Capítulo 5 CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE

Capítulo 5
CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
5.1- Análise concentrada
Gradientes de temperatura no sólido são desprezíveis
Balanço de energia no sólido
Exemplo:
dE at
= E! e − E! s + E! g
dt
Sem geração de calor. Não tem calor entrando
E% a = − E% s
t ≤ 0 T=Ti, t→∞ T=T∞
T=T(t)
T∞< Ti
dT
dt
$
!#!
"
ρc∀
taxa variação
energia armazenada
=−
hAs (T − T∞ )
$!#
! !"
!
Calor perdido por convecção
1
Definindo,
θ ≡ T − T∞ ⇒
dθ dT
=
dt dt
ρ cV dθ
= −θ
hAs dt
Utilizando separação de variáveis e integrando de t=0 (θ =θ i ):
⇒
θ
∫
θi
dθ
hAs
=−
θ
ρ c∀
t
∫ dt ⇒ lnθ − lnθ
i
=−
0
hAs
ρ cV θ i
t⇒
ln = t
ρ c∀
hAs θ
- ' hA * 0
θ T − T∞
⇒ =
= exp /− ) s , t 2
θ i Ti − T∞
. ( ρ cV + 1
!"#
1
τt
φ
ρ cV
Def.: τ t ≡
= Rt
!
hAs Resist.
Capacidade
térmica
!
Ct
θ
⎡ t ⎤
= Φ = exp⎢− ⎥
θi
⎣ τt ⎦
convecção
Calor transferido num tempo t*:
Q = ∫ qdt = hA ∫ θdt
t*
0
θ/θi
t*
s
0
.
( −t +1
⇒ Q = ρcVθ i 01− exp* -3
) τ t ,2
/
0
t
2
- Validade do método
- Vamos analisar um problema simples:
parede plana, regime permanente
balanço de calor na superfície: qcond=qconv
qcond
Ts1
kA
(Ts1 − Ts2 ) = hA(Ts2 − T∞ )
L
T −T
L /kA Rcond hL
⇒ s1 s 2 =
=
=
= Bi
Ts 2 − T∞ 1/hA Rconv
k
⇒ Rcond << Rconv → Bi << 1
qconv
a
Ts2
b
c
Ts2
Ts2
- Neste caso é razoável desprezar os gradientes de temperatura.
€
- A condição para a utilização do método é: Bi=hLc/k < 0,1,
onde Lc é um comprimento característico (p.ex. V/A)
- Indicar qualitativamente quais os valores de Bi das curvas da
figura
3
-Adimensionalização da equação para a distribuição de
temperaturas
hAst
ht
hL k t
hLc αt
=
= c
=
= BiFo
ρcV ρcLc
k ρc L2c 
k L2c

Bi
⇒
Fo
θ T − T∞
=
= exp(−BiFo)
θ i Ti − T∞
Significado físico dos adimensionais:
€
Bi → razão entre resistência térmica à condução e
resistência térmica à convecção
Fo → tempo adimensional. Fornece uma medida da eficiência
relativa com a qual um sólido conduz e armazena energia
térmica (qcond~kL2ΔT/L, Ea ~ρcL3∆T/t)
4
5.2 - Análise concentrada generalizada
- Quando ocorrem outras fontes de transferência de calor,
além da convecção. Por exemplo: radiação, geração de calor.
Tviz
Balanço de calor no sólido:
q”rad
q”s
€
A
E˙ g , E˙ a
dT
q ''s + E˙ g − (q ''conv + q ''rad ) A = ρcV
dt
q”conv
dT
q ''s + E˙ g − ( h(T − T∞ ) + εσ (T 4 − Tviz4 )) A = ρcV
dt
€
Esta eq. só tem solução exata em
casos particulares
5
Exemplo:
Uma junção de termopar esférica é usada para medir a temperatura
numa corrente de gás. O coeficiente de convecção entre a junção e o
gás é 400 W/m2K. A condutividade térmica é 20 W/mK, o calor
específico 400 J/kgK e a densidade vale 8500 kg/m3. Calcule o
diâmetro necessário para que o termopar tenha a constante de tempo
de 1s. Se a junção está a 25 0C e o gás a 200 0C, quanto tempo levará
para que a junção chegue a 199 0C?
