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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 14:14 Exercı́cios Resolvidos de Fı́sica Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraı́ba (João Pessoa, Brasil) Departamento de Fı́sica Numeração conforme a SEXTA edição do “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 14 Capı́tulo 14 - OSCILAÇÕES 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 2 QUESTIONÁRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EXERCÍCIOS E PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimento Harmônico Simples: A Lei de Força . . . . . . . . Movimento Harmônico Simples: Considerações Sobre Energia Um Oscilador Harmônico Simples Angular . . . . . . . . . . . Pêndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimento Harmônico Simples Amortecido . . . . . . . . . . Oscilações Forçadas e Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jasongallas @ yahoo.com . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 5 6 7 8 8 9 (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 1 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 14 10 de Junho de 2013, às 14:14 Capı́tulo 14 - OSCILAÇÕES I Para pequenas amplitudes, o pêndulo é isócrono, isto é, o perı́odo não depende da amplitude. Contudo, quando as oscilações se dão a ângulos maiores, para 14.1 QUESTIONÁRIO os quais a aproximação sen θ ≈ θ já não é válida, o perı́odo torna-se uma função crescente de θo , o ângulo 2. Quando a massa m1 é suspensa de uma determi- de máximo afastamento da posição de equilı́brio. Uma nada mola A e a massa menor m2 é suspensa da mola discussão interessante a esse respeito está feita no volB, as molas são distendidas da mesma distância. Se ume 2, capı́tulo 3 do Moysés Nussenzveig. os sistemas forem colocados em movimento harmônico simples vertical com a mesma amplitude, qual deles terá 11. Um pêndulo suspenso do teto de uma cabine de mais energia? elevador tem um perı́odo T quando o elevador está parado. Como o perı́odo é afetado quando o elevador I Da equação de equilı́brio para um corpo suspenso de move-se (a) para cima com velocidade constante, (b) uma mola, mg = k ∆ y, concluimos que k1 > k2 . A para baixo com velocidade constante, (c) para baixo kx2 energia do oscilador é E = 2m , portanto E1 > E2 . com aceleração constante para cima, (d) para cima com aceleração constante para cima, (e) para cima com aceleração constante para baixo a > g, e (f) para baixo 4. Suponhamos que um sistema consiste em um com aceleração constante para baixo a > g? (g) Em bloco de massa desconhecida e uma mola de constante qual caso, se ocorre em algum, o pêndulo oscila de tambem desconhecida. Mostre como podemos prever o cabeça para baixo? perı́odo de oscilação deste sistema bloco-mola simplesmente medindo a extensão da mola produzida, quando I penduramos o bloco nela. 16. Um cantor, sustentando uma nota de freqüência I No equilı́brio temos mg = k ∆ y. O perı́odo do apropriada, pode quebrar uma taça de cristal, se este for p m oscilador é T = 2π m , onde a razão desconhecida de boa qualidade. Isto não pode ser feito, se o cristal k k ∆y for de baixa qualidade. Explique por quê, em termos da pode ser substituı́da pela razão g . constante de amortecimento do vidro. 5. Qualquer mola real tem massa. Se esta massa for I O cristal da taça é um sistema oscilante fortelevada em conta, explique qualitativamente como isto mente amortecido. Quando uma força externa oscilante afetará o perı́odo de oscilação do sistema mola-massa. é removida, as oscilações de pequena amplitude no sistema diminuem rapidamente. Para uma força exI terna oscilante cuja freqüência coincida com uma das freqüências de ressonância da taça, a amplitude das 7. Que alterações você pode fazer num oscilador oscilações é limitada pelo amortecimento. Mas, quando harmônico para dobrar a velocidade máxima da massa a amplitude