Derivacao Implicita - MAT 140 - 2015-II

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MAT140 - Cálculo I - Derivação Implı́cita e
Derivadas de Ordem Superior
28 de agosto de 2015
MAT140 - Cálculo I - Derivação Implı́cita e Derivadas de Ordem Superior
UFV
Derivação Implı́cita
Considere o seguinte conjunto
R = {(x, y ); y = 2x + 1}
O conjunto R representa a reta definida pela equação y = 2x + 1. Note
que esta equação define uma função explicitamente. De fato, define a
função f (x) = 2x + 1.
Mas, nem todas as funções podem ser definidas explicitamente, como pode
ser visto no exemplo abaixo.
UFV
Exemplo
Seja
A = {(x, y ); xy + y 2 + 2x 3 = 0}
Note que não podemos resolver y em função de x e nem x em função de
y . Além disso, podem existir ou não, funções f que satisfaçam a equação
xy + y 2 + 2x 3 = 0
(1)
Exemplo
Note que
x 2 + y 2 = −1
não define nehuma função a valores reais que satisfaça a equação.
UFV
Uma equação pode definir mais de uma função f que satisfaça a mesma.
Exemplo
Considere a equação
x2 + y2 = 4
Note que esta equação define duas funções, a saber
p
p
f1 (x) = 4 − x 2 e f2 (x) = − 4 − x 2
onde amabas, f1 e f2 , satisfazem a equação acima.
Assim, podemos ter equações que não definam nenhuma função, definam
exatamente uma ou definam mais de uma função.
UFV
Voltamos agora a atenção novamente para a equação (1). Como vimos,
(1) não pode ser resolvida explicitamente em função de x. Mas pode existir
uma função (ou mais de uma) f que satisfaça (1), isto é, que a equação
xf (x) + f (x)2 + 2x 3 = 0
seja satisfeita, no sentido que a igualdade seja válida para todo x no
domı́nio de f . Neste caso, a função f está definida implicitamente pela
equação (1).
Se f é derivável e definida implicitamente por uma equação dada, mesmo
sem explicitar f , é possı́vel (caso exista) encontrar sua derivada. O método
que usaremos para este fim é chamado derivação implı́cita.
UFV
Exemplo
Suponha que f é derivável e definida pela equação (1), isto é, y = f (x)
satisfaça
xf (x) + f (x)2 + 2x 3 = 0
Aplicando as regras de derivação para a equação
xy + y 2 + 2x 3 = 0
obtemos
d
d
(xy + y 2 + 2x 3 ) =
(0)
dx
dx
m
d
d 2
d
(xy ) +
(y ) + 2 (x 3 ) = 0
dx
dx
dx
UFV
m
dy
dy
d
(x).y + x.
+ 2y .
+ 6x 2 = 0
dx
dx
dx
m
y + x.
dy
dy
+ 2y .
+ 6x 2 = 0
dx
dx
daı́
(x + 2y )
dy
= −y − 6x 2
dx
m
dy
−y − 6x 2
=
dx
x + 2y
UFV
Exemplo
Considere novamente a equação
x2 + y2 = 4
(2)
Neste caso temos que
y2 = 4 − x2
⇓
y=
p
4 − x2 e y = −
p
4 − x2
Assim, a equação (2) define exatamente duas funções
p
p
f1 (x) = 4 − x 2 e f2 (x) = − 4 − x 2
Derivando implicitamente a equação (2) obtemos
UFV
dy
=0
dx
⇓
2x + 2y
dy
x
=−
dx
y
Agora vamos derivar cada uma das funções f1 e f2
1
f1 (x) = (4 − x 2 ) 2 ⇒ f10 (x) =
1
1
x
(4 − x 2 )− 2 (−2x) = − √
2
4 − x2
1
1
1
x
f2 (x) = −(4 − x 2 ) 2 ⇒ f20 (x) = − (4 − x 2 )− 2 (−2x) = √
2
4 − x2
UFV
Note que, para y = f1 (x), onde f1 (x) =
