Material de Apoio - Física Primeiro Ano

Rafael Frank de Rodrigues
Material de Apoio - Física Primeiro Ano
Revisão
Desde os primórdios, o ser humano se preocupou em entender e
dominar o Universo que o cerca. Interessou-se em explicar, por
exemplo, o som de um trovão, a luz de um relâmpago, por que os
corpos têm cores diferentes, como é o movimento da Lua em relação
à Terra, como a Terra e os demais planetas se movem em relação ao
Sol ou como são os movimentos dos objetos nas proximidades da
superfície terrestre. Todas essas questões, por diferentes que sejam,
são estudadas em Física, uma ciência tão presente em nossa vida
que não podemos menosprezá-la.
O que é Física: A palavra física tem origem grega e significa
natureza. Assim, a física é a ciência que estuda a Natureza; daí o
nome ciência natural. Em qualquer ciência, acontecimentos ou
ocorrências são chamados fenômenos, ainda que não sejam
extraordinários ou excepcionais. A física é o campo da ciência que
estuda os fenômenos naturais.
1 – Sistema Internacional de Unidades (SI)
Foi criado para evitar divergências quanto ao uso das unidades entre
pesquisadores e profissionais.
O sistema de Unidades adotado oficialmente no Brasil é o
Sistema Internacional
De Unidades, ratificado pela 11a Conferência Geral de Pesos e
Medidas de 1960 e atualizado nas seguintes até a 21 a Conferência,
de 1999.
Unidades
metro
quilograma
segundo
ampère
kelvin
mol
candela
Símbolo
m
kg
s
A
K
mol
cd
1
Grandeza
comprimento
massa
tempo
intensidade de corrente elétrica
temperatura termodinâmica
quantidade de matéria
intensidade luminosa
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI) existem
sete unidades fundamentais, cada uma delas correspondendo a uma
grandeza:
As unidades derivadas são as que podem ser deduzidas, direta
ou indiretamente, das fundamentais. Dado o seu grande número, não
as reproduziremos aqui.
Não se devem misturas unidades por extenso com símbolos.
Assim, é errado escrever quilômetro/h ou km/hora. O certo é
quilômetro por hora ou km/h.
Todas as unidades, derivadas ou fundamentais, admitem
múltiplos e submúltiplos, que são obtidos pela adição de um prefixo
anteposto à unidade.
Por razões históricas, a unidade fundamental de massa é o
quilograma, obtido pelo acréscimo do prefixo “quilo” à unidade grama.
Por isso, as unidades de massa múltiplas e submúltiplos são obtidos
pelo acréscimo do prefixo ao grama e não ao quilograma.
Os prefixos usados, seus símbolos e os fatores pelos quais a
unidades fica multiplicada são os seguintes:
Nome
tera
giga
mega
quilo
hecto
deca
deci
centi
mili
micro
nano
pico
Símbolo
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
Fator multiplicador
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Os prefixos não devem ser misturados. Assim, para indicar 8.10 9
m deve-se escrever 8 nanometros ou 8 nm e não 8 milimicrometros
ou 8 mµm.
Há unidades que não pertencem ao SI mas são aceitas para uso
conjunto, sem restrições de prazo. São elas: o minuto(min), a hora(h),
o dia(d), o grau(o), o litro(l) e a tonelada(t).
2
Estudo do Movimento
Tópico 01
1 – Referencial
