Matemática - Curso Professor Viol

Transcrição

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Matemática
Charadas, Curiosidades, Desafios
Pesquisa feita por:
João Kleber Paranhos R. de Queiróz
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ORIGEM DO ZERO
Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou
limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos
quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o
desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.
O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um
sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas
babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não
era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo
contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo
para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final.
Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o
sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A
subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma
unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo
ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que
é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o
número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.
Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na
matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a
ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era
muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos
computacionais.
É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito
Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV D.C., embora alguns historiadores o localize
até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado
pelos gregos seria apenas uma conjectura.
Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para
assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou
para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum
por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas,
passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado
duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria
no original hindu.
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HISTÓRIA DOS NÚMEROS
A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da
humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o
homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos
aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos
colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o
sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção
(por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha
sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com
a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo
exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do
número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos
pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que
nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma
forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
O corvo assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo.
Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o
corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à
torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um
ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que
o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e
quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram
quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o
pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e
outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance
que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem
civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de
contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os
testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem
que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o
número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os
selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão
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quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do
Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão
desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem
equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a
palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e
"muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo
acontece no francês: trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu
simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem
primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é
impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um
sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual
nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria
avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de
circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício
que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a
operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número
sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das
poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm
ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada
assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual
número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há
mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que
recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um
conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de
idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas
num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento
na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.
A idéia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que
a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que
pertence à sucessão natural: 1,2,3...
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A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até
esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem
oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de
matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da
história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era
cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais
simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão
ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a
civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa
numeração é muito posterior a todos eles.
Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio
de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das
pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a
transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles
caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào,
entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o
conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o
número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de
que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava
originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo
ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o
som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais
foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números.
É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de
vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos,
com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A
explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os
dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos,
os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.
Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:
Nº
Grego arcaico Latim
Alemão
Inglês
Francês
1
en
unus
eins
one
un
2
duo
duo
zwei
two
deux
3
tri
tres
drei
three
trois
Russo
odyn
dva
tri
6
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
tetra
pente
hex
hepta
octo
ennea
deca
hecaton
xilia
quatuor
quinque
sex
septem
octo
novem
decem
centum
mille
vier
fünf
sechs
sieben
acht
neun
zehn
hundert
tausend
four
five
six
seven
eight
nine
ten
hundred
thousand
Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural
quatre
cinq
six
sept
huit
neuf
dix
cent
mille
chetyre
piat
chest
sem
vosem
deviat
desiat
sto
tysiatsa
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ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS
O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo
desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o
despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do
homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o
desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento
do conceito de número Natural.
Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número
Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de
número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os
números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados
a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os
números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de
uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam
formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as
contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se
pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas
gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus
converteram-nas em regras numéricas
sobre números negativos e positivos.
Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam
constantemente em cálculos
intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o
qual as soluções
eram valores inteiros negativos como por exemplo:
4 = 4x +20
3x -18 = 5x^2
Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e
XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números
apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto
seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma
equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora
chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta
uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de
direções opostas.
Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler)
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Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz
como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas
construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus
argumentos:
1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3
dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab.
2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade
negativa e vice-versa é uma quantidade negativa.
3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é
ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única
possibilidade que (-a).(-b) = +ab.
É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como
Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não
consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de
argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes
resultados aceitalvelmente. Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os
números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra
precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são
quantidades menores que zero.
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ORIGEM DOS SINAIS
A história dos sinais de adição, subtração, multiplicação, divisão e dos sinais de relação.
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger
publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas
aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram
somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os
símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram
pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a
adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma
de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas
italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.
Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático
inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado
em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um
ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos,
indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal
para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29,
1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a
multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre
duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que
eu uso também para a divisão."
A forma a/b, indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava
um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que
apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma
combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
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Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática
por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro,
publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ;
constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores
que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por
dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando
os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu
com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
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CURIOSIDADES COM NÚMEROS
Por vezes quando efetuamos algumas operações obtêm-se resultados curiosos e interessantes
embora a sua importância seja mínima. Por exemplo:
806 pode ser decomposto no seguinte
produto
806 = 31 x 26.
806 = 62 x 13.
Produto do número 37 pelos primeiros
múltiplos de 3.
Se continuássemos a multiplicar não
obtínhamos a mesma sequência de
números mas sim outra que até também é
engraçada.
3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37 = 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999
330 x 3367 = 1111110
363 x 3367 = 1222221
396 x 3367 = 1333332
429 x 3367 = 1444443
462 x 3367 = 1555554
495 x 3367 = 1666665
528 x 3367 = 1777776
561 x 3367 = 1888887
594 x 3367 = 1999998
Produto de 3367
múltiplos de 33.
33 x 3367 = 111111
66 x 3367 = 222222
99 x 3367 = 333333
132 x 3367 = 444444
165 x 3367 = 555555
198 x 3367 = 666666
231 x 3367 = 777777
264 x 3367 = 888888
297 x 3367 = 999999
pelos
primeiros
Outro conjunto de operações com algo de
curiosidade:
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 =11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
Já agora, se estiver interessado, tente averiguar quais os números que multiplicados por
12345679 faz com que o resultado seja uma sequências de qualquer cifra ( 1 ao 9 )!
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ABSURDOS MATEMÁTICOS
Tente descobrir onde está o erro dessas demonstrações absurdas.
------------------------------------------------------------------------------2 é igual a 1 ???
Vamos verificar:
Sejam a e b pertencentes ao reais, sendo a e b diferentes de zero.
Suponhamos que a=b.
Então, se a=b, multiplicando os dois lados da igualdade por a temos:
a2=ab
Subtraindo b2 dos dois lados da igualdade temos:
a2-b2=ab-b2
Sabemos (fatoração), que a2-b2=(a+b)(a-b). Logo:
(a+b)(a-b)=ab-b2
Colocando b em evidência do lado direito temos:
(a+b)(a-b)=b(a-b)
Dividindo ambos os lados por (a-b) temos:
a+b=b
Como no início dissemos que a=b, então no lugar de a eu posso colocar b:
b+b=b
Portanto 2b=b. Dividindo ambos os lados por b finalmente chegamos a conclusão:
2=1
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2 não é igual a
1 (ou alguém tem alguma dúvida?).
TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!!
Solução:
Erro do 2=1
Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos:
(a+b)(a-b)=b(a-b)
Segundo a demonstração, a próxima etapa seria:
Dividimos ambos os lados por (a-b).
Aí está o erro!!!
No início supomos que a=b, portanto temos que a-b=0.
Divisão por zero não existe!!!
-------------------------------------------------------------------------------
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4 é maior que 5???
Vamos verificar:
Começamos com a seguinte inequação:
(1/81)>(1/243)
Ou seja:
(1/3)4>(1/3)5
Aplicando o logaritmo decimal dos dois lados obtemos:
log10(1/3)4>log10(1/3)5
Aplicando a propriedade da potência dos logaritmos temos:
4 log10(1/3)>5 log10(1/3)
Dividindo ambos os lados por log10(1/3) chegamos a conclusão:
4>5
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 4 não é maior
que 5 (ou alguém tem alguma dúvida?).
Solução:
Erro do 4>5
4 log10(1/3)>5 log10(1/3)
Segundo a demonstração, a próxima etapa seria:
Dividir ambos os lados por log10(1/3)
Aí está o erro!!!
Pois log10(1/3) é um número negativo, certo?
Portanto estamos dividindo os dois lados da inequação por um número NEGATIVO.
Isso faria com que o operador relacional da equação se invertesse, o que nos levaria a
correta conclusão de que:
4<5
------------------------------------------------------------------------------2+2 é igual a 5???
Vamos verificar:
Começamos com a seguinte igualdade, que é verdadeira:
16-36 = 25-45
Somamos (81/4) nos dois lados, o que não altera a igualdade:
16-36+(81/4) = 25-45+(81/4)
Isso pode ser escrito da seguinte forma: (trinômio quadrado perfeito)
(4-(9/2))2 = (5-(9/2))2
Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos:
4-(9/2) = 5-(9/2)
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Somando (9/2) nos dois lados da igualdade temos:
4=5
Como 4=2+2 chegamos a seguinte conclusão:
2+2=5
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2+2 não é
igual a 5 (ou alguém tem alguma dúvida?).
Solução:
Erro do 2+2=5
(4-(9/2))2 = (5-(9/2))2
Segundo a demonstração, a próxima etapa é:
Tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtendo:
4-(9/2) = 5-(9/2)
Aí está o erro!!!
Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é
igual ao MÓDULO desse número. Então o correto seria:
| 4-(9/2) | = | 5-(9/2) |
| -0,5 | = | 0,5 |
0,5 = 0,5
------------------------------------------------------------------------------2 é maior que 3 ???
Consideremos a seguinte situação. Seja:
1/4 > 1/8
mas esta mesma desigualdade pode ser escrita de outra forma em que o sinal da
desigualdade será o mesmo:
(1/2)2 > (1/2)3
Aplicando os logaritmos em ambos os membros e como o logaritmo é uma função
crescente, isto é, a um número maior corresponde um logaritmo maior, teremos:
log((1/2)2) > log((1/2)3) ,
então pelas propriedades dos logaritmos temos:
2.log(1/2) > 3.log(1/2)
em conclusão se dividir-mos ambos os membros por log(1/2) teremos:
2>3
É evidente que a primeira vista todo o raciocinio está correto, mas se olharmos com
atenção, encontramos a falha: Quando se aplica os logaritmos a ambos os membros da
desigualdade, nada é afirmado relativamente à base do mesmo. Pois se for considerado log
de base entre 0 e 1, o raciocinio é inválido.
De fato loga((1/2)2) < loga((1/2)3), com 0< a <1.
-------------------------------------------------------------------------------
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4 é igual a 6?
Começamos com a seguinte igualdade:
-24 = -24
Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes:
16 - 40 = 36 - 60
Os números 16, 40 , 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma:
4x4 - 2x4x5 = 6x6 - 2x6x5
Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar:
4x4 - 2x4x5 + 5x5 = 6x6 - 2x6x5 + 5x5
Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao
quadrado (o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois termos mais
o quadrado do segundo)
(4 - 5)2 = (6 - 5)2
Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos:
4-5=6-5
Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado:
4=6
Solução:
Erro do 4=6
(4-5)2 = (6-5)2
Segundo a demonstração, a próxima etapa é:
Tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtendo:
4-5 = 6-5
Aí está o erro!!!
Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é
igual ao MÓDULO desse número. Então o correto seria:
| 4-5 | = | 6-5 |
| -1 = | 1 |
1=1
-------------------------------------------------------------------------------
3 é igual a 4?
16
Começamos com a seguinte igualdade:
0=0
Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira:
3-3 = 4-4
Colocamos o 3 e o 4 em evidência:
3 (1-1) = 4 (1-1)
Cortamos os termos comuns entre parênteses e chegamos à igualdade:
3=4
Solução:
Erro do 3=4
3 (1-1) = 4 (1-1)
Segundo a demonstração, a próxima etapa é cortar os membros comuns entre parênteses.
Aí está o erro!!!
Está errado porque o que temos entre parênteses é 1-1, que é igual a 0. Portanto estaríamos
dividindo ambos os lados por zero. Divisão por zero não existe!!!
------------------------------------------------------------------------------8 é igual a 7?
Começamos com a seguinte igualdade, que supomos ser verdadeira:
a+b = c
Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira:
(8a-7a) + (8b-7b) = (8c-7c)
Colocando todos os múltiplos de 7 de um lado e os de 8 do outro, temos:
8a+8b-8c = 7a+7b-7c
Colocando em evidência o 7 de um lado e o 8 do outro temos:
8(a+b-c) = 7(a+b-c)
Dividindo ambos os lados por a+b-c temos:
8=7
Solução:
17
Erro do 7=8
8 (a+b-c) = 7 (a+b-c)
Segundo a demonstração, a próxima etapa é dividir ambos os lados por a+b-c.
Aí está o erro!!!
Está errado porque no início supomos que a+b=c, portanto a+b-c vale zero. Divisão por
zero não existe!!!
18
Aonde foi parar o outro R$ 1,00
Eu,Tu e Ele.... fomos comer no restaurante e no final a conta deu R$30,00.
Fizemos o seguinte: cada um deu dez mangos...
Eu: R$ 10,00
Tu:: R$ 10,00
Ele:: R$ 10,00
O garçom levou o dinheiro e o dono do restaurante disse o seguinte:
"Esses três já são clientes antigos do restaurante, então vou devolver $5,00 para eles"...
O garçom, muito esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$1,00 para cada
um de nós...
No final ficou assim:
Eu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Eu gastei R$ 9,00
Tu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Tu gastou R$ 9,00
Ele: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Ele gastou R$ 9,00
Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três
gastamos juntos, foi R$ 27,00.
E se o garçom pegou R$ 2,00 para ele, temos:
Nós: R$ 27,00
Garçom: R$ 2,00
_______________________
TOTAL: R$ 29,00
Aonde foi parar o outro R$ 1,00???????
19
Charadas
1) Gato e Meio
Se gato e meio come rato e meio em minuto e meio, em quanto tempo um gato come dois
ratos?
2) O Senhor é meu Pastor
Pense e escolha a única opção correta:
"O SENHOR É O MEU PASTOR E NADA ME FALTARÁ"
a) O SENHOR será meu pastor enquanto não me faltar nada.
b) Nada me faltará por que o SENHOR é meu pastor.
c) Nada me faltará por qualquer razão menos pelo fato de ser o SENHOR
meu pastor.
d) Nada me faltará por qualquer razão podendo ser pelo fato de ser o SENHOR meu pastor.
e) O SENHOR será meu pastor se não me faltar nada.
f) Não me faltará nada somente se o SENHOR for meu pastor.
g) Faltar-me-á algo se o SENHOR não for meu pastor.
h) Mesmo que me falte algo o SENHOR será sempre meu pastor.
3) Quem ama quem?
Oito jovens- - 4 garotos e 4 garotas - passeavam numa gôndola em Veneza. Todos estavam
apaixonados: cada garoto por uma garota e vice-versa. O gondoleiro, muito observador,
nota os olhares e observa:
1- Claudia é amada pelo rapaz que é amado pela garota que ama Bruno;
2- Diana ama quem ama Claudia e é amada pelo amor do amor de Carlos;
3- Antonio ama quem quer namorar com quem gosta de Bruna;
4- Quando Carlos olha para Bruna provoca ciúmes em Aline, que é amada pelo rapaz que é
amado por quem ama Antonio;
5- Daniel é amado pela garota que é amada por quem ama Bruna.
Quem ama quem?
4)A frase: SE ESTUDO ENTÃO PASSO equivale à:
a) Se passo então estudo
b) Se não estudo então não passo
c) Se não passo então não estudo
d) Só se estudo então passo
e) Estudo ou não passo
Resposta:
20
Se estudo então passo significa que se eu estudar vou passar, mas nada afirma sobre o que
acontecerá se eu não estudar. Se eu não estudar, posso passar ou não. Se eu não passar,
significa que não estudei pois, se eu estudar, passo com certeza. A alternativa correta é a
letra C.
5) Soma das idades
Dois amigos matemáticos, que há muito não se viam, se encontraram na rua. Depois de
muita conversa um deles perguntou: Você tem filhos? E o outro respondeu: "Tenho três
filhas. O produto de suas idades é 36; a soma das idades é o número daquela casa ali ( e
apontou a casa e o amigo viu o número ).O amigo continuou na dúvida sem poder dizer
qual a idade das filhas dele. De repente o pai disse: "ah! E a mais velha toca piano!" Nesse
ponto o amigo, excelente matemático, não tinha mais dúvida e já podia dizer as idades com
certeza. Qual a idade delas?
Resposta: Analizando as possibilidades temos: 1 x 6 x 6 = 36 / Soma 13
3 x 3 x 4 = 36 / Soma 10
1 x 1 x 36 = 36 / Soma 38
1 x 4 x 9 = 36 / Soma 14
2 x 3 x 6 = 36 / Soma 11
1 x 3 x 12 = 36 / Soma 16
1 x 2 x 18 = 36 / Soma 21
2 x 2 x 9 = 36 / Soma 13
Como a soma das idades era o mesmo número da casa em frente, bastava que ele
olhasse o número para saber as idades. Acontece que mesmo com essa dica ele ainda
continuou na dúvida. Concluímos que o número da casa era 13 pois existem duas
possibilidades para essa soma ( 1 x 6 x 6 e 2 x 2 x 9 ). Com a terceira dica de que a mais
velha toca piano eliminamos a hipótese onde não há irmã mais velha ( 1 x 6 x 6 ) e ficamos
com os valores 2,2,9.
6) Em um cartão estão quatro afirmativas:
Neste cartão exatamente uma afirmativa é falsa;
Neste cartão exatamente duas afirmativas são falsas;
Neste cartão exatamente três afirmativas são falsas;
Neste cartão exatamente quatro afirmativas são falsas;
Quantas são falsas?
7) Lápis e Caneta
LÁPIS -
CANETA - LÁPIS E CANETA
Existem três gavetas com e somente com os objetos indicados pelas etiquetas. Afirmando
que todas as etiquetas estão colocadas trocadas, quantas vezes é necessário retirar um
objeto de qualquer gaveta para se colocar as etiquetas corretamente?
21
1000 + 40
O cálculo deve ser feito rapidamente.
Este cálculo deve fazer-se mentalmente (e rapidamente), sem utilizar calculadora nem papel
e caneta!
Você tem 1000, acrescenta mais 40. Acrescenta mais 1000. Acrescenta mais 30. Acrescenta
mais 1000. Acrescenta 20. Acrescenta mais 1000. Acrexcenta mais 10. Qual é o total?
(Resposta mais abaixo)
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ESPAÇO
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
ANTI-TRAPAÇA
O seu resultado é de 5000?
A resposta certa é de 4100! Se não acredita, verifica com a calculadora. O que acontece é
que a seqüência de milhar desvia atenção do cérebro. O cérebro tende naturalmente a
arrendondar a soma dos decimais, só que os milhares separadamente somados o confundem
e faz ele arredondar o que seria centena para milhar também (força da repetição).
22
Teste De Einstein
1. Há cinco casas de 5 diferentes cores.
2. Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade
3. Esses 5 proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de
cigarro e têm um certo animal de estimação
4. Nenhum deles tem o mesmo animal, fumam o mesmo cigarro ou bebem a mesma bebida.
A questão é: quem tem um peixe?
Dados:
- O inglês vive na casa vermelha.
- O sueco tem cachorros como animais de estimação.
- O dinamarquês bebe chá.
- A casa verde fica à esquerda da casa branca.
- O dono da casa verde bebe café.
- A pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros
- O dono da casa amarela fuma Dunhill.
- O homem que vive na casa do centro bebe leite.
- O norueguês vive na primeira casa.
- O homem que fuma blends vive ao lado do que tem gatos.
- O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
- O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.
- O alemão fuma Prince.
- O norueguês vive ao lado da casa azul.
- O homem que fuma Blend é vizinho do que bebe água.
Einstein escreveu esse teste no século passado.
Ele disse que 98% do mundo não pode resolvê-lo.
23
PALÍNDROMOS
Palíndromos podem ser palavras ou números que são iguais quando lidos de frente para trás
e de trás para frente. Alguns exercícios de análise combinatória envolvem palíndromos.
Aqui, só por curiosidade, mostramos alguns palíndromos.
ALÔ BOLA
ROMANA: ANIL É COR AZUL
AME O POEMA
ÓDIO DO DOIDO
AMOR A ROMA
OI RATO OTÁRIO
ANA
OSSO
ANOTARAM
MARATONA
A
DATA
DA
OTO COME MOCOTÓ
OVO
ANOTARAM A MARATONA
O CASACO
APÓS A SOPA
O CÉU SUECO
ASSIM A AIA IA A MISSA
O DEDO
ATÉ O POETA
O GALO AMA O LAGO
AULA É A LUA
O LOBO AMA O BOLO
A BABÁ BABA
O GALO NO LAGO
A DIVA EM ARGEL ALEGRA-ME
A VIDA
A DROGA DA GORDA
A MALA NADA NA LAMA
O MITO É ÓTIMO
O ROMANO ACATA AMORES A
DAMAS AMADAS E ROMA ATACA
O
NAMORO
A TORRE DA DERROTA
O VÔO DO OVO
EVA ASSE ESSA AVE
MIRIM
LUZ AZUL
LUZA ROCELINA, A NAMORADA
DO MANUEL, LEU NA MODA DA
MORRAM
MARROM
MUSSUM
APÓS
A
SOPA
24
SAIRAM O TIO E OITO MARIAS
RADAR
SÁ DA TAPAS E SAPATADAS
RENNER
REVIVER
SOCORRAM-ME SUBI NO ÔNIBUS
EM MARROCOS
RIR, O BREVE VERBO RIR
SUBI NO ÔNIBUS
ROMA É AMOR
VIVIANA AMA ANA IVIV
ROMA ME TEM AMOR
ZE DE LIMA RUA LAURA MIL E
DEZ
25
Multiplicar um Número por...
