Prisma - Professor Clayton Palma

Unidade 9 - Prisma
Introdução
Definição de um prisma
Denominação de um prisma
Prisma regular
Área de um prisma
Volume de um prisma
Introdução
Após a abordagem genérica de poliedros,
destacaremos alguns tipos especiais de
poliedro, que recebem denominações
próprias.
Introdução
As figuras anteriores são poliedros que têm
a forma de um prisma.
Os prismas são sólidos poliédricos que
apresentam dois polígonos idênticos
situados em planos paralelos e faces laterais
com forma de paralelogramos.
Definição de um prisma
Sejam α e β dois planos paralelos, D uma
região poligonal contida em α e r uma reta
que intersecta α.
Definição de um prisma
O conjunto de todos os segmentos de reta
com uma extremidade em D e a outra em β,
paralela a r, é denominada prisma.
Definição de um prisma
Elementos principais
Bases: são as regiões D e D’,
contidas nos planos a e b,
respectivamente. Elas são
caracterizadas por polígonos
congruentes.
Arestas das bases: são os lados
das regiões D e D’.
Arestas laterais: são segmentos
paralelos à reta r que unem
vértices correspondentes das
regiões D e D’.
Faces laterais: são
paralelogramos determinados por
dois vértices consecutivos da
região D e os respectivos
vértices correspondentes da
região D’.
Diagonais: é todo segmento de
reta que une dois vértices não
pertencentes a uma mesma face.
Classificação dos prismas
Prisma reto: as arestas laterais são
perpendiculares ás bases.
Os prismas retos são os mais
importantes, devido à sua utilização
nas formas geométricas do nosso
mundo físico.
Observe que as faces laterais de
um prisma reto são retângulos:
Prisma oblíquo: as arestas
laterais não são
perpendiculares às bases.
Denominação de um prisma
De acordo com o número de lados das
bases de um prisma, ele recebe um nome
especial.
Assim, se as bases de um prisma são
triângulos, é triangular; se são quadriláteros,
é quadrangular, e assim sucessivamente.
Prima regular
Um prisma é chamado regular quando
satisfazer duas condições:
For reto e apresentar bases formadas por
polígonos regulares.
Para você fazer – p. 14
1) Qual é a soma das medidas dos ângulos
internos das faces de um prisma
pentagonal?
A soma das medidas dos ângulos internos das faces é
dada pela soma das medidas dos ângulos internos de
dois pentágonos e de cinco quadriláteros.
Assim, lembrando que 180º . (n – 2) é a soma das
medidas dos ângulos internos de um polígono qualquer,
temos que:
2 . 180º . (5 – 2) + 5 . 180º . (4 – 2) = 2880º
Para você fazer – p. 14
2) Quantas diagonais tem um prisma reto cuja
base é um hexágono?
Uma diagonal é um segmento de reta que une
dois vértices não-pertencentes a uma mesma
face.
Assim, a partir do vértice A, podem sair três
diagonais, como mostra a figura ao lado.
Analogamente, de cada um dos seis vértices da
base superior, podem sair três diagonais.
Assim, o número de diagonais do prisma é igual a
6 . 3 = 18
Medida da superfície (área) de um
prisma reto
Uma caixa tem o formato de
um prisma quadrangular, em
que a base é um retângulo
cujas as dimensões são 10
cm e 20 cm, e a altura mede
8 cm. Desconsiderando-se o
material gasto nas dobras e
sabendo-se que as caixas
são confeccionadas com
papelão, qual a quantidade
de material utilizada para a
construção de cada caixa?
Medida da superfície (área) de um
prisma reto
Para calcular a medida
da superfície da caixa,
basta adicionar as
áreas.
St = (10.20).2 + (20 + 10 + 10 + 20).8
St = 400 + 480
St = 880cm²
Portanto, são necessários aproximadamente 880 cm² de papelão para confeccionar cada caixa.
Você se lembra?
Para você fazer
Calcule a medida da superfície total do
prisma hexagonal reto da figura a seguir:
l ². 3
+ b.h
St = 2.6.
4
2². 3
+ 12.6
St = 12.
4
St = 12 3 + 72 cm²
(
)
Resolução de atividades
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Volume do prisma
Para obtermos a expressão do volume de um prisma de base
qualquer, podemos utilizar o Princípio de Cavalieri.
Considere um prisma de altura h e superfície da base um polígono
com área SB e um paralelepípedo retângulo, com a medida da altura e
da área da base congruentes ás medidas do prisma.
Ambos estão apoiados em um plano α, como mostra a figura a seguir:
Volume do prisma
Todo plano b que secionar os dois sólidos o
fará segundo figurar de mesma área, pois
um paralelepípedo é também um prisma e,
em qualquer prisma, uma seção paralela à
base tem a mesma área desta (da base).
Assim, pelo Princípio de Cavalieri, temos que
O volume de um prisma qualquer,
Cuja superfície da base tem área
SB, é dado por:
V prisma = V paralelepípedo
V prisma = S B .h
Para você fazer
Calcule, em litros, o volume de um prisma hexagonal regular cuja
altura mede 4√3m e cuja aresta da base mede √3m.
Por ser mais comum utilizar o milimetro e o litro, é
oportuno revisar nesse momento as seguintes equivalências :
1 cm 3 = 1mL
1dm 3 = 1L
1m 3 = 1000 L
Sendo SB a medida da supeficie da base, temos :
l² 3
S B = 6.
= 6.
4
( 3) .
2
4
3
= 6.
3 3 18 3 9 3
=
=
m²
4
4
2
O volume V é igual ao produto da área da base pela medida
da altura :
V = SB . h =
9 3
.4 3 = 54m³ ou 54 000 litros
2
Resolução de atividades
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