Referencial ou sistema referencial é o corpo em relação ao qual
identificamos o estado de repouso ou movimento de um móvel.
Dizemos que um corpo está em repouso quando a distância entre este
corpo e o referencial não varia com o tempo. Um corpo está em movimento
quando a distância entre este corpo e o referencial varia com o tempo.
Exercícios
1. Um ônibus está andando à velocidade de 40 km/h. Seus passageiros
estão em movimento ou repouso? Por quê?
2. Uma pessoa, em um carro, observa um poste na calçada de uma rua, ao
passar por ele. O poste está em repouso ou em movimento? Explique.
3. Considere o livro que você está lendo. a)Ele está em repouso em relação
a você? b) em relação a um observador na Lua?
4. Enquanto o professor escreve na lousa. a) O giz está em repouso ou em
movimento em relação à lousa? b) A lousa está em repouso ou em
movimento em relação ao chão? c) A lousa está em repouso ou em
movimento em relação ao giz?
5. Quando escrevemos no caderno, a caneta que usamos está em: a)
Movimento em relação a que? b) Repouso em relação a que?
6. Se dois carros movem-se sempre um ao lado do outro, pode-se afirmar
que um está parado em relação ao outro?
2 – Trajetória
Trajetória é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo
ocupa no decorrer do tempo.
Exercícios
7. Sobre o chão de um elevador coloca-se um trenzinho de brinquedo, em
movimento circular. O elevador sobe com velocidade constante. Que tipo de
trajetória descreve o trenzinho, em relação:
3
a) Ao elevador?
a) Ao solo?
8. Um avião em vôo horizontal abandona um objeto. Desenhe a trajetória
que o objeto descreve nos seguintes casos:
a) Tomando como referencial uma casa fixa à Terra.
b) Tomando como referencial o avião?
3 – Espaço e Deslocamento
Deslocamento x é a
diferença entre o espaço
final e espaço inicial do
móvel.
Espaço é a medida
algébrica, ao longo de uma
determinada trajetória, da
distância do ponto onde se
encontra o móvel ao ponto
de referência adotado como
origem.
x  x  x0
x = deslocamento (m, km)
x = posição final (m, km)
x0 = posição inicial (m, km)
Exercícios
9. Um carro parte do km 12 de uma rodovia e desloca-se sempre no mesmo
sentido até o km 90. Determine o deslocamento do carro.
10. Um automóvel deslocou-se do km 20 até o km 65 de uma rodovia, sempre
no mesmo sentido. Determine o deslocamento do automóvel.
11. Um caminhão fez uma viagem a partir do km 120 de uma rodovia até o
km 30 da mesma. Qual foi o deslocamento do caminhão?
12. Um carro vai do km 40 ao km 70. Determine:
a) a posição inicial e a posição final.
b) O deslocamento entre as duas posições.
13. Um carro retorna do km 100 ao km 85. Determine:
a) a posição inicial e a posição final.
b) O deslocamento entre as duas posições.
14. Um carro percorre uma rodovia passando pelo km 20 às 9 horas e pelo
km 45 às 10 horas. Determine:
a) as posições nos instantes dados.
b) O deslocamento entre os instantes dados.
4
3 – Velocidade Média
A velocidade média de
um móvel representa a
rapidez com que ele muda
de posição num intervalo de
tempo.
vm 
A velocidade
a
razão
deslocamentos
correspondente
tempo ( t ).
x x  x0

