hidraulica de pozos - Docentes - Universidad Nacional de Colombia

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CAPITULO
8
HIDRAULICA DE POZOS
LEONARDO DAVID DONADO GARZON
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
1 INTRODUCCION
2
2 CONCEPTOS BASICOS
2
3 MOVIMIENTO NO PERMANENTE
3
POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO
POZOS DE GRAN DIÁMETRO
4
20
3.1
3.2
4 MOVIMIENTO PERMANENTE
23
4.1
4.2
4.3
23
26
30
ACUÍFEROS CONFINADOS
ACUÍFEROS SEMICONFINADOS
ACUÍFEROS LIBRES
5 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
34
5.1
5.2
34
35
CASO DE DOS POZOS
MÉTODO DE LAS IMÁGENES
6 APLICACIONES
38
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
38
39
39
39
40
40
41
USO DE LA ECUACIÓN DE THEIS
USO DE LA ECUACIÓN DE JACOB
USO DE LA ECUACIÓN DE CHEN
USO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULOS & COOPER
USO DE LA ECUACIÓN DE THIEM
USO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB
USO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER
7 REFERENCIAS
41
2
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS
11 IIN
NT
TR
RO
OD
DU
UC
CC
CIIO
ON
N
Una vez determinadas las posibilidades de producción de agua subterránea en una determinada zona, el
siguiente proceso es determinar su adecuada explotación.
Para una adecuada producción de los pozos de explotación de los acuíferos fuente, es necesario determinar el
uso y así caracterizar de manera económica el beneficio de la explotación del recurso.
A continuación, se presentan los diferentes métodos de análisis de pozos en los diferentes tipos de acuíferos
existentes. La intención es mostrar el desarrollo matemático de todas las ecuaciones que gobiernan el
movimiento del agua subterránea en explotación, ya sea bombeo o recarga de acuíferos.
La principal aplicación planteada en este capítulo es la de determinar los radios de influencia de los pozos para
así se necesita determinar que interferencia pueden tener entre ellos. Además con los conceptos explicados, se
tendrá la capacidad de determinar el abatimiento del nivel freático del acuífero en cualquier punto cuando se esta
extrayendo agua.
2
2 C
CO
ON
NC
CEEP
PT
TO
OS
SB
BA
AS
SIIC
CO
OS
S
La Figura 1 ilustra un pozo en una formación acuífera. En ella se detallan cada uno de los conceptos definidos a
continuación:

Nivel Estático
Es el nivel de agua presente en la formación acuífera antes de comenzar el bombeo. Este nivel se ve afectado
por efectos meteorológicos (precipitación, infiltración) estacionales o por cargas adicionales (edificaciones), o por
la descarga producida por pozos cercanos.

Nivel Dinámico
También llamada nivel de bombeo, por que es producido cuando comienza la descarga de l acuífero por el pozo.
Este nivel depende del caudal de bombeo, del tiempo de bombeo y de las características hidrogeológicas del
acuífero. También se debe tener en cuenta la técnica desarrollada en el diseño de pozo.

Abatimiento
Bajo condiciones de extracción o inyección de un pozo, la carga hidráulica inicial en cualquier punto del acuífero
cambia. En condiciones de extracción de un pozo, la distancia vertical entre la carga hidráulica inicial en un
punto en el acuífero y la posición baja de la carga hidráulica para el mismo punto es llamado abatimiento. Para
un acuífero libre el nivel del agua en el nivel freático está determinado por la distancia s(x,y,z,t), la cual es el
abatimiento. Para el caso del acuífero confinado, el abatimiento es definido con respecto a la superficie
piezométrica. Este descenso de niveles, define la curva de abatimiento, por lo tanto es claro que el abatimiento
presente su menor valor en lejanías del pozo y el mayor valor en el pozo. La dimensión del abatimiento es la
longitud [L]. El abatimiento es generalmente expresado en metros de agua
3

Cono de depresión
Pozo
Q
Superficie piezométrica
antes del bombeo
Al producirse el descenso del nivel estático
del pozo, se establece un gradiente
Superficie del terreno
hidráulico entre cualquier punto de la
formación y el pozo, originándose un
movimiento radial desde todas las
direcciones hacia el pozo en una forma
simétrica y de tal manera que el caudal Q
Abatimiento
que se extrae del pozo es igual al caudal
Acuífero libre
que pasa por cualquier sección del acuífero.
al tiempo t +∆t
A medida que la velocidad aumenta mayor
h
será el gradiente hidráulico ya que aumenta
Capa filtrante confinate
h(r,t)
la fricción existente entre el fluido y las
partículas sólidas en contacto; es por eso
r
Acuífero confinado
∆r
que lo que se forma alrededor del pozo se le
b
conoce como cono de depresión que sobre
Q(r)
Q(r+∆r)
2rw
un plano vertical presenta una curva
Datum
conocida con el nombre de curva de
Lecho impermeable
abatimiento.
La forma, alcance y
Figura 1 Esquema representativo del bombeo de un pozo.
profundidad de este cono de depresión
dependerá
de
las
condiciones
hidrogeológicas (transmisividad y coeficiente de almacenamiento del acuífero), del caudal y el tiempo de bombeo
o inyección. En el acuífero confinado el cono de depresión es la representación de la variación de los niveles
piezométricos en tanto que en el acuífero libre es además la forma real de la superficie piezométrica.
z
al tiempo t
0

Capacidad Específica
Es la relación que existe entre el caudal que se obtiene de un pozo y el abatimiento producido y se expresa en
unidades de caudal por longitud, [L3/T/L]. Este valor es contante para acuíferos confinados y variables para los
acuíferos libres; es un término que representa el grado de eficiencia de un pozo ya que de dos pozos perforados
en una misma formación acuífera, el de menor capacidad específica tendrá menos eficiencia. El grado de
eficiencia de un pozo lo determinaremos con base en la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento de la
formación acuífera, (con la cual podremos calcular un valor de la capacidad específica teórica) el valor de la
capacidad específica real medida en el pozo.
3
3 M
MO
OV
VIIM
MIIEEN
NT
TO
ON
NO
OP
PEER
RM
MA
AN
NEEN
NT
TEE
En 1935 Theis planteó el modelo matemático para describir el movimiento de agua subterránea en acuíferos
homogéneos e isotrópicos. Este modelo describe el flujo transiente en acuíferos bajo condiciones constantes de
extracción de un pozo en acuíferos. A pesar de sus limitaciones tiene muchas aplicaciones en la hidráulica de
pozos. Trata el pozo como una línea origen y no toma en consideración el agua obtenida del almacenamiento
dentro del pozo. Papadopulos y Cooper generalizaron la ecuación de Theis considerando los efectos de
almacenamiento.
4
3.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO
3.1.1 Acuíferos confinados
3.1.1.1 Consideraciones Básicas
Para el cumplimiento del Modelo de Theis hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones
esquematizadas en la Figura 2.

Acuífero homogéneo e isotrópico
Acuífero horizontal y de espesor constante, b
Descarga contante, Q
No hay goteo
Acuífero de extensión infinita
El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo
El pozo penetra todo el acuífero
Antes del bombeo la carga piezométrica en el acuífero en la misma en cada punto del acuífero
La descarga del pozo es obtenida exclusivamente del almacenamiento del acuífero
El agua es inmediatamente liberada del almacenamiento del acuífero al declinar la carga hidráulica
El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica
Q
Pozo
antes del bombeo
z
al tiempo t
al tiempo t +∆t
h
Capa confinate
Acuífero confinado
0
r
h(r,t)
∆r
b
Q(r)
Q(r+∆r)
2rw
Lecho impermeable
Datum
Figura 2. Flujo inestable en un pozo que penetra totalmente en un acuífero
confinado. Sección transversal vertical.
3.1.1.2 Ecuación de Movimiento
Utilizando la Ecuación de Movimiento que gobierna en flujo en acuíferos isotrópicos:
 ∂ 2h ∂ 2h 
∂ 2 h S ∂h
K  2 + 2  + K 2 =
T ∂t
∂y 
∂z
 ∂x
Donde T es la transmisividad, S el coeficiente de almacenamiento y K es la conductividad hidráulica.
[3.1]
Sabiendo que T = K b y
ecuación:
5
S = S s b , analizando el problema bidimensional, se obtiene la siguiente
∂ 2h ∂ 2h S ∂ h
+
=
∂x 2 ∂y 2 T ∂t
Utilizando coordenadas polares, donde r =
caudal es definida por v r = v r (r, z, t ) = −K
[3.2]
x 2 + y 2 y considerando la ley de Darcy, que en términos de
∂h(r, z, t )
, donde K es la conductividad hidráulica en dirección
∂r
radial.
La tasa total del flujo a una distancia r del pozo es:
Q(r ) = A r v r = −(2 π r b ) qr = 2 π r T
∂h
∂r
[3.3]
La carga piezométrica una distancia r es h(r,t); luego de un tiempo ∆t, la carga piezométrica es será h(r,t+∆t) y la
disminución de la carga piezométrica es:
∆h = h(r, t + ∆t ) - h(r, t )
[3.4]
Usando la figura 3.1, y aplicando la ecuación de continuidad:
[Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t = 2 π r ∆r ∆h S
∂Q
∂h
=2π r S
∂r
∂t
y como ∆r → 0 y ∆t → 0
[3.5]
[3.6]
Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación 3.6, se obtiene:
1 ∂  ∂h  S ∂h
r  =
r ∂r  ∂r  T ∂t
∂ 2h 1 ∂ h S ∂ h
+
=
∂r 2 r ∂r T ∂t
[3.7]
Si el abatimiento está definido por: s = h0 − h
∂ 2 s 1 ∂s S ∂s
=
+
∂r 2 r ∂r T ∂t
Que es la ecuación de movimiento en flujo transitorio radial.
3.1.1.3 Condiciones de Frontera
Según las suposiciones de Theis, las condiciones son las siguientes:
[3.8]
6