Efeito de Seebeck:
junção de 2 metais
gera tensão elétrica,
que é função da
temperatura
gás
Ti=25 0C
6
5.3 - Efeitos de espaço
§  quando os gradientes de temperatura não são desprezíveis
Balanço de energia
dE at
= E! e − E! s + E! g
dt
∂T
= ∇ • (k ∇ T ) + q!
∂t
-Parede plana sem geração de calor:
ρ cp
∂T
∂ ⎛ ∂T⎞ ∂ ⎛ ∂T⎞ ∂ ⎛ ∂T⎞
⎜⎜ k
⎟⎟ +
⎜⎜ k
⎟⎟ +
⎜⎜ k
⎟⎟ + qq!"
ρ cp
=
!
∂ t ∂ x⎝ ∂ x⎠ ∂ y⎝ ∂ y⎠ ∂ z⎝ ∂ z⎠
&#%
# #$
#
zero
-condutividade térmica constante:
-disfusivade térmica:
α =
k
ρ cp
&#%
# #$
#
zero
zero
1 ∂T ∂2T
=
α ∂t
∂ x2
7
Exemplo: Parede plana
Parede
isolada
ρ, cp,
k
x
L
h
T∞
1 ∂T ∂2T
=
α ∂t
∂ x2
Condição inicial:
placa com temperatura uniforme Ti
CI : T ( x ,0) = Ti
Condição de contorno:
⎧ ∂T
=0
⎪ ∂x
x=0
⎪
CC : ⎨
⎪ ∂T
= h (T ( L , t ) − T∞ )
⎪− k
∂x x = L
⎩
solução analítica ou numérica
⇒ T = T (x, t , Ti , T∞ , L, k , α , h )
8
-Adimensionalização do problema: limita os valores das variáveis,
generaliza o problema e reduz o número de parâmetros
θ* ≡
θ T − T∞
=
θ i Ti − T∞
x* ≡
x
L
t* ≡
αt
= Fo
2
L
∂ 2θ * ∂θ *
⇒ *2 =
∂x
∂Fo
CI : θ * (x * ,0) = 1
) ∂θ *
=0
+ *
+ ∂x x * = 0
CC : *
+ ∂θ *
*
*
=
−
Bi
θ
(1,t
)

+ ∂x * *
= hL / k
,
x =1
⇒ θ * = θ * ( x * ,Fo,Bi )
9
Ø  Parede plana com convecção
§  Tipicamente a solução da equação é na forma de séries infinitas.
L
x
T(x,0)=Ti
T∞≠Ti
∂ 2θ * ∂θ *
=
*
2
∂Fo
∂x
CI : θ * ( x * ,0 ) = 1
⎧ ∂θ *
=0
⎪ *
⎪ ∂x x* = 0
⎪
CC : ⎨
⎪ ∂θ *
⎪
= − Biθ * (1, t * )
⎪⎩ ∂x * x* =1
T∞,h
- Solução exata: separação de variáveis
∂ τ
∂ 2X
τ
= X
∂Fo
∂x * 2
dividindo por Xτ
θ * = X ( x * )τ ( Fo )
1 ∂ 2X
1∂ τ
=
= − λ2
X ∂x * 2 τ ∂Fo
10
dτ
τ
=
− λ2 d
Fo ⇒ τ =
A exp(− λ2
L
Fo )
T(x,0)=Ti
T∞≠Ti
d2X
+ λ2 X = 0 ⇒ X = B1 cos( λx * ) + B2 sin( λx * )
d x* 2
(
θ * = exp(− λ2 t ) C1 cos( λx * ) + C 2 sin( λx * )
d θ*
(
= exp( − λ2 t )λ − C1 sin( λx * ) + C 2 cos( λx * )
d x*
C.C (1)
C.C (2)
∂θ *
∂x *
x* = 0
∂θ *
∂x *
λ tan( λ ) = Bi
x
)
T∞,h
)
= 0 ⇒ C2 = 0
x* =1
= − Biθ * (1, t * ) ⇒ − λC1 sin( λ ) = − Bi C1 cos( λ )
λn= autovalor
λn tan( λn ) = Bi
11
∞
Solução exata
C.I.