t
t  t0
x  x  x0
média (Vm) é
entre
os
( x ) e o
intervalo de
t  t  t 0
Vm = velocidade média (unidade: m/s, km/h)
s = deslocamento (m, km)
t = tempo (s, h)
Exercícios
15. Quando o brasileiro Joaquim Cruz ganhou a medalha de ouro nas
Olimpíadas de Los Angeles, correu 800m em 100s. Qual foi sua
velocidade média?
16. Um nadador percorre uma piscina de 50m de comprimento em 25s.
Determine a velocidade média desse nadador.
17. Suponha que um trem-bala, gaste 3 horas para percorrer a distância de
750km. Qual a velocidade média deste trem?
18. Um automóvel passou pelo marco 30km de uma estrada às 12 horas. A
seguir, passou pelo marco 150km da mesma estrada às 14 horas. Qual a
velocidade média desse automóvel entre as passagens pelos dois
marcos?
19. Um motorista de uma transportadora recebeu seu caminhão e sua
respectiva carga no km 340 de uma rodovia às 13 horas, entrou a carga
no km 120 da mesma rodovia às 16 horas. Qual foi a velocidade média
desenvolvida pelo caminhão?
5
20. No verão brasileiro, andorinhas migram do hemisfério norte para o
hemisfério sul numa velocidade média de 25km/h . Se elas voam 12 horas
por dia, qual a distância percorrida por elas num dia?
21. Uma pessoa, andando normalmente, desenvolve uma velocidade média
da ordem de 1 m/s. Que distância, aproximadamente, essa pessoa
percorrerá, andando durante 120 segundos?
22. Um foguete é lançado à Lua com velocidade média de 17500km/h,
gastando 22 horas na viagem. Calcule, com esses dados, a distância da
Terra à Lua em quilômetros.
23. Um trem viaja com velocidade média de 50km/h. Quantas horas ele gasta
para percorrer 200km?
24. Uma motocicleta percorre uma distância de 150m com velocidade média
de 25 m/s. Qual o tempo gasto para percorrer essa distância?
25. Se um ônibus andar à velocidade de 50km/h e percorrer 100km, qual será
o tempo gasto no percurso?
26. Uma tartaruga consegue percorrer a distância de 4m em 200s. Qual sua
velocidade média em m/s?
27. Um atleta percorre uma pista passando pelo ponto de posição 20m no
instante 7s e pelo ponto de posição 12m no instante 9s. Calcule a velocidade
média do atleta no intervalo de tempo dado.
28. Se você pegasse carona em um foguete, que viaja com velocidade média
de aproximadamente 60000 km/s, quanto tempo você gastaria para chegar à
Lua? (A distância da Terra à Lua é de 184000km, aproximadamente).
29. Um navio está em alto-mar e navega com velocidade constante de
35km/h entre 8h e 18h. Qual a distância que ele percorre nesse intervalo de
tempo?
30. A velocidade média de um homem andando normalmente é de 4km/h. Em
quanto tempo ele anda do km 12 ao km 18 de uma estrada?
31. Viajando em um carro, como você determinaria o comprimento de certo
trecho de uma estrada baseando-se no velocímetro e usando um
cronômetro?
6
Vetores
Tópico 02
Existem grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas quando delas
se conhece o valor numérico e a correspondente unidade.
Por exemplo, a massa de uma pessoa é m = 80 kg. Tais grandezas
são ditas grandezas escalares. Além da massa, são grandezas escalares:
tempo, volume, densidade, energia, etc.
No entanto, há grandezas que, para sua perfeita caracterização, exigem
que se determine sua direção e seu sentido, além do módulo que
corresponde ao valor numérico acompanhado da unidade, essas grandezas
são as grandezas vetoriais.
1 – Vetor
A fim de que as operações envolvendo grandezas vetoriais se tornem
mais simples, utilizamos a entidade matemática denominada vetor.
O vetor se caracteriza por possuir módulo, direção e sentido.
Graficamente o vetor é representado por um segmento de reta orientado,
indicado por uma letra sobre a qual colocamos uma seta.
direção

