Quest˜oes resolvidas

Questões resolvidas- Projeto Omegaleph
Prof. Fabiano Ferreira e Rodrigo Carlos Silva de Lima
‡
Instituto Omegaleph
[email protected], [email protected]
‡
27 de setembro de 2011
1
Sumário
1 Soluções de questões
3
1.1
Questão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Questão 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Questão 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
Capı́tulo 1
Soluções de questões
1.1
Questão 1
Questão 1 (IIT-JEE-2011). Sejam r1 e r2 raı́zes de x2 − 6x − 2 = 0, com r1 > r2 . Se
xn = r1n − r2n . Calcule
m=
x10 − 2x8
.
2x9
Solução 1
Vejamos uma solução elementar, do Professor Fabiano.
m=
x10 − 2x8
r10 − 2r18 − (r210 − 2r28 )
r18 (r12 − 2) − r28 (r22 − 2)
= 1
=
2x9
2(r19 − r29 )
2(r19 − r29 )
agora usamos que r12 − 2 = 6r1 o mesmo para r2 , substituindo na expressão temos
r18 (6r1 ) − r28 (6r1 )
6r19 − 6r29
6
=
= = 3.
=
9
9
9
9
2(r1 − r2 )
2(r1 − r2 )
2
Solução 2
Podemos resolver de outra maneira usando teoria de recorrências, como é feito abaixo.
Sabemos1 que xn = r1n − r2n satisfaz a recorrência xn+2 − 6xn+1 − 2xn = 0 pois r1 e r2
são soluções distintas de x2 − 6x − 2 = 0
tomando n = 8 tem-se x10 − 6x9 − 2x8 = 0 logo x10 − 2x8 = 6x9 , substituindo na
expressão de m encontramos m = 3 .
1
Para mais detalhes sobre a teoria veja o nosso texto de recorrências :Anotações sobre Equações de
3
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES DE QUESTÕES
1.2
4
Questão 3
Questão 2 (Omegaleph 2011). Sinthaya Gupta é um estudante com uma inteligência brilhante. Aos 11 anos ele já sonha em entrar no IIT de Delhi. Seu professor de matemática,
Kumar Ghandiji, certo dia brincou com ele propondo-lhe 3 questões a fim de testar sua
argúcia, visto que ele estava deixando todos professores adimirados pela velocidade com
que resolvia os problemas propostos dentro do seu nı́vel e até acima dele. Sem o uso de
calculadora, Sinthaya levou exatamente 5 segundos para resolver a), 7) segundos para
resolver b) e 9 segundos para resolver c). Sabendo que ele acertou todos resultados, quais
foram eles? Foram estas as questões: Calcule:
• a) 132 − 72 .
• b) 1032 − 972 .
• c) 1000032 − 999972 .
Solução 1
Nesse problema usaremos a fatoração x2 −y 2 = (x−y)(x+y), aplicando aos problemas
temos
• a) 132 − 72 = (13 + 7)(13 − 7) = 20.6 = 120.
• b) 1032 − 972 = (103 + 97)(103 − 97) = 200.6 = 1200.
• c) 1000032 − 999972 = (100003 + 99997)(100003 − 99997) = 200 000.6 = 1200000.
Podemos perceber um padrão em comum em todas essas questões e generalizar. Todas
as expressões apresentadas são da forma
(10n + 3)2 − (10n − 3)2
Diferenças-Recorrências
r1n+2 − r2n+2 − 6(r1n+1 − r2n+1 ) − 2(r1n − r2n ) = (r1n ) (r12 − 6r1 − 2r1 ) −(r2n ) (r22 − 6r2 − 2r2 ) = 0.
|
{z
}
|
{z
}
=0
=0
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES DE QUESTÕES
5
aplicando o produto notável tem-se
(10n + 3)2 − (10n − 3)2 = (10n + 3 + 10n − 3)(10n + 3 − 10n + 3) = 2.10n .6 = 12.10n
no problema a), b) e c) temos respectivamente n = 1, 2, 5.
1.3
Questão 4
Questão 3 (MIT). Calcular o produtório
2006
Y
k=2
k2
.
k2 − 1
Solução 1
Vamos resolver o caso geral
n
Y
k2
.
k2 − 1
k=2
(
n
Y
k2
= Q
n
2−1
k
k=2
n
Q
k)2
k=2
(k − 1)
k=2
n
Q
=
(k + 1)
(n!)2
(n − 1)! (n+1)!
2
k=2
Como exemplo
2006
Y
k=2
k2
4012
=
.
k2 − 1
2007
=
2(n)!(n)!
2n
=
.
(n − 1)!(n)!(n + 1)
n+1