máxima é atingida, o trabalho efetuado pela oscilante? força externa supera o amortecimento e a taça pode então vir a romper-se. I A velocidade máxima do oscilador é vm = ω xm . As possibilidades de duplicar essa velocidade seriam (i) duplicando a amplitude xm , (ii) trocar a mola de constante k por outra de constante 4k, (iii) trocar a massa m por outra massa m/4. Claro, há inúmeras possibilidades de 14.2 EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 0 alterar k e m tal que ω = 2ω. 14.3 Movimento Harmônico Simples: A Lei de Força 10. Tente prever com argumentos qualitativos se o perı́odo de um pêndulo irá aumentar ou diminuir, quando sua amplitude for aumentada. 3E. Um bloco de 4, 00 kg está suspenso de uma certa mola, estendendo-se a 16, 0 cm além de sua posição de http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 2 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 14:14 repouso. (a) Qual é a constante da mola? (b) O bloco (c) é removido e um corpo com 0, 500 kg é suspenso da π 2 mesma mola. Se esta for então puxada e solta, qual o a(t = 2, 0) = −(3π) (6, 0)cos(6π+ ) = −266, 5 m/s2 3 perı́odo de oscilação? (d) π 19π I (a) No equilı́brio, a força exercida pela mola é igual fase = 6π + = 3 3 ao peso da massa. Então (e) ω 3π mg (4, 00)(9, 81) f= = = 1, 5 Hz k= = = 245 N/m 2π 2π ∆y 0.16 (f) (b) O perı́odo será T = f −1 = 0, 67 s. r r m 0.500 T = 2π = 2π = 0, 28 s 20P. Um bloco de 2, 00 kg está suspenso de uma certa k 245 mola. Se suspendermos um corpo de 300 g embaixo do 10E. Uma massa de 50, 0 g é presa à extremidade infe- bloco, a mola esticará mais 2, 00 cm. (a) Qual a conrior de uma mola vertical e colocada em vibração. Se a stante da mola? (b) Se removermos o corpo de 300 g e velocidade máxima da massa é 15, 0 cm/s e o perı́odo o bloco for colocado em oscilação, ache o perı́odo do 0, 500 s, ache (a) a constante de elasticidade da mola, movimento. (b) a amplitude do movimento e (c) a freqüência de I (a) Para calcular a constante da mola usamos oscilaçâo. a condição de equilı́brio com a segunda massa, reI Aı́ temos um exercı́cio que é aplicação direta de sponsável pela deformação adicional da mola: ”fórmulas”: 0 0 m g = kx (a) 2π 2π (0, 300)(9, 81) = k(0, 02 ω= = = 12, 57 rad/s T 0, 500 k = 150 N/m k = ω 2 m = (12, 57)2 (0, 050) = 7, 90 N/m (b) Calculada a constante da mola, vamos ao perı́odo: (b) ym 0, 15 vm = = 0, 012 m = ω 12, 57 r T = 2π (c) r f =T −1 = 2, 0 Hz T = 2π m k 2, 00 = 0, 73 s 150 16E. Um corpo oscila com movimento harmônico sim26P. Um bloco está numa superfı́cie horizontal (uma ples de acordo com a equação mesa oscilante), que se agita horizontalmente num movimento harmônico simples com a freqüência de x = (6, 0 m) cos [(3 π rad/s)t + π/3 rad]. 2, 0 Hz. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e Em t = 2, 0 s, quais são (a) o deslocamento, (b) a ve- a superfı́cie é 0, 5. Qual pode ser a maior amplitude do locidade, (c) a acelera ção e (d) a fase do movimento? MHS, para que o bloco não deslize sobre a superfı́cie? Também, quais são (e) a freqüência e (f) o perı́odo do movimento? I A força responsável pela oscilação não deve exceder a força máxima do atrito estático: I (a) kxm = µe mg π x(t = 2, 0) = (6, 0) cos (6π + ) = 3, 0m 3 ω 2 xm = µe g (b) v(t = 2, 0) = − (3π)(6, 0) sen (6π + π = − 49 m/s 3 http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas 4π 2 f 2 xm = µe g µe g xm = 4π 2 f 2 Página 3 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 14:14 xm = 3, 10 cm O sinal negativo indica que a massa está abaixo da posição de equilı́brio, dirigindo-se para a posição de 30P. Certa mola sem massa está suspensa do teto com máximo afastamento, do ”lado negativo”. objeto ligado à um pequeno objeto preso à sua extremidade inferior. (c) Para determinar a massa do primeiro 0 2 mola, usamos a relação k = mω , tomando ω = ω/2: O objeto é mantido inicialmente em repouso, numa