11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos

11.5 Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Planos
Tangentes
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Estudos Anteriores
Derivadas parciais: Taxa de variação de uma função em relação a uma
variável. Ou seja, se u = i = h1, 0i, então Dif = fx, e se u = j = h0, 1i,
então Djf = fy .
Regra da Cadeia: Se f (x, y) é diferenciável, então a taxa com que f varia
em relação a t ao longo de uma curva diferenciável x = g(t), y = h(t) é:
df
df dx df dy
=
+
.
dx dx dt dy dt
Assim, num ponto P0 qualquer, isto é, P0(g(t0), h(t0)), a equação acima
nos dá a variação de f em relação à t.
Objetivo: Obter uma forma de derivação em uma direção qualquer dada por
um versor u.
Derivada Direcional no Plano
Suposições:
• f (x, y) uma função definida numa região R do plano xy.
• P0(x0, y0) um ponto de R.
• u = u1i + u2j um versor.
• x = x0 + su1 e y = y0 + su2 são equações que parametrizam a reta que
passa por P0 paralelamente a u.
• s é o comprimento de arco de P0 na direção u.
Assim, a taxa de variação de f em P0 na direção u calculando df /ds será:
Definição: A derivada direcional de f em P0(x0, y0) na direção do versor u = u1i + u1j é o número:
f (x0 + su1, y0 + su2) − f (x0, y0)
df
= lim
ds u,P0 s→0
s
desde que o limite exista.
Notação: (Duf )P0 – A derivada de f em P0 na direção u.
Derivada Direcional no Plano – Graficamente
Taxa de variação de f na direção u no Coeficiente angular da curva C em P0
ponto P0 ao longo dessa reta.
é (Duf )P0 .
Derivada Direcional no Plano – Cálculos
Cálculo: Considere as retas:
x = x0 + su1
e
y = y0 + su2
(1)
passando por P0(x0, y0), parametrizada pelo comprimento de arco s, na
direção u = u1i + u2j.
Se f for diferenciável em P0, temos:
df
dx
df
dy
df
=
+
Regra da Cadeia
ds u,P0
dx P0 ds
dy P0 ds
df
df
=
u1 +
u2
Derivando (1)
dx P0
dy P0
df
df
=
i+
j · [u1i + u2j]
dx P0
dy P0
Gradiente de f em P0
Direção u
Derivada Direcional no Plano – Definição e Teorema
Definição: O vetor gradiente (gradiente) de f (x, y) no ponto P0(x0, y0)
é o vetor:
df
df
∇f = i + j
dx
dy
obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P0.
Teorema: Se f (x, y) for diferenciável em P0(x0, y0), então:
df
= (∇f )P0 · u
ds u,P0
o produto escalar do gradiente de f em P0 e u.
Exemplo (1): Determine a derivada direcional da função f (x, y) = x2y 3 − 4y
no ponto (2, −1) na direção do vetor v = 2i + 5j.
Derivada Direcional no Plano – Propriedades
Propriedades: Sabemos que:
Duf = ∇f · u = |∇f | · |u| cos θ = |∇f | · cos θ
onde θ é o ângulo entre os vetores ∇f e u (0 ≤ θ ≤ 2π). Então, se
Duf = |∇f | · cos θ concluı́mos que:
1. f aumenta mais rapidamente quando cos θ = 1 ⇔ θ = 0, isto é, quando
∇f e u têm o mesmo sentido e direção (Duf = |∇f |).
2. f diminui mais rapidamente quando cos θ = −1 ⇔ θ = π, isto é, ∇f e
u têm a mesma direção e sentido contrário (Duf = −|∇f |).
3. Se u é ortogonal a ∇f então Duf = |∇f | · cos(π/2) = 0, isto é, é
uma direção de variação nula.
Exemplo (2): (a) Se f (x, y) = x ey , determine a taxa de variação de f no
ponto P (2, 0) na direção de P a Q( 12 , 2). (b) Em que direção f tem a
máxima taxa de variação ? Qual é a máxima taxa de variação ?
Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de
Nı́vel
Suposição: f (x, y) = c ao longo da curva r = g(t)i + h(t)j (curva de nı́vel de
f ). Então f (g(t), h(t)) = c. Fazendo:
d
d
f (g(t), h(t)) =
c
dt
dt
df dg df dh
+
= 0
dx dt dy dt
∂f
∂f
dg
dh
i+
j ·
i+ j = 0
∂x
∂y
dt
dt
dr
= 0
∇f ·
dt
Portanto: ∇f é normal às curvas de nı́vel.
Reta Tangente
Idéia: São retas normais aos gradientes.
Então a reta que passa pelo ponto (x0, y0) e normal ao vetor N = Ai + Bj
tem a seguinte equação:
A(x − x0) + B(y − y0) = 0
Se N = ∇f (x0, y0) então a equação será:
fx(x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) = 0
Exemplo
(3): Encontre uma equação para a tangente de x2 − y = 1 no ponto
√
( 2, 1).
Propriedades Algebricas do Vetor Gradiente
1. ∇(kf ) = k∇f
2. ∇(f + g) = ∇f + ∇g
3. ∇(f − g) = ∇f − ∇g
4. ∇(f g) = f ∇g + g∇f
f
g∇f − f ∇g
5. ∇
=
g
g2
Incremento e Distância
R: df = f 0(P0)ds (derivada ordinária × incremento).
R2: df = (∇f |P0 · u) ds (derivada direcional × incremento).
Estimando a variação de f em uma direção u: Para estimar a variação
do valor de f quando nos movemos ds a partir de P0 em uma direção
especı́fica u, usamos:
df =
(∇f |P0 · u)
·
ds
derivada direcional incremento de distância
Exemplo (4): Em cerca de quanto variará f (x, y, z) = ex cos yz quando o
ponto P (x, y, z) se deslocar da origem uma distância ds = 0.1 unidades na
direção de 3i + 6j − 2k ?
Funções de Três Variáveis
• f (x, y, z) diferenciável.
• u = u1i + u2j + u3k um versor.
df
df
df
• ∇f = i + j + k.
dx
dy
dz
∂f
∂f
∂f
• Duf = ∇f · u =
u1 +
u2 +
u3 .
∂x
∂y
∂z
• Duf = ∇f · u = |∇f | |u| cos θ =|∇f | cos θ
Planos Tangentes e Retas Normais
que passa por P0 e é normal à
∇f (P0).
fx(P0)(x − x0) + fy (P0)(y − y0)+
fz (P0)(z − z0) = 0
• A reta normal à superfı́cie
em P0 é a reta que passa por
P0 e tem ∇f (P0) como vetor
direção.
Definição:
• O plano tangente no ponto
P0(x0, y0, z0) na superfı́cie de
nı́vel f (x, y, z) = c é o plano
x = x + fx(P0)t
y = y + fy (P0)t
z = z + fz (P0)t
Plano Tangente a uma Superfı́cie z = f (x, y)
Idéia: Plano tangente no ponto P0(x0y0, z0) onde z0 = f (x0, y0).
Podemos escrever z = f (x, y) ⇐⇒ f (x, y) − z = 0.
Assim temos uma superfı́cie de nı́vel para a função F (x, y, z) = f (x, y) − z.
Então podemos obter o plano tangente à superfı́cie no ponto P0 da seguinte
forma:
∂
Fx =
(f (x, y) − z) = fx − 0 = fx
∂x
∂
Fy =
(f (x, y) − z) = fy − 0 = fy
∂y
∂
Fz = (f (x, y) − z) = 0 − 1 = −1
∂z
A fórmula
Fx(P0)(x − x0) + Fy (P0)(y − y0) + Fz (P0)(z − z0) = 0
para o plano tangente à superfı́cie de nı́vel em P0 , portanto, se reduz a
fx(x0, y0)(x − x0) + fy (x0, y0)(y − y0) − (z − z0) = 0
Exemplo
Exemplo (5): Encontre o plano tangente à superfı́cie z = x cos y − y ex no
ponto (0, 0).
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 303 à 306;
Exercı́cios: 1 à 63.