Multiplicar um número por
11
Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos de colocar o
resultado no meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11.
Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar
esse 8 no meio deles:
a resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286.
Outros exemplos:
1) 34 x 11
somamos os algarismos do número 34: 3+4=7
colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = 374.
2) 81 x 11
colocamos o resultado no meio deles: 891. Portanto 81x11 = 891.
3) 37 x 11
como deu um nº maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles.
Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1)
é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto 37x11 = 407.
Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em
um número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x
11.
Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4.
Somando o 2º com o 3º algarismo desse número temos 3+5=8. Esses 2 resultados serão
colocados no meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio:
1485. Portanto 135 x 11 = 1485.
9
Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial.
Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9.
Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440.
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 = 396.
Portanto 44 x 9 = 396.
Outros exemplos:
27 x 9 = 270-27 = 243.
56 x 9 = 560-56 = 504.
33 x 9 = 330-33 = 297.
26
99
Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial.
Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99.
Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400.
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400-44 = 4356.
Portanto 44 x 99 = 4356.
Outros exemplos:
27 x 99 = 2700-27 = 2673
56 x 99 = 5600-56 = 5544
33 x 99 = 3300-33 = 3267
101
Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB.
Alguns exemplos:
43 x 101 = 4343
32 x 101 = 3232
14 x 101 = 1414
Essa é Interessante
Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que possuam o mesmo algarismo
das dezenas, e a soma de seus algarismos das unidades seja 10.
Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48, 53x57, 21x29,
35x35, 87x83, 94x96, etc.
Devem ser seguidos os seguintes passos:
1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número
seguinte a ele;
2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente;
3) Juntamos as duas partes.
Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57:
Passo 1:
5x6 = 30
Passo 2:
3x7 = 21
Passo 3:
Juntamos os dois números: 3021.
Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada!
27
Outro exemplo: 94 x 96:
Passo 1:
9x10 = 90
Passo 2:
4x6 = 24
Passo 3:
Juntamos os dois números: 9024.
Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada!
E a Última...
Soma dos n primeiros números naturais ímpares
A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n^2. Exemplos:
1) Soma dos 5 primeiros números naturais ímpares (1+3+5+7+9):
A soma é igual a 5^2 = 25.
2) Soma dos 15 primeiros números naturais ímpares:
A soma é igual a 15^2 = 225.
28
DESAFIOS MATEMÁTICOS
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 1
EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA
IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES
SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???
Solução:
Tu TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de
y.
Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de
x) , ou seja, eu TENHO 2x anos.
ENTÃO:
Tu TINHAS x e agora tem y.
Eu TINHA y e agora tenho 2x.
Portanto temos que:
y-x = 2x-y
2y=3x
x=(2/3).y
ENTÃO, substituindo o valor de x, temos:
Tu TINHAS (2/3).y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3).y
Agora preste atenção na segunda frase:
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ
DE 45 ANOS.
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3).y, deve-se somar a tua idade y com mais
(1/3).y
Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y.
Como somamos (1/3).y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja:
Agora eu tenho (4/3).y + (1/3).y, logo eu tenho (5/3).y
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos:
(4/3).y + (5/3).y=45
(9/3).y=45
3y=45
y=15
No início descobrimos que x=(2/3).y, portanto x=(2/3).15, logo x=10.
FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???
COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS.
E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS.
PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!!
--------------------------------------------------------------------------------
29
DESAFIO 2
UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E
TRÊS NO BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS
DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO
QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA
FRENTE.
Solução:
São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente.
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo. Então primeiro vamos calcular o número
de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas:
Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos,
tomados 5 à 5:
A6,5= 720
Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João.
Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos
três bancos de trás. Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4
lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas
nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4:
A6,4= 360
O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar
esse resultado por 3:
3 x A6,4= 3 x 360 = 1080
O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e
SEM João).
Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!!
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 3
AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA
11; AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA
ATUALMENTE?
Solução:
Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova.
Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha.
O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então:
y/x = 4/5 (equação 1)
O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então:
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)
Isolando y na equação 1:
y = 4x/5
30
Colocando esse valor de y na equação 2 temos:
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)
Fazendo o mmc dos dois lados temos:
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11
11.(4x-40) = 5.(8x-64)
44x-440 = 40x-320
44x-40x = 440-320
4x = 120
x= 30
Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!!
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 4
EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA
FIGURA. QUAL É O VALOR DE N ?
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
Solução:
Podemos notar que a figura é parecida com um "A".
Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é:
C13,3 = 286
Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as
combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são
COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece:
Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados
entre si, pois não formam triângulos.
Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação.
E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si.
Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser
formados é:
C13,3 - C6,3 - C6,3 - C4,3 = 286 - 20 - 20 - 4 = 242
Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!!
--------------------------------------------------------------------------------
31
DESAFIO 5
UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM
CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO
ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA?
Solução:
Vamos considerar que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o
nosso objetivo é achar o valor de N.
O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que
tinha ao entrar.
LOJA 1
O homem entrou com N.
O homem GASTOU:
(N/2)+1.
Portanto o homem FICOU com:
N - ((N/2)+1)
= N-(N/2)-1
= (2N-N-2) / 2
= (N-2)/2
LOJA 2
O homem entrou com (N-2)/2
O homem GASTOU:
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4
(N-2)/2 - ((N+2)/4)
= (2N-4-N-2) / 4
= (N-6)/4
LOJA 3
O homem GASTOU:
( (N-6)/4 )/2 + 1
= (N-6)/8 + 1
= (N+2)/8
Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo
o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3
menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO:
(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0
(2N-12-N-2) / 8 = 0
2N-12-N-2 = 0
N-14 = 0
32
N = 14
PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14
REAIS !!!
Solução 02:
Vamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada na 1ª loja, até a
saída na última e em, seguida, percorrer o fluxo de "trás para frente", aplicando operações
inversas. Cabe lembrar que a quantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por
N1, N2 e N3) fica sempre dividida por 2 e, em seguida, subtraída de 1 real.
(N1)/2 - 1 (saiu da loja 1 com N2)
(N2)/2 - 1 (saiu da loja 2 com N3)
(N3)/2 - 1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía).
Aplicando operações inversas, teremos do fim para o início:
(0 + 1) x 2 = 2
(2 + 1) x 2 = 6
(6 + 1) X 2 = 14
Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 6
DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA:
DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1;
DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0.
Solução:
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo
problema:
X dividido por 2 dá resto 1
e assim por diante até:
Então, podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor.
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e
6.
33
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual
a 4x5x6=120.
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é
divisível por 7.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 7
CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE
TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES
NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO
NÚMERO 43521?
Solução:
Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente:
1xxxx
2xxxx
3xxxx
41xxx
42xxx
431xx
432xx
4351x
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
P4 = 4! = 24
P4 = 4! = 24
P4 = 4! = 24
P3 = 3! = 6
P3 = 3! = 6
P2 = 2! = 2
P2 = 2! = 2
P1 = 1! = 1
Somando todas elas:
24+24+24+6+6+2+2+1 = 89
Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.
Resposta: O número 43521 está na 90º posição.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 8
COLOQUE OS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9 DISPOSTOS NAS 9 CASAS DE UM
TABULEIRO DE JOGO DA VELHA DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 3
ALGARISMOS DE QUALQUER RETA E QUALQUER DIAGONAL RESULTE 15.
Solução:
8 1 6
3 5 7
4 9 2
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 9
34
Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o
total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número
de patos e o número de cachorros.
Solução:
O total de patos e cachorros é 21:
P+C = 21
O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então:
2P+4C = 54
Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos:
P = 21-C
Substituindo na segunda equação temos:
2(21-C)+4C = 54
42-2C+4C = 54
2C = 54-42
2C = 12
C=6
Agora basta encontrar o P:
P = 21-C
P = 21-6
P=15
Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 10
Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu
estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?
Solução:
Sendo N o número de páginas do livro, temos:
N/5 = (N/3)-16
(N/5)-(N/3) = -16
(3N-5N)/15 = -16
3N-5N = -16*15
-2N = -240
N = 120
O livro possui 120 páginas!
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 11
35
Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é
o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?
Solução:
xy e yx são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos
zxz.
xy+yx = zxz
O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é:
99+99 = 198
Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então
concluímos que z=1.
Se z=1 o resultado da soma é 1x1.
Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes:
x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121
Resposta: x=2 , y=9 , z=1
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 12
Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o
seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada
vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus
enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus
são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).
Solução:
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas:
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez
MARCOS sobe 1 degrau por vez.
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus.
Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele
chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o
desenho que você entenderá melhor).
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e
o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que
quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda
faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de
14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se
em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2).
36
FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o
mesmo. Então basta montar a equação:
28+X = (14+X)+(7+(X/2))
28+X = 21+(3X/2)
28-21 = (3X/2)-X
7 = X/2
X = 14
Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total):
28+14 = 42 degraus
Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo:
(14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus
Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!!
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 13
Joãozinho, um rapaz muito indiscreto, sabendo da reação de uma senhora, que conhecia há
algum tempo, quando falaram em idade, resolveu aprontar. Numa reunião social, na
presença de todos, perguntou-lhe a idade. A senhora respondeu:
- Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro
anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos.
Se você fosse um dos presentes, você concluiria que a senhora tem que idade?
Solução:
O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio 1.
Aplique o mesmo método e você encontrará que
A SENHORA TEM 40 ANOS.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 14
Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo
mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então,
qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?
Solução:
Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos:
37
N.P = 1000 => P=1000/N
Tira-se 4 garrafas
Aumenta o preço da dúzia em R$100,00
(N-4).P+((N-4)/12).100) = 1000
Colocando N-4 em evidência:
(N-4) (P + 100/12) = 1000
(N-4) (1000/N + 100/12) = 1000
(1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000
Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau:
100N2 - 400N - 48000 = 0
Aplicando Bhaskara encontramos x=24.
Resposta: HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 15
Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das
centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois
algarismos estão entre si como 1 está para 2, calcule o algarismo, no cheque, que foi escrito
na casa das dezenas.
Solução:
No cheque foi escrito: ...xxxABx
Mas o correto seria: ...xxxBAx
Ou seja, na casa das dezenas do cheque foi escito B (é o que queremos achar).
Por isso a pessoa pagou R$270,00 a mais, portanto fazendo a subtração o resultado será
270:
...xxxABx
...xxxBAx
---------------...000270
Portanto devemos ter AB - BA = 27
O exercício diz que A e B estão entre si como 1 está para 2. Daí sabemos que A é o dobro
de B, ou seja: A=2B.
Sabendo disso, existem 4 valores possíveis para A e B:
B=1 e A=2 => 21-12 = 9 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)
B=2 e A=4 => 42-24 = 18 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)
B=3 e A=6 => 63-36 = 27 => esses são os valores (pois AB-BA=27)
38
B=4 e A=8 =>
84-48 = 36 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)
Portanto os valores são A=6 e B=3.
Resposta: O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 16
Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 movimentos (3 cortes).
Solução:
Basta fazer dois cortes verticais e um corte horizontal. Ao fazer dois cortes verticais (pode
ser em forma de X), a torta estará dividida em 4 pedaços. Quando fizermos o corte
horizontal, o número de pedaços será multiplicado por 2, ou seja, teremos 8 pedaços em
apenas 3 cortes.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 17
O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990. Qual é o menor
múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3?
Solução:
1998 = 2 ´ 999 = 2 ´ 33 ´ 37. Um número formado apenas pelos algarismos 0 e 3 é múltiplo
de 33 se e somente se o número de algarismos 3 é múltiplo de 9 (pois ao dividi-lo por 3
obtemos um número que possui apenas os algarismos 0 e 1 que deve ser múltiplo de 9, o
que ocorre se e só se o número de algarismos 1 é múltiplo de 9).
Assim, o número desejado deve ter pelo menos 9 algarismos 3, e deve terminar por 0,
por ser par. O menor número com essas propriedades é 3333333330, que é múltiplo de
1998 pois é par, é múltiplo de 33 e é múltiplo de 37 por ser múltiplo de 111 (é igual a 111 ´
30030030).
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 18
Em uma reta há 1999 bolinhas. Algumas são verdes e as demais azuis (poderiam ser
todas verdes ou todas azuis). Debaixo de cada bolinha escrevemos o número igual à soma
da quantidade de bolinhas verdes à direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à
esquerda dela. Se, na sequência de números assim obtida, houver exatamente três números
que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três números?
Solução:
39
Este é um problema de Olimpíada Matemática. Se as 1999 bolinhas são de uma mesma
cor, a sucessão de números é crescente ou decrescente. Cada número aparece uma vez só e
há 1999 (portanto, não há exatamente 3 números que se repetem um número ímpar de vezes
(1 é ímpar). Logo, há bolinhas das duas cores.
Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma bolinha azul A e na
posição seguinte uma bolinha vermelha R, se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r
bolinhas vermelhas à sua direita, então há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1
bolinhas vermelhas à sua direita. O número escrito embaixo de A é n = a + r e o número
escrito embaixo de R é a + 1 + r – 1 = n.
Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em nenhuma outra bolinha, na nova
distribuição há a bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita,
enquanto que à esquerda de A há a bolinhas azuis e, à sua direita, r – 1 bolinhas vermelhas.
Os números escritos embaixo de R e A são a + r – 1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. Os números
escritos embaixo das outras bolinhas não mudam.
Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o número n – 1 se
repete duas vezes mais. Os números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão
os mesmos em ambas configurações.
Portanto, basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas vermelhas são
consecutivas, a partir da primeira, e todas as azuis são consecutivas, a partir da última
vermelha.
Sejam a , b , as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis, respectivamente; então a + b
= 1999. Embaixo da primeira bolinha (é vermelha) está o número a – 1, na seguinte, a – 2,
depois a – 3, e assim por diante, até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição a ). Então,
embaixo da primeira bolinha azul há 0, na segunda 1 e assim por diante, até a última, que
tem b – 1 embaixo.
Se a < b , os números 0, 1, 2, …, a – 1 aparecem duas vezes (quantidade par) e os
números a , a + 1, a + 2, …, b – 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). Se há exatamente
3 números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, estes são a , a + 1 e a + 2 = b – 1.
Portanto, a + b = 2a + 3, donde a = 998, e os três números que se repetem uma quantidade
ímpar de vezes são 998, 999 e 1000.
Se a > b , os três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são b , b +1 e b
+ 2 = a – 1, donde a + b = 2b + 3 e os tres números são, novamente, 998, 999 e 1000.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 19
Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Você pode usar
as operações +, -, x, /, e também os parênteses, se achar necessário.
Solução:
A solução pode ser a seguinte: (3+(3/7)) x 7
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 20
Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo.
40
Solução:
Qualquer número entre 0 e 1.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 21
A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é
retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou
exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles
disputaram?
Solução:
Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, a Maria perdeu três pontos. Como no final a
Maria ficou com 10 pontos é porque ganhou 8 pontos, logo 4 partidas. Realizaram portanto
3+4=7 partidas.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 22
Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos que devem
passar até que se alterem todos os algarismos?
Solução:
Os algarismos estarão todos alterados, pela primeira vez, quando o relógio marcar
20:00:00, ou seja, quando se passarem 147 segundos.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 23
Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira página, são
usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro?
Solução:
Como existem 9 números naturais com 1 algarismo, 90 números com 2 algarismos e 900
números com 3 algarismos são necessários:
9 algarismos para numerar as primeiras 9 páginas;
90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90 páginas;
900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes 900 páginas.
Como 180+9 < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem 3 algarismos e
satisfaz a equação:
3 (x-99) + 189 = 852
41
O livro possui 320 páginas.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 24
Você tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma.
Solução:
Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo, em forma de estrela. Dessa
maneira existirão 5 filas, e cada fila possuirá 4 soldados.
O
O
o
o
o
o
O
o
O
O
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 25
Substitua o asterisco x por um número natural, para que a subtração abaixo seja verdadeira.
x/x - x/6 = x/12
Solução:
x/x é igual a 1. Substituindo esse valor na equação temos:
1- (x/6) = (x/12)
1 = (x/12) + (x/6)
1 = (x+2x)/12
1 = 3x/12
1 = x/4
x=4
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 26
Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados
no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?
Solução:
1 saco de areia = 8 tijolos.
Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 ´ 8 = 144 tijolos.
--------------------------------------------------------------------------------
42
DESAFIO 27
COLOQUE OS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9 DISPOSTOS NAS 16 CASAS DO
TABULEIRO DE DAMAS 4X4 DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 4 ALGARISMOS
DE QUALQUER RETA E QUALQUER DIAGONAL RESULTE 34.
Solução:
5
4
14
11
16
9
7
2
3 10
6 15
12 1
13 8
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 28
Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que (x+99)/(x+19)seja um número
inteiro?
Solução:
Podemos escrever a expressão da seguinte forma:
(x+99)/(x+19)=1+ [80/(1+19)]
Este número é inteiro se, e somente se, x + 19 for divisor de 80. Como 80 tem 20 divisores
inteiros, então existem 20 valores de x.
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 29
Corte 10 algarismos do número 1234512345123451234512345, para que o número restante
seja o maior possível.
Solução:
O maior número restante é 553451234512345. Para ver isto, podemos supor que os cortes
são feitos da esquerda para a direita. Se deixarmos de cortar todos os quatro primeiros
algarismos, o número que resta começará por 1, 2, 3 ou 4. Logo, menor que o número
acima. Feito isto, se deixarmos de cortar a segunda seqüência 1234, o número que resta terá
na primeira ou segunda casa, da esquerda para a direita, 1, 2, 3 ou 4. Ainda menor que o
número acima. Os dois primeiros 5 devem permanecer, pois retirando-se um deles,
completamos 9 retiradas e aí algum algarismo da terceira seqüência 1234 aparecerá na 1a
ou na 2a casa. Finalmente devemos cortar a seqüência 12, que ocupa a 11a e 12a posição.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 30
43
Encontre dois números de três algarismos cada um, usando cada um dos dígitos 1, 2, 3, 4,
5, 6 exatamente uma vez, de forma que a diferença entre eles (o maior menos o menor) seja
a menor possível.
Solução:
Este é um problema da Olimpíada Brasileira de Matemática.
Para que a diferença seja a menor possível, os números devem ser os mais próximos
possíveis. Assim, os algarismos das centenas devem ser consecutivos. A melhor escolha é
aquela em que as dezenas formadas pelos algarismos restantes tenham a maior diferença
possível, o que ocorre para as dezenas 65 e 12.
Assim, os algarismos das centenas devem ser 3 e 4. O menor número começado por 4 é 412
e o maior começado por 3 é 365, cuja diferença é 47.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 31
Determine o próximo número da sequência: 2,10,12,16,17,18,19,...
Solução:
O próximo número da sequência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é 200.
É a sequência de todos os números que começam com a letra D.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 32
Determine o próximo número da sequência: 5,11,19,29,41,...
Solução:
O próximo número da sequência 5,11,19,29,41,... é 55.
A sequência é formada somando-se a cada termo um número par, à partir do 6:
5+6 = 11+8 = 19+10 = 29+12 = 41+14 = 55.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 33
Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60,
65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco?
Solução:
44
Os homens de 60 e 65kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80kg atravessa sozinho. O
barco volta com o que havia ficado. Finalmente os de 60 e 65kg atravessam, e os três
estarão do outro lado do rio.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 34
Quantos noves existem entre 0 e 100?
Solução:
Existem 20 noves entre 0 e 100. Um em cada algarismo das unidades (9,19,29,39,...99), e
mais os dez noves da dezena 9 (90, 91,92...99).
No total 10+10 = 20 noves.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 35
Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe perguntam quanto
custou o presente ela disse:
- "Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digo apenas que o
preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes."
Quanto custou o presente?
Solução 01:
Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os
centavos, como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou 0 (para R$abcd,00 ser menor ou
igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do
presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes.
Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal
posicional, isto é, abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou
1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim:
1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d)
ou
1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d
Resolvendo:
(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0
ou
991d + 10c -890b -8999a = 0
Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos
reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas.
Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d.
Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das fracções contínuas.
Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente:
45
10c = 8999a + 890b - 991d
Dividimos toda a equação pelo coeficiente:
c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d
Separando as partes inteiras das frações,
c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d
ou
c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d)
Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro,
só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10.
Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e
9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0.
Fica assim, 9a - d = 0
ou
d = 9a
Retornando este resultado à equação anterior, fica
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a)
ou
c = 899a + 89b - 891a
c = 8a + 89b
Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser
igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta assim,
c = 8a
Lembremos ainda que a é 1 ou 0.
Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e,
corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00.
Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior, d=9a => d=9.
Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que,
invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado.
RESPOSTA: o presente custou R$1089,00
Solução 02:
Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos supor que o preço estava
em torno de R$ 1.000,00.
Portanto, estavamos em busca de um número de 4 algarismos, sendo 1 o primeiro deles. O
último algarismo só poderia ser o 9, pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9
vezes o primeiro. Assim, sabemos que o número é 1ab9.
Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já que seu inverso também
o é (pois é um número que vale nove vezes o preço do presente). Temos então o número
1ab9. Para que tal número seja múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8. Os pares a e
b que satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5; 4 e 4; 5 e 3; 6 e 2;
7 e 1 e finalmente, 8 e 0.
Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor que R$ 1.200,00,
chegamos a R$ 1.089,00, que é o preço do presente. (1089 X 9 = 9801).
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 36
46
Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem foi o
penetra:
– Eu não fui, diz o Benjamim.
– Foi o Pedro, diz o Carlos.
– Foi o Carlos, diz o Mário.
– O Mário não tem razão, diz o Pedro.
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada?
Solução:
Pedro não pagou!
Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar.
Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Conclui-se
que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a
afirmação de Pedro seria verdadeira, mas a de Carlos seria falsa.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 37
Dona Panchovila comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas os meninos da
classe fizeram muita bagunça, e a professora resolveu distribuir as balas de maneira
diferente: cinco para cada menina e apenas uma para cada menino. Qual a porcentagem de
meninos na sala?
Solução:
Se a professora der uma bala a menos para cada menino, pode dar três balas a mais para
cada menina. Isso significa que o número de meninos é o triplo do número de meninas. É o
mesmo que dizer que 3/4 da classe – ou 75% dela – são meninos.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 38
Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que
restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual:
a) Ao próprio número
b) Ao dobro do número
c) Ao número mais 1
d) Ao número menos 1
Solução:
Vamos chamar o resultado desejado de n, e o número inicial de x. Pelo enunciado, temos
que:
n = (x2 – x) / x.
Com a fatoração, descobrimos que:
47
n = (x–1) . x / x.
Simplificando, temos que n = x–1, ou o número menos 1.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 39
Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo das
unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em seqüência D,T, D e T, o resultado será
qual número?
Solução:
O número 1999 duplicado dá 3998. Pressionando a tecla T, tem-se 399. Apertando D,
temos o dobro de 399, que é 798. Com a tecla T apagamos o algarismo da unidade, obtendo
79.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 40
De três irmãos - José, Adriano e Caio -, sabe-se que ou José é o mais velho ou Adriano é o
mais moço. Sabe-se também, que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então
quem é o mais velho e quem é o mais moço dos três irmãos?
Solução:
A segunda afirmação determina que José não é o mais velho, portanto a partir da primeira
afirmação concluímos que Adriano é o mais moço. Se Adriano é o mais moço, Caio é o
mais velho.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 41
Em uma balança, quatro amigos matemáticos A,B,C,D resolveram se pesar em dupla e
depois tentar descobrir quem é mais pesado que quem. Quande se pesavam, a balança
indicava a dupla mais pesada, tendendo para um dos lados. Com relação ao peso, um deles
anotou assim:
Na primeira experiência, verificamos que (a+b) > (c+d)
Na segunda experiência, verificamos que (d+b) = (c+a)
Na terceira experiência, verificamos que (a+d) < c
Determine a ordem do mais leve para o mais pesado.
Solução:
D<A<C<B
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 42
48
Dispõe-se de nove garrafas em fila. As cinco primeiras estão cheias de cerveja e as quatro
últimas, vazias. Movendo somente duas garrafas, como tornar a fileira com garrafas
alternadamente cheias e vazias.
Solução:
Temos 9 garrafas sendo que as 5 primeiras estão cheias e as 4 últimas vazias.
Para que fiquem alternadamente cheias e vazias, basta despejar a garrafa 2 na garrafa 7 e a
garrafa 4 na garrafa 9, voltando as duas para os seus respectivos lugares.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 43
A média mensal de ovos postos pelas aves na Suécia são na proporção de 35 ovos por mês.
O Sr. Thomas Dhalin, um pequeno proprietário do interior do país decidiu incrementar sua
fazenda comprando um pato. Quantos ovos, de acordo com as estatísticas, ele terá
comercializado ao final de um ano?
Solução:
Patos não botam ovos.
Infelizmente o Sr. Larsen não terá nenhum ovo ao final de um ano.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 44
Um bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. É certo que há uma bola defeituosa
que pesa mais que as outras. Dispomos de uma balança com 2 pratos. Demonstre que se
pode localizar a bola defeituosa como somente três pesagens.
Solução:
Compare 9 bolas quaisquer com outras 9 e deixa as nove restantes na caixa. Se a balança se
equilibra, a bola mais pesada estará entre as nove bolas que ficaram na caixa e se não,
estará entre as nove do prato que mais pesou. Dividimos em 3 grupos de 3 esse conjunto e
repetirmos a operação. Dessa forma, com duas pesadas teremos isolado a bola mais pesada
de um grupo de 3 bolas.
Se repetirmos a operação uma terceira vez, teremos isolado a bola mais pesada das outras.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 45
Uma aranha tece sua teia no marco de uma janela. Cada dia duplica a superfície feita
anteriormente. Dessa forma tarda 30 dias para cobrir o vazio da janela. Se em vez de uma
aranha, fossem duas, quanto tempo demoraria para cobrir o vazio.
49
Solução:
Cada dia a superfície duplica. Então quando uma aranha tiver coberto meio vão no 29º dia,
a outra aranha também o terá feito, e o vazio será preenchido.
Resposta: 29 dias
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 46
Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 metros de profundidade. Na sua busca por
sobrevivência, a obstinada rã conseguia subir 3 metros cada dia, sendo que a noite
resbalava e descia 2 metros. Quantos dias a rã demorou para sair do poço?
Solução:
28 dias
Quando a rã chegar ao 27º dia, já terá subido 27m. No 28º dia, ela sobe mais 3m, e alcança
os 30m, antes que desça os 2m.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 47
Você tem 3 xícaras de café e 14 saquinhos de açúcar. Como adoçar as 3 xícaras utilizando
um número ímpar de saquinhos em cada uma?
Solução:
Pode-se colocar 1 saquinho em cada xícara.
Em nenhum momento foi dito que deveriam ser usados todos os saquinhos.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 48
Repartir 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4
partes.
Solução:
Divida 6 maçãs ao meio, e dê cada uma dessas 12 partes à uma criança.
As 3 maçãs que sobraram divida em 4 partes cada uma, dando um total de 12 partes, uma
para cada criança.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 49
50
Clodoémerson possui diversas bolas de 10 cm de diâmetro. Colocando uma por vez,
quantas bolas ele poderá colocar em uma caixa vazia, de forma cúbica, com 1 metro de
lado?
Solução:
Clodoémerson poderá colocar apenas uma bola na caixa, pois quando colocar a primeira
bola, a caixa já não estará mais vazia!!!
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 50
Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando, e na metade
do caminho, decidem separar-se, repartindo antes o vinho igualmente.
Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), uma vasilha de 5 e
outra de 3 litros. Como eles podem fazer para repartir igualmente o vinho?
Solução:
Seguimos os seguintes passos:
Enchemos a vasilha de 3 litros.
Passamos os 3 litros para a vasilha de 5 litros.
Enchemos outra vez a vasilha de 3 litros.
Enchemos a vasilha de 5 litros com a outra, sendo que sobrará 1 na de 3.
Esvaziamos a de 5 no barril.
Enchemos o litro da vasilha pequena na de 5.
Enchemos a de 3 e esvaziamos na de 5, que como já tinha 1, terá 1+3 = 4.
No barril sobra 4 litros para o outro amigo.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 51
Jarbas: "Mariclaudinete, qual é a idade de seus 3 filhos???"
Mariclaudinete: "A soma de suas idades é 13, seu produto é igual a tua idade."
Jarbas: "Desculpe, mas estão faltando dados!"
Mariclaudinete: "Tens razão, o maior tem o cabelo ruivo"
Jarbas: "Ah...agora sim consigo adivinhar!!!"
Quais são as idades dos 3 filhos de Mariclaudinete???
Solução:
Visto que a soma das idades deve ser igual a 13, temos 14 possibilidades (excluindo os
casos em que algum filho tem 0 anos, pois em tal caso o produto seria 0, que não é a idade
de Jarbas). Destas 14 possibilidades, somente 2 casos (1,6,6 e 2,2,9) nos quais o produto dá
o mesmo resultado (36). Visto que faltam dados para Jarbas, ele necessariamente deve ter
36 anos.
51
Então a resposta é (2,2,9) pois há um filho maior, segundo o enunciado do problema.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 52
Uma mãe tem 6 filhos e 5 batatas. Como pode distribuir as batatas uniformemente entre os
6 filhos? (Não vale fração)
Solução:
Faz um purê! HAHAHAHAHAHA !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 53
Dois trens estão na mesma via, separados por 100 Km. Começam a se mover um em
direção ao outro, a uma velocidade de 50Km/h. No mesmo momento, uma supermosca sai
da 1ª locomotiva de um dos trens e voa a 100 Km/h até a locomotiva do outro trem. Apenas
chega, dá meia volta e regressa até a primeira locomotiva, e assim vai e vem de uma
locomotiva para a outra até que os dois trens se chocam e assim morre no acidente. Que
distância percorreu a supermosca?
Solução:
Visto que os dois trens estão na mesma velocidade, eles se chocarão na metade do trajeto, e
portanto, cada um corre 50 Km. Em consequência, como sua velocidade é de 50 km/h
demoram exatamente 1 hora para se chocarem. Este é o tempo que a mosca fica voando, e
portanto, como sua velocidade é de 100 km/h, a distância que correu é de 100 quilômetros.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 54
Calcular o valor do seguinte produto:
(x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) = ?
Solução:
O produto (x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) vale ZERO.
Justificativa: existe um fator dessa multiplicação que é o (x-x), que vale 0.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 55
4 amigos devem cruzar uma frágil ponte de madeira. É noite, e é indispensável usar uma
lanterna para cruzar. A ponte somente pode suportar o peso de 2 pessoas e os amigos
possuem apenas uma lanterna. Camila demora 8 minutos para cruzar, Manolito demora 4
52
minutos, Carlos demora 2 e Romerito 1 minuto. Como devem fazer para cruzar para o outro
lado, os 4, levando apenas 15 minutos?
Solução:
Devem passar primeiro Carlos e Romerito (2 m). Volta Romerito com a lanterna (3 m).
Passam Camila e Manolito (11 m). Volta Carlos com a lanterna (13 m). Por último cruzam
de novo Carlos e Romerito (15 minutos).
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 56
Dois caçadores saíram para abater marrecas em uma caçada à beira de um grande lago. Eis
que surge um bando de marrecas, comandadas por um líder e guiadas por uma marreca
batedora. Ao avistar os caçadores, imediatamente a marreca batedora altera a rota do bando,
levando suas companheiras para um local seguro. Lá chegando, comenta com a marreca
líder:
- Chegamos ilesas, toda a centena!
A marreca líder, retruca:
- Você deve estar estressado. Desaprendeu até a contar. Falta muito para chegarmos a cem.
Faça você mesmo a conta: Duplique nosso número, acrescente mais a metade e mais um
quarto, e não esqueça de incluir você na conta. Dessa forma conseguirás acertar a conta.
Qual é o número real de marrecas?
Solução:
Seja x o número real de marrecas. Segundo o enunciado, formamos a equação:
2x + x/2 + x/4 + 1 = 100
Resolvendo essa equação, encontramos x=36.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 57
Como medirias os 11 minutos que são necessários para cozinhar um biscoito, com duas
ampulhetas de 8 e 5 minutos respectivamente?
Solução:
Colocamos as duas ampulhetas de uma vez só, e quando terminar o de 5 minutos, faltará no
de 8, 3 minutos para terminar. Nesse momento damos a volta no de 5 minutos.
Quando terminar o de 8, totalmente (levamos ao total 8 minutos), no de 5 ficaram 2
minutos para terminar.
Nesse preciso momento damos a volta no de 5 que tardará 3 minutos para terminar, que
somados aos 8 que haviam passado, somarão 11 minutos no total.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 58
53
Um peregrino se dirige para meditar em uma capela situada em cima de um monte. O
peregrino sobe esta encosta com um ritmo de 2 Km/h e desce em um ritmo de 6 Km/h.
Qual será a velocidade média que o peregrino terminará (considerar ida e volta) a
peregrinação?
Solução:
Chamamos de e o espaço em quilômetros que mede o monte, e t o tempo em segundos que
o peregrino demora para descer. Como ele sobe 3 vezes mais lento, demorará 3t segundos
para subir. Logo no total demora 4t segundos para subir e descer.
A velocidade média é o espaço total percorrido (2e quilômetros) dividido pelo tempo (4t
segundos), e levando em conta que o peregrino desce a 6 Km/h temos que:
V = 2e/4t = 0,5 . e/t = 0,5 . 6 = 3 Km/h.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 59
Ana Carolina é uma grande fumante, no entanto decidiu parar de fumar. "Acabarei com os
vinte e sete cigarros que sobraram!", e ainda afirmou: "Jamais voltarei a fumar". Era
costume da Ana Carolina fumar exatamente dois terços de cada cigarro. Não tardou muito
em descobrir que com a ajuda de uma fita adesiva poderia juntar três tocos de cigarros e
fazer outro cigarro. Com 27 cigarros, quantos pode fumar antes de abandonar o fumo para
sempre?
Solução:
Depois de fumar 27 cigarros, Ana Carolina juntou os tocos de cigarro necessários para
fazer 9 cigarros mais. Estes 9 cigarros deixaram tocos para fazer outros 3. Então com os
utlimos 3 tocos de cigarro, fez um ultimo cigarro.
Total: 40 cigarros
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 60
O preço de custo de um chocolate é R$ 0,20 cada. A fábrica de chocolate, calcula que se
vender cada chocolate por ‘x’ reais, os consumidores comprarão 10 – x chocolates por dia.
Qual o preço de venda do chocolate que maximiza a o lucro do dono da empresa?
Solução:
Preço de custo dos (10-x) chocolates:
(10-x) . 0,20 = 2 - 0,20x
Preço de venda dos (10-x) chocolates:
(10-x) . x = 10x - x2
Lucro nos (10-x) chocolates:
54
L(x) = (10x - x2) - (2 - 0,20x)
L(x) = 10x - x2 - 2 + 0,20x
L(x) = -x2 + 10,20x -2
Derivando temos:
L'(x) = -2x+10,20
L'(x)=0 => -2x+10,20 = 0 => x = 5,10
Resposta: O preço do chocolate a R$5,10 maximiza o lucro da empresa.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 61
Agripino observava da murada de um navio, a subida da maré. Dessa murada pende uma
escada de 8 metros de comprimento. Os degraus tem 20 centímetros de intervalo um do
outro e o último toca a água. A maré sobe ‘a razão de 35 centímetros por hora. Quando
estarão os dois primeiros degraus cobertos de água?
Solução:
Nunca, pois o navio sobe junto com a escada.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 62
Luiz Eduardo comprou várias galinhas campeãs em por ovos. Ao testar a eficiência das
galinhas, ele observou que de minuto em minuto o número de ovos na cesta duplicava. Em
duas horas a cesta estava cheia. A que horas a cesta estava pela metade?
Solução:
1h 59 min, pois como o número de ovos duplica a cada minuto e às 2h a cesta estava cheia,
significa que no minuto anterior a cesta estava pela metade.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 63
Davi Gama teve um sonho: um octagenário, sem ter muito o que fazer, refletia sobre a sua
vida. O ancião verificou que a diferença entre os cubos dos algarismos de sua idade era
igual ao quadrado da idade de seu bisneto. Ao acordar, Davi Gama, queria saber a idade
que os dois tinham.
Solução:
O ancião tinha 87 anos e seu bisneto tinha 13 anos.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 64
55
10 vezes 10 é igual a 100.
Quanto é R$10,00 vezes R$10,00 ???
Solução:
Não é possível realizar essa multiplicação!
Podemos multiplicar um número real por um valor monetário. Por exemplo:
10 vezes R$10,00 é igual a R$100,00.
Mas não podemos multiplicar dinheiro por dinheiro,
ou seja, não podemos efetuar a operação R$10,00 vezes R$10,00,
pois não saberíamos quantas vezes multiplicar a quantia de R$10,00.
Resposta: Não é possível!
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 65
Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. Quantos homens
devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%?
Solução:
CUIDADO: Não basta um homem sair para a porcentagem cair para 98%, pois se um
homem sair, teremos um percentual de homens correspondente a:
98/99 é aproximadamente 0,9899 ou 98,99%
Precisamos resolver a seguinte equação:
(99-x)/(100-x)=98/100 -> 100.(99-x)=98.(100-x)
9900-100x=9800-98x -> 100x-98x=9900-9800 -> 2x=100 -> x=50
Resposta: devem sair 50 homens!
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 66
Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos.
Porém, 2 pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois igual a
36 pulos de cachorro, qual deverá ser o número de pulos que o cachorro deve dar para
alcançar a lebre?
Solução:
Há uma relação inversa entre os pulos do cachorro e os da lebre, ou seja, um pulo da lebre
vale por 2/5 pulos do cachorro. Podemos, então, escrever:
nº de pulos
pulos do cachorro
5
pulos da lebre
8
valor do pulo
2
5
56
Como a relação entre os pulos é inversa, efetuaremos uma multiplicação invertida, ou seja,
iremos multiplicar os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo da lebre (5) e multiplicaremos
os 8 pulos da lebre pelo valor do pulo do cachorro (2). Assim teremos: 5 x 5 = 25 (para o
cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre).
A cada instante, o cachorro estará tirando uma diferença de 25 - 16 = 9 pulos. Como a
distância que os separa é de 36 pulos de cachorro, segue-se que o cachorro terá de percorrer
essa distância 36/9 = 4 vezes até alcançar a lebre. Agora, multiplicando-se o fator do
cachorro (25) por 4, teremos: 25 x 4 = 100 pulos do cachorro.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 67
Uma garrafa com sua rolha custa R$1,10. Sabendo que a garrafa custa R$1,00 a mais que a
rolha, qual é o preço da rolha? E qual é o preço da garrafa?
Solução:
Sendo G a garrafa, e R a rolha, basta resolver o sistema com as duas equações:
1) G + R = 1,10
2) G = R+1
Resolvendo esse sistema, obtemos R=0,05 e G=1,05.
Resposta: A garrafa custa R$1,05 e a rolha custa R$0,05.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 68
Calculando-se: 1094 - 94, e somando-se todos os algarismos do resultado obtido, que valor
iremos obter?
Solução:
+
10000...........000 (94 ZEROS)
- 94
-------------------0.........99999906
(92 NOVES)
Logo, a soma de todos os algarismos do resultado será: 92 x 9 + 6 = 834
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 69
Waneska tem uma bolsa de amêndoas que pesa 2600Kg. Ela dispõe de uma balança de 2
pratos e de 2 pesos de 20 e 30 gramas. Com 3 únicas pesagens, como Waneska consegue
separar 300 gramas de amêndoas?
57
Solução:
No prato 1 colocamos as 50 gramas e no prato 2 colocamos amêndoas até que ocorra
equilíbrio. Temos, portanto 50 gramas de amêndoas.
Essas 50 gramas de amêndoas, juntamos com os pesos no prato 1, temos portanto 100
gramas no total. Enchemos de amêndoas no prato 2 até que haja equilíbrio, pelo que temos
100 gramas em cada lado.
Retiramos os pesos do prato e passamos as 50 gramas de amêndoas para o prato 2 que
contem 100 gramas, temos portanto 150 gramas.
Enchemos amêndoas no prato 1 até que haja equilíbrio com o prato 2, e temos um total de
150+150 = 300 gramas de amêndoas.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 70
De quantos modos diferentes podemos escrever o número 497 como a soma de dois
números naturais primos?
Solução:
De nenhuma maneira, vejamos porque:
Se o número 497 é a soma de dois números naturais, como ele é impar, deve ser obtido da
soma de um PAR e um ÍMPAR (já que a soma de dois pares é par, o mesmo ocorrendo
com a soma de dois ímpares).
Logo, nosso problema consiste em obter dois números primos (um par e um ímpar), que
somados dêem o resultado 497. Como o único número par que é primo é o 2, já temos a
primeira parcela, o que obriga a segunda parcela ser igual a 495 (para a soma dar 497).
Como 495 não é primo (termina em 5, logo é múltiplo de 5), nosso problema não tem
solução.
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 71
Em uma estante há 10 livros, cada um com 100 folhas. Uma traça faminta come desde a
primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro.
Quantas páginas a traça faminta comeu?
