condução - Unisinos

ESTUDO DA CONDUÇÃO DE CALOR
OBJETIVOS
- Determinar a distribuição de temperatura em um meio
- Calcular o fluxo de calor usando a Lei de Fourier
Aplicações:
- Conhecer a integridade estrutural de um meio em alguns pontos e
em determinados momentos: expansão térmica, estresse térmico,
expansões e deflexões.
- Otimizar a espessura de um material isolante
- Compatibilidade entre matérias, revestimentos especiais ou adesivos
usados com o material
COMO CONHECER A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
1. Formulação matemática do problema:
- definir um volume de controle
- aplicar o balanço de energia
- identificar os processos de transmissão de calor no volume de
controle
- introduzir as equações das taxas de calor
- obter uma equação diferencial
2. Solução geral da equação diferencial
3. Aplicação das condições de contorno
4. Solução do problema: distribuição de temperatura
1
A especificação da temperatura requer a definição de um sistema
de coordenadas
a) Retangulares
(x,y,z)
b) Cilíndricas
(r,z,)
c) Esféricas
(r,,)
A temperatura em um ponto no tempo é expressa como:
T (x,y,z,t) ou T(r,z,, t) ou T(r, ,,t) - tridimensional e transiente
T (x) ou T(r) – unidimensional e permanente
1. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA
1) Definir um volume de controle
2) Identificar os processos de transferência de energia no volume
de controle
3) Aplicar um Balanço de Energia no volume de controle
2
Taxa de
calor que
entra no
V.C.
-
Taxa de
calor que
sai do
V.C.
Fenômenos de superfície
+
Taxa de
geração
de calor
no V.C.
=
Taxa de
variação da
quantidade de
energia no V.C.
Fenômenos de volume
qe  qs  q g  dE / dt
Calor que entra ou sai do volume de controle: por condução
Geração de calor: transformação de energia mecânica, elétrica,
química ou nuclear em calor, no volume de controle
Taxa de variação da quantidade de energia no volume de controle,
ou energia acumulada: função da variação da energia interna,
cinética ou potencial
3
Equação da condução de calor unidimensional
A- Parede plana
qg
elemento de
volume, x
qx
qx+x
Para um elemento de espessura x:
q x  q x  x  q g ,elem 
Eelem
t
(1)
onde:
Eelem  Et  t  Et  mc p ( Tt  t  Tt )  Axc p ( Tt  t  Tt )
q g ,elem  q gVelem  q g Ax
Substituindo:
T 
T
q x  q x  x  q g ( Ax )    Ax c p  t  t t 
t


(2)
4
A área A=y z para superfície plana é constante
Dividindo por Ax e aplicando o limite quando x0 e t 0,
resulta em:
T( x ,t )
1 q x


 q g  c p
A x
t
(3)
Para sistemas sem geração e regime estacionário:
dq x
=0
dx
indica que a taxa de condução de calor não é
função de x
substituindo a Eq. da condução (Lei de Fourier) q x  kA
T( x )
x
na Eq (3)
T
1   kT( x ) 
A
  q g  c p ( x ,t )
A x 
x 
t
(4)
Como a área A para parede plana é constante, a equação do calor,
ou equação da difusão unidimensional é:
T( x ,t )
  T 

k
  q g  c p
x  x 
t
(5)
5
Casos:
1) Condutividade térmica, k, constante
 2T
x 2
onde  

q g
k

1 T
 t
k
é a difusividade térmica do material (m2/s ou ft2/h)
c p
Esta propriedade do material é associada à propagação do calor no
meio durante as variações de temperatura e tempo.
2) Regime Transiente, k constante e sem geração de calor
 2T
x 2
1 T
 t