b

a
sentido
módulo


O módulo do vetor é indicado da seguinte forma: a ; b . No exemplo anterior,
o módulo da grandeza vetorial vale:

a = 10 N

b = 6 m/s2
7
Na representação gráfica, o comprimento do segmento orientado numa
certa escala corresponde ao módulo do vetor, a orientação da reta nos dá a
direção (horizontal, vertical, etc.) e a seta o sentido (direita, esquerda, etc.).
2 – Adição de Vetores






Dados os vetores x e y vamos obter o vetor soma R , tal que R = x + y
.

y


O
x

O vetor soma ou resultante R tem origem no ponto O e extremidade no
ponto de cruzamento das duas paralelas traçadas. Este método é chamado
de método do paralelogramo.
P
P


y
y



O

R

O
x
x

O vetor soma R tem módulo igual a:

R  x  y  2 xy cos
2
2
3 – Casos Particulares de Adição de Vetores
Vetores de mesma direção e sentido ( = 0o):





x
y
R=x+y

R
Vetores de mesma direção e opostos ( = 180o):



R=x-y


x
y

R
8
Vetores de direção ortogonais ( = 90o):

R = x2  y2




y
x
R
x

y
Exercícios:
1. Determine o vetor resultante em cada um dos casos:
a)
b)
6u
4u
5u
c)
3u
d)
2u
2u
2u
4u
3u
e)
f)
7u
3u
2u
2u
10u
6u
2. Determine o vetor resultante graficamente nos casos seguintes e calcule
seu módulo:
a)
b)
a
a


b
b
a = b = 3 unidades
cos 60o=0,5
cos 60o=0,5
a = 6 unidades
b = 8 unidades
3. Um jogador se desloca 5 metros para o sul e, a seguir, 12 metros para o
leste. Determine o módulo do deslocamento resultante.
9
4. Aline anda 40m para o leste e certa distância x para o norte, de tal forma
que fica afastada 50m do ponto de partida. Qual foi a distância percorrida
para o norte?
5. Uma pessoa se desloca sucessivamente: 5 metros de norte para o sul, 12
metros de leste para oeste e 10 metros de sul para norte. Qual é o módulo do
vetor deslocamento resultante?


6. Dois vetores, A e B , tem módulos A= 100 e B= 40. Determine o módulo
  
do vetor S  A  B nos seguintes casos:


a) A e B com a mesma direção e o mesmo sentido;

b) A e B com a mesma direção e sentido opostos.
7. Considere dois vetores: um de módulo 30 e outro de módulo 40. Mostre
como devem ser os vetores para que sua soma tenha módulo:
a) 70
b) 10
c)50


8. Determine o módulo da soma de dois vetores perpendiculares, A e B , de
módulos A= 12 e B= 5.
9. Dois vetores de módulos 100 e 10 tem mesma direção e sentidos
opostos. Qual o módulo da soma vetorial desses dois vetores?
4 – Decomposição de Vetores
Todo o vetor pode ser decomposto em duas componentes, uma na
horizontal e outra na vertical, para isso é preciso utilizar regras da
trigonometria no triângulo retângulo.
a e b: catetos
c: hipotenusa
: ângulo formado entre a hipotenusa e um cateto
c

b
a
Pode-se calcular os valores das componentes utilizando o ângulo  de
inclinação do vetor em relação ao eixo OX.
y
sem  = C.O
H