Para el Abatimiento
Cuando no se está extrayendo agua en cualquier punto del acuífero el abatimiento es nulo; es decir:
∀ r, en t=0, s(r,t) = s(r,0) = 0
En condiciones de extracción de agua, se supone que en la distancia más lejana del pozo, el abatimiento es nulo;
es decir: ∀ t>0, en un radio r = ∞ , s(r,t) = s(r, ∞ ) = 0.

Descarga
Si se tiene que en cuenta que sólo se produce abatimiento cuando se extrae agua, se concluye que:
Cuando t < 0,
Cuando t ≥ 0,
Q=0
Q = constante
Ahora, como la tasa de bombeo es constante en el pozo, de la ecuación 3.6, se tiene que para t ≥ 0 :
Q
 ∂s 
lim r  = −
r →0  ∂ r 
2π T
[3.9]
3.1.1.4 Solución de la Ecuación de Movimiento
Para encontrar la solución se aplica el método de separación de variables (Piskunov, 1977); es decir se busca la
solución particular de la ecuación 3.8 en forma de un producto de dos funciones:
s(r, t ) = f (r ) ⋅ g(t )
[3.10]
Remplazando está función en la ecuación 3.8 se obtiene:
1
S
f ′g = fg′
r
T
f ′′ 1 f ′ S g′
+
=
f r f
T g
f ′′g +
[3.11]
Al demostrar que son separables, estás funciones son iguales a una constante, que se llamará λ . Entonces
igualando λ al lado izquierdo de la ecuación 3.11:
f ′′ 1 f ′
+
=λ
f r f
1
f ′′ + f ′ = fλ
r
1
f ′′ + f ′ − fλ = 0
r
Al solucionar por operador cuadrático:
1
D2 + D − λ = 0
r
D=−
7
[
]
1
1 ± 1 + 4 λr 2
2r
Pero dependiendo del valor que tome el discriminante, se obtendrán las diferentes raíces, así:
i)
Si 1 + 4λr 2 > 0 , existen 2 raíces reales diferentes: D = −
Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e
ii)
+ C 2e
Sí 1 + 4λr 2 = 0 , existen 2 raíces reales iguales: D = −
Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e
iii)
− 21r 1 + 1 + 4 λr 2 


− 21r
+ C2 r e
− 21r
[
− 21r 1 − 1 + 4 λr 2 


1
2r
.
Si 1 + 4λr 2 < 0 , existen 2 raíces imaginarias diferentes: D = −
Entonces
f (r ) = e
la
− 21r
solución
(
]
1
1 ± 1 + 4 λr 2 .
2r
[
(
1
1 ± i − 1 + 4 λr 2
2r
)]
particular
)
(

 1
 1
2 
2
C1 cos − 2r − 1 + 4λr  + C 2 sen − 2r − 1 + 4λr




es:
) .

Igualando ahora al lado izquierdo de la ecuación 3.11 a λ: λ
S g′
=λ
T g
,
Integrando:
S g′
= λ
g ∫ , y luego despejando g(t) se llega a:
S
ln(g) = λt + M
T
∫T
g(t ) = P e S , donde P = e M = constante
λTt
Por lo tanto, como de f se obtienen tres soluciones, la solución de la ecuación 3.8 puede tener tres formas:
i)
− 21r 1 +

s(r , t ) =  C1 (λ )e 

(
ii)
s(r , t ) = C1 (λ )e
iii)
s(r , t ) = e
− 21r
1 + 4 λr 2 

+ C 2 (λ )e
+ C 2 (λ ) r e
− 21r
)e
− 21r 1 − 1 + 4 λr 2 


 λSTt
e

λTt
S
(λSTt − 21r ) 
 1
 1
2 
2
C1 (λ ) cos − 2r − 1 + 4λr  + C 2 (λ ) sen − 2r − 1 + 4λr




(
)
(
)

Para cada valor de λ , las constantes arbitrarias C1, C2 y P tienen valores determinado; por eso C1 y C2; son
funciones de λ y absorben el valor de P. También se aclara que la suma de las tres formas de solución son
soluciones de la ecuación 3.8, debido a su linealidad..
8
3.1.1.5 Solución de Theis
Para encontrar la solución y el valor de las constantes, Theis reemplazó las condiciones iniciales y de frontera en
las anteriores combinaciones, y así encontró la función de abatimiento por analogía de transferencia de calor en
sólidos:
A
s(r, t ) = e −u
[3.12]
t
Donde A es una constante y u =
r 2S
. Para t>0, el volumen total V, de agua tomado del acuífero es:
4tT
V=
∫
∞
0
2 π r s S dr
[3.13]
Reemplazando 3.12 en 3.13:
V=
V=
∫
∞
∫
∞
0
0
2 πr
A −u
e S dr
t
[3.14]
r2s
A −
2 π r e 4tT S dr
t
Al solucionar esta integral se tiene que:
A
V =2πS
t
∫
∞
0
e
−
r 2s
4tT
r 2s

−
2
A
r dr = 2 π S − Tt e 4tT
t  S





r=∞
[3.15]
r =0
De donde:
V =4πTA
V
A=
4πT
[3.16]
Reemplazando 3.16 en 3.12 se tiene que:
 r 2S 


−
V
4Tt 
s(r, t ) =
e  
4πTt
[3.17]
El Volumen de agua V, del acuífero es removido durante el período de tiempo dt. Así que V=Q t. y dV=Q dt, y
entonces:
9
 r 2S 


−
dV
4Tt 
ds (r, t ) =
e  
4πTt
[3.18]
Si el agua es bombeada a una tasa de Q por unidad de tiempo de t=0 a t=t en el origen por integración se
obtiene:
 r 2S 


Q dt −  4Tt 
ds (r, t ) =
e
4πT t
t
 r 2S 


Q
dt −  4Tt 
s(r, t ) =
e
4 π T ∫0 t
[3.19]
[3.20]
r 2S
Reemplazando: u =
, entonces:
4Tt
s(r, t ) = h0 - h(r, t ) =
∞
Q
e -u
du
4 π T ∫u u
[3.21]
Donde:
∞
e −u
∫u u du = −Ei(− u) = W(u)
[3.22]
La integral exponencial se conoce como la función de pozo de Theis, y su solución está dada por una serie de
potencias:
u2
u3
u4
+
−
+K
2.2! 3.3! 4.4!
n
∞
n u
W (u) = −0.5772 − ln(u) − ∑ (− 1)
n.n!
n=1
W (u) = −0.5772 − ln(u) + u −
[3.23]
Ahora se puede definir el abatimiento en términos de la curva de Theis:
s(r, t ) =
Q
W (u)
4πT
[3.24]
La Figura 3 muestra la curva típica de Theis, útil para determinar las parámetros hidrogeológicos de acuíferos
confinados usando datos de pruebas de bombeo. También se pueden trazar isolíneas de tiempo graficando el
abatimiento en función del radio e isolíneas de radio, graficando el abatimiento en función del tiempo.
10
Figura 3 Curva de Theis. (Batu, 1998)
La ecuación es aplicable a acuíferos libres si el abatimiento es pequeño comparado con el espesor b de la
formación. (Batu, 1998)
2
r
La ecuación se cumple para la siguiente condición: t > 250 c , donde rc es el radio del pozo, por no tener en
T
cuenta el almacenamiento en el pozo. Si los parámetros K, b, S y Q son conocidos, se puede determinar el
abatimiento de la carga hidráulica en el acuífero confinado a cualquier distancia r del pozo, en cualquier tiempo.
Lo único necesario es determinar el valor del parámetro u y así encontrar el valor de la función del pozo de Theis,
W(u).
Figura 4 Isolíneas de tiempo y de radio en función del abatimiento. (Batu, 1998)
11
3.1.1.6 Ecuación de Jacob
Cooper & Jacob, 1946, tomaron en cuenta que cuando u,u < 0.01, la suma de los términos más allá de ln (u), en
la ecuación 3.23, no es significativa. Los valores de u decrecen cuando el tiempo se incrementa y cuando la
distancia radial r decrece. Bajo esas condiciones:
Q
[− 0.5772 − ln(u)]
4πT
[3.25]
Q
[ln(0.5614) − ln(u)] = Q ln (0.5614)
4 πT 
u
4πT