Solução:
( Breve colocaremos a resposta deste desafio. Garantimos a você que a resposta não é 1000.
Pense bem! )
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 72
Numa sequência,
58
O primeiro é o próprio primo
O segundo seria seu mais perto primo
não fosse o par para atrapalhar
Dois do segundo dá o terceiro
E o penúltimo, dez vezes o primeiro
Entre eles há uma regra geral
Qual é, de um quinteto, o número final ?
Solução: 15
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 73
Não quebre sua cabeça, mas diga como cortar o desenho em quatro peças iguais, de modo
que cada uma das peças tenha um X
X O O O
O X O X
O X
O O
Solução: X O
O O X O
X
O
X O
O O
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 74
Uma mulher vai ter um filho. Se for menino, faltará mais um filho para o número de filhos
ser igual ao de filhas. Se for menina, o número de filhas será igual ao de meninos. Quantos
filhos e filhas ela tem agora?
Solução: 3 meninos e 5 meninas
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 75
Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu
estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?
Solução:
Sendo N o número de páginas do livro, temos:
N/5 = (N/3)-16
(N/5)-(N/3) = -16
(3N-5N)/15 = -16
3N-5N = -16x15
59
-2N = -240
N = 120
O livro possui 120 páginas!
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 76
Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo
mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então,
qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?
Solução:
Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos:
NxP = 1000 =>
P=1000/N
Tira-se 4 garrafas
Aumenta o preço da dúzia em R$100,00
(N-4)xP+((N-4)/12)x100) = 1000
Colocando N-4 em evidência:
(N-4) (P + 100/12) = 1000
(N-4) (1000/N + 100/12) = 1000
(1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000
Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau:
100N2 - 400N - 48000 = 0
Aplicando Bhaskara encontramos N=24.
HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 77
Determine o menor inteiro cuja representação decimal consiste somente de 1's e que é
divisível pelo número 333...333 formado por 100 algarismos iguais a 3.
Solução:
Seja d = 3n, onde d é o número formado por exatamente 100 três e n o número formado por
exatamente 100 uns. Portanto, o número procurado X = 1111...111 (formado por k uns)
deve ser divisível por n e por 3 (n não é divisível por 3 porque a soma de seus algarismos é
igual a 100 que não é divisível por 3). Se k é um número da forma k = 100q + r onde r
pertence ao intervalo [0, 100) então
N = M + R, onde M = 111...111000...000 (100q uns e r zeros) e R = 111...111(r uns). Como
n é divisível por n então, N é divisível por n se, e somente se, R = 0 ou seja, se r = 0 e
consequentemente se, e somente se, k for divisível por 100. Se k = 100q então a soma dos
algarismos de N é igual a 100q e esta soma será divisível por 3. Portanto, o menor número
N formado apenas por uns que é divisível por d consiste de 300 uns.
--------------------------------------------------------------------------------
60
DESAFIO 78
Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando
você tiver a minha idade, a soma de nossas idades será 45 anos. Quais são as nossas idades
agora?
Solução:
Você tinha uma idade que chamaremos de X e hoje você tem uma idade que chamaremos
de Y.
Eu TENHO o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a tua idade atual Y (o dobro
de X) , ou seja, eu TENHO 2X anos.
ENTÃO:
Tu TINHAS X e agora tem Y.
Eu TINHA y e agora tenho 2X.
Portanto temos que:
y-x = 2x-y
2y=3x
x=(2/3).y
ENTÃO, substituindo o valor de x, temos:
Tu TINHAS (2/3).y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3).y
Agora preste atenção na segunda frase:
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ
DE 45 ANOS.
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3).y, deve-se somar a tua idade y com mais
(1/3).y
Somando y + (1/3).y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3).y
Como somamos (1/3).y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja:
Agora eu tenho (4/3).y + (1/3).y, logo eu tenho (5/3).y
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos:
(4/3).y + (5/3).y=45
(9/3).y=45
3y=45
y=15
No início descobrimos que x=(2/3).y, portanto x=(2/3).15, logo x=10.
Finalmente, quais são as nossas idades?
Como dissemos no início, a sua idade atual é de Y ou seja, 15 anos. A minha idade é de 2X
ou seja, 2.10 que é 20 anos.
20 e 15 anos.
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 79
61
ATUALMENTE?
Solução:
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)
y = 4x/5
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11
11.(4x-40) = 5.(8x-64)
44x-440 = 40x-320
44x-40x = 440-320
4x = 120
x= 30
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 80
UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM
CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO
ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA?
Solução:
Vamos considerar que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o
nosso objetivo é achar o valor de N.
O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que
tinha ao entrar.
LOJA 1:
O homem entrou com N.
O homem GASTOU:
(N/2)+1.
N - ((N/2)+1) = N-(N/2)-1 = (2N-N-2) / 2 = (N-2)/2
LOJA 2:
62
O homem GASTOU:
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4
(N-2)/2 - ((N+2)/4) = (2N-4-N-2) / 4 = (N-6)/4
LOJA 3:
O homem GASTOU:
( (N-6)/4 )/2 + 1 = (N-6)/8 + 1 = (N+2)/8
Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo
o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3
menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO:
(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0
(2N-12-N-2) / 8 = 0
2N-12-N-2 = 0
N-14 = 0
N = 14
PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14
REAIS
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 81
DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA:
· DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1;
· DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0.
Solução:
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo
problema:
X dividido por 2 dá resto 1.
e assim por diante até:
Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor.
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e
6.
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual
a 4x5x6=120.
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é
divisível por 7.
63
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 82
Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é
o número de três algarismos zxz.Quanto valem x, y e z?
Solução:
xy e yx são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos
zxz.
xy+yx = zxz
O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é:
99+99 = 198
Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então
concluímos que z=1.
Se z=1 o resultado da soma é 1x1.
O valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são:
x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121.
Resposta: x=2, y=9 e z=1
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 83
Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o
seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada
vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus
enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus
são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).
Solução:
Essa questão é realmente muito boa!
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas:
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez
MARCOS sobe 1 degrau por vez.
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus.
Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele
chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o
desenho que você entenderá melhor).
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e
o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que
quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda
faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de
14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se
em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2).
FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o
mesmo. Então basta montar a equação:
64
28+X = (14+X)+(7+(X/2))
28+X = 21+(3X/2)
28-21 = (3X/2)-X
7 = X/2
X = 14
Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total):
28+14 = 42 degraus
Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo:
(14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus
Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!!
-------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 84
Um número n de 3 algarismos, dividido por 2, 3, 5 ou 7 deixa resto 1. Sendo m o número
de valores possíveis de n, podemos afirmar que m é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 28
SOLUÇÃO:
Sendo n o número procurado, teremos:
n dividido por 2 deixa resto 1
Sabemos que: DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO, ou em termos
simbólicos: D = dq + r
Podemos escrever:
n = 2q + 1 onde q Î N (conjunto dos números naturais).
Concluimos que n - 1 = 2q e, portanto n -1 é múltiplo de 2.
Analogamente, n = 3q' + 1 de onde deduzimos que n - 1 = 3q' onde q' é um número natural.
Logo, n - 1 é múltiplo de 3.
Pelo mesmo raciocínio, n - 1 é múltiplo de 5 e, também de 7.
Ora, se n - 1 é múltiplo de 2, de 3, de 5 e de 7, será também múltiplo do produto 2.3.5.7, ou
seja n - 1 é múltiplo de 210.
Portanto, podemos escrever:
n - 1 = 210.k onde k é um número inteiro.
Daí, vem: n = 210k + 1
Como o número possui 3 algarismos, conforme o enunciado, deduzimos imediatamente que
k = 1 ou k =2 ou k =3 ou k = 4, já que para k = 5 o número teria 4 algarismos, ou seja n =
210.5 + 1 = 1051.
Teremos então:
k = 1 Þ n = 210.1 + 1 = 211
65
k = 2 Þ n = 210.2 + 1 = 421
k = 3 Þ n = 210.3 + 1 = 631
k = 4 Þ n = 210.4 + 1 = 841
Portanto, existem 4 soluções para o problema proposto, o que nos leva tranqüilamente à
alternativa A.
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 85
Paulo Rubens estava viajando a uma velocidade constante por uma estrada, em companhia
de seu pai Paulo Marques e, como o seu pai estava super atento ao volante, solicitou ao seu
filho que fizesse algumas anotações com o objetivo de calcular a velocidade desenvolvida
pelo veículo durante o percurso.
Paulo Rubens, efetuou as seguintes anotações:
1 - Às 13:00h, meu pai passou num ponto cujo marco da quilometragem, não consegui
anotar. Entretanto, tenho certeza, que o marco indicava dois algarismos.
2 - Às 14:00h, meu pai passou em outro ponto, e, por uma dessas questões dificilmente
explicadas apenas pela lógica do pensamento, num relance, percebi que o marco indicava
os mesmos algarismos, porém numa ordem invertida.
3 - Intrigado com a coincidência, resolvi anotar a quilometragem do próximo marco,
decorridos mais uma hora. Tive então, a surpresa de perceber que o marco indicava os
algarismos observados às 13:00h, porém, com um zero intercalado entre eles.
Nestas condições, podemos afirmar que a velocidade do veículo era, em metros por
segundo, igual a:
a) 20,5
b) 15,5
c) 13,5
d) 12,5
e) 10,5
SOLUÇÃO:
Para resolver o problema, vamos utilizar o princípio do valor posicional dos algarismos, a
saber:
Por exemplo: 72 = 10.7 + 2
Analogamente, podemos escrever:
xy = 10x + y
Logo,
yx = 10y + x
Também, é trivial que:
x0y = 100x + 0.10 + y.1 = 100x + y
Obs.: por exemplo, 203 = 100.2 + 10.0 + 1.3
66
Ora, sabemos que a velocidade é igual à distancia percorrida dividida pelo intervalo de
tempo (v = d/t). Como os intervalos de tempo são unitários (1 h), teremos que,
numericamente, v = d.
A distância percorrida na primeira hora (entre 13 e 14:00h) foi igual a:
d = (10y + x) - (10x + y) = 9y - 9x
A distância percorrida na segunda hora (entre 14 e 15:00h) foi igual a:
d = (100x + y) - (10y + x) = 99x - 9y
Como a velocidade é constante, teremos, já que neste caso, a velocidade é numericamente
igual à distância:
99x - 9y = 9y - 9x
9(11x - y) = 9(y - x)
11x - y = y - x
11x + x = y + y
12x = 2y, logo y = 6x
Lembrando que x e y são necessariamente inteiros e positivos menores ou iguais a 9, pois
os números xy e yx possuem dois algarismos cada, concluímos que o único valor possível
para x é 1, o que implica y = 6.
Logo, o primeiro marco foi 16, o segundo 61 e o terceiro 106.
Ora, se o veículo passou no km 16 e após 1h, passou no km 61, êle percorreu 45 km em
uma hora e, portanto, a sua velocidade era de 45 km/h.
Como o problema pede a velocidade em m/s - metros por segundo - vem:
V = 45 km/h = 45000m/3600s = 450/36 = 12,5 m/s
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 86
ATUALMENTE?
Solução:
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)
y = 4x/5
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11
11.(4x-40) = 5.(8x-64)
67
44x-440 = 40x-320
44x-40x = 440-320
4x = 120
x= 30
-----------------------------------------------------------------------------DESAFIO 87
Complete utilizando:
· Parênteses,
· Os sinais +, -, X e : de forma a obteres afirmações verdadeiras
2____2____2____2 = 0
2____2____2____2 = 1
2____2____2____2 = 2
2____2____2____2 = 3
Solução:
2+2-2-2=0
(2+2):(2+2)=1
2:2+2:2=2
2+2-2:2=3
------------------------------------------------------------------------------
68
Desafios
TENTE RESPONDER DE FORMA INTUITIVA, SEM CÁLCULOS ESCRITOS
1) Imagine uma comunidade em que nas maternidades sempre de cada dez partos nascem 5
bebês meninos. Algo bastante razoável. Agora, imagine que surja uma nova lei ( nada
razoável) que estabelece o seguinte: a partir de um filho menino, o casal não poderá Ter
nenhum outro bebê. Deste modo, somente enquanto ainda não tiver nascido um filho
homem, o casal poderá continuar a Ter bebês". Isso assegura que nenhum casal poderá ter
mais do que um filho homem; entretanto poderá haver casais com várias meninas. Claro?
Bem, desta lei pode-se dizer com muita propriedade:
a)A lei promulgada irá levar essa comunidade, com o tempo, a ter mais mulheres do que
homens.
b)A lei promulgada irá levar essa comunidade, com o tempo, a Ter mais homens do que
mulheres.
c) Essa lei não irá aumentar, com o tempo, a quantidade de mulheres em relação à de
homens.
d)A lei fará com que nasça bem mais mulheres anualmente do que antes de sua
promulgação.
e) A lei fará com que nasça bem mais homens anualmente do que antes de sua
promulgação.
2) Quantas vezes num dia de 24h os ponteiros do relógio formam um ângulo de 90°?
a) 48
b) 44
c) 24
d) 16
e) 04
3) Uma floresta tem mais de um milhão de árvores. Nenhuma árvore tem mais de 300000
folhas em sua copa. pode-se concluir que:
a) Certamente existem árvores com mesmo total de folhas nesta floresta.
b) Somente por acaso haverá arvores com copas de igual total de folhas nesta floresta.
c) Certamente existem árvores com menos de 300000 folhas em sua copa.
d) O número médio de folhas nas copas é de 150000.
e) Nada do que foi dito pode ser concluído com os dados apresentados.
69
4) Sobre 20 caixas de laranjas sabemos que cada caixa contém pelo menos 52 e, no
máximo, 68 laranjas. Pode-se afirmar que:
a) Existe uma caixa com 60 laranjas.
b) Existem 3 caixas com o mesmo número de laranjas.
c) Existem 2 caixas com o mesmo número de laranjas.
d) 2 caixas têm sempre números diferentes de laranjas.
e) Existe uma caixa com mais de 52 laranjas.
5) Imagine uma folha gigantesca de papel (gigantesca mesmo), com espessura de
0.1mm.Vamos dobrá-la em dois. Resulta um sanduíche de papel com 0.2 mm de espessura.
Se repetirmos isso, fazendo duas dobras, o sanduíche terá quatro camadas e 0.4mm de
espessura.Com mais outra dobra teremos oito camadas de 0.8mm de espessura. Supondo
que pudéssemos dobrar quantas vezes quiséssemos o papel. Quantas dobras parece a você
que seriam necessárias para fazer um sanduíche de com a altura do EVEREST (8000m)?
a) Menos de 30 dobras.
b) De 3000 a 8000 dobras.
c) De 10000 a 80000 dobras.
d) Entre 100000 e 500000 dobras.
e) 800000 dobras ou mais.
6) 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída de água. A fruta é submetida a um
processo de desidratação (processo que elimina apenas a água) até que a participação da
água na massa de melancia se reduz a 90%. A massa de melancia após esse processo será
igual a:
a) 5/9 kg.
b) 9/5 kg.
c) 5 kg.
d) 9 kg.
e) 9.5 kg.
7) Uma caixa d'água tem o espaço interno na forma de cubo com 1 m de aresta. Retira-se
um litro de água da mesma o que baixa o nível da água em seu interior. De quanto baixa
esse nível?
a) Depende de quanta água havia.
b) 1m.
c) 10 cm.
d) 10 mm.
e) 1 mm.
70
8) Há 30 anos, um casal de mosquitos encontrou numa floresta um excelente ambiente de
desenvolvimento e procriação. As condições foram tão boas que a população de mosquitos
foi duplicando anualmente, tendo chegado hoje, após esses 30 anos, a apresentar uma
população de 1000000000 desses insetos. Com esses dados podemos concluir que essa
população atingiu 500 milhões de mosquitos há perto de:
a) 30 semanas.
b) 15 anos.
c) 5 anos.
d) 50 semanas.
e) 5 meses.
9) Em uma festa comparecem 500 pessoas. Podemos ter certeza que entre os presentes:
a) Existem pessoas que aniversariam em 29 de fevereiro, em anos bissextos.
b) Existem dois que não aniversariam no mesmo dia.
c) Existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia.
d) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia.
e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que outro.
10) Quatro atiradores atiram simultaneamente em um alvo. Qual a probabilidade
aproximada de o alvo ser atingido, sabendo-se que cada atirador acerta em média 25% de
seus tiros?
a) 100 %.
b) 75%.
c) 68%.
d) 32%.
e) 25%.
11) Com a ameaça de desabamento da ponte dos remédios em São Paulo, o desvio do
tráfego provocou o aumento de fluxo de veículos das ruas vizinhas, de 60 veículos/ hora em
média para 60 veículos/ minuto em média, conforme noticiário da época. Admitindo-se
estes dados, o fluxo de veículos dessas ruas no período considerado aumentou cerca de:
a) 60%.
b) 100%.
c) 3600%.
d)b 5900%.
e) 6000%.
12) Considere que você tem 1/4 de litro de café em um jarro e 1litro de leite em outro.
71
1- Pegue uma xícara e retire com ela 100ml de dentro do jarro com leite colocando o
líquido no jarro com café.
2- Depois, retire do jarro com café - misturado ao leite que você colocou - 100 ml da
mistura e despeje essa quantia no jarro com leite.
3- Você terá ao final uma certa quantidade de leite no jarro de café, que vamos designar por
A, e uma certa quantidade de café no jarro de leite, que iremos designar por B. Qual das
afirmações abaixo é correta?
a) A = B
b) A = 100ml
c) B > 100ml
d) B > A
e) A quantidade de A será maior se houver mais leite no jarro na situação inicial.
13) Um estudante guarda 30 meias que formam 5 pares marrons, 5 pares brancos e 5 pares
pretos em uma gaveta. As 30 meias ficam totalmente misturadas. Quando quer um par de
meias da mesma cor ele as retira da gaveta uma a uma tateando no escuro e depois
verificando se formam um par certo. Nessas condições:
a) Para ter um par de pretas são necessárias 22 tentativas.
b) Para obter um par da mesma cor são suficientes 5 tentativas.
c) Para obter um par de cor marrom são necessárias mais de 2 tentativas.
d) A certeza de se obter um par de brancas ou pretas só se tem com 12 tentativas.
e) Para formar um par errado são necessárias mais de 2 tentativas.
14) É fácil notar que existem 9 números de um algarismo, 90 números de dois algarismos,
900 números de três algarismos, etc. Pense agora em números que tenham o último
algarismo da direita representando o total de algarismos dos números; por exemplo: 9074 é
um deles, pois o quatro final indica o número de seus algarismos. Você tem idéia de
quantos números desse tipo existem?
a) Há 45 números assim.
b) Há infinitos números desse tipo.
c) Há 1000000 de números assim.
d) Há 100000000 de números desse tipo.
e) Faltam dados para a solução numérica ser única.
15) Dois monges estão perdidos em uma floresta e estão passando fome. Só existe uma
planta que podem comer; para comê-la deverão fervê-la por 30 segundos exatos, se não esta
os matará. Para marcar o tempo eles dispõem só de duas ampulhetas: uma que marca 22
segundos e outra que marca 14 segundos. Como conseguirão marcar o tempo?
72
16) Três honoráveis sábios meditavam tão profundamente que não perceberam quando um
pássaro despejou sobre eles um pouco de "realidade". Quando sairam da meditação e se
entreolharam começaram a rir. Entretanto, um deles, o de raciocínio mais rápido, logo
parou de rir e não achou graça nenhuma. O que aconteceu?
17) Dois pais e dois filhos foram à uma caçada. Cada um deles acertou em um pombo
distinto. Só morreram três pombos. Como é possível ?
18) Dois camponeses A e B encarregaram um feirante de vender duas partidas de abacaxi.
O camponês A entregou 30 abacaxis que deveriam ser vendidos à razão de 3 por 1 real; o
camponês B entregou, também, 30 abacaxis que deveriam ser vendidos à razão de 2 por um
real. Era claro que, efetuada a venda, o camponês A deveria receber 10 reais e o camponês
B deveria receber 15 reais. O total da venda seria, portanto, 25 reais. Acontece que se
começasse a vender pelos baratos teria dificuldade em aumentar o preço depois; se
começasse pelos mais caros não venderia sequer um. Pensou. Vendeu então 5 por 2 reais
que equivalia à soma dos preços e depois dividiria entre os camponeses. Ao final do dia,
apurou 24 reais. (!!!!). Como faria para pagar aos camponeses se teria que pagar 25 reais?
Seu raciocínio era lógico mas não funcionara. Por quê ?
-------------------------------------------------------------------------------------
RESPOSTAS
1) Letra C. Inicialmente temos uma impressão errada. Muitos deverão pensar que haverão
mais mulheres. Veja-se entretanto o seguinte:
A- Nos primeiros filhos há tantos meninos quanto meninas.