3) Regime permanente e k constante
d 2T
dx 2
+
q g
k
=0
4) Regime permanente, k constante e sem geração de calor
d 2T
dx 2
0
6
Equação da condução de calor para um cilindro longo
(unidimensional)
qg
qr
qr+r
elemento de
volume, r
Elemento: Camada fina de espessura r e área A=2rL
T
T
qr  qr  r  q g Ar  c p Ar t  t t
t
T( r ,t )
1   T 
 rk
  q g  c p
r r  r 
t
1) k constante:
1   T  q g 1 T( r ,t )

r

r r  r  k  t
2) regime permanente:
1   T  q g
0
r

r r  r  k
3) regime transiente sem geração:
4) regime permanente sem geração:
1   T  1 T( r ,t )
r

r r  r   t
1 d  dT 
r
0
r dr  dr 
7
Equação da condução
(unidimensional)
de
qg
calor
para
uma
esfera
qr+r
qr
elemento de
volume, r
Elemento: Fina camada esférica de espessura r e área A=4r2
T( r ,t )
1   2 T 
r k
 q g  c p


r 
t
r 2 r 
1   2 T  q g 1 T( r ,t )

r

1) k constante: 2
r r  r  k  t
1   2 T  q g
0
r

2) regime permanente com geração: 2

r

r
k


r
1   2 T  1 T( r ,t )
r

3) regime transiente sem geração: 2

r

r

  t
r
4) regime permanente sem geração:
1 d  2 dT 
r
0
2 dr 
dr

r
8
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
Aplicações:
- Fluxo de calor nas proximidades de um canto onde 2 ou 3
paredes se encontram
- Taxa de calor transferida através das paredes de um cilindro
curto de parede espessa
- Taxa de calor perdida por um tubo enterrado
1) Coordenadas cartesianas
Elemento
de volume
qg ΔxΔyΔz
Equação de Fourier-Biot
 2T
x 2

 2T
y 2

 2T
z 2

q g
k

1 T( x , y ,z ,t )

t
1) Regime permanente – Equação de Poisson
 2T  2T  2T q g



0
k
x 2 y 2 z 2
2) Regime Transiente e sem geração – Equação da Difusão
 2T
x 2

 2T
y 2

 2T
z 2

1 T( x , y ,z ,t )

t
9
3) Regime Permanente e sem geração – Equação de Laplace
 2T
x
2

 2T
y
2

 2T
z
2
0
2) Coordenadas cilíndricas
Componentes:
r – radial
z – axial
 - circunferencial
Áreas perpendiculares a r: (dz r d), z: (dr r d),
: (drdz)
Para k constante:
1   T   2T 1  2T q g 1 T( r , ,z ,t )



r

r r  r  z 2 r 2  2
k 
t
10
3) Coordenadas esféricas
Componentes:
r – radial
 - circunferencial
 - angular
Áreas perpendiculares a:
r: rsen .d .r .d  r 2 sen .d .d
Comprimentos
: r
: rsen .d .dr e : r .d .dr
: rsen .
Para k constante
1   2 T 
1
 
T 
1
 2T q g
1 T( r , , ,t )
r

sen







  r 2 sen 2  2
k

t
r 2 r  r  r 2 sen  
Equação geral para qualquer sistema de coordenadas:
 2T 
q g
k