[3.26]
s(r, t ) ≅
s(r, t ) ≅
r 2S
Reemplazando, u =
4 Tt



(0.5614) = Q
Q
s(r, t ) ≅
ln

4 πT 
r 2 S  4 πT
4Tt 

 2.25 Tt 
ln r 2 S 


[3.27]
La ecuación 3.27 es conocida como la ecuación de Jacob. Que expresada en términos del logaritmo en base 10
es igual a:
s(r, t ) ≅
2.302 Q  2.25 Tt 
log
4πT 
r 2 S 
[3.28]
Como primera aplicación de la ecuación de Jacob se puede usar para obtener el radio se influencia, cuando el
abatimiento es nulo. Entonces despejando el Radio se obtiene
 2.25 Tt 
ln R 2 S 


2.25 Tt
0 = ln
R 2S
0=
Q
4πT
 Tt 
R = 1.5 
S
1
2
[3.29]
La ecuación de Jacob tiene la ventaja, respecto a la ecuación de Theis, de no requerir la consulta o tablas de la
función de pozo de Theis.
3.1.1.7 Capacidad Específica y Estimación de Transmisividad
La capacidad específica, CE de un pozo es definida como la relación de su descarga con su abatimiento total
[CE=Q/s]; en otras palabras es el caudal por unidad de abatimiento. Se puede desarrollar una muy simple
ecuación para estimar la transmisividad a partir de la capacidad específica, usando la ecuación de Jacob. Esta
derivación está basada en un diámetro medio del pozo en un período promedio de bombeo, y valores típicos del
coeficiente de almacenamiento y producción específica.
12
Para acuíferos confinados, Driscoll en 1986 (Batu, 1998) asumió los siguientes valores típicos:
Tabla 1 Valores típicos para acuíferos confinados según Driscoll. (Batu, 1998)
Parámetro
Tiempo, t
Radio del pozo, rw
Producción, S
Transmisividad, T
Valor
1
0.152
0.001
373
Unidades
Día
m
Adimensional
m2/día
Sustituyendo estos valores en la ecuación de Jacob, se obtiene:
[ s ] = CE [m ] = T [m día]
día
s [m]
1.385
2
3
Q m
2
[3.30]
w
[
2
T m
] = 1.385 CE [m día]
2
día
[3.31]
Para un acuífero libre, con producción específica Sy=0.075, como valor típico, y el resto de valores mostrados en
la tabla 1, se produce la siguiente relación:
[ s ] = CE [m ] = T [m día]
día
s [m]
1.042
2
3
Q m
2
[3.32]
w
[
2
T m
] = 1.042 CE [m día]
día
2
[3.31]
Si se tienen múltiples pozos, la información obtenida de las anteriores ecuaciones puede usarse para estimar la
conductividad hidráulica promedio (Kmed [m/d]) del acuífero, mediante la siguiente relación:
K med =
∑K L
∑L
n n
[3.32]
n
Donde K es la conductividad de cada pozo, n es el número del pozo y L es la longitud del filtro.
3.1.1.8 Ecuación de Chen
En 1984, Chen extendió la ecuación de Theis, para acuíferos de extensión lateral finita, como islas o meandros.
Determinó que la distancia en la cual el abatimiento es nulo, en condiciones de bombeo, es conocida, y la llama
R. Es decir: s(R,t) = 0, donde R es la es la distancia radial donde la energía es cero. La solución encontrada se
conoce como la Ecuación de Chen (Batú, 1998):
s(r, t ) =
Q
4π T
[W(u) − W(U) + 2I]
Donde:
U=
R 2S
4Tt
[3.33]
13
 u  12 
J0   χn   U χ2 (1 − x ) 
∞
 U 
 1  − x − n 4U  dx

I=∑
e
∫
χn J1 (χn ) 0
x
n=0
χn = R βn
Donde:
J0, J1: función de Bessel de orden cero y uno.
βn:
es la enésima raíz que satisface J0(R χn) = 0.
4π T s
Q , que es la usada para efectos prácticos. Se nota que cuando
La Figura 5 muestra la gráfica u contra
R 2S
U ≥ 4, la solución es igual a la de Theis. En otras palabras, sólo cuando t ≤
, se justifica usar este
16T
modelo.
Solución de Theis
Figura 5 Curva de Chen. (Batu, 1998)
3.1.2 Acuíferos Semiconfinados
Hantush y Jacob en 1955 (Batu, 1998), desarrollaron el modelo aplicable a acuíferos semiconfinados, isotrópicos
y homogéneos, ilustrado en la Figura 6. Estos dos investigadores tuvieron en cuenta las siguientes suposiciones:
14
antes del bombeo
Q
durante el bombeo
(cono de depresión)
z
Nivel Estático
s
sw
r
al tiempo t +∆t
Qv
Capa confinante
hw
Acuífero
confinado
H
b
2rw
Lecho impermeable
Figura 6. Acuífero semiconfinado

Acuífero homogéneo e isotrópico
Acuífero horizontal y de espesor constante, b, y su capa confinante posee un espesor constante b’ y una
conductividad hidráulica vertical K’.
Descarga contante, Q
Acuífero de extensión infinita
El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo
El pozo penetra todo el acuífero
La capa confinante no almacena agua
El flujo en el acuífero es horizontal y el goteo es vertical
Inicialmente, la tabla de agua posee la misma altura de la carga hidráulica del acuífero y es igual a h0.
La ecuación diferencial parcial para flujo radial, fue obtenido por Jacob en 1946, es la ecuación que gobierna el
movimiento en este tipo de acuíferos. Aplicando el principio de continuidad, par el anillo dado, se tiene:
[Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + Q v ∆t = (2πr )∆r ∆h S
Q v = A v = (2πr∆rb )v v
h −h
Usando la Ley de Darcy: v v = K' 0
b'
[3.34]
[3.35]
[3.36]
15
Y combinado las anteriores ecuaciones, se concluye que:
[Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + (2πr∆r )K' h0 − h ∆t = (2πr )S∆r∆h
b'
[3.37]
Como ∆r y ∆s, tienden a cero y aplicando la definición de la derivada, se llaga a:
∂Q
h −h
∂h
+ (2πr )K ' 0
= (2πr )S
∂r
b'
∂t
[3.38]
Y sabiendo que el abatimiento es el la diferencia de niveles, s=h0-h y que el caudal en el acuífero está dado por:
Q(r ) = 2πrT
∂h
∂r
[3.39]
La ecuación es igual a:
∂ 2 s 1 ∂s K '
S ∂s
+
−
s=
2
∂r
r ∂r Tb'
T ∂t
Y sí se reemplaza: B =
Tb'
, la ecuación toma la forma:
K'
∂ 2 s 1 ∂s
s
S ∂s
+
− 2 =
2
∂r
r ∂r B
T ∂t
[3.40]
[3.41]
Las condiciones iniciales y de frontera planteadas, para la cabeza y el abatimiento son:

h(r ,0 ) = h0 , para todo r
s(r ,0 ) = 0 , para todo r
h(∞, t ) = h0 , para todo t
s (∞, t ) = 0 , para todo t
Las condiciones de descarga son:

Q = 0, cuando t=0
Q = constante, cuando t ≥ 0
Q
 ∂h 
lim r  =
r→0
 ∂r  2πT , para t ≥ 0
Q
 ∂h 
lim s  = −
r→0
2πT , para t ≥ 0
 ∂r 
Al igual que Theis, Hantush y Jacob encontraron la solución a la ecuación de movimiento, la cual es:
s(r , t ) =
Q
 r
W u, 
4 πT  B 
[3.42]
16
 r
W u, 
 B  es la función de pozo para acuíferos semiconfinados de Hantush y Jacob. Está función
Donde
describe una serie, cuya expresión es:
∞
1
 r
 u,  = ∫ e
 B u u
Además, u =
2

r 

  
 −u −  B  

u 




du
[3.43]
r 2S
. La Figura 7 tabula los valores de la función de pozo, que también están en tablas en libros
4 Tt
de matemáticas avanzadas e hidráulica de pozos.
Figura 7. Curva de Hantush y Jacob. (Batu, 1998)
3.1.3 Acuíferos Libres
En 1972, Neuman, aprovechando desarrollos realizados por Boulton (1954), (Batu, 1998) simplifico la ecuación
de movimiento en acuíferos libre, ilustrados en la Figura 8. Las consideraciones que él tuvo en cuenta son:
17
Q
z
Nivel Estático
s
sw
FS
r
antes del bombeo
al tiempo t +∆t
durante el bombeo
Kz
A1
Kr
b
ξ
Acuífero
libre
2rw
H
A2
Datum
Lecho impermeable
Figura 3.7 Flujo a un pozo en un acuífero libre
infinito

