Lista de Exercícios – 09 Sistemas Lineares

Lista de Exercícios – 09
Sistemas Lineares
Equação Linear
É toda equação que possuem variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em
que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:
x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações
e n incógnitas.
Exemplos:
+ = 3
– = 1
Representações:
Por sistemas
+ 10 – 12 = 120
4 – 2 – 20 = 60
– + + 5 = 10
Por equação matricial
1 10 −12
4 −2 −20 ∗
−1 1
5
120
= 60
10
Classificação de um sistema linear
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.



SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.
Sistema Possível e Determinado (SPD): ao ser resolvido encontraremos uma única solução, isto é, apenas
um único valor para as incógnitas. O sistema a seguir é considerado um sistema possível e determinado, pois
a única solução existente para ele é o par ordenado (4,1).
+ =5
− =3
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y
assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3),
(2,2), (3,1) e etc.
+ =4
0 −0 =0
Sistema Impossível (SI): ao ser resolvido, não encontraremos soluções possíveis para as incógnitas, por isso
esse tipo de sistema é classificado como impossível. O sistema a seguir é impossível.
+ =9
+ =5
Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K, obtemos um sistema equivalente
ao anterior.
c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um
número k, obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Escalonamento
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das
demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Exemplo:
2 −3 − = 4
+2 + =3
3 − −2 = 1
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades
dos sistemas equivalentes:
 Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:
2 −3 − = 4
+2 + =3
3 − −2 = 1
 Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:
2 −3 − = 4
2 −3 − = 4
+ 2 + = 3 => −7 − 3 = −2
3 − −2 = 1
3 − −2 = 1
 Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:
2 −3 − = 4
2 −3 − = 4
−7 − 3 = −2 => −7 − 3 = −2
3 − −2 = 1
−7 − 5 = −8
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:
 Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:
2 −3 − = 4
2 −3 − = 4
−7 − 3 = −2 => −7 − 3 = −2
−7 − 5 = −8
−2 = −6
Exercícios:
1) Escalone e resolva os seguintes sistemas:
+2 =1
3 +5 =1
a)
b)
3 − 2 = 11
+ =0
c)
3 −2 = 1
6 −4 = 7
2)A expressão matricial de um sistema S é:
2  5 a   4
3 1 .b    7  . Determine as equações de S.

   
3) Um grupo de 12 amigos reuniu-se durante um almoço de confraternização de fim de ano. Todos foram
unânimes em pedir o prato sugerido pelo garçom e 10 deles pediram sobremesa, perfazendo uma despesa
total de R$230,00 com esses dois itens. Sabendo-se que a quota de quem pediu sobremesa foi de R$20,00,
calcule o preço unitário de cada um desses itens.
4) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num
total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é ?
5) Escalone e resolva os seguintes sistemas:
+ + =2
a) 2 − = −1
3 + =1
4 − +7 = 9
5 +3 − = 0
b)
−7 − 11 + 17 = 19
– + −2 =7
c) 2 − + 3 = −10
+ + = −1
6) Na França, três destes turistas trocaram por euros (€), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em
dólares, libras e reais, da seguinte forma:
⇒ 1º turista: 50 dólares, 20 libras e 100 reais por 108,5 €.
⇒ 2º turista: 40 dólares, 30 libras e 200 reais por 152,2 €.
⇒ 3º turista: 30 dólares, 20 libras e 300 reais por 165,9 €.
Calcule o valor de uma libra, em euros, no dia em que os turistas efetuaram a transação.
Regra de Cramer
2 x  y  7
.
 x  5 y  2
1º Exemplo: Resolver o sistema 
2  1
  det A  11
1 5 
 7  1
A1  
  det A1  33
 2 5 
Resolução: A  
2 7 
A2  
  det A2  11
1  2
det A1 33
x

3
det A 11
Resposta: S  3,1
y
det A2  11

 1
det A
11
x  y  5
.
 x  y  2
2º Exemplo: Resolver o sistema 
1
1
  det A  0
 1  1
Resolução: A  
5 1 
Ax  
  det Ax  7
2  1
 1 5
Ay  
  det Ay  7
 1 2 
det Ax  7
impossível

det A
0
Resposta: S  
x
y
det Ay
det A

7
impossível
0
 x1  2 x2  x3  0

3º Exemplo: Resolver o sistema 3 x1  4 x 2  5 x3  10 .
x  x  x  1
3
 1 2
Resolução:
1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta.
1 2  1
A  3  4 5   det A  4  10  3  4  5  6  12
1 1
1 
2º) Cálculo do determinante das incógnitas.
2  1
0

A1  10  4 5   det A1  0  10  10  4  0  20  24
 1
1
1 
1 0  1
A2  3 10 5   det A2  10  0  3  10  5  0  12
1 1 1 
0
1 2

A3  3  4 10  det A3  4  20  0  0  10  6  0
1 1
1 
3º) Cálculo das incógnitas.
det A1  24

2
det A  12
det A2
12
x2 

 1
det A  12
det A3
0
x3 

0
det A  12
x1 
Resposta: S  2 ,1,0  Sistema Possível e Determinado.
Exercícios Propostos:
7) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
x  2 y  5
a) 
 2 x  3 y  4
3 x  4 y  1
b) 
x  3y  9
 x  y  10  0

c)  x  z  5  0
y  z  3  0

1 4 7   x   2

   
d)  2 3 6 . y    2 
 5 1  1  z   8 

   
8) Uma pessoa vendeu três tipos de doces, num total de 80, e arrecadou R$ 115, 00. Sabe-se que um brigadeiro
custa R$ 1, 00, um bombom R$ 2,00 e um olho-de-sogra R$ 1,50 e que a quantidade de brigadeiros vendidos é
igual à soma doutros dois doces vendidos.O número de bombons que a pessoa vendeu é igual a:
a) 10
c) 20
e) 40
b) 15
d) 30
Profº Leandro Colombi Resendo