1 T
 t
 2T
- Laplaciano da temperatura
11
Exemplos:
Determine a equação diferencial que descreve a variação de
temperatura para cada um dos exemplos abaixo, listando as
considerações feitas:
1. Considere uma panela de aço com água colocada em cima de um
fogão elétrico. O fundo da panela possui 0,4 cm de espessura e 18 cm
de diâmetro. Uma boca do fogão consome 800 W de potência durante
o cozimento e 80 % do calor gerado é transferido uniformemente para
a panela. Assumir que a condutividade térmica é constante.
2. A resistência de um aquecedor de 2 kW usado para ferver água é
um fio com condutividade térmica de k=15 W/mK, diâmetro de 0,4 cm
e comprimento de 50 cm. Supor que a variação da condutividade
térmica do fio em função da temperatura é desprezível.
3. Uma esfera metálica de raio r é aquecida em um forno até a
temperatura de 600 ºF, retirada do forno e deixada para resfriar em
temperatura ambiente T=75ºF por convecção e radiação. A
condutividade térmica do material que compõe a esfera varia
linearmente com a temperatura. Considerar que a esfera é resfriada
uniformemente por toda a superfície externa.
4. Um pequeno lingote metálico de formato cilíndrico de raio R e altura
h é aquecido em forno até 600 °F, retirado do forno e deixado para
resfriar a temperatura ambiente de 65 °F por convecção e radiação.
Assumindo que o lingote é resfriado uniformemente por toda sua
superfície externa e que a variação da condutividade térmica do
material em função da temperatura é desprezível, obtenha a equação
diferencial que descreve a variação de temperatura do lingote durante
o processo de resfriamento.
12
Condições de contorno e iniciais
- A solução da equação da equação diferencial passa por um
processo de integração que envolve constantes.
- A solução só vai ser única quando forem especificadas as
condições existentes nas fronteiras do sistema com o meio.
As expressões matemáticas destas condições são chamadas
de condições de contorno.
Exemplo: Considere a variação de temperatura na espessura de uma
parede de tijolos de uma casa durante o inverno.
A temperatura em qualquer ponto da parede depende: das condições
nas duas superfícies da parede (x=0 e x=L), tais como a temperatura
do ar dentro da casa, a velocidade e a direção do vento e a incidência
de energia solar na superfície externa.
Duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada
direção do sistema de coordenadas, na qual a transferência
de calor é significativa.
Condição inicial: Expressão matemática da distribuição inicial
da temperatura no meio.
13
A temperatura em qualquer ponto em um determinado
momento depende da condição no início do processo de
condução de calor (t=0).
Uma só condição inicial deve ser especificada (primeira
ordem em relação ao tempo).
Tipos de condição de contorno:
- 1ª espécie: Temperatura especificada
x=0
T(0,t) = T1
x=L
T(L,t) = T2
- 2ª espécie: Fluxo de calor conhecido
_
x=0
q"o = k
x=L
_
k
∂T(0, t )
∂x
∂T(L, t )
= q"L
∂x
14
Casos especiais:
- fronteira isolada
_
x=0
q"o = 0 = k
x=L
T(L,t)=T
∂T(0, t )
ou
∂x
∂T(0, t )
=0
∂x
- simetria térmica
Imposta pelas condições térmicas nas superfícies
Distribuição de temperatura em uma metade da placa é a
mesma na outra metade (em relação ao plano central x=L/2).
Não há fluxo de calor no plano central (superfície isolada).
plano central
x = L/2
∂T(L / 2, t )
=0
∂x
Distribuição de
Temperatura
(simétrica em relação
ao plano central)
15
- 3ª espécie: Troca de calor por convecção na superfície
Condição mais comum encontrada na prática.
Baseada no balanço de energia na superfície.
Condução de calor na
superfície em uma direção
escolhida
=
Convecção na superfície na
mesma direção
x=0
_
x=L
_
k
∂T(0, t )
= h1(T∞1 _ T(0, t ))
∂x
k
∂T(L, t )
= h 2 (T(L, t ) _ T∞ 2 )
∂x
- Troca de calor por radiação na superfície
x=0
_
x=L
_
k
∂T(0, t )
= 1(Tviz 4 _ T(0, t ) 4 )
∂x
k
∂T(L, t )
=  2(T(L, t ) 4 _ Tviz 4 )
∂x
- Condições de contorno generalizadas
16
Exemplos: Expresse as condições de contorno e inicial para cada
caso:
1. Considere uma panela de alumínio com água para cozimento em
um fogão elétrico. O fundo da panela possui espessura de 0,3 cm e
diâmetro de 20 cm. A boca do fogão elétrico consome 800 W de
potência durante o cozimento e 90% do calor gerado é transferido
para panela. Durante a operação em regime permanente, a
temperatura da superfície interna da panela é 110ºC.
2. Vapor flui através de uma tubulação a uma temperatura média de
200°C. Os raios interno e externo são 8 e 8,5 cm, respectivamente,
e a superfície externa da tubulação está bem isolada. Se o
coeficiente de transferência de calor convectivo na superfície
interna da tubulação é de 65 W/m²°C, expresse as condições de
contorno nas superfícies interna e externa da tubulação durante os
períodos transiente.
17
3. Uma bola metálica de raio ro é aquecida em um forno até
alcançar 600°F, sendo então retirada do forno e colocada para
resfriar à temperatura ambiente de 78°F. A condutividade térmica
da bola é de 8,3 Btu/(hft°F) e o coeficiente convectivo médio na
superfície externa é de 4,5 Btu/(hft²°F). A emissividade da
superfície externa é de 0,6 e a temperatura média da vizinhança
é 525 R. Considerando que a bola é resfriada uniformemente a
partir de sua superfície externa, expresse as condições inicial e
de contorno para o processo de resfriamento.
c.c.:
x=0
x=L
18