La tasa de bombeo es contante, Q
El diámetro del pozo es infinitamente pequeño
El pozo penetra completamente en el acuífero
En la zona saturada del acuífero , la ley de Darcy se cumple siempre
El acuífero tiene extensión lateral infinita
El material del acuífero es homogéneo pero anisotrópico, y su principal conductividad hidráulica está
orientada paralela a los ejes coordenados
El agua es bombeada por compactación del acuífero, expansión del aguay drena por gravedad de la
superficie libre
El pozo puede ser tratados como una línea hundida
El abatimiento de la tabla de agua es pequeño comparado con el espesor de la zona saturada
Los efectos de capilaridad son despreciables
La ecuación de movimiento fue plantada en el capítulo 7 y es:
∂ 2 s K r ∂s
∂ 2 s S ∂s
Kr 2 +
+ Kz 2 =
,
∂r
r ∂r
∂z
T ∂t
0<z<ξ
[3.44]
La posición de la superficie libre de los acuíferos libres cambia en el espacio bajo condiciones de flujo transiente,
por este motivo, la superficie libre es tratada como una frontera en movimiento. Bajo esta concepción, la frontera
de la región de flujo, consiste de tres partes complementarias, mostradas en la Figura 8: La frontera de carga
prescrita, A1, la frontera de flujo prescrito, A2 y frontera de la superficie libre, FS. Las otras fronteras tienden al
infinito. La pared del pozo se incluye en A1. Las condiciones iniciales para abatimiento, s(r,z,t) y espesor
saturado ξ(r,t), respectivamente son:
18

s(r,z,0) = 0
ξ(r,0) = b
La condición de frontera del abatimiento en el infinito es s (∞, z, t ) = 0 y en la frontera A2 es
∂s(r ,0, t )
= 0.
∂z
La condición de tasa de bombeo constante Q en el pozo está dada por la siguiente expresión:
∞
lim ∫ r
r →0
0
∂s
Q
dz = −
∂r
2πK r
[3.45]
Neuman, simplificó la ecuación de movimiento, llegando a la siguiente expresión:
∂ 2 s 1 ∂s
∂ 2s
1 ∂s
+
+
K
=
,
D
2
2
∂r
r ∂r
∂z
α s ∂t
0<z<b
[3.46]
Donde:
KD =
Kz
K
K
, αs = r , α y = z
Kr
Ss
Sy
[3.47]
∂s(r , b, t )
1 ∂s(r , b, t )
=−
∂z
αy
∂t
[3.48]
La solución encontrada por Neuman, para el abatimiento es:
s(r , z, t ) =
∞
[
]
∞
1


Q
2
(
)
(
)
4
xJ
x
K
ω
x
+
ωn (x )dx
∑
0
D
0

∫
4 πT 0
n =1


[3.49]
Donde J0 es la función de Bessel de primera clase de orden cero y
ω0 (x ) =
ω0 (x ) =
{1 − exp[− t K (x

− (1 + σ )β − (x

{1 − exp[− t K (x

− (1 + σ )β − (x
s
 2
x

D
2
0
s
D
2
− β0
2
+ β0
2
− βn
2
)]}cosh(β z b )
) bσ   cosh(β b )

)]}cosh(β z b )
) bσ   cosh(β b )
0 D D
2 2
2
2
D
0 D
n D D
 2
2
2 2 D
2
+ βn
x
n
n



Tt
Tt
b
z
S
ts = 2 , ty =
, b D = , zD = , σ =
2
r
b
Sy
Sr
S yr
2
D
Las Figura 9 y 10 muestran la función de pozo de Neuman, en función del abatimiento relativo y el tiempo
relativo.
19
s
he i
eT
va d
r
u
C
C u rva
de
Th e is
Figura 9 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)
Figura 10 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)
20
3.2 POZOS DE GRAN DIÁMETRO
Los pozos de pequeño diámetro generalmente varían entre 0.05 m y 0.25 m. Como se mostró anteriormente,
esos son representados por una línea en los modelos matemáticos. Esta aproximación es válida para los pozos
en este rango de diámetros, pero inapropiada para pozos con un diámetro mayor. En particular, los radios de
pozos excavados pueden ser de
0.5 m a 2 m o más.
antes del bombeo
Q
durante el bombeo
z
Nivel Estático
s
sw
r
rc
al tiempo t +∆t
Capa confinante
Acuífero confinado
b
2rw
Lecho impermeable
Figura 11 Esquema representativa de un pozo de gran diámetro.
La teoría de Theis asume que el
pozo es una línea en el origen.
Esta suposición no tiene en
cuenta los efectos significativos
de almacenamiento. Los efectos
de este almacenamiento en el
pozo, llegan a ser importantes
cuando la transmisividad y el
coeficiente de almacenamiento
del acuífero son pequeños o
cuando diámetro del pozo de
bombeo
es
grande.
Papadopulos y Cooper (1967)
desarrollaron
soluciones
analíticas en y alrededor de
pozos de gran diámetro en
acuíferos
confinados
homogéneos e isotrópicos,
tomando en cuenta los efectos
del almacenamiento dentro del
pozo. Después, Moensch (1985)
presentó modelos matemáticos
que combinaron los acuíferos
semiconfinados de Hantush
(1985) con la teoría antes
mencionada del flujo en pozos de gran diámetro.
3.2.1 Consideraciones Básicas
La Figura 11 muestra la sección transversal de un pozo de gran diámetro que penetra totalmente un acuífero
confinado. Papadopulos y Cooper (1967) desarrollaron una solución analítica bajo condiciones de explotación
con las siguientes suposiciones:

El acuífero es un homogéneo e isotrópico
El acuífero es horizontal y tiene un espesor constante (b)
La tasa de descarga (Q) del pozo es constante
El acuífero no tiene goteo y es horizontalmente infinito
El pozo penetra totalmente el acuífero
Las pérdidas en el pozo son despreciables
Antes del bombeo, la carga hidráulica en el acuífero es la misma en todos los puntos del acuífero
La descarga de los pozos es derivada exclusivamente del volumen almacenado en el acuífero
El agua es inmediatamente tomada en el bombeo, lo que hace decaer la carga hidráulica
El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica
21
La Ecuación de Movimiento es la misma ecuación 3.8, con la condición de que el radio, r ≥ rw .
∂ 2 s 1 ∂s S ∂s
+
=
∂r 2 r ∂r T ∂t
[3.34]
Donde s es el abatimiento en el acuífero a una distancia r en un tiempo t; r es la distancia radial desde el centro
del pozo; S es el coeficiente de almacenamiento del acuífero; T es la transmisividad y rw es el radio efectivo de
la pared del pozo.
Las condiciones iniciales en el acuífero y el pozo, respectivamente, son:

r ≥ rw , cuando s(r,0) = 0, sw (0) = 0
Las condiciones de frontera son:

s(rw,t) = sw(t)
s( ∞ ,t)= 0

Almacenamiento dentro del pozo: 2πrw T
∂s(rw , t )
2 ∂s w (t )
− πrc
= −Q
∂t
∂t
t≥0
Donde sw(t) es el abatimiento en el pozo a un tiempo t y rc el radio del pozo en el intervalo sobre el cual el nivel de
agua decae. Las condiciones iniciales muestran que en un comienzo el abatimiento en el acuífero y en el pozo
es cero. La primera condición de frontera indica que el abatimiento en el acuífero, en una cara del pozo es igual
al abatimiento en el pozo. La segunda señala que el abatimiento en el acuífero en el infinito es cero. Finalmente,
se expresa el efecto que tiene la tasa de descarga del pozo, que es iguala la suma de la tasa de flujo de agua
del pozo y la tasa de descenso en el volumen de agua dentro del pozo.
3.2.2 Ecuación de Papadopulos & Cooper
El problema planteado fue resuelto por Papadopulos & Cooper, mediante la transformada de Laplace (Batu,
1998).
s(r, t ) =
Donde
Q
F (u, α, ρ )
4 πT
8α C (β)
F (u, α, ρ ) =
dβ
π ∫0 D(β )β2
[3.35]
∞
 2 ρ2 

 −β


4u 


[J0 (βρ )A (β) − Y0 (βρ )B(β )]
C(β) = 1 − e




A (β) = βY0 (β ) − 2αY1 (β )
B(β) = βJ0 (β ) − 2αJ1 (β )
D(β ) = [A (β)] + [B(β )] −
2
2
[3.36]
[3.37]
[3.38]
[3.39]
[3.40]
2
r S
r 2S
r
u=
, α= w2 , ρ =
4Tt
rw
rc
[3.41]
J0 y Y0 son las funciones de Bessel de orden cero y primera clase. Y1 es la función de Bessel de primer orden y
de segunda clase.
22