θ * ( x * ,0 )
θ * = ∑ C n cos( λn x * ) exp(− λ2n Fo )
n =0
=1
∞
θ * = ∑ C n cos( λn x * ) = 1
n=0
1
Usando a propriedade de
autofunções ortogonais
*
∫ cos( λn x ) dx
Cn = 0
1
2
*
∫ cos ( λn x ) dx
Cn =
4 sin λn
2λn + sin( 2λn )
0
λn= autovalor
λn tan( λn ) = Bi
12
Solução aproximada (válida para Fo>0,2):
somente primeiro termo da série
θ * = C1 cos( λ1 x * ) exp(− λ12 Fo )
Calor total transferido para/da parede
Ee - Es =
! !
=0
=Q
ΔE a
!
= E(t) - E(0)
⇒ Q = − (E ( t ) − E ( 0 ) ) = − ∫ ρc (T ( x , t ) − Ti )d∀
Def : Q0 = ρc∀(Ti − T∞ )
Para propriedades constantes
(T ( x , t ) − Ti ) d∀ 1
Q
= ∫−
= ∫ 1 − θ * d∀
Q0
Ti − T∞
∀
∀
(
sin λ1 *
Q
⇒
=1−
θ0
Q0
λ1
)
13
-Sistemas radiais
- Solução exata:
Cilindro infinito
R
1 ∂ 2 r*θ * ∂θ *
=
*
*2
r ∂r
∂Fo
CI : θ * (r* ,0) = 1
% ∂θ *
' *
' ∂r
CC : &
*
' ∂θ
' ∂r *
(
T(r,0)=Ti
T∞≠Ti
=0
r* = 0
*
*
= − Bi
θ
(1,t
)

x * =1
= hR / k
Solução exata :
∞
θ * = ∑ Cn exp(−ξ n2 Fo) J 0 (ξ n r* )
r
n=1
T∞,h
Cn =
J0 e J1 = funções de Bessel
J1 (ξ n )
1
2ξ n J 02 (ξ n ) + J12 (ξ n )
ξ n são os autovalores de
ξn
J1 (ξ n )
= Bi
J 0 (ξ n )
14
Solução aproximada (válida para Fo>0,2):
θ * = C1 exp(−ξ12 Fo) J 0 (ξ1r* ) = θ 0* J 0 (ξ1r* )
θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo)
€
15
-Sistemas radiais
1 ∂ 2 r *2θ * ∂θ *
=
r *2 ∂ r *2
∂ Fo
CI : θ * (r *, 0) = 1
"∂θ *
$ *
$ ∂r
CC : #
$∂θ *
$ ∂ r*
%
- Solução exata: Esferas
=0
r* =0
r* =1
*
*
= − Bi
! θ (1, t )
=hR/k
Solução exata:
∞
θ = ∑ Cn exp (−ξ n2 Fo)
*
n=1
1
*
sin
ξ
r
(
)
n
ξnr*
()sin (ξ n ) − ξ n cos (ξ n )*+
Cn =
2ξ n − sin ( 2ξ n )
Solução aproximada (Fo>0,2):
θ * = θ 0*
ξ n são os autovalores de
1-ξ n cot (ξ n ) =Bi
1
sin(ξ1r* )
*
ξ1r
θ 0* = C1 exp(−ξ12 Fo)
16
17
- Gráficos da temperatura adimensional para paredes planas
18
- Gráficos da temperatura adimensional para paredes planas
19
- Gráfico do fluxo de calor adimensional para paredes planas
20
- Gráficos da temperatura adimensional para cilindro infinito
21
- Gráficos da temperatura adimensional para cilindro infinito
22
- Gráfico do fluxo de calor adimensional para cilindro infinito
23
5.4 - Sólido semi-infinito
T(x,0)=Ti
Superfície
a TS
T∞,h
q”s
Ts
Ts
t
Ti
x
T∞
Ts
t
t
Ti
Ti
x
x
24
-Equação de condução de calor:
Três tipos de
condições de
contorno
∂ 2T 1 ∂T
=
2
∂x
α ∂t
CI : T(x,0) = Ti
CC : T(x → ∞,t) = Ti
'
)T(0,t) = T0
))
∂T
x = 0(−k
= q "0
) ∂x
) ∂T
)*−k ∂x = h(T∞ − T)
25
€
-Solução para o caso com CC de temperatura constante:
•  método da similaridade
•  transforma a eq. diferencial parcial em 1 eq. diferencial ordinária.