Ay
A
cos  = C.A
H

C.O = Cateto oposto pelo ângulo
C.A = Cateto adjacente pelo
ângulo
H = Hipotenusa
Ax
x
tg  = C.O
C.A
10
Exercícios:
10.
Um gancho é puxado pela força F,
conforme a figura abaixo:ao lado. Determine a
componente no eixo x da força F.
Dados: sem = 0,80 ; cós = 0,60 )
11. Uma bola está parada sobre o gramado de um campo horizontal, na
posição A. Um jogador chuta a bola para cima, imprimindo-lhe velocidade v0
de modulo 8m/s, fazendo com a horizontal um ângulo de 60º, qual e o valo da
componente da velocidade nos eixos x e y?
12. Em um jogo de basquete, uma bola é arremessada por um atleta em
direção a cesta, distante 10m, a uma velocidade de 20m/s e fazendo ângulo
de 45º com a horizontal. Com que velocidade a bola chega no alvo,
considerando que, na hora do arremesso, a mão do atleta está no mesmo
nível horizontal que a cesta? Adote g = 10m/s 2 e despreze os efeitos do ar.
(Dado: sen 45º = cos 45º = √2/2).
11
Cinemática
Tópico 03
1 – Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U)
Um movimento uniforme é caracterizado
pela função horária
x = x0 + vt, sendo as
grandezas medidas em unidades do Sistema
Internacional (SI).
t
v
x0
x
OBS: Se a velocidade for positiva, o
movimento é progressivo, se negativa o
movimento é retrógrado.
x = x0 + vt
x = posição em um instante qualquer (m)
x0 = posição inicial (m)
v = velocidade (m/s)
t = tempo (s)
Exercícios
1. Uma bicicleta movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a
função horária x=10+2t (no SI). Pede-se: A) sua posição inicial; B) sua
velocidade.
2. A posição de um móvel varia com o tempo, obedecendo à função horária
x = 30 + 10t, no S.I. Determine a posição inicial e a velocidade do móvel.
3. Uma partícula move-se em linha reta, obedecendo à função horária x = -5
+ 20t, no S.I. Determine: A) a posição inicial da partícula; B) a velocidade da
partícula; C) a posição da partícula no instante t = 5 s.
4. Um móvel movimenta-se de acordo com a função horária x = 20 + 4 t,
sendo a posição medida em metros e o tempo, em segundos. Determine sua
posição depois de 10 segundos.
5. Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a
função horária x = 10 + 2t (no SI). Determine o instante em que o ponto
material passa pela posição 36 m?
12
6. Um ponto material movimenta-se segundo a função horária x = 8 + 3t (no
SI). Determine o instante em que o ponto material passa pela posição 35 m.
7. Um móvel obedece a função horária x = 5 + 2t (no S.I). A) Determine a
posição do móvel quando t = 7 s. B) Em que instante o móvel passa pela
posição s = 25 m?
8. A função horária x = 50 - 10t (no S.I) é válida para o movimento de um
ponto material. A) Determine em que instante o ponto material passa pela
origem da trajetória. B) Determine a posição quando t = 10 s.
9. Um móvel passa pela posição 10 m no instante zero (t 0 = 0) com a
velocidade de +5 m/s. Escreva a função horária desse movimento.
10. Um móvel movimenta-se sobre uma trajetória retilínea, no sentido da
trajetória, com velocidade constante de 2 m/s. Sabe-se que no instante inicial
o móvel se encontra numa posição a 40 m do lado positivo da origem.
Determine a função horária das posições para este móvel.
2 – Encontro de móveis em M.R.U
"Para determinar o instante em que dois móveis se encontram devemos
igualar as posições dos móveis. Substituindo o instante encontrado, numa das
funções horárias, determinaremos a posição onde o encontro ocorreu."
A
B
A
B
11. Dois móveis, A e B, movimentam-se de acordo com as equações horárias
xA = -20 + 4t e xB = 40 + 2t, no S.I. Determine o instante e a posição de
encontro dos móveis.
12. Dois móveis, A e B, movimentam-se de acordo com as equações horárias
xA = 10 + 7t e xB = 50 - 3t, no S.I. Determine o instante e a posição de
encontro dos móveis.
13. Dois móveis percorrem a mesma trajetória e suas posições em função do
tempo são dadas pelas equações: xA = 30 - 80t e xB = 10 + 20t (no SI).
Determine o instante e a posição de encontro dos móveis.
13
14. Dois móveis A e B caminham na mesma trajetória e no instante em que
se dispara o cronômetro, suas posições são indicadas na figura abaixo. As
velocidades valem, respectivamente, 20 m/s e -10 m/s, determine o instante
e a posição de encontro dos móveis.