B- Só terão segundos filhos aqueles que tiveram meninas no primeiro caso.
JUSTIFICATIVA:
Só metade dos casais poderão ter um segundo bebê. Mas os segundos filhos desses
casais irão se distribuir igualmente entre meninas e meninos. Até aqui, todas as crianças
estão em igual número. Nos terceiros filhos, o raciocínio é análogo aos anteriores e assim
sucessivamente. Se pensarmos, perceberemos que os filhos serão sempre distribuídos
igualmente; há apenas uma tendência à forte limitação ao número de filhos.
2) A resposta é: b) 44
- este é o número de vezes que os ponteiros de horas e minutos formam um ângulo reto em
um dia
JUSTIFICATIVA:
73
A cada hora o ponteiro dos minutos dá uma volta completa (360o) e em dois momentos ele
forma um ângulo reto com o ponteiro das horas. Assim poderíamos calcular que nas 24
horas teríamos 24x2=48 ocasiões em que os ponteiros formam ângulo reto. Entretanto não
é sempre que teremos em uma hora duas ocorrências de ângulos retos. Isso não acontece
quando os ângulos retos se formam nas horas cheias: 3h e 15h, 9h e 21h (pois de 8h até
10h, por exemplo, teremos apenas 3 situações de formação de ângulos retos entre os
ponteiros) . Em cada horário desses há uma ocorrência de ângulo reto a menos. Por isso do
total de 48 teremos de tirar 4. O que dá 48 - 4 =44.
Outro modo de ver isso. No período de 24 horas o ponteiro das horas dá 2 voltas completas
enquanto o ponteiro dos minutos dá 24 voltas. Mas vendo as voltas relativamente ao
ponteiro das horas, temos de descontar o movimento do próprio ponteiro das horas. Assim,
nas 24 horas o ponteiro dos minutos, relativamente ao das horas, dá 24 voltas descontadas
as 2 voltas do próprio ponteiro das horas, isto é, são 24-2=22 voltas que o ponteiro dos
minutos dá em torno do das horas.
Como a cada volta do ponteiro dos minutos em torno do ponteiro das horas há duas
ocasiões em que esses ponteiros formam ângulo reto, nas 24 horas teremos 22 x 2 = 44
vezes em que isso acontece.
Apenas para exercitar, imagine-se montado no ponteiro das horas de um grande relógio
durante as 24 horas, olhando o ponteiro o girar do ponteiro dos minutos. Talvez ajude a
visualizar melhor a situação...
3) A resposta correta é:
a) existem árvores com copas de mesmo número de folhas nessa floresta
JUSTIFICATIVA:
Vamos tentar fazer essa floresta sem ter árvores de igual número de folhas.
Teremos 300001 tipos diferentes de copas de árvore: uma copa nula (sem nenhuma folha),
outra só com 1 folha, outra com 2 folhas, ... , outra com 299999 folhas e, finalmente, uma
com 300000 folhas (limite conforme o enunciado).
Para até 300001 árvores poderemos encontrar copas distintas. Se considerarmos uma árvore
além dessas, ela só poderá ter uma das seguintes copas: com 0 folha, ou com 1 folha, ou
com 2 folhas , ou ... com 300000 folhas. A repetição é inevitável!
Teremos assim, pelo menos, 1000000-300001= 699.999 árvores com copas que repetem o
número de folhas de outras árvores, obrigatoriamente.
· Uma resposta muito comum é a (c), errada.
O engano que leva tantas respostas para uma alternativa errada é o de considerar que
"nenhuma das árvore tem mais de 300 mil folhas em sua copa" leva à conclusão de que
"certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa". Na verdade se
todas as copas tivessem 300 mil folhas, elas estariam dentro da condição proposta pelo
enunciado (por mais improvável que fosse essa ocorrência!).
· DICA
Esse problema envolve o chamado Princípio da Casa dos Pombos (se tivermos mais
pombos do que casas para abrigá-los, algumas casas terão necessariamente de ser
compartilhadas por mais de um pombo).
74
Um caso prático: no vestibular com 140 mil candidatos e 160 testes, obrigatoriamente
haverá milhares de empates (há apenas 161 pontos distintos). Muitos empates também
ocorrem necessariamente em provas escritas.
A segunda fase chega a ter 15 mil candidatos por carreira e 41 pontos possíveis por prova
(10 questões e 1/4 de acerto possível em cada uma). A existência de empates não é uma
casualidade (como no outro tipo de empate - aquele dos jogos entre times)- ela é
logicamente inevitável.
4) Resposta: c) existem 2 caixas com o mesmo número de laranjas
JUSTIFICATIVA:
Podemos ter no máximo 17 tipos possíveis de caixas (68-52+1=17). Um tipo de caixa que
contém 52 laranjas, outro com 53 laranjas,..., outro com 62 laranjas
Temos 20 caixas e 17 tipos de caixas. Assim, mesmo que 17 caixas tivessem tipos
diferentes, pelo menos outras 3 caixas ( 20-17) teriam de ser de um dos 17 tipos.
A certeza então é de que ao menos 2 caixas terão mesmo número de laranjas.
Atenção: como essas 3 outras caixas podem ter diferentes números de laranjas, não
poderemos afirmar o que diz a alternativa b).
Comentário
Muitos apontam a alternativa E. O erro está em considerar que, como o enunciado fala em
caixas com pelo menos 52 e no máximo 68 laranjas, deveria existir pelo menos uma caixa
com mais de 52 laranjas. Na verdade poderiam ser todas de 52 laranjas que ainda estariam
dentro das condições do enunciado.
· Este é um problema do tipo "Princípio da Casa dos Pombos"
5) Resposta: a) menos de 30 dobras
JUSTIFICATIVA:
Somos tentados a dar resposta com grande número de dobras. Na verdade bastam 27 dobras
e ultrapassaremos em 5 quilômetros a altura do Everest (com 26 dobras, ficaremos devendo
mais de 1000 metros). Sem nenhuma grande matemática, usando máquina de calcular, você
pode verificar. Comece com 0,1 x 2 e volte a multiplicar por 2 sucessivas vezes. Faça isso
ao todo 27 vezes (você encontrará mais de 13 milhões de mm, ou mais de 13000m). Como
curiosidade: apenas 42 dobras levariam o sanduíche (pela espessura) para além da Lua, mas
exigiriam um papel de quase 500 milhões de km de lado se tivéssemos no final 10 cm de
lado. Isso mostra o que é um aumento exponencial. Para você sentir os limites práticos de
dobrar um papel, tente dobrar mais de 6 vezes uma folha comum.
6) Resposta correta é c) 5 kg
JUSTIFICATIVA:
75
Na melancia não desidratada, a massa da parte que não é água vale 5% de 10 kg,
ou seja, meio quilograma (0,5 kg). Após a desidratação, esse meio quilograma corresponde
a 100%- 90%=10% da massa total. Como meio quilograma é 1/10 da massa da melancia
após a desidratação, a massa total é 10 x 0,5kg = 5 kg.
· Obs: este problema pode ser resolvido de maneira mais formal, com equações, é claro,
dando o mesmo resultado.
7) Resposta correta é: e) 1 milímetro
JUSTIFICATIVA:
Em um metro cúbico (1m3) de água temos 1000 litros. Retirando 1 litro da caixa, retiramos
1/1000 de um metro cúbico. Como a variação do volume é apenas na vertical, o nível desce
1/1000 de metro. Ou seja, tirando um litro, o nível desce 1 milímetro, independente de
quanto houver antes de líquido.
· No ano em que a questão foi pedida (na forma de questão dissertativa), teve gente que
respondeu que a caixa d'água esvaziava totalmente (supondo cheia inicialmente). Houve
um grande índice de erros. Vamos aproveitar para lembrar coisas bem básicas (e que às
vezes as pessoas esquecem): um litro é igual ao volume de um cubo de 10 cm de aresta e
"enche" 1000 cubinhos de 1 cm de aresta.
Comentário
Há muitas respostas para: o nível baixou de 10 cm. Observe-se o "tamanho" desse erro: 10
cm numa caixa cúbica de 1 m de aresta são 100 litros! Um erro foi de 100 para 1. Lição:
cuidado com questões simples. Elas podem ser a diferença entre ser ou não aprovado no
vestibular!
8) A resposta correta é d) 50 semanas
JUSTIFICATIVA:
Como a população dobra de ano em ano, há um ano a população teria atingido a metade do
tamanho atual (isto é, 500 milhões a menos). Logo, dos intervalos de tempo apresentados, o
mais perto
· de um ano é o de 50 semanas.
Como curiosidade: Seria 1 bilhão de mosquitos um número absurdo para apenas 30 anos?
Veja que, ao menos matematicamente, não é. Basta elevar 2 a 30:
(2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) = 2³º
9) A resposta correta é:
c) existem pelo menos 2 que aniversariam no mesmo dia
JUSTIFICATIVA:
Este é um problema clássico do tipo casa dos pombos. Quem já outros exercícios que foram
propostos neste site sabe a explicação (questões 1 e 2).
76
Uma dica: o fato de ter com certeza na festa ao menos duas pessoas com o mesmo dia de
aniversário deve-se a termos 500 pessoas para 366 dias de aniversário possíveis (não dá
para termos 500 aniversários diferentes!).
10) A resposta é: c) 68%
JUSTIFICATIVA:
Primeiro temos de buscar a probabilidade E de todos os 4 errarem o alvo.
Se em , digamos, 80% das vezes eles todos errassem, saberíamos que em 20% o alvo seria
atingido ao menos uma vez.
Assim a probabilidade A de o alvo ser acertado é a complementar de E, ou seja,
A = 1 - E.
Cada atirador acerta 25%, ou 1/4 de seus tiros.
Logo cada um erra em média 1 - 1/4 = 3/4 de seus tiros.
A probabilidade E, desse erro ocorrer nos 4 tiros, é o produto
das probabilidades individuais.
Ou seja E = 3/4 x 3/4 x 3/4 x 3/4, isto é, E = 81/256
E = 0,32 (aproximadamente)
A probabilidade de se acertar o alvo (por um ou mais tiros) é então, aproximadamente:
A = 1 - E = 1 - 0,32 = 0,68 = 68%.
Qual a probabilidade de lançarmos uma moeda 4 vezes seguidas e conseguirmos pelo
menos uma cara?
A resposta é: aproximadamente 93,8%.
Procure chegar nesse resultado (lembre-se primeiro de calcular a probabilidade de não sair
nenhuma cara em 4 lançamentos sucessivos).
11) A resposta é:
d) 5900%
JUSTIFICATIVA:
O número de veículos passou de 60 por hora, ou seja, 1 veículo por minuto para 60 por
minuto. Houve um aumento de 60-1 = 59 veículos por minuto.
Logo o aumento percentual foi de 59/1 = 5900%.
12) A resposta é:
a) A =B
JUSTIFICATIVA:
A explicação é simples.
1) Os jarros antes e depois da mistura continuam com o mesmo volume inicial (saiu 100 ml
e entrou 100 ml)
2) Depois da mistura, o jarro de leite tem volume de 1 litro sendo este composto pelo litro
de leite inicial , menos um tanto que foi ocupado pela quantia B de café. Para entrar este B
de café, mantendo o volume no final em 1 litro, o tanto de leite que saiu é igual ao tanto de
77
café que entrou. Para onde foi esse tanto B de leite que saiu? Para o jarro de café! Logo a
quantia de café que entrou no jarro de leite é igual a quantidade de leite que entrou no jarro
de café: A = B.
Observe também que A e B são menores do que 100 ml.
O resultado independe das quantidades iniciais de leite e de café e independe de serem as
misturas homogêneas ou heterogêneas.
13) A resposta é:
b) Para se obter um par de mesma cor são suficientes 5 tentativas.
JUSTIFICATIVA:
Vamos ver a justificativa, analisando todas as alternativas
a) Para ter um par de pretas são necessárias pelo menos 22 tentativas: É falsa pois pode ser
obtido um par de pretas em menos de 22 tentativas (ele, por sorte, pode sair nas primeiras 2
retiradas).
b) Para obter um par de mesma cor são suficientes 5 tentativas: É verdadeira, pois tirando 4
meias da gaveta, obrigatoriamente se encontra um par correto (se as 3 primeiras tentativas
não deram certo, a quarta vai ter de repetir uma cor). Logo é correto dizer que é suficiente
tirar 5 meias para formar o par. À primeira vista esta resposta pode parecer confusa, mas
basta pensar no seguinte: você deseja comprar um objeto que custa R$ 4,00; você procura
na carteira e consegue reunir R$ 10,00; este valor é ou não suficiente para obter o que
deseja? (veja que é suficiente sim, embora seja mais do que o necessário)
c) Para obter um par de cor marrom são necessárias mais de 2 tentativas: É falsa, pois ele
pode, eventualmente, tirar um par de marrons em apenas duas tentativas.
d) A certeza de obter um par de brancas ou pretas só se tem com 12 tentativas: É falsa.
Supondo a pior hipótese, isto é, que ao retirar as meias só marrons vão saindo, com certeza,
tendo só 10 marrons, a 11ª será branca ou preta. A 12ª poderá ser branca ou preta. Até aí
poderemos ter um par com uma branca e uma preta. Mas, na 13ª tentativa, com certeza terá
sido formado um par branco ou preto. Isto é, para ter certeza de que sairá o par desejado,
são necessárias 13 tentativas.(embora, é claro, ele possa eventualmente sair logo nas
primeiras 2 tentativas).
e) Para formar um par errado são necessárias mais de 2 tentativas: É falsa, pois ele pode,
eventualmente, tirar um par com meias de cores diferentes em apenas duas tentativas.
Esta questão mostra a importância do bom entendimento do que significam as palavras
necessário e suficiente. Em contexto de problemas, os estudantes tendem a buscar a
resposta usando receitas para Condição Necessária e Condição Suficiente (comuns em
condicionais matemáticos), esquecendo-se do uso normal dessas palavras, que sem dúvida
sabem fazer no seu dia-a-dia.
14) A resposta é:
d) cem milhões de números desse tipo.
JUSTIFICATIVA:
Há apenas um com "1" no final desse tipo (o próprio 1)
78
Há 9 números com "2" no final.(12,22,32,42,...,92 - é o "2" + todos os números com 1
algarismo, ou seja 9 números, como o enunciado do problema antecipa)
Há 90 números com "3" no final.(103,113,123,...,993 - é o "3" + todos os números com 2
algarismos, ou seja 90 números)
Do mesmo modo:
Há 900 números com "4" no final
Há 9000000 (9 seguido de 6 zeros) números com "8" no final.
Há 90000000 (9 seguido de 7 zeros) números com "9" no final.
Some tudo 1+9+90+...90000000. Terá 100000000 (com 8 zeros). Cem milhões ou 108
Uma generalização para outras bases de numeração
Quantidade de números cujo último algarismo representa o total de algarismos do número:
Se o nosso sistema numérico, no lugar de 10 algarismos, usasse apenas 5 algarismos (o "0",
o "1", o "2", o "3" e o "4", por exemplo), haveria 1000 (ou 103) números com a condição.
De forma geral, num sistema numérico de n algarismos, o total de números na condição
apresentada é 10n-2.
15) Vire as duas ampulhetas ao mesmo tempo; quando acabar a de 14 segundos restarão 8
segundos na de 22, então você liga o fogo. Quando a de 8 segundos acabar, vire ela
imadiatamente e terá 30 segundos.
16) Num primeiro momento os três sábios riram ao ver a sujeira na cabeça dos outros dois.
Porém, um deles, o de raciocínio mais rápido que chamaremos de A, percebeu que se ele
próprio não estivesse sujo qualquer um dos outros raciocinaria assim: " B pensa: Como A
não está sujo, C só pode estar rindo de mim". Isso faria com que B parasse de rir
imediatamente. Como ninguém parou de rir, A concluiu que também havia sido alvejado.
17) Avô, pai e filho.
18) A solução do caso é simples e aparece perfeitamente indicada no quadro abaixo:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A
B
No retângulo superior estão indicados os abacaxis de A e no retângulo inferior estão
indicados os abacaxis de B. O feirante só dispunha - como mostra a figura - de 10 grupos
que podiam ser vendidos, sem prejuízo, à razão de 5 por 2 reais. Vendidos esses 10 grupos,
restavam 10 abacaxis que pertenciam, exclusivamente, ao camponês B e que, portanto, não
podiam ser vendidos por 0.5 cents cada um. Resultou daí a diferença que o camponês
verificou e não pode explicar.
79
Questões de Matemática
1) Um indivíduo entrou numa sapataria e comprou um par de sapatos por R$ 60,00,
entregando, em pagamento, uma nota de R$ 100,00. O sapateiro, que no momento não
dispunha de troco, mandou que um de seus funcionários, fosse trocar a nota numa
confeitaria próxima. Recebido o dinheiro, deu ao freguês o troco e o par de sapatos que
havia sido adquirido. Momentos depois, surgiu o dono da confeitaria exigindo a devolução
de seu dinheiro: a nota era falsa! E o sapateiro viu-se forçado a devolver os R$ 100,00 que
havia recebido. Surge, afinal, a dúvida: qual foi o prejuízo que o sapateiro teve nesse
complicado negocio?
resp:A resposta é simples e fácil. Muita gente, porém, ficará embaraçada sem saber como
esclarecer a questão.
O prejuízo do sapateiro foi de R$ 40,00 e um par de sapatos.
2) Quanto tempo leva um trem de 1 km de comprimento para atravessar um túnel de 1 km
de comprimento, se viaja à velocidade de 1 km por minuto ?
resp:Leva 2 minutos. Após o primeiro minuto a cauda do trem está entrando no túnel.
Depois, leva 1 minuto mais, para sair do outro lado.
3) UEFS 97.1 - O valor de x real, tal que log3(4x+7)=5, é:
A) 5
B) 28
C) 59
D) 118
E) 236
SOLUÇÃO: Sabemos da definição de logaritmo que: Se logaN = x , então teremos
necessariamente que ax = N. Logo, no problema dado podemos escrever:
35 = 4x+7 Þ 243 = 4x+7 Þ 243 - 7 = 4x , e, portanto 236=4x de onde conclui-se que x =
236/4 = 59. A alternativa correta é a letra (c).
4) Numa certa cidade da Índia existem 20.000 pessoas. 5% da população são pernetas e
metade da população restantes andam descalça. Quantas sandálias ( não pares ) são usadas
na cidade ? Procure resolver pela lógica !
resp: Não faz diferença qual a percentagem de pernetas. Todos os pernetas utilizam uma
sandália. Do restante, metade usa duas sandálias e metade não usa. Fazendo uma média de
uma sandália por pessoa. Consequentemente, 20.000 sandálias são usadas na cidade.
5) Você decidiu ir para a cama às 8 horas da noite, na sexta-feira. Após dar corda no
relógio, você acertou o despertador para as 9 horas da manhã seguinte. Quantas horas você
dormiu?
80
resp: 1 Hora apenas, pois, relógio do tipo que se dá corda, não sabe distinguir 9 h e 21 h.
6) Num jarro estão 7 amebas. Elas se multiplicam tão rapidamente que dobram seu volume
a cada minuto. Se para encher o jarro, elas levam 40 minutos, quanto tempo levarão para
encher metade do jarro ?
resp: Como pode ser dobrada a cada minuto, pode ser dividida na metade a cada minuto,
portanto para encher a metade da jarra é preciso 39 minutos.
7) Dois homens queriam entrar numa casa, mas tinham perdido a chave; resolveram então
descer pela chaminé. Quando conseguiram chegar dentro da casa, olharam-se. Um deles
estava coma cara preta de fuligem, mas o outro estava com a cara limpa. Sem dizer uma
palavra, o homem que estava com a cara limpa foi lavar o rosto, enquanto o homem com a
cara suja nada fez.
Como você explica isso?
resp: Após descerem pela mesma chaminé, cada um dos homens pensou estar igual ao
outro. Quando o que estava com a cara limpa olhou para o que estava com a cara suja,
resolveu se lavar. O que estava com a cara suja, olhando para o de cara limpa, achou que
não era preciso.
8) Dois pais e dois filhos saíram para caçar patos. Cada um deles acertou em um pato e
nenhum atirou no mesmo. Entretanto, somente 3 patos foram abatidos. Como foi isto?
resp: Eram o avô, pai e filho.
9) Como é que pode? Um homem foi à cidade com R$ 5,00 no bolso, mas retornou à noite
com R$ 15,00, tendo descontado um cheque no banco. Ele comprou um chapéu e algumas
bananas no mercado. Foi, também, ao oftalmologista. Sabendo que ele era pago por cheque
todas as quintas feiras e que os bancos só abrem às terças, quartas e sábados e que o
oftalmologista fecha aos sábados e o mercado está fechado nas quartas feiras e quintas
feiras, qual o dia em que ele foi à cidade ?
resp: Ele foi à cidade na 3 feira, embora tenha descontado neste dia o cheque da semana
anterior.