posição yi tal que a mola não fique esticada. O objeto é 0 0 k = (m + m )ω 2 então liberado e oscila para cima e para baixo, sendo sua 2 0 ω posição mais baixa 10 cm de yi . (a) Qual a freqüência mω 2 = (m + m ) da oscilação? (b) Qual a velocidade do objeto quando 4 está 8, 0 cm abaixo da posição inicial? (c) Um objeto de m = 0, 10 kg massa de 300 g é ligado ao primeiro objeto; logo após, (d) Quando as oscilações acontecem com ambos os obo sistema oscila com metade da freq’üência original. jetos presos à mola, a posição de equilı́brio do sistema Qual a massa do primeiro objeto? (d) Com relação a yi , passa a ser onde é o novo ponto de equilı́brio (repouso) com ambos 00 0 0 0 os objetos presos à mola? (m + m )g = (m + m )ω 2 y 00 4g I (a) Os dados do problema sugerem o uso do princı́pio y = 2 = 0, 20 m ω da conservação da energia. Colocamos o referencial para a energia potencial gravitacional na posição mais 33P. Duas molas idênticas estão ligadas a um bloco de baixa: massa m e aos dois suportes mostrados na Fig. 14 − 27. ky 2 mgy = Mostre que a freqüência da oscilação na superfı́cie sem 2 atrito é r 2g = ω 2 y 1 2k f = . r 2π m 2g ω= y ω = 14 rad/s I Qualquer deslocamento da massa produz um igual ∆x de distenção e compressão das molas, tal que a força (b) Ainda trabalhando com a conservação da energia, resultante atuando na massa é mudamos o referencial agora para a posição a 8, 0 cm abaixo de yi : 2k∆x = mω 2 ∆x 2k m r 1 2k f= 2π m 0 0 mgy = ky 2 mv 2 + 2 2 0 2gy − ω 2 y 0 2 ω2 = = v2 v = 0, 56 m/s 35P. Duas molas são ligadas e conectadas a determinada Também podemos chegar a este resultado pela equação massa m, como mostrado na Fig. 14 − 28. A superfı́cie de movimento. A amplitude do MHS subseqüente é é sem atrito. Se ambas as molas tiverem uma constante ym = 0, 05 m e tomando t = 0 quando a massa está de força k, mostre que a freq’üência da socilação de m em yi , temos a constante de fase ϕ = 0: é r 1 k f = . y(t) = ym cos ω t 2π 2m − 0, 03 = 0, 05 cos ω t cos ω t = 2, 2143 rad Para a velocidade da massa, v(t) = − ω ym sen ω t v = (14)(0, 05)sen (2, 2143) = − 0, 56 m/s http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas I Suponhamos que as molas tem constantes diferentes, k1 e k2 . Qualquer deslocamento da massa produz a deformação xt = x1 + x2 , que também podemos escrever como xt = F ( 1 1 F + )= k1 k2 kequivalente Página 4 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 1 kequivalente = k1 + k2 k1 k2 Para a freqüência teremos então s 1 k1 k2 f= )m 2π (k1 + k2 Considerando as molas iguais, com k1 = k2 = k, vem r 1 k f= 2π 2m . 14.4 Movimento Harmônico Simples: Considerações Sobre Energia 10 de Junho de 2013, às 14:14 46P. Uma partı́cula de 3, 0 kg está em movimento harmônico simples em uma dimensão e move-se de acordo com a equação x = (5, 0 m) cos [(π/3 rad/s)t − π/4 rad]. (a) Em qual valor de x a energia potencial da partı́cula é igual à metade da energia total? (b) Quanto tempo leva para que a partı́cula mova-se para esta posição x, a partir do ponto de equilı́brio? I 50P*. Um cilindro sólido está ligado a uma mola horizontal sem massa de forma que ele possa rolar, sem deslizamento, sobre uma superfı́cie horizontal (Fig. 1432). A constante da mola k é 3, 0 N/m. Se o sistema for liberado de uma posição de repouso em que a mola esteja estendida de 0, 25 m, ache (a) a energia cinética translacional e (b) a energia cinética rotacional do cilindro quando ele passa pela posição de equilı́brio. (c) Mostre que nessas condições o centro de massa do cilindro executa um movimento harmônico simples com perı́odo r 3M T = 2π , 2k 42E. Um objeto de 5, 00 kg numa superfı́cie horizontal sem atrito é ligado a uma mola com constante 1000 N/m. O objeto é deslocado 50, 0 cm horizontalmente e empurrado a uma velocidade inicial de 10, 0 m/s, na direção do ponto de equilı́brio. (a) Qual a freqüência do movimento? Quais são (b) a energia potencial inicial do sistema bloco-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a onde M é a massa do cilindro. (Sugestão: Ache amplitude da oscilação? a derivada da energia mecânica total em relação ao tempo.) I (a) A freqüência do movimento é f= ω = 2, 25 Hz 2π (b) A energia potencial inicial é U0 = k∆x2 2 E= U0 = (0, 50)(1000)(0, 5)2 = 125 J (c) A energia cinética inicial é K0 = I A energia mecânica total do oscilador é E = 12 kx2m . Com os dados fornecidos, obtemos E = 0, 10 J. Na posição de equilı́brio, a energia total é só cinética Como o cilindro rola sem escorregar, v = ωR e a energia cinética rotacional pode ser expressa em termos da velocidade linear v: mv02 2 E= E = U0 + K0 = 1 1 1 M v2 + ( M v2 ) 2 2 2 A energia cinética de rotação vale a metade da energia cinética de translação. Portanto, (a) kx2m 2 xm = 0, 87 m 1 1 1 v M v 2 + ( M R2 )( )2 2 2 2 R E= K0 = (0, 5)(5, 0)(10, 0)2 = 250 J (d) Com a conservação da energia temos 1 1 M v 2 + Iω 2 . 2 2 Ktranslação = 0, 067 J (b) Krotação = 0, 033 J. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 5 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB (c) Seguindo a sugestão do enunciado, a energia mecânica total do oscilador é E= E= 1 1 1 M v 2 + Iω 2 + kx2 2 2 2 1 1 v 1 1 M v 2 + ( M R2 )( )2 + kx2 2 2 2 R 2 3 1 E = M v 2 + kx2 4 2 10 de Junho de 2013, às 14:14 14.5 Um Oscilador Harmônico Simples Angular 52P. Uma esfera sólida de 95 kg com um raio de 15 cm é suspensa de um fio vertical preso ao teto de uma sala. Um torque de 0, 20 N.m é necessário para girar a esfera de um ângulo de 0, 85 rad. Qual o perı́odo da oscilação, quando a esfera é liberada desta posição? I O momento de inércia da esfera sólida é Como a energia mecânica total é constante, dE dt = 2 0. Usando nas duas parcelas do lado direito da I = M R2 = 0, 855 kg.m2 equação acima as relações para a posição, velocidade 5 e aceleração do MHS, obtemos A constante de torção do fio é 0= dv dx 3 Mv + kx 2 dt dt κ= τ = 5, 03 N.m/rad θ O perı́odo das oscilações então é r 3 I 0 = M (−ωxm senωt)(−ω 2 xm cosωt)+kxm cosωt(−ωxm senωt) = 2, 59 s T = 2π 2 κ Após as devidas simplificações, resulta 54P. A roda de balanço de um relógio oscila com uma amplitude angular de π rad e um perı́odo de 0, 50 s. Ache (a) a velocidade angular máxima da roda, (b) a velocidade angular da roda quando seu deslocamento é Outra forma de se chegar ao perı́odo pedido é ”conde π/2 rad e (c) a aceleração angular da roda, quando struindo” a equação diferencial que descreve o MHS. seu deslocamento é de π/4 rad. A força resultante atuando é 2k ω = 3M 2 M d2 x = − kx − fatrito dt2 I (a) Assumimos, claro, que o movimento oscilatório inicia na posição de máximo deslocamento angular, de modo que a constante de fase φ = 0: A segunda na lei na forma angular fornece a força de atrito estático 1 1 d2 x Rfatrito = Iα = ( M R2 )( ) 2 2 R dt ωmáx. = ω θm = 4π 2 rad/s (b) θ(t) = θm cos ωt π = π cos 4πt 1 d2 x 2 fatrito = M 2 π 2 dt 4πt = rad 3 Levando este resultado para a equação da força resulLevamos este resultado para a equação da velocidade do tante, vem MHSA: 1 d2 x ω(t) = − ω 2 θm sen ωt (M + M ) 2 + kx = 0 2 dt ω = − 4π 2 sen0, 5 = − 3, 45 π 2 rad/s d2 x 2k (c) Na equação para a aceleração angular, quando + x=0 θ(t) = π4 rad, temos dt2 3M Na segunda parcela da equação acima, a quantidade α(t) = − ω 2 θm cos ωt multiplicando x é igual a ω 2 , levando ao perı́odo do MHS do cilindro. α(t) = − 4π 3 rad/s2 . http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 6 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 14.6 10 de Junho de 2013, às 14:14 Pêndulos velocidade constante v, em um cı́rculo de raio R. Se o pêndulo executa pequenas oscilações numa direção radial em torno da sua posição de equilı́brio, qual será a 64E. Um pêndulo fı́sico consiste em um disco sólido sua freqüência de oscilação? uniforme (de massa M e raio R), suportado num plano vertical por um eixo localizado a uma distância d do I Além da força gravitacional, o pêndulo está sob centro do disco (Fig. 14-35). O disco é deslocado de a ação da força centrı́peta do movimento circular unium pequeno ângulo e liberado. Ache uma expressão forme. Sua aceleração efetiva vale então aefetiva = para o perı́odo do movimento harmônico simples resul- q v4 A força restauradora do MHS é F = g2 + R tante. 