1a Frequência — 2002/2003

1a Frequência — 2002/2003
Tópicos de Relatividade e Cosmologia
Duração – 2h (+ 30 min - tolerância)
Instruções:
• Escreve o teu nome e número de forma legivel.
• Usa folhas de rascunho para os teus calculos preliminares assim como para respostas prévias.
• Não se aceitam provas de exame/frequência rasuradas
• Das nove (9) questões a seguir indicadas deve responder apenas a 6 (seis).
• A pergunta 1. é obrigatória e vale 2.5 valores1 .
• Escolhe então entre a Opção (a) ou a Opção (b) – cada questão vale 3.5 valores, com igual
equipartição pelas alineas (se fôr o caso).
– Opção (a): Duas (2) questões do Grupo I e 3 (três) questões do Grupo II
– Opção (b): Três (3) questões do Grupo I e 2 (duas) questões do Grupo II
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Se quiser leve para casa e traga a resposta na aula seguinte; Neste caso tem que trazer um doughnut para o
professor-regente!
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1. O D.O.U.B.I.2 é o novo ex-libris do circulo académico da Covilhã. Ontem receberam um fax
enviado pela F.O.B.I.3 a propor a construção de uma nave espacial com a forma de um doughnut
oco (e sem açucar que também não há dinheiro para luxos...). Essa nave espacial irá ser colocada
no espaço inter-estelar/galáctico, ficando em rotação en torno de um eixo central (que pode ser o
eixo dos zz ), perpendicular ao plano (xOy), o qual intersencta a nave-doughnut em dois circulos
concêntricos. Analisa e discute como um observador (colocado na nave e que define a direcção
vertical ”cabeça→pés” como uma direcção qualquer no plano xOy, apontando para fora do centro
do doughnut-nave) poderá estudar o Principio da Equivalência, através de experiencias em que
larga vários objectos.
Grupo I
2. a) Qual dos seguintes objectos está em queda livre (justifica a resposta): planeta Plutão
ou uma aluna da UBI que pratica paraquedismo (quase!)-suicida para vigiar de perto o namorado
(que é também paraquedista mas não suicida)?
b) Um feixe luminoso é emitido da Terra para o espaço exterior. Um astronauta em queda
livre a uma distancia R da Terra como irá registar o espectro dessa radiação luminosa?
3. Considera um átomo com dois niveis de energia E1 e E2 , colocado na praia de Waikiki4 ,
a uma altitutde de h0 = 0. À transição E1 → E2 corresponde luz emitida com uma frequência
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f = E2 −E
.Se esse átomo é transportado para uma localização a uma altitude h 6= h0 , determina
h
a variação de frequência observada ao nivel do mar para um fotão emitido pelo átomo colocado à
altura h.
4. Numa análise de medidas de comprimento espacial num referencial em rotação uniforme
(e.g., disco), usa-se uma régua padrão L. Obtem através de inequações como o quociente entre o
número NL de réguas padrão (correspondente ao comprimento de uma circunferência de raio R
concêntrica com o disco) e o número NR de réguas padrão (correspondente ao comprimento do
raio), varia se o valor de R aumentar de 0 para Rext (raio exterior limite do disco em rotação).
5. a) Um átomo, cujo centro de massa é afectado pela gravitação, orbita a uma distancia
R de uma estrela de massa M . De acordo com o Principio da Equivalência, como serão as linhas
espectrais desse atomo tal como medidas por observador em repouso (co-movel) com o atomo em
órbita? Justifica a tua resposta.
b) Supõe que o átomo está agora na superficie da estrela de raio R0 . As linhas espectrais
observadas em R têm que frequência (com respeito à frequência que observador atrás mencionado
registaria se não existisse campo gravitico)?
c) Assume que o átomo orbita a estrela a uma distância R. Como o átomo não tem volume
nulo, as linhas espectrais medidas por observador co-orbitando o átomo são alteradas com respeito
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Departamento de Ovnilogia da UBI
Federação de OVNIs da Beira Interior
4
Hawai, USA
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a uma situação na ausencia de campo gravitico. Explica porque o facto do atomo ter volume não
nulo é importante e estima a magnitude desse desvio espectral em termos do raio atómico.
Grupo II
6. Mostra que numa transformação0 de coordenadas entre o sistema ui e uj 0 , se tem que
k
a) U k0i U i j 0 = δ k0 j 0 onde U k0i = ∂x
∂xi
0
b) µi = U j i µj 0 se µi0 = U j i0 µj
7. Considera coordenadas elipticas (u,v,w ) no espaço Euclidiano, definidas por x = au sin v cos w,
y = bu sin v sin w, z = cu cos v, onde a, b, c são constantes positivas e 0 ≤ u ≤ ∞, 0 ≤ v ≤ π,
0 ≤ w ≤ 2π. Nota que o caso a = b = c = 1 corresponde a coordenadas esféricas.
a) Obtem a base eu , ev , ew assim como a sua dual eu , ev , ew em função dos vectores unitários
usuais i, j, k do espaço Euclidiano.
b) Que podes dizer de ea · eb para a, b = u, v, w?
8. Mostra que numa transformação conformal da métrica, em que gµν (x) → f (x) gµν (x) ≡ ĝµν ,
os angulos entre vectores se mantêm invariantes (nota: usa cos θ =
A·B
).
|A||B|
9. Considera coordenadas esféricas (r, θ, φ) ≡ (u1 , u2 , u3 ), onde a base de vectores er , eθ , eφ
é re-definida com a notação e1 , e2 , e3 . Indica através de um integral (que não tens que calcular!)
qual é a expressão para o comprimento de uma curva γ parametrizada como u1 = a, u2 = θ = t,
u3 = φ = 2t − π, onde 0 ≤ t ≤ π.
Se te fôr possivel, apresenta a tua opinião sobre esta prova de frequência/exame. Obrigado.
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