Aula 12 - Programa de Engenharia Elétrica

UFRJ-COPPE- Programa de Engenharia
Elétrica
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Sistemas Não-Lineares I
Liu Hsu
Programa de Engenharia Elétrica, COPPE/UFRJ
Aula 12 UFS
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II
J
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Análise de Estabilidade via método direto de Lyapunov
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Dificuldade do Métod Direto: encontrar uma função de Lyapunov (V )
adequada.
Boas Notı́cias:
• Classe importantes de sistemas de controle têm construção sistemática
de V .
• Dada uma função V pode-se tentar modificar o sistema com a lei
de controle de modo que V̇ seja negativa definida → Sı́ntese de
Controle via Lyapunov.
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Análise de Lyapunov para sistemas lineares
• fato 1: A V (x) pode ser escolhida sempre como uma forma quadrática.
V (x) = xT P x (P = P T )
(1)
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• fato 2: Se o SLIT tem origem AE, a forma quadrática pode ser
encontrada sistematicamente.
Observação 1 : Dada uma forma quadrática xT M x, sempre poT
demos substituir M pela sua parte simétrica M +M
pois
2
M + MT
)x
x Mx = x (
2
Assim podemos sempre supor P simétrica.
T
T
• fato 3: Se a origem do SLIT é AE então ela também é EE.
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Interpretação geométrica de xT P x > 0
Isso lembra a propriedade de circuitos passivos não defasarem mais do
que 900.
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Os coeficientes de Rayleigh
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Se P > 0
λmin(P )kxk2 ≤ xT P x ≤ λmax(P )kxk2
(2)
Interpretação geométrica: A superfı́cie z = xT P x está confinada
entre duas superfı́cies de revolução geradas por duas curvas quadráticas.
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Teorema Fundamental do Caso Linear
Teorema 1 : A é uma matriz de Hurwitz, isto é, Re(λi < 0), para
todos os autovalores de A, se e somente se, dada qualquer matriz Q > 0,
existe uma matriz P > 0 que satisfaz a equação de Lyapunov:
AT P + P A = −Q
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(3)
Além disso, se A é Hurwitz, a solução P > 0 é única.
A função de Lyapunov V = xT P x > 0 tem derivada
V̇ = xT (AT P + P A)x = −xT Qx < 0.
2
Prova: [Khalil 2002], p. 13 e [Slotine & Li 2002], p. 82
Exemplo:
0 −1
A=
−2 −1
(4)
É Hurwitz pois λ1,2 = −1±j
2 . Se usarmos uma P qualquer é provável
que não tenhamos V̇ < 0.
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0 −3
x≶0
−3 −2
(5)
Agora, dada Q = I, devemos resolver a equação de Lyapunov para
encontrar P .
Matlab “lyap”para obter a solução:
V̇ (x) = ẋT P x + xT P ẋ = xT (AT P + P A)x = xT
P = lyap(AT , Q)
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(6)
que resulta em:
P =
1 −0.5
−0.5 1.5
>0
(7)
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É conveniente entender que a equação de Lyapunov leva a um conjunto de n(n−1)
equações lineares.
2
As incógnitas são os elemementos de P (excetuando aqueles abaixo
da diagonal principal, que são definidos por simetria)(ver [Khalil 2002],
p. 137).
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Um lema de comparação
O seguinte lema de comparação é fundamental.
Lema 1 : Se uma função real W (t) satisfaz a desigualdade
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Ẇ (t) ≤ −αW (t),
onde α é um número real, então
W (t) ≤ W (0)e−αt
2
Trata-se de um lema de comparação pois considera a solução do sistema de comparação:
ẋ(t) = −αx(t); x(0) = W (0)
cuja solução é x(t) = W (0)e−αt.
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Estimativa do transitório de sistemas lineares: ẋ = Ax
Sabemos que existe um par (P, Q), P > 0, Q > 0, que satisfaz a
equação de Lyapunov AT P + P A = −Q e que então V (x) = xT P x
tem derivada V̇ = −xT Qx.
Pela desigualdade de Rayleigh temos as seguintes desigualdades:
(a) V̇ (x) ≤ −λmin(Q)kxk2
(b) V (x) ≥ λmin(P )kxk2
(c) V (x) ≤ λmax(P )kxk2 → kxk2 ≥
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(8)
1
λmax (P ) V
(x)
Levando (c) em (a) obtemos:
V̇ (x) ≤ −
λmin(Q)
V
λmax(P )
e utilizando o lema de comparação anterior, obtemos, com
2γ =
λmin(Q)
λmax(P )
(9)
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V (t) ≤ e−2γtV (0)
(10)
Agora, em termos de kxk temos (utilizando novamente (b) e (c)):
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−2γt
2
λmin(P )kxk ≤ λmax(P )e
kx(0)k
Portanto obtemos a estimativa para o transitório:
kx(t)k ≤
λmax(P )
λmin(P )
12
λ
(Q)
− 2λmin (P ) t
e max kx(0)k
ou seja, kx(t)k ≤ Ke−γtkx(0)k; K ≥ 1.
Observação 2 : K está ligado ao “overshoot”que o sistema pode ter
transitoriamente
Como escolher P e Q de modo a se ter a melhor estimativa de γ?
A pergunta vem do fato de que o par (P, Q) não é único. Dado
