Sumário

Sumário
1
Introdução
2
2
Instalação do wxMaxima
2
3
Operadores básicos:
2
4
Entradas e saídas no wxMaxima:
2
5
Trabalhando com o wxMaxima:
3
6
Manipulação de expressões matemáticas :
5
7
Matrizes:
5.1
5.2
5.3
7.1
7.2
7.3
7.4
8
8.2
8.3
9.2
11
7.1.1
7.1.2
7.1.3
o passo: . . . . . . . . . . . . . .
o
2 passo: . . . . . . . . . . . . . .
o
3 passo: . . . . . . . . . . . . . .
1
Inserindo por linha de comando
. . .
Principais operações com matrizes:
Determinantes . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1
8.1.2
8.1.3
8.1.4
o
o
2
o
3
o
4
1
passo:
passo:
passo:
passo:
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Inserindo por linha de comando
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Sistemas com uma, nenhuma e innitas soluções:
Copiando como imagem:
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
o
o
2
o
3
o
4
1
passo:
passo:
passo:
passo:
.
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Eliminando variáveis:
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4
4
5
6
7
7
7
7
7
8
9
10
Inserindo pela barra de ferramentas:
wxMaxima no dia-a-dia
9.1
10
Inserindo pela barra de ferramentas
Sistemas de equações lineares:
8.1
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operadores Avançados: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funções Matemáticas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Constantes Matemáticas:
10
10
10
10
10
10
12
13
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Grácos:
Exercícios:
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13
13
13
13
13
14
15
15
1
1
Introdução
O Maxima é um Sistema de computação algébrica(CAS-do inglês Computer Algebra System ) derivado do sistema Macsyma, desenvolvido no Instituto de Tecnologia de Massachussets(MIT) como
parte do projeto MAC. Esse tipo de software nos permite manipular expressões matemáticas, plotar
grácos em duas ou três dimensões e, no caso do Maxima, além das inúmeras vantagens comuns
aos demais CASs ele ainda é um software livre1 .
O wxMaxima pode ser executado em vários SOs como Windows, Linux e MacOS X. O instalador do
wxMaxima para Windows e Linux pode ser encontrado no endereço http://wxmaxima.sourceforge.net.
2
Instalação do wxMaxima
Para proceder à instalação do wxMaxima,enconta-se disponível um tutorial na internet clicando no
seguinte link : http://www.youtube.com/watch?v=ZunpJX30Kq0&feature=youtube_gdata. Caso
tenha alguma dúvida sobre o assunto podem ser encontrados vários outros tutoriais que tratam da
instalação deste na internet utilizando sites de pesquisa como o Google ou sites como o Youtube,
no caso de diculdades e no caso de diculdades posteriores favor entrar em contato com o e-mail
[email protected] .
3
4
Operadores básicos:
Operadores
Função
+
*
/
!
É o operador de soma
É o operador de subtração
É o operador de multiplicação
É o operador de divisão
É o operador de exponenciação
É o operador de fatoração
Entradas e saídas no wxMaxima:
Toda entrada de comando no wxMaxima vem acompanhada do símbolo (%iN), sendo o i do inglês
in (entrada ) e o N representa o número de identicação da entrada, por exemplo a 1a linha sempre
vem rotulada com o símbolo (%i1).
As saídas vem acompanhadas do símbolo (%oN) no qual o o é do inglês out (saída ) e o N é o número
que identica a saída.
1 Software livre, segundo a denição criada pela Free Software Foundation, é qualquer programa computacional