2. − maefetiva senθ. Para pequenas oscilações, sen θ ≈ θ I Usamos aqui diretamente a equação para o perı́odo e fazendo θ = Ls , podemos escrever a equação do MHS do pêndulo fı́sico, mas antes precisamos aplicar o teo- para a variaável s rema dos eixos paralelos para ter o momento de inércia p do eixo de rotação passando pelo ponto se suspensão do g 2 + v 4 /R2 d2 s + s = 0, disco: dt2 L 1 onde I = Icm + md2 = M R2 + md2 p 2 g 2 + v 4 /R2 2 ω =( ) A expresão para o perı́odo então é L s nos leva à freqüência f = 2π R2 + 2d2 ω . T = 2π 2gd 75P. Uma haste longa e uniforme de comprimento L e massa m gira livremente no plano horizontal em torno 69P. Uma haste com comprimento L oscila como um de um eixo vertical, através do seu centro. Uma deterpêndulo fı́sico, com eixo no ponto O na Fig. 14-37. (a) minada mola com constante de força k é ligada horizonDeduza uma expressão para o perı́odo do pêndulo em talmente entre uma extremidade da haste e uma parede termos de L e x, a distância do ponto de suspensão ao fixa, como mostra a Fig. 14-38. Quando a haste está centro de massa do pêndulo. (b) Para qual valor de x/L em equilı́brio, fica paralela à parede. Qual o perı́odo o perı́odo é mı́nimo? (c) Mostre que, se L = 1, 00 m e das pequenas oscilaçãoes que resultam, quando a haste g = 9, 80 m/s2 , este mı́nimo é 1, 53 s. é ligeiramente girada e liberada? I (a) Repetimos aqui o problema anterior; com a I A mola exerce um torque restaurador sobre a barra aplicação do teorema dos eixos paralelos para obter o dado por momento de inércia, temos para o perı́odo: s L L L τ = − kx = − k( θ) L2 + 12x2 2 2 2 T = 2π 12gx 2 Da segunda lei angular, τ = I α, com I = mL 12 , es(b) Precisamos agora derivar a expressão do perı́odo em crevemos a equação para o MHS da barra relação à variável x e fazendo a derivada igual a zero, obtemos d2 θ kL2 24x2 = L2 + 12x2 θ = 0, I 2 + dt 4 r 1 x = = 0, 289 na qual identificamos ω 2 = 3k L 12 m , do que resulta o perı́odo (c) Aplicando este valor obtido, x = 0, 289L, e os r m demais dados na expressão do perı́odo encontramos o T = 2π . valor Tmı́n. = 1, 53 s. 3k 72P. Um pêndulo simples de comprimento L e massa m está suspenso em um carro que está viajando a uma http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 7 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 14.7 Movimento Amortecido Harmônico 10 de Junho de 2013, às 14:14 Simples 14.8 83P. Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco (m = 2, 00 kg), uma mola (k = 10, 0 N/m) e uma força de amortecimento F = − bv. Inicialmente, ele oscila com uma amplitude de 25, 0 cm; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para três quartos do seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações. (a) Qual o valor de b? (b) Quanta energia foi ”perdida” durante essas oscilações? q k , da equação para a posição I Considerando b << m obtemos 4bT 3 xm = xm e− 2m 4 p Como b é suposto pequeno, T = 2π m k = 2, 81 s que, levado à equação anterior, fornece o valor de b = 0, 102 kg/s. (b) A energia inicial do oscilador é Eo = 21 kx2m = 0, 313 J. Para t = 4T , teremos − E(4T ) = Eo e 4bT m = 0, 176 J Oscilações Forçadas e Ressonância 87P. Um carro de 2200 libras, transportando quatro pessoas de 180 libras, viaja em uma estrada de terra coberta de pequenas ondulações (costelas), com saliências separadas de 13 pés. O carro balança com amplitude máxima quando sua velocidade é de 10 milhas/h. O carro então