qualquer Q > 0 tem-se uma solução P para a equação de Lyapunov.
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Então qual Q escolher para se ter a maior razão
escolher Q = I (!) (ver livro do Strang).
λmin (Q)
λmax (P ) ?
Basta
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Funções de Lyapunov Motivadas Fisicamente
V (x) pode ser obtida das propriedades fı́sicas do sistema:
Energia Total e Dissipação (Passividade).
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Exemplo: Controle de posição de um robô.
Equações de Euler-Lagrange em coordenadas das juntas (q):
H(q)q̈ + b(q, q̇) + g(q) = τ
q ∈ Rn vetor de coordenadas das juntas
b
forças de Coriolis e centrı́petas
H
matriz de inércia do manipulador
g
forças gravitacionais
τ
torques aplicados em cada junta
Observação 3 : É desprezado o atrito intrı́nseco das juntas.
(11)
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Controle PD
Uma lei simples: Proprcional-Derivativa com compensação da gravidade:
τ = −KD q̇ − KP q + g(q)
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onde KD e KP são matrizes simétricas e positiva definidas.
• Para analisar a estabilidade do sistema em malha fechada construindo uma função da Lyapunov, notamos que 12 q̇ T H q̇ representa
a energia cinética do manipulador.
• Notamos ainda que o termo P D introduz em cada junta um “amortecimento linear”(D) e uma “mola linear”(P ).
• A energia potencial nas molas é dada por
1
1 T
1
q
K
q
.
P
2
Como anulamos o efeito da gravidade, o robô em si deixa de acumular energia potencial.
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A candidata a V é:
1
V = [q̇ T H q̇ + q T KP q]
2
Pela lei da conservação de energia sabe-se que
(12)
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−2q̇ T b + q̇ T Ḣ q̇ = 0
.
Então, calculando V̇ temos:
V̇ =
=
=
1 T
T
T
T
2 q̈ H q̇ + q̇ H q̈ + q̇ Ḣ q̇ + 2q̇ KP q
1
T
KD q)] + q̇ T Ḣ q̇ +
2 2[q̇ (−b − KD q̇ −
1
T
T
T
2 (−2q̇ b + q̇ Ḣ q̇) + q̇ KD q̇
2q̇ T KP q
(13)
Pela propriedade da conservação de energia (estamos desprezando o
atrito), temos que o termo entre colchetes é nulo.
Assim,
(14)
V̇ = −q̇ T KD q̇
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Então, pelo teorema de LaSalle, o equilı́brio q = 0 é AE.
Como a função V é radialmente ilimitada, a estabilidade assintótica
é global (GAE), conclusão nada trivial, tratando-se de um sistema
bastante complexo.
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Funções de Lyapunov do tipo Lur´e
Lur´e formalizou o seguinte problema conhecido como o problema de
Estabilidade Absoluta.
Seja o sistema de controle:
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
u = −ψ(t, y)
(Desenhe o diagrama de blocos.)
(15)
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Suponha-se, para simplificar, que y ∈ R1 e u = R1 e que ψ seu
gráfico,∀t, esteja contido em um setor cônico do plano (y, u).
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Figura 1: O setor [k1, k2]
O problema consiste em estabelecer condições para garantir que a
origem seja (uniformemente) assintoticamente estável independente de
ψ, desde que contida no setor [k1, k2].
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Definição 1 Diz-se então que o sistema seria absolutamente estável
no setor [k1, k2].
• Motivação: na prática, a caracterı́stica não linear de algum dispositivo de controle freqüentemente não é perfeitamente conhecida,
podendo inclusive variar de um sistema para outro (p. ex.: a caracterı́stica de um atuador).
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• Problema de Robustez: o problema é importante pois a estabilidade deve ser garantida apesar da incerteza sobre ψ.
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Para solucionar o problema, a seguinte classe de funções foi proposta
por Lur’e para sistemas multivariáveis com y, u ∈ Rp e para ψ(t, y) =
ψ(y), i.e., invariante no tempo:
p
X
1 T
V (x) = x P x +
γi
2
i=1
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yi
Z
ψi(σ)dσ
(16)
0
• Tal função está intimamente ligada ao Critério de Popov que veremos mais adiante.
• Em particular pode-se impor γi ≡ 0, isto é, tem-se uma simples
forma quadrática. Tal abordagem leva ao Critério do Cı́rculo que
será mais adiante apresentado.
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Sistemas de Persidskii
Vamos considerar sistemas

a11

a
ẋ =  21
 ...
an1
do tipo
a12
a22
...
an2
...
...
...
...
a1n
a2n
...
ann


ϕ1(x1)


  ϕ2(x2) 


  ... 
ϕn(xn)]
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(17)
onde ϕ1 ∈ (0, ∞)
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Fazendo P = 0:
V̇ (x) =
n
X
i=1
Z
yi
ψi(σ)dσ
γi
(18)
0
Esta equação é conhecida como função do tipo Persidski, [Bhaya and
Kaszkurewicz 1999], que permite solucionar o problema para sistemas
de Persidskii.
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