0
15
45
A
B
x(m)
15. Numa noite de neblina, um carro, sem nenhuma sinalização, percorre um
trecho retilíneo de uma estrada com velocidade constante de 6 m/s. Em um
certo instante, uma moto com velocidade constante de 8 m/s está 12 m atrás
do carro. Quanto tempo após esse instante a moto poderá chocar-se com o
carro?
16. Num dado instante, dois ciclistas estão percorrendo a mesma trajetória,
obedecendo às funções horárias x1 = 20 + 2t e x2 = -40 + 3t (SI). Determine
o instante e a posição do encontro.
17. Dois corpos se deslocam sobre a mesma trajetória, obedecendo às
funções horárias x1 = 3 - 8t e x2 = 1 + 2t (SI). Determine o instante e a
posição do encontro.
18. Dois ônibus com velocidade constante de 15 m/s e 20 m/s percorrem a
mesma estrada retilínea, um indo ao encontro do outro. Em um determinado
instante, a distância que os separa é de 700 m. Calcule, a partir desse
instante, o tempo gasto até o encontro.
19. A distância entre dois automóveis num dado instante é 450 km. Admita
que eles se deslocam ao longo de uma mesma estrada, um de encontro ao
outro, com movimentos uniformes de velocidades de valores absolutos 60
km/h e 90 km/h. Determine ao fim de quanto tempo irá ocorrer o encontro e a
distância que cada um percorre até esse instante.
Propriedades do gráfico da velocidade e função do tempo ( v  t )
No gráfico da velocidade em função do tempo, a área A da figura
representa numericamente o espaço percorrido pelo móvel.
14
3 – Movimento Retilíneo Uniformemente
Variado (M.R.U.V)
Aceleração: Em movimentos nos quais as velocidades dos móveis
variam com o decurso do tempo, introduz-se o conceito de uma grandeza
cinemática denominada aceleração.
Aceleração (a): variação da velocidade escalar numa unidade de tempo, é
definida por:
a
v
t
Quando o intervalo de tempo t é infinitamente pequeno, a aceleração
escalar média passa a se chamar aceleração instantânea.
v = v – vo
t = t – to
a= aceleração (m/s2)
v = variação da velocidade (m/s)
t = variação do tempo (s)
A classificação de um movimento com variação de velocidade escalar,
num determinado instante, é feita deste modo:
Movimento progressivo
Movimento Retrógrado
 Acelerado: v > 0 e a > 0
Acelerado: v < 0 e a < 0
 Retardado: v > 0 e a < 0
 Retardado: v < 0 e a > 0
Exercícios
20.
Entre 0 e 3s, a velocidade de um helicóptero em MUV varia de 4
m/s para 21 m/s. Qual a sua aceleração?
21.
Durante as experiências no laboratório, um grupo de alunos
verificou que, entre os instantes 2s e 10s, a velocidade de um carrinho varia
de 3 m/s a 19 m/s. Calcule o valor da aceleração desse movimento.
22.
Em 4s, a velocidade de um carro passa de 8 m/s para 18 m/s. Qual
a sua aceleração?
23.
Em 2 horas, a velocidade de um carro aumenta de 20 km/h a 120
km/h. Qual a aceleração nesse intervalo de tempo?
24.
Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 20
m/s quando acionou os freios e parou em 4s. Determine a aceleração
imprimida pelos freios à motocicleta.
25.
O que significa dizer que um corpo tem aceleração de 10 m/s 2?
26.
Qual a diferença entre o movimento uniforme e o movimento
uniformemente variado?
15
4 – Função Horária da Velocidade do M.R.U.V
v = vo + a.t
v = velocidade em um instante qualquer ( m/s)
vo = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s2)
t = tempo (s)
Exercícios
27. Um carro em movimento adquire velocidade que obedece à expressão
v=10-2t (no SI). Pede-se: a) a velocidade inicial; b) a aceleração; c) a
velocidade no instante 6s.
28. Um automóvel em movimento retilíneo adquire velocidade que obedece à
função v=15-3t (no SI). Determine: a) a velocidade inicial; b) a aceleração; c)
a velocidade no instante 4s.
29. É dada a seguinte função horária da velocidade de uma partícula em
movimento uniformemente variado: v=15+20t (no SI). Determine o instante
em que a velocidade vale 215 m/s.
30. Um automóvel parte do estacionamento e é acelerado à razão de 5m/s 2.
Calcule a sua velocidade 30s após a sua partida.
31. Um automóvel parte do repouso com aceleração constante de 2 m/s 2.
Depois de quanto ele atinge a velocidade de 40 m/s?
32. Um trem de carga viaja com velocidade de 20 m/s quando,
repentinamente, é freado e só consegue parar 70s depois. Calcular a
aceleração.