•  Assumindo que T=T(x,t)=T(η), onde a seguinte transformação existe para
η≡x/(4α t)1/2
∂T ∂T ∂η ∂T ∂ t
1
dT
=
+
=
∂ x ∂η ∂ x ∂ t !
∂ x (4α t )1 / 2 dη
=0
∂ 2T
∂ ⎛∂ T ⎞ ∂ η
1 d 2T
⎜⎜
⎟⎟
=
=
2
(4α t ) dη 2
∂η
∂
x
∂
x
∂ x
⎝
⎠
∂ T ∂T ∂ η ∂T ∂ t
x
dT
=
+
=−
1/2
∂ t ∂η ∂ t !
∂t ∂ t
2 t ( 4α t ) dη
=0
substituindo na eq. de condução
de calor, e usando separação de
variáveis chega-se a:
d 2T
∂T
= −2η
∂η
dη 2
T ( 0 ) = T0
T (η → ∞ ) = Ti
26
-Solução para o caso com CC de temperatura constante:
•  método da similaridade
•  transforma a eq. diferencial parcial em 1 eq. diferencial ordinária.
•  Assumindo que T=T(x,t)=T(η), onde a seguinte transformação existe para η≡x/
(4α t)1/2
∂T ∂T ∂η ∂T ∂ t
1
dT
∂η
1
=
=
+
=
∂ x (4α t )1 / 2
∂ x ∂η ∂ x ∂ t !
∂ x
(4α t )1 / 2 dη
=0
2T
∂
∂ ⎛∂ T ⎞ ∂ η
1 d 2T
⎜⎜
⎟⎟
=
=
2
∂η ⎝ ∂ x ⎠ ∂ x (4α t ) dη 2
∂ x
∂ T ∂T ∂ η
=
∂t
∂η ∂ t
=−
η 2 d 2T
=
x 2 dη 2
∂η
η
x
=−
=−
∂t
2t
2 t (4α t )1 / 2
η dT
2 t dη
2 d 2T
2T
η
∂
1
∂
T
1 ⎛ η dT ⎞
substituindo na
⎟⎟
=
⇒
= ⎜⎜ −
2
α ∂t
x 2 dη 2 α ⎝ 2 t dη ⎠
equação de condução ∂x
de calor
d 2T
dT
= −2 η
dη
dη 2
27
d 2T
∂T
= −2η
∂η
dη 2
T ( 0 ) = T0
Podemos resolver a equação pelo
método de separação de
variáveis:
d (dT / dη )
= −2ηdη
dT / dη
T (η → ∞ ) = Ti
integrando
ln (dT / dη ) = −η 2 + C1'
dT
= C1 exp − η 2 ⇒ T = C1 ∫0η exp − u 2 du + C 2
dη
(
Usando as CC:
)
(
)
C 2 = T0
C1 =
T − T0
⇒
=
Ti − T0
Ti − T0
T − T0
= 2 i
∞
2
π
∫0 exp − u du
2
π
(
)
(
)
η
2
∫0 exp − u du ≡
erf (η )
#"!
função erro
28
Fluxo calor na superfície
q "s = − k
∂T
∂x
= − k (Ti − T0 )
x =0
k (Ti − T0 )
2
π
(
)
d (erf (η ) ) dη
dη
dx η = 0
exp − η 2 (4αt )−1 / 2
η =0
k (Ti − T0 )
⇒ q "s =
(παt )1 / 2
29
Exemplo
Na instalação de uma tubulação em regiões frias, deve-se observar
a possibilidade de congelamento. Obtenha uma estimativa para a
profundidade mínima xm para evitar o congelamento, considerando
que inicialmente o solo está a 20 0C e a temperatura da superfície é
-15 0C por 60 dias.