pára e os quatro passageiros desembarcam. Quanto sobe a carroceria do carro em sua suspensão devido ao decréscimo de peso? I Vamos resolver o problema em unidades SI. A massa total é mtotal = mcarro + mpassageiros mtotal = 998 + (4)(81, 65) = 1324, 50 kg A amplitude máxima ocorre quando v = 4, 47 m/s. Para a distância entre as costelas temos x = 3, 96 m. Agora podemos calcular o perı́odo Descontando esse valor da energia inicial, teremos a energia perdida pelo amortecimento, que é 0, 137 J. T = 85P. Considere que você está examinando as caracterı́sticas do sistema de suspensão de um automóvel de 2000 kg. A suspensão ”cede” 10 cm, quando o peso do automóvel inteiro é colocado sobre ela. Além disso, a amplitude da oscilação diminui 50 % durante uma oscilação completa. Estime os valores de k e b para o sistema de mola e amortecedor em uma roda, considerando que cada uma suporta 500 kg. I Escrevendo a condição de equilı́brio para cada uma das rodas, temos A freqüência angular é ω = 2π = 7, 09 rsd/s e T a constante elástica do sistema de suspensão é k = mtotal ω 2 = 66580 N/m. Com os passageiros a bordo, a deformação da suspensão é y1 = mtotal g 1324, 5 × 9, 81 = = 0, 195 m k 66580 Sem os passageiros, a deformação é (500)(9, 81) = k(0, 10) k = 4, 905 × 104 N/m 3, 96 x = 0, 886s = vmáx. 4, 47 y2 = mcarro g 998 × 9, 81 = = 0, 147 m k 66580 Pressupondo um pequeno valor para b, tomamos ω = q 2π k O quanto a carroceria sobe após o desembarque dos pasm = 9, 905 rad/s e o perı́odo T = ω = 0, 63 s e sageiros, calculamos pela diferença levamos estes resultados para a equação da posição do movimento amortecido: y1 − y2 = 0, 048 m bT 0, 50xm = xm e− 2m Tomando o logaritmo natural dos dois lados da equação Convertendo as unidades para confirmar o resultado, chegamos ao valor da constante de amortecimento 0, 048 m correspondem às 1, 90 polegadas nas respostas do livro. b = 1100 kg/s http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 8 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 14.9 10 de Junho de 2013, às 14:14 Problemas adicionais 91. Um pêndulo fı́sico consiste em duas hastes com um metro de comprimento que são ligadas como mostra a 88. Um oscilador harmônico simples consiste em um Fig. 14-44. Qual o perı́odo de oscilação com um eixo bloco ligado a uma mola de constante k = 200 N/m. inserido no ponto A? O bloco desliza para frente e para trás ao longo de uma linha reta, numa superfı́cie sem atrito, com ponto de I Precisamos primeiro determinar a posição do centro equilı́brio em x = 0 e amplitude 0, 20 m. Um gráfico de massa das duas hastes. Do capı́tulo 9 sabemos que da velocidade v do bloco como uma função do tempo t é mostrado na Fig. 14-42. Quais são (a) o perı́odo do L m(0) + m(− L/2) =− , ycm = movimento harmônico simples, (b) a massa do bloco, 2m 4 (c) o deslocamento do bloco em t = 0, (d) a aceleração do bloco em t = 0, 10 s e (e) a energia cinética máxima onde L e m são, respectivamente, o comprimento e a massa de cada uma das hastes. A origem do sistema de alcançada pelo bloco. referência está colocado no ponto A. Então, o centro I (a) Basta observar o gráfico para obter o perı́odo: de massa do sistema formado pelas duas hastes está à distância L/4 abaixo do ponto A. Portanto, aı́ temos a T = 0, 20 s. 2 (b) A massa do bloco calculamos pela relação k = mω , distância ”d” do centro de massa do pêndulo ao ponto de suspensão. O momento de inércia do sistema é 200 k = = 0, 20 kg m= 2π/T 10π 2 I = I1 + I2 (c) O deslocamento do bloco em t = 0 é x(0) = xm = 0, 20 m (d) Para a aceleração em t = 0, 10 s, 2 a(t = 0, 10) = − (100π )(0, 20) cos π = 197, 40 m/s2 (e) A energia cinética máxima alcançada pelo bloco é Km = I= 1 5 1 mL2 + mL2 = mL2 3 12 12 Levando os valores de I e d para a expressão do perı́odo, teremos s T = 2π 5L = 2, 59 s. 3g 1 2 mvm = 3, 95 J 2 http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 9 de 9