10) Um rei queria livrar-se do seu primeiro-ministro.Colocou então dois pedaços de papel
num chapeu e disse ao ministro para escolher um. Se o papel tivesse escrito "vá", o ministro
devia ir embora. Se o papel tivesse "fique, o ministro continuaria em sua posição. Para
assegurar-se de que o ministroiria embora, o rei escreveu "vá"nos dois papeis. Entretanto, o
ministro conseguiu ficar. Como ele conseguiu ?
resp: O ministro apanhou um dos papéis o queimou sem olhar. Disse então ao rei que visse
no outro papel o que estava escrito. O rei foi obrigado a ficar com o ministro, para não
denunciar o que tinha feito.
81
11) Dois homens vão fazer uma viagem de 18.000 Km, de automóvel. Entretanto, os pneus
só agüentam 12.000 km.
Quantos pneus reservas precisam levar, no mínimo ?
resp: Apenas 2. Ao fim dos primeiros 6.000 Km. Eles devem colocar os pneus reservas. Ao
completar os 12.000 Km, devem repor aqueles que tinham sido substituídos pelos reservas
(no lugar daqueles que já estão com 12.000 Km rodados ).
12) Oito bolinhas de gude têm mesmo tamanho, mesma cor e mesma forma. Sete delas têm
o mesmo peso e a restante é a mais pesada. Usando uma balança com dois pratos, como
você encontrará a bolinha mais pesada efetuando somente duas pesagens ?
resp: Pega-se em seis bolinhas e põem-se três em cada prato da balança. Se o peso for igual
isso significa que uma das 2 bolinhas que faltam é a mais pesada basta então fazer a
segunda pesagem (uma em cada prato).
Caso haja uma diferença na primeira pesagem pega-se as três bolas do prato mais pesado e
escolhe-se duas à sorte:
1- Se o peso for igual, a bolinha mais pesada é a terceira
2- Se o peso for diferente ao prato mais pesado corresponde a bolinha mais pesada.
13) Dois árabes viajavam para Meca e pararam por um momento na estrada para comer.
Um árabe possuía 5 pedaços de pão e o outro 3 pedaços. Antes que começassem a refeição,
apareceu um viajante. Este pediu-lhes comida e disse que pagaria por aquilo que tivesse
comido. Assim, os três homens dividiram a comida entre si. Quando a terminou, o viajante
deu-lhes 8 moedas de igual valor. Como deveria ser dividido este dinheiro ?
resp: Se 8 pães foram divididos igualmente, cada homem comeu 2. 2/3 O árabe que tinha 3
pães cedeu apenas 1/3 de um pão ao viajante e o árabe que tinha 5 pães cedeu 2.1/3. Deste
modo, o árabe dos 5 pães deu 7 vezes mais pão ao estranho que o outro, logo deve receber
7 moedas e o outro apenas uma.
14) Entre a Terra e o planeta Solok, realizou-se uma corrida espacial entre cinco naves:
-"Ousada" chegou depois de "Relâmpago";
-"Caracol" e "Aventura" chegaram ao mesmo tempo;
-"Descoberta" chegou antes de "Relâmpago" ;
- quem ganhou, chegou sozinho.
QUEM FOI ?
resp: Foi a nave espacial "Descoberta "
15) Cada letra representa um número diferente, entre zero e nove, na seguinte soma: BAR +
BAR + BAR = RRR
A que número corresponde BAR ?
resp: O valor de cada letra é : B= 1 , A = 8 e R = 5, sendo o resultado igual a 555.
Mais duas soluções :
B= 1 , A = 4 e R = 8 resultando no 444 e
82
B= 2 , A = 9 e R = 6 que resulta em 888.
16) Certa noite Pedrinho resolveu ir ao cinema, mas descobriu que não tinha meias limpas
para calçar. Foi então ao quarto do pai, que estava na escuridão. Ele sabia que lá existiam
10 pares de meias brancas e 10 pares de meias pretas, todos misturados. Quantas meias ele
teve de retirar da gaveta para estar certo que possuía um par igual ?
resp: 3 no minimo.
17) Todas as coisas do Universos estão sempre fazendo duas coisas. O quê ?
resp: Ocupando lugar e ficando mais velho.
18) Um marinheiro, cujo navio afundou, viu-se só em uma ilha, com febre altíssima. Do
naufrágio tinham sobrado duas garrafas. Uma delas, uma garrafa cheia até 3/4 de remédio,
e a outra igual, vazia. As intruções de como tomar o remédio prescreviam uma dose de
metade da garrafa, nem mais, nem menos. Se ele tomasse menos ou mais ficaria doente.
Como ele conseguiu resolver o problema ?
resp: O marinheiro apanhou uma certa quantidade de pedrinhas na praia, de vários
tamanhos e jogou-as uma a uma dentro da garrafa de remédio. Até o liquido atingisse a
boca da garrafa. Isto significava que 1/4 do volume era tomado pelas pedras. Derramou
então na garrafda vazia o liquido até que o nivel fosse o mesmo nas duas garrafas.
Consequentemente, as duas garrafas ficaram com a metade cheia. Ele então tomou a dose
que necessitava.
19) Dois atletas brincam com seus números de inscrição em uma competição:
· O meu número é formado por quatro algarismos diferentes; o segundo é o quadrado do
primeiro e o quarto é o quadrado do terceiro.
O outro retruca:
· O meu também. Porém minha inscrição na competição foi depois da sua.
Qual o número de inscrição de cada um ?
resp: Os quadrados perfeitos formados por um único algarismo são : 0, 1, 4 e 9. Como o
número 0 e número 1 são quadrados deles próprios, sobram somente os números 4 e 9.
Portanto a única combinação possível são os números 2439 e 3924.
20) Utilizando uma só vez um dos números 1, 3, 5, 6 e 8, e escolhendo as operações
convenientes, obtenha o número 237.
resp: (5 x 6 x 8 - 3) : 1 = 237
21) Um trem sai diariamente de São Francisco para Nova Iorque. Outro sai diariamente de
Nova Iorque para São Francisco. A distância é percorrida em 5 dias. Se um viajante deixar
São Francisco de trem, quantos trens vindos Nova Iorque ele verá, antes de chegar lá ?
resp: A resposta é 10 trens; pois, quando ele sai, já existem 5 trens em caminho e durante os
cinco dias de viagem outros 5 sairão.
83
22) Em meu rebanho, todos são camelos menos dois, todos são cabras menos dois e todos
são cavalos menos dois. Quantos animais tenho em meu rebanho ?
resp: O rebanho é composto por 3 animais. Sendo um cavalo, um camelo e uma cabra.
23) Um consumidor pagou R$ 4,75 por um pacote de 5 kg de arroz num supermercado.
Desconfiado daquela medida, ele procurou o órgão oficial competente, que verificou a
irregularidade e constatou um erro de 5% na massa do produto, contra o consumidor. Qual
foi, na realidade, o preço de 1 kg daquele arroz ?
resp: Se o pacote tinha 5% a menos do que a massa indicada, a massa real era de 4750 g.
Como o consumidor pagou R$ 4,75 por essa quantidade de arroz o preço da grama é de R$
0,001 portanto R$ 1,00 o Kg.
24) Num certo verão, a fabrica de sorvetes Que Bom troca dez palitos de sorvete por um
sorvete de palito. Nessa promoção, um palito de sorvete corresponde a que fração do preço
de um sorvete ?
resp: Devemos lembrar que, ao receber um sorvete, recebemos também um palito. Logo o
sorvete "custa" 9 palitos, portanto um palito vale 1/9 do preço do sorvete.
25) Se 3 gatos matam 3 ratos em 3 minutos, quanto tempo levarão 100 gatos para matar 100
ratos ?
resp: 3 minutos. Cada gato mata 1 rato em 3 minutos.
26) Um caracol sobe um muro com 10 metros de altura.
Em cada dia sobe 2 metros, mas de noite deixa-se escorregar 1 metro.
Ao fim de quantos dias chega o caracol ao topo do muro ?
resp: No primeiro dia, o caracol sobe 2m e escorrega 1. Total de 1m. No segundo dia, o
caracol sobe mais 2m e escorrega 1. Total de 2m. No terceiro dia, o caracol sobe mais 2m e
escorrega 1. Total de 3m. ..................... No sétimo dia, o caracol sobe mais 2m e escorrega
1. Total de 7m. No oitavo dia, o caracol sobe mais 2m e escorrega 1. Total de 8m. No nono
dia, o caracol sobe mais 2m e não escorrega , visto que 8 + 2 é igual a 10m,ele chegou ao
topo. Resposta: 9 dias.
27) Três homens pararam uma noite em um hotel e pediram três quartos separados. O preço
era de R$ 10,00 por cada quarto e, assim sendo os homens pagaram ao todo R$ 30,00. No
dia seguinte, o gerente verificou que os quartos podiam ser alugados por R$ 25,00. Mandou
então que o "boy" fizesse a devolução de R$ 5,00. Como o "boy" não era honesto, deu R$
1,00 para cada um dos homens ficando com R$ 2,00. Após terem recebidos R$ 1,00 de
volta, cada um dos homens tinha pago R$ 9,00 por quarto, perfazendo um total de R$
27,00. Somando-se os R$ 2,00 do "boy" teremos R$ 29,00. O que aconteceu ao R$ 1,00
que está faltando ?
84
resp: Três homens pararam uma noite em um hotel e pediram três quartos separados. O
preço era de R$ 10,00 por cada quarto e, assim sendo os homens pagaram ao todo R$
30,00. No dia seguinte, o gerente verificou que os quartos podiam ser alugados por R$
25,00. Mandou então que o "boy" fizesse a devolução de R$ 5,00. Como o "boy" não era
honesto, deu R$ 1,00 para cada um dos homens ficando com R$ 2,00. Após terem
recebidos R$ 1,00 de volta, cada um dos homens tinha pago R$ 9,00 por quarto, perfazendo
um total de R$ 27,00. Somando-se os R$ 2,00 do "boy" teremos R$ 29,00. O que aconteceu
ao R$ 1,00 que está faltando ?
28) Uma pessoa encontra-se no degrau do meio de uma escada. Sobe 5 degraus, desce 7,
volta a subir 4 e depois mais 9 para chegar ao último. Quantos degraus tem a escada?
resp: Sendo X a posição em que se encontra, deverá ser multiplicado por dois por estar no
degrau do meio e ainda somar o próprio degrau. Portanto 23 degraus.
X = (5 - 7 + 4 + 9) 2 + 1
X = (11) 2 + 1
X = 22 + 1
X = 23
29) Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador,
quantas crianças podem entrar ?
resp: Se no elevador cabem 20 adultos, 15 deles correspondem a 3/4 da lotação. Sobrando
portanto, 1/4 da lotação do elevador para as crianças. Portanto 1/4 de 24 crianças são 6
crianças que poderão entrar no elevador.
30) Um negociante tinha dois cavalos. Vendeu o primeiro por R$ 198,00, tendo um lucro
de 10%. No dia seguinte vendeu o outro por R$ 198,00 e perdeu 10%. Nos dois negócios,
ele teve lucro ou prejuízo ? De quanto ?
resp: Perdeu R$ 4,00. Seu lucro no 1º cavalo foi de R$ 18,00, mas perdeu R$ 22,00 no
segundo animal.
31) Combinar 4 algarismos 5, de tal maneira que representem 56.
resp: 55 + 5/5 = 56
32) Em uma cidadezinha vivem apenas 5 000 famílias. Algumas delas não possuem
cachorros e as restantes possuem um ou dois. Todos os cachorrinhos dessa cidade vivem
com uma família . A maioria da famílias tem um cachorrinho e a metade das famílias
restantes tem dois. Qual é o número de cachorros dessa cidade ?
resp: Existem 5000 cachorrinhos na cidade
33) Uma coleção de 10 livros, cada um com 100 páginas excluindo-se as capas e contra
capas, estava disposta na prateleira de uma estante em pé. Uma traça perfurou as folhas dos
85
livros começando pela primeira página do primeiro livro e parando na última página do
último livro. Quantas páginas foram perfuradas pela traça ?
resp: Normalmente as pessoas lêem das esquerda para a direita. Logo, coleções de livros
arrumados em pé, o primeiro volume é encostado mais à esquerda. Estando os livros
dispostos dessa maneira, e desconsiderando capas e contracapas, percebemos que a página
1 do primeiro livro está encostada na página 100 do segundo livro e que a página 100 do
último livro está encostada na página 1 do penúltimo volume. Ora, a traça começou a roer a
partir da página 1 do primeiro livro e parou na última página do décimo livro, logo deixou
de roer algumas páginas desses dois volumes. Portanto ela roeu : 802 páginas .
34) Cada letra assume um único valor, de 0 a 9. Determine o valor de cada letra no
criptograma:
NOVE + TRÊS = DOZE
resp: Poderá ser encontrado outras respostas.
A nossa é: 2185 + 4950 = 7135
35) 5 meninos estavam vendo televisão. Eles estavam sentados em 2 cadeiras e 3 poltronas.
Você pode descobrir onde sentavam A, B, C, D e E se você souber que: A e B sentavam-se
num mesmo tipo de assento. B e D sentavam-se em tipos diferentes. D e E sentavam-se em
tipos diferentes.
resp: A e B sentavam-se em cadeiras ou poltronas. D sentava-se num tipo diferente de A e
B, e E sentava-se em tipo diferente de D, logo, tipo igual a A e B. Assim sendo A, B e E
estavam nas poltronas e C e D nas cadeiras.
36) No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com freqüências
diferentes. A primeira luz pisca 15 vezes por minuto, e a segunda pisca 10 vezes por
minuto. Num certo instante, as luzes piscam simultaneamente. Após quantos segundos as
duas voltarão a piscar juntas novamente ?
resp: As duas piscarão juntas novamente após 12 segundos.
37) Temos duas vasilhas com 3 e 5 litros, vazias, e uma vasilha com 8 litros cheia de água.
Como separar a água de forma a obter duas vasilhas com 4 litros cada ? Você não possui
qualquer tipo de medidor, ou seja, não tem como medir o quanto está colocando em outra
vasilha. Tente resolver este problema com o menor número de passos.
resp: 3 litros 5 litros 8 litros
1º passo
0
5
3
2º passo
3
2
3
3º passo
0
2
6
4º passo
2
0
6
5º passo
2
5
1
6º passo
3
4
1
7º passo
0
4
4
86
38) Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa tijolo e meio ?
resp: Em uma balança de dois pratos há de um lado, 1 tijolo e no outro prato 1 Kg + 1/2
tijolo. Se você retirar 1/2 tijolo de cada lado chega a conclusão que 1/2 tijolo pesa 1 Kg.
Portanto 1 tijolo e meio pesa 3 Kg.
39) Eu tenho R$ 100,00 para comprar 100 porcos. Sendo que: Barrão vale R$ 10,00, cada
porca vale R$ 5,00 e leitão vale 0,50 centavos. De que maneira poderei fazer essa comprar,
se preciso de pelo menos um animal de cada tipo ?
resp: Comprando 90 leitões dará R$ 45,00 reais. Comprando 9 porcas dará R$ 45,00 reais
Comprando 1 barrão dará R$ 10,00 reais Total de 100 porcos e R$ 100,00 reais.
40) Que algo está errado com a demonstração abaixo, isso é claro, mas você sabe onde está
o erro ?
1) Supondo que a = b
2) a x a = a x b ( Multiplicando os dois membro por a )
3) a2 = ab
4) a2 - b2 = ab - b2 ( Subtrai-se b2 dos dois membros )
5) ( a + b ) ( a - b ) = b ( a - b ) ( Produto da soma pela diferença = b em evidencia )
6) ( a + b )( a - b )/ ( a - b ) = b( a - b )/ ( a - b ) ( Dividindo-se os dois membros por ( a- b )
7) a + b = b
8) a + a = a ( Isso é possível por a = b como suposto no item 1 )
9) 2 a = a
10) 2a / a = a / a
11) 2 = 1
Pois bem, algo de errado deve Ter acontecido nesta demonstração, basta descobrir.
resp: O erro está no item 6, pois se a = b como foi suposto no item 1, a - b = 0 e todos nós
sabemos que esta divisão não existe.
A outra justificativa, seria que se a = b , não poderiam ser letras diferentes.
41) De dois pontos A e B, distantes 90 m , soltam-se, ao mesmo tempo e em sentido
contrário, uma lebre a 10 m/s e um cachorro a 5 m/s. a) Depois de quanto tempo eles se
encontrarão ? b) Em que lugar isso ocorrerá ?
resp: Em 1 segundo, a distância ( 90 m ) diminui em 15 m pois 10 m + 5 m = 15 m. Logo
serão necessários 6 segundos ( 90 : 15 = 6 ) para que essa distância fique igual a zero, ou
seja, para que eles se encontrem: Depois de 6 segundos, a lebre andou 6 . 10 = 60 m e o
cachorro, 6 . 5 = 30 m. Então eles se encontrarão a 60 m do ponto A, ou a 30 m do ponto B.
Observe que a soma totaliza os 90 m ( 60 + 30 = 90 ).
42) Num quintal existem galinhas e coelhos: ao todo 26 cabeças e 70 patas. Quantas são as
galinhas e quantos são os coelhos?
87
resp: Chamemos C o número de coelhos e G o número de galinhas. Tem-se então que: C +
G = 26 (número de cabeças igual ao número de animais) 4C + 2G = 70 (número de patas)
C = 26 - G 4 (26 - G ) + 2G = 70 104 - 4G + 2G = 70 -2G = -34 G = 17 galinhas C = 26
- G C = 26 - 17 C = 9 coelhos Resposta : ao todo existem 9 coelhos e 17 galinhas
Observação: Existe diversas maneira de ser resolver.
43) - Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem
sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem
que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias
consecutivos.
Nesse caso, o número de maneiras diferentes de se fazer a programação dessa semana é :
A) 144
B) 576
C) 720
D) 1040
Solução:
Considerando que todos os três filmes de ficção e os 4 restantes podem ter dias de
apresentação permutados entre si, temos então um total de 5! = 120 maneiras diferentes
(nessa parte estamos considerando todas as permutações em que os filmes de ficção são
apresentados juntos). No entanto, podemos permutar os filmes de fição de 3! = 6 maneiras
diferentes. Então, temos 120.6 = 720 maneiras diferentes de se fazer a programação.
44 - Determine o menor inteiro cuja representação decimal consiste somente de 1's e que é
divisível pelo número 333...333 formado por 100 algarismos iguais a 3.
Solução:
Seja d = 3n, onde d é o número formado por exatamente 100 três e n o número formado por
exatamente 100 uns. Portanto, o número procurado X = 1111...111 (formado por k uns)
deve ser divisível por n e por 3 (n não é divisível por 3 porque a soma de seus algarismos é
igual a 100 que não é divisível por 3). Se k é um número da forma k = 100q + r onde r
pertence ao intervalo [0, 100) então N = M + R, onde M = 111...111000...000 (100q uns e r
zeros) e R = 111...111(r uns). Como n é divisível por n então, N é divisível por n se, e
somente se, R = 0 ou seja, se r = 0 e consequentemente se, e somente se, k for divisível
por 100. Se k = 100q então a soma dos algarismos de N é igual a 100q e esta soma será
divisível por 3. Portanto, o menor número N formado apenas por uns que é divisível por d
consiste de 300 uns.
45 - Um novo vírus X foi detectado tendo afetado regularmente 1 de cada 10 mil pessoas.
Ao receber o resultado de um teste de sangue uma pessoa vê que o mesmo indicou
positivamente a presença do vírus X. Segundo dados técnicos, o teste indica corretamente a
presença do vírus X em 98 de cada 100 pessoas infectadas e indica incorretamente a
presença do vírus X em 5 de cada 100 pessoas não infectadas.
Qual das afirmações a seguir é correta? A pessoa que teve resultado positivo no teste para a
presença do vírus:
a)tem 95,3% de chance de não ter o vírus X.
88
b)tem 93% de chance de ter o vírus X.
c)tem 95,3% de chance de ter o vírus X.
d)tem 98% de chance de ter o vírus X.
e)tem 99,8% de chance de não ter o vírus X.
A resposta é e)
A pessoa tem 99,8% de chance de não ter o vírus X.
Justificativa
É algo realmente espantoso, mas é isso mesmo!
Os dados do problema dizem que há apenas 1 pessoa com o vírus em cada 10 mil pessoas.
Entre10 mil pessoas testadas, o teste provavelmente irá indicar corretamente o caso positivo
(o enunciado diz que ele tem 98% de identificação correta dos efetivamente doentes). Mas
considerando as 9999 pessoas não infectadas, como o enunciado diz que o teste dá 5% de
falsos positivos, teremos uma indicação incorreta, como infectadas, para cerca de 500
pessoas (5% dos 9999).
