluido escoando em plano inclinado
A viscosidade do fluido em função da
taxa de cisalhamento é descrita por
uma lei de potência
α
U
(n−1)
μ( γ̇)=C γ ˙
y
δ
Mostre que
(
C
δ=
ρ g cos α
(1/(2n+1))
)
[
2n+1 Q
n L
(n/(2n+1))
]
x
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Soluções das Equações de Navier-Stokes

Transcrição

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