Mathcad - aro de roda

Adimensionalização:
=
x
a=
l
r
U x( a) =
l
ux( a)  EAg
F( a) =
2 3
p w  l
a
a1
Fx( a)
2
p w l
a  0.2
Solução por Elementos Finitos
(a)Entrada de dados e montagem da topologia do sistema
Número de elementos e
número de nós por elementos
Número total de nós
nno  ( nnoel  1 )  nel  1
i  1  nno
i
 ( i  1 ) 
1
nno  4
Coordenadas nodais
nel ( nnoel  1 )
Número de nós apoiados
nap  2
apoios  1
1
apoios  nno
2
max
 max( )
max
1
mim
 min( )
mim
0
ie  1  nel
in  1  nno
ig  1  nnoel
Barras/nos
mim
Carregamento:
max
q ( )  a 
Carregamento
1.2
0.95
0.7
0.45
0.2
0
0.25
0.5
0.75
1
Step1 - Cria as matrizes tais que a coluna "ie" de coor contem as cordenadas nodais do
elemento "ie" e inci e as incidencias nodais.
inci
ig ie
coor
 [ ( ie  1 )  ( nnoel  1)  2  ( ig  1 ) ]  1
ig ie

inci
nnoel ie
 ( ie  1 )  ( nnoel  1 )  2
 inciig ie
STEP 2 - CONDIÇÕES DE CONTORNO E NUMERO DE EQUAÇÕES
cond( k) 
j 0
for m  1  nap
ID
j  1 if k = apoios
in
 cond( in)
m
j
ID 
neq  0
neq  ID
for k  1  nno
aux  ID
2
id2  ID
1
k
if aux = 0
neq  2
neq  neq  1
ID  neq
k
ID  0 otherwise
k
 ID 
 
 neq 
STEP 3- DEFINIÇÃO DAS FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO E SUAS DERIVADAS

2

v( s)  1  s  ( nnoel3 )
1
 2
N ( s)  
1
 2
s
v( s)

2 

s
v( s)


2 

dv( s) 
1  s
2 2


s  1
2 2
d
v( s)  0
ds
 d N ( s) 
1
ds

dN( s)  
d

 ds N ( s)2 


1 
 2
 
 1 
 2 
1
0.6
0.4
0.8
N ( s) 1
dN( s ) 1
0.6
N ( s) 2
dN( s ) 2
0.4
v( s )
0.2
1
dv( s )
 0.5
0
 0.2
0.2
1
 0.5
0.5
1
 0.4
0
0.5
 0.6
1
s
s
a) Mapeamento
1  s
2 2
N2( s)  N ( s)  

s  1
2 2
 N ( s) 1 


N3( s)   N ( s)  
2


 v( s) 
1  s
2 2


s  1
2 2
 0 


1  s
2 2
Ng( s)  ( if( nnoel = 2 N2( s) N3( s) ) )  

s  1
2 2
1 
 2
dN2 ( s)  dN( s)  

 1 
 2 
 dN( s)1 


dN3 ( s)   dN( s)  
2


 dv(s) 
1 
 2
 
 1 
 2 
 0 
 
1 
 2
dNg( s)  if( nnoel = 2 dN2 ( s) dN3( s) )  

 1 
 2 
 ie
X ( s ie)  coor  Ng( s)
b) Jacobiano

 ie
dX( s ie)  coor  dNg( s)

s  1 0.9  1
e  1
J( s ie)  dX( s ie)
0.1669
0.1668
J( s e) 0.1667
0.1665
0.1664
0
0.25
0.5
X( s e)
0.75
1
STEP 4- CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ E VETOR DE CARGA
B( s ie) 
 dNg(s)T   J( s ie)  1
i  1  nnoel
j  1  nnoel
MATRIZES E VETORES ELEMENTARES
KE( ie) 
n  ie
FE( ie) 
for i  1  nnoel
n  ie
for i  1  nnoel
for j  1  nnoel
aux


i j


aux  
i

1
B( s n)
1 i
 B( s n)
1 j
 J( s n) ds
1
1
1
aux
aux
KE( 1 ) 
 3 3 


 3 3 
KE( 2 ) 
 3 3 


 3 3 
KE( 3 ) 
 3 3 


 3 3 
FE( 1 ) 
 0.052 


 0.07 
FE( 2 ) 
 0.107 


 0.126 
FE( 3 ) 
 0.163 


 0.181 
MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL
K 
for i  neq
for j  neq
aux
i j
0
for n  1  nel
 n
nos  inci
for ie  1  nnoel
noi  nos
ie
neqi  id2
noi
continue if neqi = 0
for je  1  nnoel
noj  nos
otherwise
je
neqj  id2
noj
continue if neqj = 0
aux
neqi neqj
 aux
neqi neqj
 KE( n)
aux
MONTAGEM DO VETOR DE CARGA GLOBAL


ie je
otherwise
q ( X ( s n) )  Ng( s)  J( s n) ds
i
F 
for i  neq
aux  0
i
for n  1  nel
 n
nos  inci
for ie  1  nnoel
noi  nos
ie
neqi  id2
noi
continue if neqi = 0
aux
 aux
neqi
neqi
 FE( n)
ie
otherwise
aux
STEP 5- Solução
1
U  K
do Sistema de Equações
F
U
STEP 6- Pós-
 0.072 


 0.084 
Processamento
Montagem do vetor U Global (UG): U agregado com os graus restritos
Função Uh() aproximado
UG  for i  nno
aux  0
uh( s e) 
i
error ( "o valor de s deve estar entre -1 e 1" ) if
 e
nos  inci
Uh por elemento
aux  0
for n  1  nno
neqi  id2
n
for i  1  nnoel
continue if neqi = 0

aux  if neq = 1 U U
n
neqi

aux  aux  Ng( s)  UG
otherwise
i
aux
aux
Função DUh() aproximado
duh( s e) 
error ( "o valor de s deve estar entre -1 e 1" ) if
 e
nos  inci
s 1
aux  0
for i  1  nnoel
aux  aux  J( s e)
1
 dNg( s)  UG
i

 nosi
aux
Recuperação da Solução Analítica
U x( xx a) 
F( xx a) 
nel  3
1
6
1
2

3
xx  0 0.01  1
2
 xx  3a xx  3  a xx  xx
  xx 
2

1
3
nnoel  2
 a  2  a xx


 nos i
s 1
0.089
0.76
1
0.071
0.053
0.035
0.018
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
MEF
Analítica
Deslocamento
0.2667
0.76
0.1267
0
 0.0133
 0.1533
 0.2933
 0.4333
0
0.2
0.4
0.6
MEF
Analítica
Força Interna
0.8
1
p  0  np  1
duh por elemento
x