Abatimiento dentro del Pozo
El abatimiento dentro del pozo es obtenido cuando r = rw y puede ser expresado como:
s(r, t ) =
Donde:
Q
F (u w , α)
4 πT
[3.42]
F (u w , α) = F (u, α,1)
[3.43]
2
uw =
rw S
4Tt
[3.44]
Los valores de F (u, α, ρ) son tabulados por integración numérica de la ecuación 3.36. En la Figura 12, los
valores son representados como una familia de cinco curvas de
Q
sw
contra 1/uw; una curva para cada uno
4πT
de los cinco valores del parámetro α. La curva de Theis, es también mostrada en la Figura 12, de la que se
obtienen importantes características de F (u, α, ρ) :
El abatimiento predicho por la ecuación de Theis, se aproxima al abatimiento en el pozo de diámetro finito sólo
para valores de tiempo relativamente grandes. Papadopulos (1967) comparó su aproximación con la Theis, así:
F (u, α, ρ ) ≈ W (u)
10 3 rc
αρ 2
para t > 2.5
,
> 10 4
T
u
[3.45]
10 2 rc
α
,
> 10 3
T
uw
[3.46]
F (u w , α ) ≈ W (u w ) para t > 2.5
Las aproximaciones en las ecuaciones 3.38 y 3.39, son válidas para ambas condiciones: Para pozos que tienen
un pequeño diámetro o acuíferos de transmisividad relativamente alta, el período definido en las anteriores
ecuaciones es muy pequeño. Así pues, para pozos de gran diámetro y acuíferos de baja transmisividad, este
período es considerablemente largo.
Sí 1/uw llega a ser suficientemente pequeño, las curvas se aproximan a líneas rectas que satisfacen la ecuación:
sw =
Qt
πrc
2
=
Volumen de agua descargada
Área del pozo
o
F (u w , α ) =
α
uw
=
Q α
4 πT u w
[3.47]
[3.48]
23
Curva de Theis
Figura 12. Curvas de Papadopulos y Cooper (Batu, 1998)
En los primeros períodos, las líneas rectas representan las condiciones bajo la cual todo el agua bombeada es
obtenida del almacenamiento dentro del pozo. Como resultado, los datos que están dentro del tramo de línea
recta, de las curvas tipo, no dan información acerca de las características hidrogeológicas del acuífero.
4
4 M
MO
OV
VIIM
MIIEEN
NT
TO
OP
PEER
RM
MA
AN
NEEN
NT
TEE
Después de largos períodos de bombeo o recarga de un pozo, el flujo de aguas subterráneas alrededor de un
pozo se aproxima al estado estable. Esto significa que la carga hidráulica del pozo en cualquier punto del
acuífero no cambia con el tiempo. El período requerido para alcanzar el estado estable depende de las
características hidráulicas del acuífero. Para los acuíferos menos permeables el período es más largo que para
los altamente permeables.
Las soluciones de estado estable juegan un papel muy importante en el análisis de datos de abatimiento para la
determinación de las características hidráulicas del acuífero y hacer el avalúo de la zona de influencia de un pozo
o una batería de pozos.
4.1 ACUÍFEROS CONFINADOS
Thiem (1906) fue el primero en derivar una solución para el flujo hacia un pozo en condiciones estables para
acuíferos confinados con base en las siguientes suposiciones:
24

Acuífero horizontal y con espesor constante
Acuífero homogéneo e isotrópico y de extensión lateral infinita
La carga hidráulica tiene una superficie horizontal antes del bombeo
La ley de Darcy es válida en el acuífero
El agua es instantáneamente removida del almacenamiento proporcionalmente con el decaimiento de la
carga hidráulica
La tasa del bombeo del pozo es contante
El flujo es simétrico con respecto al eje del pozo
La ecuación de movimiento (3.8), en flujo estable se reduce a:
Q
antes del bombeo
durante el bombeo
z
Nivel Estático
s
sw
r
al tiempo t +∆t
Capa confinante
b
H
hw
Acuífero
confinado
K
2rw
Lecho impermeable
Figura 13 Esquema representativa de un pozo en un acuífero confinado
∂ 2h 1 ∂h S ∂h
+
=
∂r 2 r ∂r T ∂t
T = K rb
[4.1]
Para condiciones de flujo estable, el término de la derecha tiende a cero, entonces:
∂ 2h 1 ∂ h
+
=0
∂r 2 r ∂r
[4.2]
25
Es necesario conocer las condiciones de frontera de Dirichlet (primer tipo), con referencia en la Figura 13:

h = hw
r = rw
h=H
r=R
Carga piezométrica conocida en la frontera del pozo
Radio del pozo
Nivel de la carga piezométrica antes del bombeo
Radio de influencia del pozo en el cual el abatimiento es cero
4.1.2 Ecuación de Thiem
Utilizando la ecuación de continuidad, a cualquier anillo concéntrico al pozo y teniendo en cuenta que se analiza
el proceso de bombeo, el caudal es negativo (si el pozo fuera de inyección el caudal sería positivo), se tiene que:
[4.3]
− Q = AV = (2πrb ) v r
Donde vr es la velocidad radial dada por la Ley de Darcy:
v r = v r (r, z, t ) = -K
∂h(r , z, t )
∂r
[4.4]
Entonces:
∂h
∂r
[4.5]
Q
∂r
2πrb
[4.6]
Q ln(r )
+C
2πT
[4.7]
Q = 2πrbK
Resolviendo por variables separables:
K∂h =
h(r ) =
Para evaluar C, se aplican las condiciones de frontera:
Si h = hw, entonces r = rw; por lo tanto:
Q ln(rw )
+C
2πT
Q ln(rw )
C = hw −
2π T
hw =
Reemplazando la ecuación 4.5, se obtiene la Ecuación de Thiem
Q ln(r )
Q ln(rw )
+ hw −
2π T
2π T
Q
[ln(r ) − ln(rw )]
h(r ) − h w =
2π T
Q   r 
h(r ) − hw =
ln 
2 π T   rw 
h(r ) =
Analizando la Ecuación de Thiem se puede concluir que:
[4.8]
26

La carga piezométrica h se incrementa asintóticamente con el incremento de la distancia radial r
La superficie piezométrica no puede ascender sobre h(r).
Es válida sólo en la proximidad de un pozo donde el flujo estable ha sido definido.
Con la Ecuación de Thiem, se puede predecir el Radio de Influencia de un pozo, en términos del abatimiento en
el mismo cuando h = H, r = R,
h(R ) − h w =
  R 
Q
ln  ∴ H − hw =
2π T
2 π T   rw 
Q
s = h(R ) − h(rw ) =
  R 
ln 
  rw 
  R 
ln 
2 π T   rw 
Q
[4.9]
Esta forma de la ecuación de Thiem, posee las siguientes características:

La distancia R, para la cual el abatimiento es cero, es el radio de influencia del pozo.
El parámetro R tiene que ser estimado antes de la predicción de los abatimientos.
4.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOS
La Figura 14 muestra un pozo que penetra totalmente un acuífero semiconfinado, a través del cual la filtración
proviene de un acuitardo superior. La solución propuesta independientemente por De Glee & Jacob, se basa en
las siguientes suposiciones:

El acuífero es limitado abajo por un lecho impermeable, y arriba por una capa semiconfinate.
Sobre la capa semiconfinante, existe un acuífero libre que tiene una tabla de aguas horizontal, cuya carga
hidráulica es constante (h0). El suministro de agua al acuífero libre es suficiente para mantener h0 constante.
El flujo en la capa semiconfinante es vertical
Las mismas suposiciones del acuífero confinado
Aplicando la ecuación de continuidad a cualquier anillo de radio r, mostrado en la Figura 14 se tiene que:
Q(r + ∆r ) − Q(r ) + (2πr∆r )v v = 0
[4.10]
Donde vv es la velocidad de goteo desde la capa semiconfinate. Si se divide por ∆r y como ∆r tiende a cero, se
llega a:
 Q(r + ∆r ) − Q(r )

lim 
+ (2πr )v v  = 0
∆r → 0
∆r


∂Q
+ 2πrv v = 0
∂r
La Ley de Darcy por el acuífero semiconfinado, conduce a:
[4.11]
Q
27
antes del bombeo
durante el bombeo
z
Nivel Estático
s
sw
r
al tiempo t +∆t
vv
K’
Capa
semiconfinante
b’
b
hw
Acuífero
semiconfinado
H0
K
2rw
Datum
Lecho impermeable
Figura 14. Esquema representativa de un pozo en un acuífero semiconfinado.
Q(r + ∆r ) − Q(r )
+ (2πr )v v = 0
∆r
∂h
Q(r ) = (2πrb )K
∂r
∂h
Q(r ) = 2πrT
∂r
[4.12]
La Ley de Darcy también controla la velocidad de goteo:
v v = K'
h0 − h
b'
[4.13]
28
Donde K’ y b’ son la conductividad hidráulica y el espesor de la capa confinante (acuitardo).
Reemplazando 4.12 y 4.13 en 4.10, se obtiene:
∂h 

