Clase - Cimat

SEDE LEÓN
Sábado 28 de Octubre de 2011.
Dr. Fabio Dávila Ojeda
Se inició dando el objetivo del Álgebra, el cual es de proveer herramientas
para resolver ecuaciones.
Se dio un pequeño repaso histórico del álgebra iniciando con los babilonios, griegos, siguiendo con los matemáticos influyentes tales como: Galois,
Abel, Tartaglia,... (dichos antecedentes históricos los podemos hallar en las
notas del Libro de Baldor)
Vimos una pequeña comparación entre los números enteros Z y el conjunto
de polinomios R[x]: Ambos poseen una operación suma, una operación
producto y el algoritmo de la división.
Se escribió el TEOREMA DEL RESIDUO
p(x) = (x − a)q(x) + r(x)
donde grado(r) = 0 ó r = 0. Ası́ p(a) = r(x).
El profesor comentó cuando sucede que:
1. x − y divide a xn − y n .
2. x − y divide a xn + y n .
3. x + y divide a xn − y n .
Se dieron algunos ejercicios rápidos para que los maestros resolvieran en
clase, después de unos minutos el Dr. Dávila los resolvió con ayuda de los
asistentes. Ejemplo: Dividir 4x3 − 8x2 + 11x − 4 por 2x − 1.
f (x)
=
=
=
=
4x3 − 8x2 + 11x − 4
2x − 1
1 4x3 − 8x2 + 11x − 4
2
x − 21
1
(4x2 − 6x + 8)
2
2x2 − 3x + 4
Después se dieron algunas propiedades de operaciones con fracciones:
1
• Producto:
• División:
ac
b d
a
b
c
d
=
ac
bd .
=
ad
bc .
• El recı́proco de
a
b
d
a
es
cuando b 6= 0 y a 6= 0.
• Para poder sumar o restar fracciones necesitamos usar m.c.m. y
m.c.d.
Se mostraron algunas de las propiedades de los exponentes, dado ax , a es
la base y x es el exponente :
• a1 = a, a2 = a · a, . . . .
• ax+y = ax + ay .
• (ab)x = ax bx .
• Si a 6= 0 entonces a0 = 1.
1
• a2 =
√
1
a y an =
• Si a 6= 0, a−x =
• Si a 6= 0,
ax
ay
√
1
an .
1
ax ;
ası́ a−1 = a1 .
= ax−y .
• Con b 6= 0, ( ab )x =
ax
bx .
Luego esribió algunos ejercicios de simplificación para que lo resolvieran
entre todos, en estos ejercicios combinó el tema de fracciones con el de
exponentes y el de división sintética, por ejemplo:
x−1−
x+6+
12
x−2
16
x−2
=
=
=
=
=
2
12
x−1− x−2
16
x+6+ x−2
(x−1)(x−2)−12
x−2
(x+6)(x−2)+16
x−2
(x − 1)(x − 2) − 12
(x + 6)(x − 2) + 16
x2 − 3x − 10
x2 + 4x + 4
(x − 5)(x + 2)
(x + 2)(x + 2)
x−5
x+2
.