Seqüência de Fibonacci e Razão Áurea

Seqüência de Fibonacci e Razão Áurea
Leonardo Fibonacci
Leonardo Pisano ou Leonardo de Pisa (1170­1250) – também conhecido como Fibonacci – foi um matemático italiano, dito como o primeiro grande matemático europeu depois da decadência helênica. É considerado por alguns como o mais talentoso matemático da Idade Média. Ficou conhecido pela descoberta da seqüência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos árabes na Europa.
Seqüência de Fibonacci
Considerando os dois primeiros termos da seqüência sendo 0 e 1, depois encontre os outros termos somando os seus dois números antecessores. Assim, temos
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, ... Seqüência de Fibonacci na Natureza
Ramos e troncos de plantas
Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto. Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. A planta Achillea ptarmica possui estas características.
Nautilus Marinho
O Nautilus é um molusco que vive no sudoeste do oceano pafício. O nautilus é um dos seres vivos que apresenta a razão áurea em seu desenvolvimento, sendo assim chamado de Espiral de Ouro.
Atividade: Construição a espiral de Ouro através da seqüência de Fibonacci.
Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A seqüência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a seqüência de Fibonacci.
Razão Áurea
A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo é uma constante real algébrica irracional e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. É um número que há muito tempo é empregado na arte e aparece em diversas formas da natureza. Também é chamada de: razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão.
O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Seqüência de Fibonacci pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos n cada vez maior.
Razão Áurea na natureza
Essa seqüência aparece na natureza, no comportamento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.
População de Abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.
Concha do Caramujo – Nautilus
Razão Áurea nas manifestações humanas
Pirâmides, Pathernon (Grécia), Monalisa (Arte), entre outras.
Atividade: Dado um segmento AB, encontre o ponto D tal que a razão entre AB e AD seja o número Áureo, utilizando régua e compasso.