que pode ser usado, copiado, estudado e redistribuído sem restrição.
O conceito de software livre se opõe ao conceito de software restritivo, mas não ao software que é vendido almejando
o lucro(software comercial).
2
5
Trabalhando com o wxMaxima:
Com o wxMaxima aberto, faça as seguintes operações:
Obs: é imprescindível o uso do
ponto e vírgula(; ) após cada linha de comando.
(%i1) 2+96;
(%o1) 98
(%i2) 3-45;
(%o2)
− 42
(%i3) 3+(-45);
(%o3)
− 42
(%i4) 3*x;
(%o4) 3 x
(%i5) 5/4;
5
4
(%i6) 5.0/4.0;
(%o5)
(%o6) 1.25
(%i7) 3^2;
(%o7) 9
(%i8) x^3;
(%o8) x3
(%i9) y**0;
(%o9) 1
(%i10) 5!;
(%o10) 120
Caso deseje trabalhar com números decimais, outra opção seria usar o comando
oat(expressão);
(%i11) 11/3;
11
3
(%i12) float(%);
(%o11)
(%o12) 3.666666666666667
3
5.1 Constantes Matemáticas:
Para utilizar os valores reais de constantes matemáticas, como `pi', devemos escrever
antes da constante o operador `%'.
(%i13) 2*pi;
(%o13) 2 π
(%i14) float(%);
(%o14) 2.0 π
(%i15) 2*%pi;
(%o15) 2 π
(%i16) float(%);
(%o16) 6.283185307179586
5.2 Operadores Avançados:
Operadores
Função
:
:=
É o operador que atribui valor a uma variável
É o operador para denir uma função
(%i17) x:4;
(%o17) 4
(%i18) y:%pi;
(%o18) π
Às variáveis `x' e `y' foram atribuidos, respectivamente os valores `4' e
(%i19) f(x):=x^2+1;
(%o19) f (x) := x2 + 1
(%i20) g(y):=sin(y);
(%o20) g (y) := sin (y)
4
‘π‘.
Como já declaramos f(x) e g(y), e atribuimos valores a `x' e a `y', podemos calcular:
(%i21) f(x);
(%o21) 17
(%i22) g(y);
(%o22) 0
(%i1) a(theta):=theta^2+2*theta+1;
(%o1) a (θ) := θ2 + 2 θ + 1
(%i2) a(1);
(%o2) 4
(%i3) a(2);
(%o3) 9
5.3 Funções Matemáticas:
Comando
Função
sqrt(expressão)
x(m/n)
log(expressão)
Retorna a raiz quadrada da expressão
Retorna a raiz n-ésima de x elavado a `m'
Retorna o logaritmo neperiano da expressão
Funções Trigonométricas:
Função Trigonométrica
6
Descrição
sin(x), sinh(x)
Seno, Seno hiperbólico
cos(x), cosh(x)
Cosseno, Cosseno hiberbólico
tan(x), tanh(x)
Tangente, Tangente hipérbolica
acos(x)
Arco-cosseno
asin(x)
Arco-seno
atan(x)
Arco-tangente
Manipulação de expressões matemáticas :
Como foi citado na introdução desta apostila, uma grande vantagem do wxMaxima é
nos permitir a manipulação de expressões complicadas. Seguem abaixo alguns exem-
5
plos simples nos quais ele se mostra muito útil:
(%i1)
(%o1)
(%i2)
cos(x)^3;
cos (x)3
trigreduce(%);
cos (3 x) + 3 cos (x)
4
(%i3) cos(x)^2+sin(x)^2+2;
(%o2)
(%o3)
(%i4)
(%o4)
(%i5)
sin (x)2 + cos (x)2 + 2
trigsimp(%);
3
trigreduce(%o3);
cos (2 x) + 1 1 − cos (2 x)
+
+2
2
2
(%i6) ratsimp(%);
(%o5)
(%o6)
(%i7)
(%o7)
3
cos(2*theta);
cos (2 θ)
(%i8)
trigexpand(%);
(%o8)
cos (θ)2 − sin (θ)2
(%i9)
(%o9)
7
factor(a(theta));
(θ + 1)2
Matrizes:
No wxMaxima as matrizes podem ser inseridas de duas formas distintas, pela barra
de ferramentas do software ou por linha de comando. Como se pode ver abaixo:
6
7.1 Inserindo pela barra de ferramentas
Para inserir uma matriz pela barra de ferramantas do wxMaxima, siga os seguintes
passos:
7.1.1
1o passo:
7.1.2
2o passo:
7.1.3
3o passo:
7.2 Inserindo por linha de comando
Para se inserir um matriz no wxMaxima se utiliza o comando:
.
.
.
.
.
matrix([a1 ,1 , a1 ,2 , . . . , a1 ,n ], [a2 ,1 , a2 ,2 , . . . , a2 ,n ], [ ..,
.,
.], [am ,1
, am ,2 , am ,n ]);
Podendo também ser nomeada como no exemplo abaixo, onde `A' recebeu a matriz
criada.
(%i28) A:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);
7