Logo, o teste dará um total aproximado de 501 testes positivos, dos quais apenas 1 é correto
(500 são falsos positivos). Isso dá um índice de acerto na indicação dos infectados de
1/501, ou seja, aproximadamente 0,2%. O teste erra então em 99,8% dos casos que aponta
como infectados!!!
Moral da história:
- Não basta apenas que um teste identifique muito bem um vírus num grupo que o possui. É
preciso também ver em que taxa ele aponta, erradamente, a presença do vírus num grupo
que não o possui. Veja-se que, no caso da questão, o teste errou na quase totalidade das
vezes em que indicou positivamente a presença do vírus.
Mas ainda há outro lado curioso e importante. Este teste pode ser útil.
Ele é um bom teste, quando o seu resultado indica a não presença do vírus (isto é, ele é um
bom teste de casos negativos). Dentro dos dados do problema, se o resultado do teste fosse
negativo para uma pessoa (no caso, em 10 mil testes, 9,5 mil seriam negativos), ela poderia
ficar tranqüila, pois com quase absoluta certeza (em 9500/9500,02=99,9998% dos casos) o
teste estaria correto. O problema real deste teste está apenas nos falsos positivos.
46 - Considere os polinômios p ( x ) = ax3 + ( 2a - 3b )x 2 + ( a + b + 4c )x - 4bcd e q ( x )
= 6x 2 + 18x + 5, em que a , b , c e d são números reais. Sabe-se que p ( x ) = q ( x ) para
todo x em R .
Assim sendo, o número d é igual a:
A) 1/8
B) 2/3
C) 4/5
D) 3
Solução:
Como os dois polinômios são idênticos, temos que os coeficientes dos termo de mesmo
grau são iguais, ou seja:
a=0
2a - 3b = 6
a + b + 4c = 18
-4bcd = 5
89
Resolvendo o sitema acima, encontramos :
a=0
b = -2
c=5
d = 1/8
47 - No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de um dos times
era 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77 m de altura, foi
substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68 m de altura. No segundo tempo,
outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, foi expulso.
Ao terminar a partida, a altura média dos 10 jogadores desse time era :
A) 1,69 m
B) 1,70 m
C) 1,71 m
D) 1,72 m
Solução:
A partir da média dos jogadores no início da partida e do número jogadores (11),
encontramos a soma das alturas de todos os jogadores, que é igual a 11 x 1,72 = 18,92m.
Ainda no primeiro tempo, um jogador de 1,77m foi substituído por outro de 1,68m. Depois
dessa substituição, a soma das alturas de todos os jogadores em campo passou a ser de
18,92 - 1,77 + 1,68 = 18,83. No segundo tempo, um jogador de 1,73m foi expulso, e a soma
das aturas passou a ser de 18,83 - 1,73 = 17,10m e o número de jogadores passou a ser de
10. Portanto, no final da partida, a média de altura dos jogadores era de 17,10 / 10 = 1,71m.
48 - Uma fazenda tem uma área de 0,4 km 2. Suponha que essa fazenda seja um quadrado,
cujo lado mede l metros. O número l satisfaz a condição :
A) 180 < l < 210
B) 210 < l < 250
C) 400 < l < 500
D) 600 < l < 700
Solução:
Inicialmente, faremos a transformação de quilômetros quadrados para metros quadrados.
Temos que 0,4 km2 é igual a 400.000m2. Temos que A = l2 é a equação que fornece o lado
do quadrado em função do seu lado. Pelo problema, temos l2 = 400.000. Resolvendo a
equação, encontramos que o lado é aproximadamente igual a 632m.
49 - Seja M o conjunto dos números naturais n tais que 2 n 2 - 75 n + 700 ? 0.
Assim sendo, é CORRETO afirmar que :
A) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4.
B) apenas dois dos elementos de M são primos.
C) a soma de todos os elementos de M é igual a 79.
D) M contém exatamente seis elementos.
Solução:
2n 2 - 75n + 700 ? 0
90
? = 25
n = 20 ou n = 35/2
O conjunto solução da inequação acima será 35/2?? n ? 20. E os valores inteiros dentro
desse intervalo são 18, 19 e 20.
50 - Considere a equação ( x 2 - 14x + 38 ) 2 = 11 2.
O número de raízes reais distintas dessa equação é :
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Solução:
Temos que ( x 2 - 14x + 38 ) 2 = 11 2. Podemos então afirmar que x 2 - 14x + 38 = 11 ou
senão x 2 - 14x + 38 = -11. A partir do discriminante (delta) de cada uma delas concluímos
o número de raízes da equação será:
x 2 - 14x + 38 = 11
x 2 - 14x + 27 = 0 onde ??? 88??a equação tem 2 raízes distintas.?
x 2 - 14x + 38 = -11
x 2 - 14x + 49 = 0 onde ??? 0??a equação apenas 1 raiz.
Logo, o número de raízes da equação considerada é 3.
51 - Um mestre-de-obras e cinco pedreiros foram contratados para fazer um certo serviço,
pelo qual receberiam a quantia de Q reais. Essa quantia seria repartida entre eles de modo
que todos os pedreiros recebessem o mesmo valor e o mestre-de-obras ganhasse 60% a
mais que cada um deles.
Na última hora, um dos pedreiros desistiu. Então, o mestre-de-obras e os quatro pedreiros
restantes decidiram fazer sozinhos o serviço e combinaram uma nova divisão dos Q reais:
os quatro pedreiros receberiam valores iguais, mas o mestre- de-obras ganharia, agora, 50%
a mais que cada um deles.
Então, a quantia que cada um dos quatro pedreiros recebeu teve um aumento de :
A) 10%
B) 20%
C) 25%
D) 30%
Solução:
Seja x a quantia que cada um dos 5 pedreiros recebe. Dessa forma, o mestre de obras
receberá 1,6x. Temos então que 5x + 1,6x = Q. Resolvendo a equação, encontramos que x
= 5Q/33. Como um dos pedreiros não foi trabalhar, temos que os quatro restantes mais o
mestre de obras decidiram fazer o serviço sozinhos. Seja y o que cada um dos 4 pedreiros
vai receber. Nessa situação, o mestre de obras irá receber 1,5y e o valor que cada pedreiro
irá receber é dado pela equação 4y + 1,5y = Q. Logo, y = 2Q/11. O aumento da quantia que
cada pedreiro recebeu foi de 2Q/11 - 5Q/33 = Q/33. E esse valor corresponde a 20% de
5Q/33.
91
52 - Um funcionário recebe as seguintes informações sobre os empregados de certa firma:
a) 60% deles vão para o trabalho de ônibus, 30% vão de carro e os restantes 10%, a pé;
b) 75% deles moram em casa alugada e os restantes 25%, em casa própria.
Considerando-se apenas essas informações, a única conclusão CORRETA a que esse
funcionário pode chegar é a de que
A) nenhum dos empregados que moram em casa própria vai a pé para o trabalho.
B) o conjunto formado por todos os empregados que moram em casa própria e por todos os
que vão de carro para o trabalho engloba mais de 50% dos empregados dessa firma.
C) pelo menos 5% dos empregados que vão de carro para o trabalho moram em casa
própria.
D) pelo menos 50% dos empregados que vão de ônibus para o trabalho moram em casa
alugada.
Solução:
Temos que 75% é a porcentagem de trabalhadores que moram em casa alugada. Se
considerarmos que 30% vão de carro para o trabalho e 10% vão a pé para o trabalho, temos
que o número de trabalhadores que moram em casa alugada e que vão de ônibus para o
trabalho é 75% - 10% - 30% = 35% do total de empregados da firma. Esse número
representa mais de 50% dos empregados que vão de ônibus dos empregados. Portanto, a
alternativa correta é a letra A.
53 - UFBA 1990 - O polinômio x3 + 6x2 + 15x + 14 é idêntico à expressão
A(x+m)3 + B(x+n) para determinado valor de A, B, m e n. Calcule A+B+m+n.
SOLUÇÃO: Vamos desenvolver a expressão dada:
A(x3 + 3mx2 + 3m2x + m3) + Bx + Bn =
Ax3 + 3Amx2 + 3Am2x + Am3 + Bx + Bn =
Ax3 + 3Amx2 + (3Am2 + B)x + Am3 + Bn
Como esta expressão é idêntica ao polinômio dado, os coeficientes dos termos de mesmo
grau serão necessariamente iguais. Logo:
A = 1 (porque o coeficiente de x3 é igual a 1).
3Am = 6 donde conclui-se que m = 2, já que A = 1.
3Am2 + B = 15, donde se conclui, substituindo os valores conhecidos (A e m) que o valor
de B é igual a B = 3.
Finalmente, Am3 + Bn = 14.
Substituindo os valores conhecidos, vem:
1.23 + 3.n = 14, de onde vem n = 2.
Logo, A + B + m + n = 1 + 3 + 2 + 2 = 8
Resp: 08
54 - UFBA 1991 - O perímetro de um terreno de forma retangular é igual a 18m, e a área
desse terreno é a maior possível. Determine o valor de 4.a + 2.b , sabendo que a e b são os
valores das dimensões desse retângulo, em metros.
SOLUÇÃO:
92
Para simplificar a solução, é conveniente lembrar que todo retângulo de área máxima é um
quadrado. Portanto, as medidas dos lados a e b são iguais.
O perímetro do quadrado (soma das medidas dos lados) será então igual a 4.a.
Logo, 4.a = 18 e portanto a = 18/4 = 9/2.
O problema pede para calcular 4.a + 2.b e como a = b, vem:
4.a + 2.b = 4.a + 2.a = 6.a = 6.(9/2) = 27.
Resp: 27
55 - UFBA 1992 - Seja S a soma das raízes da equação cosx - tgx.senx = 0 que pertencem
ao intervalo [0, 2p ]. Determine S/p .
SOLUÇÃO:
Substituindo tgx por senx/cosx, vem: cosx - (senx/cosx).senx = 0
cosx - sen2x/cosx = 0
Efetuando as operações indicadas, vem:
(cos2x - sen2x) / cosx = 0
O numerador cos2x - sen2x é igual a cos2x. (Fórmula do coseno do dobro de um arco).
Reveja Trigonometria nesta página se necessário.
Logo:
cos2x/cosx = 0, para cosx ¹ 0 (Lembre-se que não existe divisão por zero).
Para que a fração seja nula, o numerador deverá ser igual a zero. Logo:
cos2x = 0
No intervalo dado, [0,2p ], sabemos que o coseno se anula para os arcos p /2 radianos e 3p
/2 radianos.
Logo, deveremos ter: 2x = p /2 ou 2x = 3p /2 , de onde concluímos que
x = p /4 ou x = 3p /4, que são as raízes procuradas.
A soma S será então: S = p /4 + 3p /4 = 4p /4 = p
Portanto, S/p = 1, pois S = p conforme vimos acima.
Resp: 01
56 - UFBA 1993 - Considere a função f(x) = C.10 - k.x , C > 0. Sabendo que
f(0) = 9.f(1), determine - k + log 90 .
SOLUÇÃO: Temos: f(0) = C.10 - k . 0 = C.100 = C.1 = C
f(1) = C.10 - k . 1 = C / 10 k
Podemos então escrever, pelo enunciado:
C = 9 . C/10 k
Simplificando, vem: 9.C = C. 10 k ou 9 = 10 k ou 10k = 9, de onde concluímos pela
definição de logaritmos que: k = log109 = log9.
Substituindo o valor de k na expressão que o problema pede para calcular, vem:
- k + log90 = - log9 + log90 = log90 - log9 = log(90/9) = log10 = 1
Resp: 01
57 - UFBA 1995 - O trinômio y = x2 + mx + n admite 2 como raiz e tem valor mínimo para
x = 3. Calcular ½ mn½ .
SOLUÇÃO: Se 2 é raiz, vem: 0 = 22 + m.2 + n ou 2m + n = -4.
93
Se o trinômio assume um mínimo para x = 3, sabemos que isto ocorre na coordenada xv do
vértice da parábola que representa graficamente o trinômio ou função quadrática.
A fórmula para xv já sabemos de função quadrática que é : xv = -b/2.a onde a e b são os
coeficientes da função quadrática y = ax2 + bx + c.
Assim, vem: 3 = - m/2.1 e, portanto, m = - 6.
Como 2m + n = - 4, vem: 2(-6) + n = - 4; logo, n = 8.
Portanto, m.n = (-6).8 = - 48.
Daí, o módulo procurado será igual a: ½ - 48½ = 48.
Resp: 48
58 - UFBA 98 - 1ª fase - Durante 15 dias, um automóvel é submetido a testes de
desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorre 40 km; no segundo, 60 km; no
terceiro, 80 km; e assim sucessivamente, até o último dia, quando percorre x km. Calcule
x/10.
SOLUÇÃO: Temos a seguinte seqüência: (40, 60, 80, ... , x). Como são 15 dias, temos uma
Progressão aritmética - P.A. de 15 termos, onde: razão = r = 20; primeiro termo = a1 = 40;
décimo quinto termo = a15 = x ; Logo, usando a fórmula do termo geral de uma P.A. ,
poderemos escrever: a15 = a1 + (15 - 1).r
x = 40 + 14 . 20 Þ x = 40 + 280 = 320
Ora, sendo x = 320, conclui-se que x/10 = 320/10 = 32
Resp: 32
59 - UFBA 98 - 1ª fase - Uma rede de lojas comprou uma mercadoria à vista, com 20% de
desconto sobre o preço de tabela e teve uma despesa de R$50,00 com transporte e
impostos. Na venda dessa mercadoria, obteve lucro de 20% sobre o total desembolsado.
Se o preço de venda foi R$540,00, então pode-se afirmar :
(01) O preço de tabela era R$500,00
(02) O preço à vista foi R$400,00
(04) O lucro obtido foi R$60,00
(08) O desconto sobre o preço de tabela foi R$40,00
(16) As despesas com transporte e impostos corresponderam a 12,5% do preço à vista.
COMENTÁRIO: este tipo de questão consiste em identificar as proposições verdadeiras,
somar os números a elas correspondentes e marcar o resultado na Folha de Respostas.
SOLUÇÃO: Seja x o preço de tabela. Portanto o total desembolsado = Td foi igual a: Td =
80% de x + 50 = 0,80x + 50.
A mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre o total desembolsado (Td). Daí,
poderemos dizer, de acordo com o enunciado que:
1,20 . Td = 540 \ 1,20(0,80x + 50) = 540
Resolvendo a equação, fica: 0,96x + 60 = 540 Þ 0,96x = 480 Þ x = 480/0,96
Logo, x = 48000/96 = R$500,00 ( preço de tabela) . Logo (01) é verdadeira.
O preço à vista foi 80% de x (já que o desconto foi 20%) . Então, o preço à vista era igual a
80% . R$500,00 = 0,80 . 500 = R$400,00. Portanto (02) é também verdadeira.
Sabemos que o total desembolsado é igual a Td = 0,80.x + 50 = 0,80.500 + 50
94
Portanto, Td = R$450,00 . Como o lucro foi de 20% sobre o total desembolsado, vem que o
lucro L foi igual a L = 20% de R$450,00 = 0,20 . 450 = R$90,00 e portanto (04) é falsa.
O desconto foi de 20% sobre o preço de tabela, portanto, 20% de R$500,00 =
0,20 . 500 = R$100,00. Portanto, (08) é falsa.
As despesas com transporte e impostos, igual R$50,00 em relação ao preço à vista
(R$400,00) representa um percentual igual a 50/400 = 0,125 = 12,5% e portanto (16) é
verdadeira.
Concluímos pois que deveria ser assinalado na Folha de Respostas o número:
01 + 02 + 16 = 19
Resp: 19
60 - Calcular o valor da expressão 53x + 5-3x , sabendo que 5x + 5-x = 5.
Solução:
Sabemos que (A+B)3 = A3 + B3 + 3(A+B)(AB)
Logo, podemos escrever:
(5x + 5-x)3 = 53 ; desenvolvendo esta expressão, vem:
53x + 5-3x + 3(5x + 5-x)(5x.5-x) = 125. [observe que 5x . 5-x = 5x-x = 50 = 1]. Logo, vem:
53x + 5-3x + 3(5)(1) = 125
Portanto, poderemos escrever finalmente:
53x + 5-3x = 125 - 15 = 110
Resp: 110
01 - UEFS 94.1 - Quantas são as maneiras que um professor pode escolher um ou mais
estudantes de um grupo de seis estudantes?
A) 72
B) 70
C) 65
D) 64
E) 63
Solução: Observe que a expressão "escolher um ou mais estudantes" eqüivale a "escolher 1
ou escolher 2 ou escolher 3 ou escolher 4 ou escolher 5 ou escolher 6 estudantes(todos).
Trata-se evidentemente de um problema de Análise Combinatória, mas neste caso
poderemos utilizar um raciocínio direto da seguinte forma:
Como o enunciado diz que serão escolhidos 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 estudantes de um
grupo de 6, percebemos que em realidade, queremos determinar o número de subconjuntos
de um conjunto de 6 elementos, excetuando-se o conjunto vazio(correspondente a um
grupo com zero estudantes!). Sabemos que se um conjunto possui n elementos então ele
possui 2n subconjuntos. Logo, em um conjunto de 6 elementos teremos 26 = 64
subconjuntos (incluindo o conjunto vazio (f ), pois sabemos que o conjunto vazio é
subconjunto de qualquer conjunto). Mas, neste caso, teremos que subtrair o conjunto vazio
(sem estudantes) e resulta: 64 - 1 = 63, que é a resposta do problema.
Resp: Letra E
95
02 - Sendo f uma função real de variável real tal que f(x+3) = 2x+3 , determine f(2x+3).
SOLUÇÃO: Faça x + 3 = u. Vem que x = u - 3. Logo, podemos escrever, substituindo x
pelo seu valor (u - 3): f(u) = 2(u-3) + 3. Daí, vem: f(u) = 2u - 6 + 3 , de onde conclui-se:
f(u) = 2u - 3.
É uma dedução imediata que sendo f(u) = 2u - 3, fazendo u = 2x+3, virá inevitavelmente:
f(2x+3) = 2(2x+3) - 3 = 4x + 6 - 3 = 4x + 3.
Portanto, f(2x+3) = 4x + 3.
Resp: 4x+3
03 - Dois relógios são acertados em 12h. Um relógio adianta 1 minuto por dia e o outro
atrasa 1,5 minutos por dia. Depois de quantos dias vão marcar o mesmo horário?
SOLUÇÃO: É óbvio que os dois relógios se "distanciam" de 1+1,5 = 2,5 minutos por dia.
Quando os relógios estiverem atrasados 12 horas, um em relação ao outro, as posições dos
ponteiros serão iguais e, portanto, marcarão a mesma hora. Mas, 12h = 12.60min = 720
minutos.
Portanto, podemos "armar" a seguinte regra de três:
1 dia ............................................................ 2,5 min
x dias.............................................................720 min
Logo, x = 720/2,5 = 288 dias
Resp: 288 dias
04 - UFPB/93 - Sendo o volume de uma esfera de raio R numericamente igual a 33 vezes a
sua área, calcular o valor de R, em unidades de comprimento.
SOLUÇÃO: Sabemos que para uma esfera de raio R, são válidas as seguintes fórmulas para
o cálculo do volume V e da área S:
V = (4/3).p .R3 e S = 4.p .R2
O problema exige que V = 33.S ; substituindo, vem:
(4/3).p .R3 = 33.4.p .R2 Þ (4/3).R3 = 132.R2 Þ (4/3).R = 132 Þ R = 132/(4/3) =
132.(3/4) = 396/4 = 99
Resp: 99 u.c.
05 - Determine o período da função f: R ® R definida por
f( x ) = cos( 7x ).cos( 3x ) + sen( 7x ).sen( 3x ).
SOLUÇÃO: Como cos(a-b) = cosa.cosb + sena.senb, concluímos que:
cos7x.cos3x+sen7x.sen3x = cos(7x-3x) = cos4x
A função dada é então equivalente a: f(x) = cos4x.
Ora, sabemos que o período da função y = cosbx é igual a T = 2p /b
Logo: período = T = 2p /4 = p /2 radianos
Resp: p /2 rad
06 - UFPB 93 - Sendo a e b raízes distintas da equação 2.4x + 4 = 9.2x , calcular o valor de
a6 + b6.
SOLUÇÃO: Podemos escrever: 4x = (22)x = (2x)2 . Portanto, fazendo 2x = y, a equação
dada fica:
2.y2 + 4 = 9.y Þ 2y2 - 9y + 4 = 0.
96
Resolvendo a equação do 2º grau, obteremos y = 4 ou y = 1/2.
Logo, 2x = 4 ou 2x = 1/2 Þ x = 2 ou x = -1.
Portanto, como as raízes são denominadas de a e b no problema, vem que a = 2 e b = -1.