∂  2πrT 
∂r 
 h −h

+ 2πr  K' 0
=0
b' 
∂r

∴
[4.14]
∂  ∂h   h 0 − h 
1 ∂  ∂h  h 0 − h
 = 0 ∴
=0
 r  + r 
r  +
2
∂r  ∂r   B 
r ∂r  ∂r 
B2
Donde B 2 =
b ⋅ b'⋅K
, es llamado factor de filtración. En la misma ecuación b'/K' es conocida como la
K'
resistencia hidráulica.
La ecuación puede ser escrita como una Ecuación de Movimiento ordinaria porque h sólo depende del radio r.
Reemplazando s = h - h0,, en la ecuación:
1 d  dh  h0 − h
1 d  ds  s
1 ds d2 s s
=0
r
+
r  + 2 = 0
+ 2 − 2 =0
2
r dr  dr 
B
B
∴ r dr  dr  B
∴ r dr dr
∴
2
d
s
ds
s
r2 2 + r
− r2 2 = 0
dr
dr
B
[4.15]
Si r/B=x, entonces r = B x, y dr = B dx,
(Bx )2
2
d2 s
ds
ds
2 d s
2 2 s
+
Bx
−
B
x
=
0
x
+x
− x 2s = 0
∴
2
2
2
2
B dx
Bdx
B
dx
dx
[4.16]
4.2.1.1 Ecuación de De Glee - Jacob
La ecuación 4.16 es un a ecuación diferencial no lineal no homogénea que se puede solucionar por el método de
Cauchy – Euler. Este método consiste en aplicar la regla de la cadena luego de hacer el siguiente reemplazo:
u = ln(x ) .
Entonces:
e u = x ∴ e 2u = x 2
Ahora se encontrarán las derivadas:
du 1
=
dx x
ds ds du 1 ds
=
=
dx du dx x du
d2 s
d  1 ds 
1 ds 1 d2 s
=
=
−
+


dx 2 dx  x du 
x 2 du x du2
d2 s
1 ds 1 d2 s
1  d2 s

=
−
+
=
−
dx 2
x 2 du x 2 du2 x 2  du2
Reemplazando en la ecuación 4.16, se llega a:
du
dx
ds 

du 
29
d2 s ds ds
−
+
= e 2u s ∴ s ′′ − x 2 s = 0
2
du du
du
[4.17]
Ahora se soluciona esta ecuación por medio del operador cuadrático, explicado en el numeral 3.1.1.4,
obteniendo las raíces D = ± x .
Entonces, la solución es igual a:
s = C1 e x + C 2 e − x
r
r
−
r
Que al reemplazar el valor de x = , se obtiene: s = C1e B + C 2 e B . Para encontrar el valor de las
B
constantes, se sabe que cuando el radio tiende al infinito, el abatimiento es nulo, y que cuando el radio es igual al
radio del pozo, el caudal es constante. Entonces: si s(r) = s( ∞ ) = 0, entonces 0 = C1 (∞ ) , pero esto es
indeterminado, lo cual no permite concluir el valor de C1. Es decir que la solución planteada no es compatible
con las condiciones de frontera dadas. Sólo se sabe que las soluciones son linealmente independientes, por lo
que usando las función de Bessel se pueda encontrar la solución compatible.
r
 r
s = C1I 0   + C 2 I 0  − 
B
 B
[4.18]
Donde:
r
I 0   : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de primera clase.
B
 r
r
I 0  −  = K 0   : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de segunda clase, así que la
 B
B
solución queda definida como:
r
r
s = C 1 I 0   + C 2K 0  
B
B
[4.19]
Los valores de los modificadores de Bessel están ya tabulados, y se pueden encontrar en libros de Cálculo
Avanzado.
Con las condiciones de frontera antes mencionadas, se concluye que: I 0 (∞ ) = ∞, K 0 (∞ ) = 0 , así que C1 es
igual a cero.
Ahora cuando r = rw:
∂s
dr
∂s
∂   r 
1 r
r
r
Si s (r ) = C 2K 0   entonces,
= C 2  K 0    = C 2 K 1   , donde K 1   , es el operador de
∂r
∂r   B  
B B
B
B
Q = −2πrwbK
la función de Bessel de primer orden de segunda clase.
30
1
r
Q = 2πrw T  C 2K 1  w
B
B
Q

  ∴ C 2 =
1 r

2πrw T  K 1  w
B  B

 

Y reemplazando el valor de la constante, se tiene que:
r
K0  
Q
B
s=
2πT rw  rw 
K1  
B B
[4.20]
La ecuación 4.20 representa la Ecuación de DeGlee – Jacob, para acuíferos semiconfinados. Está ecuación
puede simplificarse para usos prácticos; si
r
rw
r 
< 0.01 , se puede aproximar el factor: w K 1  w  ≅ 1 , y
B
B B
entonces la ecuación 4.18 se puede escribir como:
s=
Según Hantush (Batu, 1998), si
Q
r
K0 
2πT  B 
r
≤ 0.05 la ecuación de De Glee - Jacob se puede escribir como:
B
2.303 Q
 1.12 B 
s(r ) ≅
log

2πT
 r 
[4.21]
[4.22]
4.3 ACUÍFEROS LIBRES
Dupuit y Forchheimer derivaron la expresión sin reconocer quien la hizo primero, por esta razón lleva ambos
nombres. Esta ecuación es la simple ecuación para acuíferos libres.
La Figura 15 muestra un pozo que penetra completamente el acuífero libre. Dupuit y Forchheimer encontraron
independientemente la solución para la carga piezométrica con base en las siguientes suposiciones:

El acuífero es homogéneo e isotrópico y de extensión infinita
La tabla de aguas es horizontal antes del bombeo
La ley de Darcy es valida para el flujo en el acuífero
El agua es instantáneamente removida del almacenamiento, como la carga piezométrica decae.
La tasa de bombeo del pozo es constante
Las condiciones de Dupuit son validas.
El flujo es simétrico, respecto al eje del pozo. La filtración de las paredes del pozo es despreciable y el
acuífero recibe una tasa constante de recarga.
Se desprecian las pérdidas en el pozo, H0 =Hw
31
Dupuit en 1863 (Batu, 1998) indicó que la pendiente de la tabla de aguas, de un acuífero libre bajo condiciones
de no extracción a lo largo de una sección transversal vertical es muy pequeña. El rango de valores típicos va de
1/1000 a 1/10000. Alrededor de un pozo de extracción en un acuífero libre la pendiente es muy alta, con el
descenso de la distancia radial del pozo dependiendo de las conductividades hidráulicas verticales y horizontales
del acuífero. La condición de una pendiente geométrica pequeña significa que el flujo es esencialmente
horizontal y la carga hidráulica (h) es igual a la elevación de la tabla de aguas.
Q
z
Nivel Estático
s
sw
r
antes del bombeo
al tiempo t +∆t
durante el bombeo
Acuífero
libre
Ho
Hw
2rw
H
Datum
Lecho impermeable
Figura 15 Flujo a un pozo en un acuífero libre infinito con filtración
Realizando el análisis de continuidad, en un anillo de radio r, se tiene que:
.
Q(r + ∆r ) − Q(r ) + (2πr∆r )I = 0
[4.23]
Donde I [L/T] representa el volumen de agua entrando en una unidad de área horizontal del acuífero por unidad
de tiempo, debido a la recarga por infiltración. Los valores positivos y negativos de I, representan la recarga y la
evaporación respectivamente. Al dividir por ∆r, y haciendo tender este a cero:
∂Q
+ 2πrI = 0
∂r
[4.24]
32
La velocidad radial de Darcy está dada por: v r = −K
Entonces:
∂h
∂r
∂h
1 ∂ (h2 )
Q(r ) = −(2πrh)qr = −(2πrh) K
∴ Q(r ) = (2πr ) K
∂r
2 ∂r
Y reemplazando 4.25 en 4.24:
1 ∂  ∂ (h2 ) 2I
r
+ =0
r ∂r  ∂r  K
[4.25]
[4.26]
Las condiciones de primer tipo o de Dirichlet son:

Cuando h = Hw, entonces r = rw. Carga piezométrica en la cara del pozo
Cuando h = H, entonces r = R. Carga piezométrica del acuífero antes del bombeo.
R es el radio de influencia en el cual el abatimiento es cero.
La ecuación 4.26 puede ser escrita de la forma: r 2
( )
( )
∂ 2 h2
∂ h2
2I
+
r
= − r 2 , y ser solucionada por el
2
∂r
K
∂r
método de Cauchy – Euler, ya que es una ecuación no homogénea. Realizando la siguiente cambio de variable,
se tiene que:
u = ln(x )
eu = x
e 2u = x 2
Y las derivadas son:
( )
( )
( )
∂ h2
1 ∂ h2
∂ 2 h2
1
=
y
= 2
2
∂r
r ∂u
∂r
r
( ) ( )
 ∂ 2 h2
∂ h2