(%o28)

1 2 3
4 5 6
7 8 9
7.3 Principais operações com matrizes:
Com o wxMaxima podemos efetuar operações com matrizes, algumas dessas operações estão exemplicadas abaixo.
Obs: A multiplicação matricial se dá com o operador `.', já o operador
multiplicação de cada entrada da 1
∗
a matriz pela respectiva entrada da 2a .
(%i29) B:matrix([3,1,2],[-1,0,3],[4,2,-5])$
(%i30) C:matrix([10,-2,-6],[2,1,6],[5,4,2])$
(%i31) B+C;


13 −1 −4
1
9
(%o31)  1
9 6 −3
(%i32) B-C;


−7 3
8
(%o32) −3 −1 −3
−1 −2 −7
(%i33) B.C;


42 3
−8
14
12 
(%o33)  5
19 −26 −22
(%i34) B*C;


30 −2 −12
0
18 
(%o34) −2
20 8 −10
Comando para se obter a transposta de uma matriz
8
realiza a
(%i35) transpose(B);


3 −1 4
0
2
(%o35) 1
2 3 −5
(%i36) D:invert(B);
 2

− 35 − 51
5
7
23
11 
(%o36) −
15
15
15
2
2
1
− 15
15
15
(%i37) adjoint(B);


−6 9
3
−23 −11
(%o37)  7
−2 −2
1
7.4 Determinantes
Para se obter o determinante de uma matriz utilizando o wxMaxima podemos simplesmente utilizar o comando determinant(matriz).
(%i21) determinant(A);
(%o21)
0
(%i22) determinant(B);
(%o22)
− 15
(%i25) determinant(C);
(%o25)
− 290
(%i26) determinant(D);
(%o26)
−
1
15
9
8
Sistemas de equações lineares:
Assim como para as matrizes, também podemos inserir sitemas lineares no wxMaxima de duas maneiras distintas, pela barra de ferramentas e por meio da linha de
comando. É importante resaltar que quando inserir um sistema de equações é masi
prático nomeá-lo para facilitar sua identicação e manter a organização.
8.1 Inserindo pela barra de ferramentas:
8.1.1
1o passo:
8.1.2
2o passo:
8.1.3
3o passo:
8.1.4
4o passo:
8.2 Inserindo por linha de comando
Para inserir por linha de comando seguimos a seguinte estrutura: [Equação 1, Equação 2],[Variável 1, Variável 2];.
Para obter a solução do sistema se usa o comando 'solve'.
(%i38) sis:[2*x+y=5,3*x-2*y=4],[x,y];
10
(%o38)
[y + 2 x = 5, 3 x − 2 y = 4]
(%i39) solve(sis);
(%o39)
[[y = 1, x = 2]]
Uma outra forma de trabalharmos com sistemas lineares é escreve-los na forma
de uma matriz aumentada ou expandida, que no wxMaxima é feito utilizando o comando `augcoefmatrix', após inserir o sistema como no exemplo anterior, obtendo
assim, a sua solução através do escalonamento da mesma, com o comando `triangularize'.
(%i40) M:augcoefmatrix(sis,[x,y]);
2 1 −5
(%o40)
3 −2 −4
(%i41) triangularize(M);
2 1 −5
(%o41)
0 −7 7
Utilizando a ferramenta de plotagem gráca do wxMaxima, podemos fazer uma
interpretação geométrica do conjunto solução de um sistema, escrevendo cada equação deste, em função de uma variável.
(%i5)
plot2d([5-2*x,(-4+3*x)/2],[x,-0.5,6],[y,-0.5,6]);
11
8.3 Sistemas com uma, nenhuma e innitas soluções:
Sistema impossível
(%i1)
(%o1)
(%i2)
(%o2)
sis1:[-2*x-y=-5,-8*x-4*y=-25],[x,y];
[−y − 2 x = −5, −4 y − 8 x = −25]
solve(sis1);
[]
Sistema possível determinado:
-->
(%o1)
-->
(%o2)
sis2:[-x-y=-4,-2*x-3*y=-2],[x,y];
[−y − x = −4, −3 y − 2 x = −2]
solve(sis2);
[[y = −6, x = 10]]
Sistema possível indeterminado:
(%i1)
(%o1)
sis3:[-2*x+4*y=-2,4*x-8*y=4],[x,y];
[4 y − 2 x = −2, 4 x − 8 y = 4]
12
9
wxMaxima no dia-a-dia
Um dos recursos que o wxMaxima disponibliliza para os seus usuários é a possibilidade de utilizar o que esteja sendo trabalhado para outros programas, como copiar
como imagem, copiar como LaTex e copiar como texto. Segue abaixo como copiar
como imagem.
9.1 Copiando como imagem:
9.1.1
1o passo:
9.1.3
3o passo:
9.1.2
2o passo:
9.1.4
4o passo:
13
9.2 Eliminando variáveis:
Quando se trabalha com variáveis algumas vezes é conveniente limparmos os valores
antes a elas atribuidos, para um melhor e mais prático trabalho.
No wxMaxima
utilizamos o comando kill(variável) para eliminar o valor antes atribuido a variável,
se quisermos eliminar todas as variáveis utlizamos kill(all) como mostra o exemplo
abaixo:
(%i1)
(%o1)
(%i2)
(%o2)
(%i3)
(%o3)
(%i4)
(%o4)
x:3;
3
y:6;
6
x+y;
9
kill(x);
done
(%i5)
x+y;
(%o5)
x+6
(%i6)
x:5;
(%o6)
(%i7)
(%o7)
(%i8)
(%o0)
5
x+y;
11
kill(all);
done
(%i1)
x+y;
(%o1)
y+x
14
10
Grácos:
Grácos no wxMaxima podem ser inseridos de duas maneiras distintas, a primeira
pela barra de ferramentas do software, que pode ser vista no APÊNDICE A, e a
segunda por linha de comandos como segue abaixo:
(%i40) plot3d(sin(x)^2, [x,-5,5], [y,-5,5]);
11
Exercícios:

