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Aula-2 O potencial elétrico Curso de Física 2 1o semestre, 2016 A energia potencial elétrica Analogia gravitacional ! ! U f − U i = − W = − ∫ mg. d l = −mgh f i onde U é a energia potencial associada ao campo da força gravitacional . ! ! No caso eletrostático, como F = q0 E : ! rf ! ! ! U f − U i = − W = − ∫ qo E ( r ).dl ! ri No caso de forças conservativas (como o nosso) , o resultado desta integral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontos inicial e final. A energia potencial elétrica ! ! F (r ) ẑ C ! ri ! dl ! rf Se a força é devida a uma distribuição finita de cargas, convém tomar | r! |→ ∞ como a i configuração de referência tal que Ui = 0 ŷ Q x̂ Ou seja, Com isto podemos definir a função energia potencial U (r! ) : ! r ! ! ! U (r ) = − ∫ q0 E.dl ∞ ! é o negativo do trabalho realizado pela força do campo U (r ) elétrico para trazer a partícula com carga q0 desde o infinito até r!. O potencial elétrico É a energia potencial por unidade de carga: U V≡ q ΔU ΔV ≡ q Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da distribuição de cargas. Unidade: volt = joule/coulomb = J/C Unidade de energia conveniente para cargas elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J Potencial em função do campo: ! rf ! " ! V f − Vi = − ∫ E ( r ) . dl ! ri Se escolhermos o infinito como referência: ! r ! ! " ! V ( r ) = − ∫ E ( r ) . dl ∞ O potencial elétrico Superfícies equipotenciais São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial. WI , WII , WIII e WIV = ? ! As linhas de E são perpendiculares às superfícies equipotenciais. Por quê? O potencial elétrico V de um campo uniforme ! rf ! " ! V f − Vi = − ∫ E ( r ) . dl ! ri a) V f − Vi = − Ed b) V f − Vi = − Ed a) b) Vemos que o resultado não depende do caminho da integração. Portanto, para se calcular V, pode-se sempre escolher o caminho mais simples. i f O potencial elétrico O potencial de uma carga puntiforme ! rf ! ! " V f − Vi = − ∫ E ( r ) ⋅ dl ! ri ! 1 q E= rˆ 2 4πε 0 r ! V f − Vi = − E (r )dr = − ∫ ! ri (Novamente, escolhemos V = 0 para r → ∝ ) i Com isto: ! V (r ) = ! rf q 4πε 0 r r 1 q dr 2 4πε 0 r ∞ ∫ O potencial elétrico O potencial de um sistema de cargas puntiformes - + ẑ ! ri - ! r - qi ! ! 4πε 0 | r − ri | + + + x̂ ! Vi (r ) = ! ! r − ri ŷ ! V (r ) = ∑ i ! Vi (r ) = ∑ i (soma escalar!) qi ! ! 4πε 0 | r − ri | O potencial elétrico O potencial de um sistema de cargas puntiformes (exemplo) d = 1,3m q1 = 12 nC q2 = −24 nC q3 = 31 nC q4 = 17 nC VP = ? q = 12 × e ! VC = ? EC = ? O potencial elétrico O potencial de um dipolo elétrico ! V (r ) = ∑ ! Vi (r ) = i ∑ i qi ! ! 4πε 0 | r − ri | r( − ) − r( + ) ≈ d cos θ r( − ) r( + ) ≈ r 2 p cos θ ! V (r ) = 4πε 0 r 2 Ou: ! ! ! p. r V (r ) = 4πε 0 r 3 ! V (r ) = q q − 4πε 0 r( + ) 4πε 0 r( − ) O potencial elétrico O potencial de um dipolo elétrico O dipolo elétrico pode ser permanente ou induzido por um campo externo que separa o centro de cargas positivas do das negativas. Distribuição contínua de cargas ẑ ! dq (r !) ! ! r − r! P ! r ! r! ! ! dV (r , r !) ŷ x̂ ! 1 dq (r ") ! V (r ) = ! ! 4πε 0 | r − r " | (V , S ou L ) ∫ Distribuição contínua de cargas ! dq (r !) ! dq (r !) ! dq (r !) ! ! ! linear : dq( r !) = λ ( r !) dl ( r !) ! ! ! superficial : dq (r !) = σ (r !) dA(r !) ! ! ! volumétrica : dq (r !) = ρ (r !) dV (r !) Distribuição contínua de cargas O potencial de uma linha finita de carga ( dq = λ dx ) ! 1 dq (r ") ! V (r ) = ! ! 4πε 0 | r − r " | (V , S ou L ) ∫ L 1 V= 4πε 0 0 ∫ λdx x2 + d 2 & L + L2 + d 2 # λ V= ln $ ! 4πε 0 % d " Distribuição contínua de cargas O potencial de um disco carregado dq = 2πσ R!dR! ! 1 dq (r ") ! V (r ) = ! ! " 4 πε | r − r | 0 (V , S ou L ) ∫ R 1 2π σ R"dR" V ( z) = 2 2 4 πε " z + R 0 0 ∫ σ 2 2 V ( z) = ( z + R − | z |) 2ε 0 O campo elétrico Obtenção do campo a partir do potencial elétrico dV = − E cos θ ds dV − = E cos θ ds ! ∂V Es = − = −∇V ⋅ sˆ , ∂s que é a derivada direcional do campo elétrico na direção do deslocamento ! ! E = −∇V Dedução alternativa ! rf ! " ! V f − Vi = − ∫ E ( r ) . dl ! ri ! ! dV = − E.dl Sejam, em coordenadas cartesianas: ! E = E xiˆ + E y ˆj + E z kˆ V = V ( x, y , z ) ! ! E.dl = E x dx + E y dy + E z dz Então: ∂V ∂V ∂V dV = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Por (1): ∂V ∂V ∂V Ex = − ; Ey = − ; Ez = − ∂x ∂y ∂z Ou seja: ! ! E = −∇V (1) O campo elétrico Campo de um disco uniformemente carregado ! ! E = −∇V Vimos: σ V ( z) = ( z 2 + R 2 − | z |) 2ε 0 Neste caso, V = V (z ) somente. Então: ∂V Ez = − ∂z Ou, derivando: ! σ & z z # E( z) = $ − 2 ! zˆ 2 2ε 0 % | z | z +R " (resultado já conhecido) A energia potencial elétrica de um sistema de cargas É o trabalho executado por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a configuração desejada. Dada a energia potencial elétrica entre cada par de cargas qi q j U ij = ! ! , temos que: 4πε 0 | ri − rj | qi q j ! 1 1 U= ∑ = ∑ qiV ( ri ) , 2 i , j 4πε 0 rij 2 i i≠ j onde V ( ri ) é o potencial na posição da carga i. A generalização para uma distribuição contínua de cargas com densidade ρ é: 1 U = ∫ ρ (r )V (r )dv 2 q1 = q q2 = −4q q3 = 2q W =? Potencial de um condutor carregado isolado Condutor esférico + + + ! E + ! E=0 + + + + + + + Dentro: r < R Q V (r ) = 4πε 0 R ! rf ! ! ! V f − Vi = − E (r ) ⋅ dr ∫ ! ri ou ! ! E = −∇V Fora: r > R Q V (r ) = 4πε 0 r Potencial de um condutor carregado isolado Exemplos A superfície de um condutor isolado, carregado ou não, é uma equipotencial.
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