−
2
∂u
 ∂u


remplazando estas en la ecuación 4.26, se llega a que:
( )
∂ 2 h2
2I
= − e 2u
2
K
∂r
Integrando dos veces:
( )
∂ h2
I
= − e 2u + C 1
∂r
K
I 2u
2
h(r ) = −
e + C1 u + C 2
2K
Reemplazando u por ln (r):
h(r ) = −
2
( )
I 2
r + C1 ln(r ) + C 2
2K
Reemplazando las condiciones de frontera se obtienen C1 y C2.
[4.27]
h(r ) = H2 +
2
33
(
I
I

2
2
(
R 2 − r 2 ) − H2 - Hw +
R 2 − rw
2K
2K

r
ln 
 R 
  r 
ln w 
R 
)
[4.28]
La descarga Q del pozo puede ser determinada por continuidad y la ley de Darcy:
Q = -2πrwhqr = 2πrwhK
∂h
d(h2 )
= πKrw
,
∂r
dr
r = rw
[4.29]
Derivando 4.28 y reemplazando en 4.29:
(
I

2
2
2
Q = −Iπrw − H2 - Hw +
R 2 − rw
2K

)
πK
 ln rw 
 
R
[4.30]
Teniendo en cuenta que:
2
− Iπrw : es la recarga en el pozo mismo y es despreciablemente pequeño comparado con los demás términos:
(
I

2
2
Q = − H2 - Hw +
R 2 − rw
2K

)
πK
 ln rw 
 
R
[4.31]
Reemplazando 4.31 en 4.29:
h2 = H2 +
I
Q r
R2 − r2 +
ln 
πK  R 
2K
[4.32]
Q r
ln 
πK  R 
[4.33]
(
)
En el caso particular, en el que I = 0:
h2 = H2 +
Las ecuaciones 4.32 y 4.33 representan la distribución de la carga piezométrica con recarga y sin recarga
respectivamente. Para la condición descrita en las condiciones de frontera, la tasa de descarga Q, puede ser
representada como:
(
πK H2 − Hw
Q=
R
ln 
 rw 
2
)
[4.34]
La ecuación 4.34 es la llamada ecuación de descarga de Dupuit - Forchheimer. Esta ecuación es obtenida con
base en las condiciones de Dupuit. Estas suposiciones no toman en cuenta la forma curvilínea del flujo en un
plano radial. Los componentes del flujo vertical son despreciados. La ecuación da un resultado con razonable
aproximación, si la distancia radial r es suficientemente grande y los efectos curvilíneos son despreciables.
Luego, la aplicación de métodos numéricos (Boulton, 1951 (Batu, 1998)) e investigaciones experimentales
((Babbit y Cantwell, 1948) (Peterson et al, 1952) Batu, 1998) muestran que la ecuación representa la superficie
libre para valores de r ≥ 1.5H, siempre y cuando el nivel de agua del pozo (Ho) sea cero en la Figura 4.3.
34
Adicionalmente ocurre que para valores pequeños de r, H0 se incrementa. Estas investigaciones también
muestran que la superficie libre cercana y a la misma distancia alrededor del pozo no es correctamente modelada
por la ecuación 4.34 y que la superficie libre cruza la pared del pozo a alguna distancia sobre el nivel del agua en
el pozo. Hantush (1962) (Batu, 1998) analizó la validez de la ecuación 4.34, tomando en cuenta el nivel de agua
en el pozo (Ho) y el nivel del agua en la pared del pozo (Hw) y obtuvo la misma ecuación 4.32 con la excepción de
que Hw = H0. Esto significa que al tomar en cuenta la naturaleza curvilínea del flujo, a lo largo de la pendiente de
filtración, virtualmente se obtiene la misma ecuación.
5
5 P
PR
RIIN
NC
CIIP
PIIO
OD
DEE S
SU
UP
PEER
RP
PO
OS
SIIC
CIIO
ON
N
Este principio (Quintero, 1994) se encarga de analizar la interferencia entre una batería de pozos en una
formación acuífera, y el efecto que presenta este en la producción de los mismos. Como en la realidad, se
encuentran los acuíferos con limitaciones hidrogeológicas definidas, que restringen la aplicabilidad de los
métodos analíticos, que suponen la extensión infinita de los acuíferos, como lo muestra las Figuras 16, 17 y 18.
El método de las imágenes se utiliza par resolver teóricamente estos casos, aproximando una extensión finita de
los acuíferos, con un pozo real y otro imagen. Basado en la linealidad de la Ecuación de Laplace (Para acuíferos
libres, se mantiene si sí la variable de estado es h2 y no h), suponiendo el trabajo de cada pozo y luego
superponerlos, para así obtener la resultante de todos los pozos trabajando en conjunto.
5.1 CASO DE DOS POZOS
Suponiendo que en un acuífero confinado se tienen dos pozos, separados a una distancia 2 a, como lo muestra
la Figura 19. Los pozos están diseñados en igual forma, y están localizados en forma tal que a una distancia
radial el potencial permanece constante. El caudal que se extrae de ambos, es el mismo, Q.
De acuerdo al principio de superposición el abatimiento total producido en un punto P(x,y) será la suma de los
abatimientos que produce cada pozo en su operación individual, por lo tanto:
s = s1 + s 2 = 0.366
s = 0.366
R 
R 
Q0
Q
log  + 0.366 0 log 
T
T
 r1 
 r2 
[5.1]
 R2 
Q0

log
T
 r1r2 
Por lo tanto el abatimiento total en cada pozo será:
sp = 0.366
 R 
Q0

log

T
r
2
a
 p 
[5.2]
El caudal que produce cada uno será
Q0 =
T sp
 R 

0.366 log

r
2
a
 p 
[5.3]
Como lo muestra la ecuación 5.3, el caudal disminuye a medida que disminuye la distancia 2 a, entre pozos.
35
5.2 MÉTODO DE LAS IMÁGENES
5.2.1 Pozo cerca de una zona de recarga
Este es el comportamiento típico de un pozo situado en cercanías de un río y perforando un acuífero que está en
contacto directo con el río el cual se extiende linealmente en una gran distancia. La Figura 19, representa la zona
de recarga como una línea que se extiende a lo largo del eje Y y a una distancia a se encuentra un pozo del cual
se bombea un caudal determinado, Q.
La zona de recarga se puede simular con dos pozos separados a una distancia 2 a, y en forma tal que uno de
ellos, el pozo imagen, es un pozo de recarga. Estos dos pozos producen a lo largo del eje y, la condición s=0.
La solución está dada por la ecuación:
s=
Q 0  r2 
ln 
2πT  r1 
Si r2 = 2a y r1 = rp, se tiene que el caudal Q, es igual a: Q =
[5.4]
2πTsp
 2a 
ln 
 rp 
. Aplicando el teorema del coseno, se
encuentra el abatimiento.
2
2
r2 = r1 + 4a − 4ar1 cos β
2
r2 = r1 + 4a − 4ar1 cos β
Por lo tanto, reemplazando en 5.4, se obtiene:
2
2
Q 0  r1 + 4a − 4ar1 cos β 
s=
ln

2πT 
r1


[5.5]
Para los puntos paralelos a la línea de recarga, es decir cuando β=90º, el cos (90) = 0, y la ecuación 5.5 se
simplifica:
2
2
Q 0  r1 + 4a
s=
ln
2πT 
r1





[5.6]
Para los punto situados sobre la línea perpendicular a la zona de recarga, cuando β=0 o 180ª, el cos (β) es igual
a ± 1, y la expresión se simplifica:
36
Superficie del Terreno
Nivel
Freático
Barrera Impermeable
Material
Impermeable
Acuífero
Figura 16. Acuífero limitado por una barrera impermeable. Quintero,
1994
Nivel Freático
Acuífero
Material
Impermeable
Figura 17. Acuífero limitado por dos barreras impermeables. Quintero, 1994
Nivel Freático
Corriente
Acuífero
Material Impermeable
Figura 18. Acuífero limitado por una zona de recarga. Quintero, 1994
2
2
Q 0  r1 + 4a ± 4ar1
s=
ln
2πT 
r1