Ts=-150C
Ti=200C
xm
Propriedades do solo (a 300K):
ρ=2050kg/m3, α=0,138x10-6 m2/s
k=0,52 W/mK, c=1840 J/kgK
T(xm,60dias)=00C
30
Influência de α:
20
20
α=10-7
1,38x10-7
3x10-7
T(0C)
10
5 dias
T(0C)
20 dias
30 dias
10
60 dias
0
-15
0
0
20
40
t(dias)
60
-15
x
31
5.5 - Efeitos multi-dimensionais:
- Princípio da superposição
Exemplo: cilindro curto
t = 0 : T = Ti $
% ⇒ T = T(r,x,t)
T∞ ≠ Ti
&
1 ∂ ) ∂T , ∂ 2T 1 ∂T
⇒
+r . + 2 =
r ∂r * ∂ r - ∂x
α ∂t
T(r,x,t) − T∞ T(x,t) − T∞
T(r,t) − T∞
=
•
Ti − T∞
Ti − T∞ parede
Ti − T∞ cilindro
plana
 infinito

solução 1 -D
solução 1 -D
€
32
Outros exemplos:
33
5.6-Método de diferenças finitas para problemas multi-dimensionais
transientes
1 ∂T ∂ 2T ∂ 2T
= 2+ 2
α ∂t ∂ x
∂y
1. Método explícito
- usar diferenças centrais para o espaço, e no tempo:
t = p Δt
€

n. passos passo
tempo
tempo
p+1
p
Tm,n
− Tm,n
∂T
≈
∂t m,n
Δt
p+1
p
p
p
p
p
p
p
− Tm,n
Tm+1,n
+ Tm−1,n
− 2Tm,n
Tm,n
1 Tm,n
+1 + Tm,n−1 − 2Tm,n
=
+
2
2
α
Δt
Δx
( )
(Δy )
Para Δx = Δy,
p+1
p
p
p
p
p
Tm,n
= Fo (Tm+1,n
+ Tm−1,n
+ Tm,n
+1 + Tm,n−1 ) + (1− 4Fo )Tm,n
Fo =
αΔt
2
(Δx)
34
•  Observa-se que Tpm,n é função apenas das temperaturas
vizinhasnos tempos anteriores
•  A precisão da solução aumenta para menores ∆x e ∆t
•  A escolha de ∆t depende de condições de estabilidade de
solução.
•  A estabilidade requer a escolha de valores de ∆t abaixo de um
•  valor crítico, relacionado ao coeficiente associado ao termo
Tpm,n.
•  Para o exemplo anterior, a condição de estabilidade requer
que
(1-4Fo)≥0⇒Fo≤1/4
•  As equações discretizadas também podem ser obtidas a partir
de um balanço de calor
35
2. Método implícito
-Tp+1m,n depende dos valores de temperatura conhecidos
-O método é sempre estável⇒não tem restrições para ∆t ou ∆x
-A equação discretizada fica:
p+1
p
p*
p*
p+1
p*
p*
p+1
− Tm,n
Tm+1,n
+ Tm−1,n
− 2Tm,n
Tm,n
1 Tm,n
+1 + Tm,n−1 − 2Tm,n
=
+
2
2
α
Δt
(Δx)
(Δy )
p * = p ou p + 1
Para Δx = Δy,
p+1
p*
p*
p*
p*
p
= Fo (Tm+1,n
+ Tm−1,n
+ Tm,n
(1+ 4Fo)Tm,n
+1 + Tm,n−1 ) + Tm,n
Fo =
αΔt
2
(Δx)
- As equações são resolvidas simultaneamente usando o Método
36
€ iterativo de Gauss Seidel