´Ultima Lista de Exerc´ıcios

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´Ultima Lista de Exerc´ıcios
Última Lista de Exercı́cios
1. Calcule as integrais:
R
(a) x9 ln x dx
R
(b) x cos 5x dx
R
(c) (ln x)2 dx
R
(d) e−θ cos(2θ) dθ
R
(e) cos x ln(senx) dx
R
√
(f) cos( x) dx.
2.
R
n−1R
1
cosn−2 x dx
(a) Demonstre a fórmula de redução: cosn (x) dx = − cosn−1 x senx+
n
n
R
(b) Use o item (a) para calcular cos2 x dx.
R
(c) Use os itens (a) e (b) para calcular cos4 x dx.
3. Calcule
sen3 x cos2 x dx
R cos x + sen2x
(b)
dx
senx
R π/4
(c) 0 sec4 θtg4 θ dθ
R
(d) sen3x cos x dx
p
R
(e) tg5 x sec7 (x) dx
(a)
R
4. Calcule a área delimitada pelas curvas y = sen2 (x) e y = cos2 x, para −π/4 ≤ x ≤ π/4
5. Calcule o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = sec x e y = cos x,
para 0 ≤ x ≤ π/3, em torno do eixo y = −1.
6. Calcule
1
dx
x2 − 9
R 2√3 x3
(b) 0
dx
9 + x2
√
R2
(c) 0 x3 x2 + 4 dx
R
x
(d) √
dx
x2 + x + 1
R π/2
cos t
(e) 0 √
dt.
1 + sen2 t
(a)
R
x2
√
√
7. Encontre o valor médio de f (x) =
x2 − 1
,
x
1 ≤ x ≤ 7.
8. Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos cı́rculs de raios
r e R (veja figura).
1
9. Calcule
(a)
R
x−9
dx
(x + 5)(x − 2)
R 5x2 + 3x − 2
dx
x3 + 2x2
R
x+4
(c)
dx
2
x + 2x + 5
R
1
√
(d)
dx
x x+1
R
1
dx
(e)
x2 − 2x
(b)
10. Encontre o volume do sólido resultante, se a região sob a curva y =
x = 1 for girada em torno do:
(a) eixo x.
(b) eixo y.
11. Calcule
(a)
R
cos x(1 + sen2 x) dx
(b)
R
sen3 x cos5 x dx
(c)
R
ln x
p
dx
x 1 + (ln x)2
(d)
R
ln(x2 − 1) dx
(e)
R1
−1 x
2 senx dx
R 1 + senx
dx
1 − senx
R
1
√
(g)
dx
x 4x2 + 1
R
1
√ dx
(h) √
x + xx
R√ √
(i)
xe x dx
R
1
(j) √
√ dx
x+1+ x
(f)
2
1
, de x = 0 a
x2 + 3x − 2
(k)
R
√
xex
dx
1 + ex
12. Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
R∞
x
dx
(a) −∞
1 + x2
R∞
2
(b) −∞ xe−x dx
R3 1
(c) −2 4 dx
x
13. Esboce e encontre a área (se esta for finita) da região S = {(x, y) | x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex }
14. Calcule
R∞
2
1
dx.
x x2 − 4
√
15. Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva y = x3 ,
0 ≤ x ≤ 1.
16. Ache o comprimento das curvas:
√
(a) x = 13 yy − 3, 1 ≤ y ≤ 9.
ex + 1
(b) y = ln( x
), a ≤ x ≤ b, a > 0.
e −1
17. A figura abaixo mostra um fio de telefone pendurado entre dois postes em x = −b e x = b. Este
tem o formato de uma catenária com a equação y = c + a cosh(x/a).
(a) Calcule o comprimento do fio.
(b) Suponha que os dois postes estejam separados a uma distância de 20m e que o comprimento do fio entre os postes seja de 20,4m. Se o ponto mais baixo do fio deve estar a 9m acima
do solo, a qual altura o fio deve ser preso no poste?
Rx√
18. Calcule o comprimento da curva y = 0 t3 − 1 dt, , 1 ≤ x ≤ 4.
19. Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfı́cie obtida pela rotação da curva
y = xe−x , para 1 ≤ x ≤ 3, em torno:
(a) do eixo x.
(b) do eixo y.
√
20. Calcule a área da superfı́cie obtida pela rotação da curva y = 1 + 4x, para 1 ≤ x ≤ 5, em
torno do eixo x.
√
21. Calcula a área da superfı́cie obtida pela rotação da curva y = a2 − x2 , para 0 ≤ x ≤ a/2, em
torno do eixo y.
3

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