37





Q
s = 0 ln
2πT 

(r1 − 2a)2 
=
Q 0  (r1 − 2a) 
, β = 0
ln
2πT  r1

Q 0 
ln
2πT 

(r1 + 2a)2 
=
Q 0  (r1 + 2a) 
, β = 180º
ln
2πT  r1

s=


r1


r1
[5.7]
De estas ecuaciones se puede concluir que la pendiente de la curva de abatimiento de la parte que queda hacia
el río es más fuerte que la que va tierra adentro.
5.2.2 Pozo construido en un acuífero que está limitado por una barrera
impermeable
P (x,y)
y
r2
2
a
Pozo 2
r1
x
Pozo 1
Figura 19. Esquema de la ubicación de dos pozos. Quintero, 1994
En la Figura 19, se representa un pozo construido en un acuífero que está limitado por una barrera impermeable
y la cual no puede contribuir al bombeo, por lo tanto cuando el cono de abatimiento alcanza la barrera
impermeable y ante la imposibilidad de extenderse más allá de este límite se produce una caída más acelerada
de la curva de abatimiento. Como se estudió en anterior numeral, el efecto que producen los pozos separados
una distancia 2ª, sobre la línea que los divide, es que el abatimiento no varía con la distancia, y por lo tanto la
línea divisoria se comporta como impermeable. Así también se puede decir que el sistema analizado, es
equivalente a dos pozos de descarga, funcionando en un acuífero infinito. La solución está dada por:
s=
Q  R2 

ln
2πT  r1 r2 
[5.8]
En donde r2 es la distancia desde el pozo imagen al punto, considerando r1 la distancia del punto considerado al
pozo de bombeo
5.2.3 Ley de los tiempos
Cuando se tiene un piezómetro de monitoréo a una distancia r0 del pozo de bombeo y sobre la línea
perpendicular a la barrera impermeable. Como en los dos casos anteriores, el sistema es equivalente al
mostrado en la Figura 19.
El tiempo a partir del comienzo del bombeo para el cual se siente algún abatimiento en el piezómetro de
monitoréo es cuando:
38
2.25Tt
t
S
= 1.0 ∴ 02 =
2
2.25 T
r0 S
r0
[5.9]
El tiempo que se necesita para que el pozo imagen tenga alguna influencia en el de monitoréo es cuando
2.25Tt
t
S
= 1.0 ∴ 2i =
2
2.25 T
r0 S
ri
[5.10]
Igualando las dos expresiones, se tiene que:
t0
t
= 2i
2
r0
ri
[5.11]
Que se conoce como la ley de los tiempos de Ingersoll (Quintero, 1994) en donde:
t0:
r0:
t1:
r1
Tiempo transcurrido desde el comienzo del bombeo hasta que comienza a sentirse el abatimiento en el
pozo de monitoréo.
Distancia desde el pozo de monitoréo la pozo de bombeo.
Tiempo a partir del cual existe una influencia del pozo imagen (o sea de la berrera impermeable)
Distancia desde el pozo imagen al pozo de observación.
Si el sistema está compuesto de varios pozos situados en una cierta distancia de la zona de recarga, el problema
se resuelve como en los casos anteriores utilizando el método de la imágenes y el principio de superposición.
6
6 A
AP
PLLIIC
CA
AC
CIIO
ON
NEES
S
La principal aplicación de la hidráulica de pozos está en determinar las características hidrogeológicas del
acuífero, mediante el análisis de pruebas de bombeo, tema que discutirá en el próximo capítulo. Se ilustrará aquí
la aplicación práctica de ñas diversas ecuaciones desarrolladas mediante los siguientes ejemplos.
6.1 USO DE LA ECUACIÓN DE THEIS
En una formación acuífera que tiene un espesor promedio de 12 m, una transmisividad de 8.64 m/d y un
coeficiente de almacenamiento de 0.001. El caudal de producción es de 4 L/s. Se necesita conocer el
abatimiento a una distancia de 25 m, 8 horas después de comenzar la extracción de agua.
El primer paso es determinar el parámetro u:
(25m) (0.001)
r 2S
u=
=
= 4.5 x 10 -3 [Adimensional]
1
d
m
4Tt 4(8.64 d )(8 h)
24 h
2
(
)
A continuación se determina la función del pozo de Theis W(u), mediante la curva de Theis (Figura 2) o en tablas,
la cual en este punto posee un valor de 4.83.
Ahora con estos valores sólo resta aplicar la ecuación de Theis, para encontrar el abatimiento.
s(r, t ) =
Q
4π T
39
W(u), T = Kb
s(25 m , 8 h) =
0.004 m s
(4.83) = 1.28 m
4 π (8.64 m d )(1 d 86400 s )(12 m)
3
6.2 USO DE LA ECUACIÓN DE JACOB
A manera de comparación se puede resolver el mismo ejemplo que fue resuelto con la ecuación de Theis, en el
numeral anterior.

 8

2.25(8.64 m d )(12 m)
día  

Q  2.25 Tt 
4 s
 24

ln
s(r, t ) ≅
ln
=
2
2


m
4πT 
r S  4π(8.64 d )(12 m) 

(25 m) (0.001)




s(r, t ) ≅ (0.26 m)(4.82) = 1.28m
L
El Radio de Influencia es igual a:
1
 Tt 
R = 1.5 
S
1
2

 8
2
m )(12 m )
(
8.64
día


d

24

  = 279 m
= 1.5
(
)
0.001




6.3 USO DE LA ECUACIÓN DE CHEN
En el acuífero descrito en el ejemplo anterior se tiene una frontera exterior a aproximadamente 80 m de distancia.
Determinar el período durante el cual el acuífero puede ser analizado como un acuífero infinito.
(80 m) (0.001) = 38.5 x 10 − 3 días = 5.56 min
R 2S
=
16T 16(8.64 m d )(12 m)
2
t≤
Físicamente, esto significa que el acuífero puede ser analizado como un acuífero infinito durante
aproximadamente cinco minutos y medio, desde que comienza el bombeo.
6.4 USO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULOS & COOPER
En un acuífero se excava un pozo de 0.2 m de radio, en toda su profundidad, (rw =r c). Se pretende obtener un
caudal de 432 m3/día. La formación acuífera tiene una transmisividad de 86.4 m2/día y una capacidad de
almacenamiento de 0.01. Determinar el abatimiento después de 1 hora después de comenzar el bombeo, a una
distancia de 20 m.
Usando la ecuación de Papadopulos y Cooper, se tiene que:
40
r S
(20 m) (0.01) = 4 = 0.27
u= w =
4 Tt 4(86.4 m2 día ) 1 d 14.4
24
2
2
r
(0.2 m) × 0.01 = 1 × 10 −2
α = w2 S =
(0.2 m)2
rc
r
20 m
ρ=
=
= 100
rw 0.2 m
2
2
(
)
Q
F (u, α, ρ )
4πT
3
432 m día
432
(1.2)m = 0.397 m × (1.2) = 0.48 m
s(20 m,60 min) =
F 0.27,1 × 10 −2 ,100 =
2
4 π(86.4 m día )
1085.7
s(r , t ) =
(
)
6.5 USO DE LA ECUACIÓN DE THIEM
A manera de ejemplo, se puede suponer un acuífero con un espesor de 6 m y una conductividad hidráulica de 104 m/s, encontrar el abatimiento a una distancia de 100 m del pozo, si el radio del pozo es de 0.1 m y la descarga
es de 5 L/s.
s = h(r ) − h(rw ) =
Q   r 
ln 
2 π T   rw 
3
  100 m 
0.005 m s
s=

ln
m
2 π (6 m)(0.0001 s )   0.1 m 
s = 9.16 m
6.6 USO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB
Tomando el ejemplo de un acuífero confinado con espesor de 10 m, conductividad de 0.0002 m/s, y con una
capa semiconfinante de espesor 4 m y una conductividad hidráulica de 2 x 10-8 m/s; se pìde determinar el
abatimiento en condiciones estables a 400 metros de distancia de un pozo de 0.2 m de diámetro con una
descarga de 5 L/s, y en la pared del mismo.
Para usar la ecuación simplificada de De Glee - Jacob, se necesita conocer el factor B:
1
2
 (10 m)(4 m)(0.0002
 b ⋅ b'⋅K 
B=
=

2 x10 − 8 m s
 K' 

m
s
)
1
2
 = 632.45 m

Ahora si se reemplaza en la ecuación de De Glee - Jacob, y se llega a:
 400 m 
0.005 m s
K0 
 = (0.39 m)(.7397) = 0.29 m
2π(0.0002 m s )(10 m)  632.45 m 
3
s=
El valor de la función de Bessel se encuentra en tablas, en libros de Cálculo
41
Y en la pared del pozo es de:
 0.2 m 
0.005 m s
K0
 = (0.39 m)(2.303) = 3.26 m
m
2π(0.0002 s )(10 m)  632.45 m 
3
s=
6.7 USO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER
Para un acuífero libre con H = 20m, radio del pozo 0.1 m y K = 0.0003 m/s, determinar la tasa máxima de
bombeo para crear un abatimiento de 2 m.
Aplicando la ecuación de descarga de Dupuit – Fochheimer, se llega a:
Q=
(
)
π(0.0003 m s ) (20 m) − (18 m)
0.0716 m3
. Donde R es el radio de influencia del pozo.
=
s
ln(10R[m])
 R 
ln

 0.1 m 
2
2
77 R
REEFFEER
REEN
NC
CIIA
AS
S
BATU, Vedat. AQUIFER HYDRAULICS. John Wiley & Sons, Inc. USA. 1998.
PISKUNOV, N. CÁLCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL. Editorial Mir. Moscú, Rusia. 1977.
QUINTERO SAGRE, Jorge. HIDRÁULICA DE POZOS. Curso internacional de manejo y protección de
acuíferos. Universidad Nacional de Colombia. Santafé de Bogotá. Agosto de1994.