f10 (x) = − √
√
4 − x 2 , temos que
x
x
=−
y
4 − x2
√
e para y = f2 (x), onde f2 (x) = − 4 − x 2 , temos que
f20 (x) = √
x
x
=−
2
y
4−x
ou seja, as derivadas encontradas das funções f1 e f2 estão de acordo com
a derivada encontrada da equação (2) por derivação implicita.
UFV
Exemplo
Considere a equação
2xy 2 − x 2 = 1
supondo que esta defina uma função f derivável de x. Encontre uma
equação da reta tangente à curva y = f (x), no ponto (1, 1).
Derivando implicitamente, obtemos
2y 2 + 4xy
dy
− 2x = 0
dx
⇓
dy
x − y2
=
dx
2xy
UFV
No ponto (1, 1) temos que
dy 0
1−1
= =0
=
dx (1,1)
2.1.1
2
Usando o ponto (1, 1) e a derivada, obtemos
y − 1 = 0(x − 1) ⇒ y = 1
Veja abaixo o esboço da curva e da reta tangente.
UFV
Figura: Gráfico da curva y = f (x) e da reta tangente à curva no ponto (1, 1).
UFV
Exemplo
Considerando a equação
xcos(y ) + 3xy = 0
suponha que esta define uma função derivável de x. Calcule
Derivando implicitamente
dy
dx .
d
d
(xcos(y ) + 3xy ) =
(0)
dx
dx
⇓
dy
dy
+ 3y + 3x
=0
dx
dx
⇓
cos(y ) + x.(−sen(y ))
dy
−3y − cos(y )
=
dx
3x − xsen(y )
UFV
Derivadas de Ordem Superior
Seja I um intervalo em R e f : I → R uma função derivável. A derivada
de f , a função f 0 , será chamada de derivada primeira de f ou de função
derivada primeira de f .
Caso a função f 0 seja derivável, a derivada de f 0 será denotada por f 00 e
chamda de derivada segunda de f . Analogamente, se f 00 for derivável, a
derivada de f 00 será denotada por f 000 e chamada de derivada terceira de
f.
Para n > 3, a derivada enésima da função f , denotada por f (n) , é a
derivada primeira da função f (n−1) (derivada (n − 1)-ésima de f ).
UFV
Assim
f (0) = f
f (1) = f 0
f (2) = f 00
f (3) = f 000
e para n > 3 usamos a notação f (n) , ou seja, f (4) , f (5) , . . .
UFV
Exemplo
Considere a função polinomial
f (x) = 2x 5 − x 3 + 8x − 7
Temos que f é derivável e segue que
f 0 (x) = 10x 4 − 3x 2 + 8
Note que f 0 também é derivável, de onde obtemos
f 00 (x) = 40x 3 − 6x
Novamente, f 00 também é derivável, logo
f 000 (x) = 120x 2 − 6
UFV
f 000 também é derivável, assim
f (4) (x) = 240x
O mesmo para f (4) , de onde
f (5) (x) = 240
Finalmente, f (5) também é derivável, logo
f (6) (x) = 0
Como f (6) = 0, segue que f (7) = f (8) = . . . f (n) = 0, para todo n > 7.
UFV
Notação de Leibniz
Em relação a notação de Leibniz, a notação para derivadas de ordem
superior é dada a seguir
derivada primeira −→
dy
dx
derivada segunda −→
d 2y
dx 2
..
.
derivada enésima −→
d ny
dx n
UFV
Exemplo
Calcule
d 2y
, sendo que
dx 2
y = x 2 sen(x) + e x
Temos que
d 2
(x sen(x) + e x ) = 2xsen(x) + x 2 cos(x) + e x
dx
d2 2
d
(x sen(x) + e x ) =
(2xsen(x) + x 2 cos(x) + e x )
dx 2
dx
= 2sen(x) + 2xcos(x) + 2xcos(x) − x 2 sen(x) + e x
= (2 − x 2 )sen(x) + 4xcos(x) + e x
UFV

Derivacao Implicita - MAT 140 - 2015-II

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