Daí, a6 + b6 = 26 + (-1)6 = 64 + 1 = 65
Resp: 65
07 - Na linguagem C, usada na programação de computadores, sabe-se que:
fabs(x) é o valor absoluto de x,
sqrt(x) é a raiz quadrada de x,
* é o operador multiplicação e
+ é o operador adição.
Pede-se calcular o valor da expressão: fabs(-3) * sqrt(25) + fabs(4) * sqrt(49)
SOLUÇÃO: Temos:
fabs(-3) = ½ -3½ = 3
sqrt(25) = v25 = 5
fabs(4) = ½ 4½ = 4
sqrt(49) = v49 = 7
Portanto, a expressão será igual a: 3.5 + 4.7 = 15+28 = 43
Resp: 43
NOTAS:
A) fabs(x) = função valor absoluto (ou módulo) de x.
B) sqrt(x) = square root of x = raiz quadrada de x.
08 - Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3, admite como raízes, os números x1 =
1, x2 = 2 e x3.
Sobre a raiz x3, podemos afirmar:
pode ser um número complexo
é necessariamente, um número natural
é necessariamente um número inteiro
é necessariamente um número irracional
é um número real
SOLUÇÃO:
Ora, o número de raízes complexas de uma equação algébrica é necessariamente um
número par, já que, se a+bi for raiz, então o conjugado a-bi também será raiz.
Portanto, se a terceira raiz da equação não pode ser um número complexo, então ela será
necessariamente um número real, o que nos leva à alternativa E.
09 - FUVEST 94 - Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual
ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de
irmãs. Qual o total de filhos e filhas do casal?
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
E.
7
97
SOLUÇÃO:
Trata-se de um problema simples de sistemas de equações do primeiro grau. Vejamos:
Seja x o número de filhos e y o número de filhas.
É óbvio que um filho qualquer possui x -1 irmãos e y irmãs. OK?
É também óbvio, que uma filha qualquer possui y - 1 irmãs e x irmãos.
Pelo enunciado do problema, vem imediatamente que:
x - 1 = y ........................eq 1
x = 2(y - 1).....................eq 2
Uma vez armado o sistema acima, o problema ficou bem simples:
Teremos, substituindo o valor de x da eq 2 na eq 1:
2(y - 1) - 1 = y ? y = 3
Daí, substituindo o valor de y na eq 1, resulta: x = 4.
Portanto, a soma procurada vale: x + y = 4 + 3 = 7, o que nos leva tranqüilamente à
alternativa E.
VERIFICAÇÃO:
Dados do problema:
a) Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs.
Realmente, sendo 4 filhos, cada um tem 3 irmãos, que é igual ao número de irmãs (y = 3 =
n.º de filhas)
b) Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs.
Realmente, sendo 3 filhas, cada uma delas possui duas irmãs. O número de irmãos, sendo
igual a 4 (x = 4 filhos), é exatamente o dobro do número de irmãs.
10 - Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem dois pássaros em cada galho, fica um
galho sem pássaros. Se pousar um pássaro em cada galho, fica um pássaro sem galho.
Determine o número de pássaros e o número de galhos.
SOLUÇÃO:
Sendo g o número de galhos e p o número de pássaros, poderemos escrever:
2(g - 1) = p
g=p-1
Resolvendo o sistema de equações acima, encontraremos:
P = 4 e g = 3. Portanto, são 4 pássaros e 3 galhos.
11 - Qual dos cinco números abaixo relacionados, não é um divisor de 1015 ?
A.
25
B.
50
C.
64
D.
75
E.
250
SOLUÇÃO: Observe que:
25 = 52
50 = 2.25 = 2.52
64 = 26
75 = 3.25 = 3.52
250 = 25.10 = 52.10
98
Observe também que 10 é divisível por 2, por 5 e por 10, mas não é divisível por 3. Logo, a
alternativa (D) que contém um não divisor de 10, é a solução do problema.
12 - Sabendo-se que x2 + 2y2 + 3xy + x + y = 20 e x + 2y = 3, determine o valor de x + y.
SOLUÇÃO:
Inicialmente, vamos fatorar o primeiro membro da expressão dada.
Teremos: (acompanhem com bastante atenção!)
x2 + 2y2 + 3xy + x + y =
x2 + y2 + y2 + 2xy + xy + x + y =
(x2 + 2xy + y2) + (y2 + xy + x + y) =
(x + y)2 + [y(x + y)] + (x + y) =
(x + y)2 + (x + y) (y + 1) =
(x + y) [(x + y) + (y + 1)] =
(x + y) (x + 2y + 1)
Portanto, (x + y) (x + 2y + 1) = 20
Como é dado que x + 2y = 3, substituindo, vem:
(x + y) (3 + 1) = 20 ? 4(x + y) = 20 e, finalmente vem que x + y = 5.
13 - Se a fração irredutível a/b é a geratriz da dízima 3,012012..., então o valor de a - b é:
a.
2010
b.
1809
c.
670
d.
590
e.
540
SOLUÇÃO:
Seja x = 3,012012...
Podemos escrever:
x = 3 + 0,012012...
x - 3 = 0,012012... (1)
Multiplicando ambos os membros da igualdade (1) por 1000 (o que não altera a igualdade),
vem:
1000(x - 3) = 12,012... (2)
Efetuando (2) menos (1):
1000(x-3) - (x-3) = 12,012... - 0,012...
999(x-3) = 12
x - 3 = 12/999 = 4/333
x = 3 + 4/333
x = 999/333 + 4/333 (observe que 999/333 = 3).
x = (999 + 4) / 333 = 1003 /333
Observe que 333 é divisível por 3, mas 1003 não é.
A fração, é portanto irredutível. Logo, pelo enunciado, a = 1003 e b = 333.
Então, a - b = 1003 - 333 = 670, o que nos leva à alternativa C.
99
14 - As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética.
Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é
igual a 694 cm2, então o volume deste paralelepípedo, em cm3, é igual a:
A.
1200
B.
936
C.
1155
D.
728
E.
834
SOLUÇÃO: O volume do paralelepípedo será igual V = x.y.z
Temos: x + y + z = 33 .................................................(eq. 1)
A área total St é igual a St = 2(x.y + x.z + y.z) = 694
Portanto, x.y + x.z + y.z = 347 .....................................(eq. 2)
Obs: área total = soma das áreas das faces laterais do paralelepípedo, que são retangulares.
Como os lados estão em P.A., poderemos escrever:
P.A. : (x, y, z)
O termo médio y (pelas propriedades da PA) vale: y = (x+z) / 2
Daí, vem: x + z = 2y ......................................................(eq. 3)
Temos então as 3 equações seguintes:
x + y + z = 33 ...................... (4)
xy + xz + yz = 347 ............. (5)
x + z = 2y .......................... (6)
Substituindo (6) em (4), vem: 2y + y = 3y = 33 \ y = 11.
Substituindo o valor de y em (5) e (6), vem:
11x + xz + 11z = 347 ....... (7)
x + z = 22 ................... (8)
Arrumando a expressão (7), vem : .............. 11(x + z) + xz = 347
Como x + z = 22, substituindo, temos: ........ 11.22 + xz = 347
Daí, vem: xz = 105 ...................... (9)
Temos de (8) que: x + z = 22 .................... (10)
Das expressões (9) e (10), concluímos que x e z são dois números que somados dá 22 e
multiplicados dá 105. Basta resolver o sistema de equações, ou para os mais experientes,
concluir que os números são 7 e 15.
Portanto, as dimensões do paralelepípedo são 7, 11 e 15.
O volume será então: V = 7.11.15 = 1155 cm3
Daí, fica fácil: alternativa C.
Nota: o título do arquivo é somente uma brincadeira. Eh eh eh ... O problema é fácil ...!
15 - Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com 2,40m, 2,70m e 3m
respectivamente, em pedaços iguais e de maior comprimento possível. Qual deve ser o
comprimento de cada parte?
SOLUÇÃO:
Transformando as medidas em centímetros, vem: 240, 270 e 300 cm.
Agora, basta calcular o MDC (máximo divisor comum) entre estes números. Teremos,
então:
MDC(240,270,300) = 30.
Logo, o carpinteiro deverá cortar pedaços de madeira de 30 cm de comprimento.
100
16 - Sabe-se que o MDC (máximo divisor comum) de dois números é igual a 6 e o
MMC(mínimo múltiplo comum) desses mesmos números é igual a 60. Calcule o produto
desses números.
SOLUÇÃO:
Uma propriedade bastante conhecida é:
Dados dois números inteiros e positivos a e b , é válido que:
MMC(a,b) x MDC(a,b) = a x b
Daí, vem imediatamente que:
a x b = MMC(a,b) x MDC(a,b) = 6 x 60 = 360
17 - Dois cometas aparecem, um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920
tivessem ambos aparecido, pergunta-se quantas novas coincidências irão ocorrer até o ano
2500?
SOLUÇÃO:
Trata-se de um clássico problema de MMC.
MMC(20,30) = 60. Logo:
A cada 60 anos haverá uma coincidência de aparições.
Portanto elas ocorrerão nos anos: (a partir de 1920)
1980, 2040, 2100, 2160, 2220, 2280, 2340, 2400, 2460, 2520, ...
Portanto, até o ano 2500, ocorrerão 09 (nove) aparições.
18 - Qual o número de divisores positivos de 320?
SOLUÇÃO:
Fatorando o número 320, vem:
320 = 26 x 51
Portanto, o número de divisores de 320 será igual a:
Nd = (6+1) x (1+1) = 7x2 = 14
19 - Quantos divisores positivos o número 2000 possui?
SOLUÇÃO:
Fatorando o número 2000, vem:
2000 = 24 x 53
Portanto, o número de divisores positivos de 2000 será:
Nd = (4+1) x (3+1) = 5 x 4 = 20 divisores.
São eles: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 10002000,
ou seja, 20 divisores positivos.
20 - Determine a área do triângulo ABC onde A, B e C são, respectivamente, os pontos
médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo
M(-1, -5), N(1,3) e P(7, -5).
Resp: 8 u.a (8 unidades de área).
101
21 - EPUSP/1963 - Dado o ponto A(1,2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q,
situados respectivamente sobre as retas y = x e y = 4x, de tal modo que A seja o ponto
médio do segmento PQ.
Resp: P(4/3,4/3) e Q(2/3,8/3)
22 - FAUUSP/1968 - Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência
de equação 2x2 + 2y2 + 4x + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y - 1 = 0.
Resp: y = 2x + 2
23 - EPUSP/1966 - Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x - y) = 0
constituem:
A.
uma reta
B.
uma senóide
C.
uma elipse
D.
um feixe de retas paralelas
E.
nenhuma das respostas anteriores
SOLUÇÃO:
O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p , 4p , ... , kp , onde k é um
número inteiro. Logo:
sen(x - y) = 0 Þ x - y = kp (k é um número inteiro). Daí, vem:
- y = - x + kp \ y = x - kp , kÎ Z.
Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de mesmo
coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja:
........................................................................
........................................................................
k = - 1 reta: y = x + p
k = 0 reta: y = x
k = 1 reta y = x - p , e assim sucessivamente.
.........................................................................
Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas).
24 - Mostrar que 2.4.6.8. ... .(2n - 2).2n = n! . 2n
SOLUÇÃO: O primeiro membro da igualdade pode ser escrito como:
2.1 . 2.2 . 2.3 . 2.4 . ... . 2.(n - 1) . 2.n
Observe que no produto acima, o fator 2 se repete n vezes; portanto, o produto de 2 por ele
mesmo, n vezes, resulta na potência 2n.
Logo, o primeiro membro da igualdade fica:
2n(1 . 2 . 3 . 4 . ... . n)
Observe que entre parênteses, temos exatamente o fatorial de n ou seja: n!
Substituindo, vem finalmente : 2n . n!
Assim, mostramos que:
2.4.6.8. ... .2(n - 1). 2n = n! . 2n
Então, podemos dizer que: o produto dos n primeiros números pares positivos é igual ao
fatorial de n multiplicado pela n-ésima potência de 2
25 - Determine a distancia entre os focos da elipse 9x2 +25y2 - 400 =0.
102
SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia entre os focos será:
D = 4 - (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
4 - calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225.
Resp: e = 12/13 e df = 2c = 24.
5 - determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem
um foco F(-? 6 /2, 0).
Resp: x2 + 2y2 = 3.
26 - Se x representa um número natural qualquer de dois algarismos distintos, escrevendose o algarismo 8 à esquerda de x, obtém-se um novo número que tem a mais do que x
1.
8 unidades
2.
x unidades
3.
8x unidades
4.
80 unidades
5.
800 unidades
SOLUÇÃO:
Seja ab o número x, composto dos algarismos a e b, com a ? b.
O novo número, com a inserção à esquerda do algarismo 8 será: 8ab
Utilizando o princípio do valor posicional de um algarismo num número, poderemos
escrever:
ab = 10.a + b
8ab = 8.100 + 10.a + b
Efetuando a diferença, vem:
8ab - ab = 8.100 + 10.a + b - (10.a + b) = 800
Portanto, alternativa (05).
27 - Um comerciante resolve fazer as seguintes promoções para as compras de Natal:
· Pague 2 e leve 3
· Pague 3 e leve 5
· Pague 5 e leve 7
Se uma peça custa R$12,00, então o menor preço que uma pessoa pode pagar para levar 13
peças é:
1.
R$84,00
2.
R$93,60
3.
R$96,00
4.
R$104,00
5.
R$108,00
SOLUÇÃO:
Se a pessoa levou 13 peças, então:
13 = 2.5 + 3; Portanto, 5 peças foram pagas ao preço de 3, duas vezes e três peças foram
pagas ao preço de duas.
Daí, teremos: O total a ser pago será igual a P = (2.3 + 2).12 = 96.
Portanto, a resposta é R$96,00 - alternativa (03).
Outras combinações dos tipos 13 = 7 + 5 + 1 ou 13 = 4.3 + 1, por exemplo, não levariam ao
menor preço. Verifiquem.
103
28 - O valor numérico da expressão (x + y)/4 - (x2 - y2)/5 + (y - x)2, para x = -1 e y = -2 é
igual a
1.
0,35
2.
0,6
3.
0,85
4.
1,6
5.
2,3
SOLUÇÃO: solução imediata, por mera substituição dos valores. Vem:
VN = valor numérico = (-1 - 2)/4 - [(-1)2 - (-2)2]/5 + [-2 - (-1)]2
Teremos: VN = -3/4 - (-3/5) + 1 = -3/4 + 3/5 + 1 = -0,75 + 0,6 + 1 = 0,85, o que nos leva à
alternativa (03).
29 - Uma pessoa gasta 30% do seu salário com alimentação e 40% do que resta com saúde
e educação. Se ainda lhe sobra R$1050,00, o seu salário é igual a
1.
R$1900,00
2.
R$2050,00
3.
R$2500,00
4.
R$3050,00
5.
R$3500,00
SOLUÇÃO: Sendo S o salário, podemos escrever:
0,30S = despesa com alimentação
Restaram 0,70S. Logo, o gasto com saúde e educação será 40% desse restante ou seja:
0,40.0,70S = 0,28S
Portanto, podemos escrever agora: 0,28S + 1050 = 0,70S
1050 = 0,70S - 0,28S = 0,42S ? S = 1050/0,42 = 2500
Portanto, S = R$2500,00, o que nos leva à alternativa (03).
30 - Sabendo-se que, entre os números 13 e 694, existem x múltiplos de 11, x é igual a
1.
64
2.
63
3.
62
4.
61
5.
60
SOLUÇÃO: Ora, os múltiplos de 11, formam uma PA de razão 11. O primeiro múltiplo de
11 maior do que 13 é 22; Precisamos saber qual o maior múltiplo de 11, menor do que 694.
Dividindo 694 por 11 obtemos quociente 63 e resto 1. Logo, o múltiplo procurado será
igual a 63x11 = 693.
Logo, temos a PA:
(22, 33, 44, ... , 693)
Usando a fórmula do termo geral da PA, ou seja: an = a1 + (n - 1) r e substituindo os
valores conhecidos, vem:
693 = 22 + (n - 1).11, onde n é o número de termos procurado e, portanto igual ao x do
problema. Efetuando os cálculos, vem: n = 62, o que nos leva à alternativa (03).
31 - As medidas, em metros, dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 e
estão em progressão geométrica, nessa ordem. O perímetro do triângulo, em metros, mede
104
1.
9
2.
9,5
3.
19
4.
28
5.
30
SOLUÇÃO: Temos a seguinte PG: (x + 1, 2x, x2). Usando o conceito de PG, podemos
escrever:
2x/(x+1) = x2/(2x) [reveja PG nesta página, se necessário].
Daí, vem, usando as propriedades de proporção: (produto dos meios = produto dos
extremos). Lembram-se?
4x2 = (x+1).(x2) ; para x ? 0, podemos simplificar a expressão anterior, dividindo ambos os
membros por x2 , resultando: 4 = x + 1 ? x = 3.
Sendo x = 3, os lados do triângulo serão:
4, 6, 9 (uma PG de razão 3/2)
Sendo o perímetro de um triângulo, igual à soma das medidas dos seus lados, vem:
Perímetro = 4 + 6 + 9 = 19, o que nos leva à alternativa (03).
32 - Se f é uma função tal que f(x + 2) = x3 - 8, para todo x ? R, entao f(x) é igual a:
1.
x3 + 2x2 + 2x
2.
x3 - 6x2 + 12x - 16
3.
x3 + 6x2 + 12x
4.
x3 - 3x2 + 3x - 9
5.
x3 + 3x2 + 3x - 7
SOLUÇÃO:
Façamos x + 2 = t. Daí, vem: x = t - 2
Substituindo, fica:
f(t) = (t - 2)3 - 8
f(t) = t3 - 3.t2.2 + 3.t.22 - 23 - 8 = t3 - 6t2 + 12t - 8 - 8 = t3 - 6t2 + 12t - 16
Portanto, f(x) = x3 - 6x2 + 12x - 16, o que nos leva à alternativa (02).
33- Os valores de x que satisfazem a equação logx(mx+n) = 3 são
2 e 3. Logo, o valor de m + n é
1.
- 49
2.
- 30
3.
- 11
4.
0
5.
34
SOLUÇÃO:
Teremos, pelo enunciado:
x = 2 : log2(2m + n) = 3. Logo, 23 = 2m + n = 8 (eq. 1)
x = 3 : log3(3m + n) = 3. Logo, 33 = 3m + n = 27 (eq. 2)
Subtraindo membro a membro as igualdades acima, vem:
(3m + n) - (2m + n) = 27 - 8
m = 19
Substituindo o valor de m na eq. 1, vem:
2.19 + n = 8
Logo, n = 8 - 38 = - 30
105
Daí, vem finalmente que m + n = 19 + (- 30) = - 11.
Portanto, a alternativa correta é a de número (03).
34 - Um curral retangular, com 600 metros quadrados de área, em que o comprimento é
igual a dois terços da largura, tem o perímetro, em metros, igual a:
1.
100
2.
120
3.
140
4.
200
5.
250
SOLUÇÃO:
Sejam x e y as dimensões dos lados do retângulo.
A área do retângulo será igual a x.y = 600
Podemos escrever, tendo em vista o enunciado da questão:
y = (2/3).x
Substituindo, vem: x[(2/3).x] = 600
Portanto: x2 = 900 de onde conclui-se x = 30.
Portanto, y = (2/3).30 = 20
O perímetro do retângulo será então igual a P = 30 + 30 + 20 + 20 = 100, o que nos leva à
alternativa (01).
35 - Numa P.A. em que o décimo termo é 83 e a razão é (-2), o terceiro termo é:
A) 79
B) 87
C) 91
D) 97
E) 101
SOLUÇÃO: A fórmula generalizada do termo geral de uma progressão aritmética é dada
por
aj = ak + (j-k).r , onde aj = termo de ordem j ou j-ésimo termo da P.A. e ak =
termo de ordem k ou k-ésimo termo da P.A.
Poderemos escrever então, com relação à questão dada:
a10 = a3 + (10-3).(-2) onde (-2) é a razão da P.A.
83 = a3 +7(-2) Þ 83 = a3 - 14 Þ a3 = 83+14 = 97, que é o terceiro termo procurado.
Resposta correta letra C.
36 - Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192
lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de
famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo
número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material.
Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi:
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
Solução:
106
Temos que cada uma das famílias recebe o mesmo número de lápis, cadernos e borrachas e
na maior quantidade possível. Logo, o número de famílias envolvidas na distribuição é o
maior divisor comum entre 144, 192 e 216, que é 24. Portanto, cada uma dessas famílias
receberá 144 / 24 = 6 cadernos.
107
“A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo”
“Não posso conceber a infinidade do universo sem aceitar a existência de
Deus”
Albert Einstein

Matemática - Curso Professor Viol

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