−1
= 2 
3

1.
Se A

4
=  −3 ,
7

e B
determine a matriz
X tal que X + 2B = A.
2. Seja
X umamatriz quadrada de ordem 2 tal que 5X −2A = 2X. Se
18 9
A=
, calcule a matriz X.
9 18
3.
Seja
B=
4.
(aij )
uma matriz quadrada de ordem 2 tal que
1 0
−1 1
Sejam
A
. Calcule
e
B
aij = 2i − 3j
e seja
X tal que X + 2A = 2B
matrizes
2x2
tais que
AB = BA
15
e que satisfazem à equação
2
matricial A + 2AB
−
−
a)AB 1 = B 1A
− B = 0.
Se
B
é inversivel, mostre que:
b)A é inversivel

1
0 1/2 −1
 −2 5
2 −3 

A=
 1 −1 2
1 
−5 1 3/2 0

1
3 −1/2 1
 1 −2 −2 3 

B=
 −1 1
1
1 
5 −1 1/2 5


5.
Sejam as matrizes
C34
Determine o elemento
6. A
da matriz
e
C = (A + B)−1
t
são matrizes e A é a matriz transposta de
t
abaixo, então a matriz A .B será nula para:
e
B
+ y = −3
= −4
= −8
7.
Uma matriz real
dade e
At
igual a:
1
a)
4√
3
d)
2
8.
e
Se
A
e
B
são dadas

1
B= 2 
1


2 −3
A= 1 y 
x 2

a)x
x
c)
y
y
e)
x
A.
b)x.y = 2
2
d)x.y = −1
A
é ortogonal se
indica a transposta de
√
3
4
3
e)
2
b)
c)
Se
1
2
Dadas as matrizes
A.
A.At= I , onde
I indica a matriz identi1
x
2
2
2
A=
é ortogonal, então x + y é
y z
AB =
−1 0
2 1
e
AC =
2 1
0 −1
, calcule
A(B + C)
A(BAC).

9.
Se

−1
A= 2 
3

e

4
B =  −3 ,
7
determine a matriz
16
X tal que X + 2B = A.
10. Seja
X uma
matriz quadrada de ordem 2 tal que 5X − 2A = 2X .
18 9
A=
, calcule a matriz X.
9 18
Se

11.
Determine a matriz
X
tal que
XA + B = 0,sendo
dados

3
A =  −2 
5
e


1
B =  −2 
4
12.Sendo A =
X que verica a
−1 2
4 −1
, B =
e C =
,
1 0
2 1
igualdade 3(X − A) = 2(B + X) + 6C .
2 1
3 −1
1 0
13. Sabendo que A = −1
1
a.verique se A−1 = 11 01 ;
e
B=
2 5
3 −1
determine a matriz
:
b.determine X tal que AX = B .



1
3 − 12 −1
1
0 21 −1


 −2 5 2 −3 
 e B =  1 −2 −2 3 
A=
 −1 1
 1 −1 2 1 
1
1 
3
1
−5 1 2 0
5 −1 2
5

14.
(ITA-SP) Sejam as matrizes:
Determine o elemento
15.
C34
da matriz C =
(A + B)−1
(UEL-PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio
de cóodigos matemáticos, seguindos passos:
1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave
2) O destinatário recebe do remetente uma matriz
C.
P, tal que M C = P , onde M é a
matriz mensagem a ser decodicada.
3) Cada número da matriz
3=
c, . . . 3,
23 =
M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b,
z.
4) Consideremos o alfabeto com
23
letras, excluindo as letras
17
K, W e Y.
5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação.
6) A mensagem é lida, encontrando a matriz
M,
fazendo a correspondência nú-
mero/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue:
m11 , m12 , m13 , m21 , m22 , m23 , m31 , m32 , m33 .

Considere as matrizes

1 1 0
C = 0 −1 0
0 2 1

e

2 −10 1
P = 18 38 17
19 14 0
[1mm]
Com base nas informações descritas, assinale a alternativa que a presenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz
a)Boasorte!
b)Boaprova!
M.
c)Boatarde!
e)Socorro!
d)Ajudeme!

No caso em que

1 1 1
C = 0 −1 0,
0 2 0
seria possível decodicar a mensagem? Por
quê?
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