33. Um automóvel tem velocidade de 25 m/s e freia com aceleração de 5m/s2. Depois de quanto tempo ele pára?
34. Um veículo parte do repouso e adquire aceleração de 2 m/s 2. Calcule a
sua velocidade no instante t = 5s.
35. Um carro parte do repouso com aceleração de 6 m/s 2. Quanto tempo ele
gasta para atingir 30 m/s?
5 – Função Horária das Posições M.R.U.V
x = xo + vot +
at 2
2
ou
16
x = vot +
at 2
2
x = posição em um instante qualquer (m)
xo = posição no instante inicial (m)
vo = velocidade inicial (m/s)
t = tempo (s)
a = aceleração (m/s2)
s = distância percorrida (m)
Exercícios
36. Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilínea e sua posição varia
no tempo de acordo com a expressão : x = 9 + 3t - 2t2. (SI) Determine: a
posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração.
37. É dado um movimento cuja função horária é: x = 13 - 2t + 4t2. (SI)
Determine: a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração.
38. A função horária de um móvel que se desloca numa trajetória retilínea é
x=20+4t+5t2, onde s é medido em metros e t em segundos. Determine a
posição do móvel no instante t=5s.
39. Um móvel parte do repouso da origem das posições com movimento
uniformemente variado e aceleração igual a 2 m/s 2. Determine sua posição
após 6 s.
40. Um móvel parte com velocidade de 10 m/s e aceleração de 6 m/s 2 da
posição 20 metros de uma trajetória retilínea. Determine sua posição no
instante 12 segundos.
41. Um ponto material parte do repouso com aceleração constante e 10 s
após encontra-se a 40 m da posição inicial. Determine a aceleração do ponto
material.
42. É dada a função horária do M.U.V de uma partícula, x = -24 + 16t - t2.
Determine (no S.I): a) o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração da
partícula; b) a posição da partícula no instante t = 5s.
43. Ao deixar o ponto de parada, o ônibus percorre uma reta com aceleração
de 2 m/s2. Qual a distância percorrida em 5s?
6 – Equação de Torricelli
v2 = vo2 + 2.a.  x
v = velocidade em um instante qualquer (m/s)
vo = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s2)
x = distância percorrida(m)
17
Exercícios
44. Um automóvel possui num certo instante velocidade de 10 m/s. A partir
desse instante o motorista imprime ao veículo uma aceleração de 3 m/s 2.
Qual a velocidade que o automóvel adquire após percorrer 50 m?
45. Um automóvel parte do repouso e percorre 256 m de uma rodovia com
uma aceleração igual a 8 m/s e. Determine sua velocidade no final do
percurso.
46. Um veículo tem velocidade inicial de 4 m/s, variando uniformemente para
10 m/s após um percurso de 7m. Determine a aceleração do veículo.
47. A velocidade de um corpo em MUV varia de 6 m/s a 9 m/s, num trajeto de
3 m. Calcule a aceleração do corpo.
48. Um carro de corrida inicialmente em repouso é sujeito a aceleração de 5
m/s2. Determine a distância percorrida pelo carro até atingir a velocidade de
10 m/s.
49. Um trem trafega com velocidade de 15 m/s. Em determinado instante, os
freios produzem um retardamento de -1,5 m/s2. Quantos metros o trem
percorre durante a freagem, até parar?
50. Uma composição do metrô parte de uma estação, onde estava em
repouso e percorre 100m, atingindo a velocidade de 20 m/s. Determine a
aceleração durante o processo.
51. Um carro está se movendo com uma velocidade de 16 m/s. Em um certo
instante, o motorista aciona o freio, fazendo com que o carro adquira um
movimento uniformemente variado, com aceleração de -0,8 m/s2. Calcule a
velocidade desse automóvel após percorrer uma distância de 70 m a partir do
início da freada.
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO AS EQUAÇÕES DO M.R.U.V
v = vo + a.t
1
x = xo + vot + a.t2
2
2
2
v = vo + 2.a.  x
52. Um carro de corrida, que estava parado, arranca com movimento retilíneo
uniformemente acelerado. O valor da sua aceleração é de 4 m/s 2. Quanto
tempo o carro gasta para atingir a velocidade de 12 m/s ?
53. Ao pousar, um avião toca a pista de aterrissagem com uma velocidade de
70 m/s. Suponha que seu movimento, a partir desse instante, seja retilíneo
uniformemente retardado, com aceleração a = - 5 m/s2. Qual será a
velocidade do avião 10 s após ele tocar o solo?
18
54. Um carro, com movimento retilíneo uniformemente acelerado, de
aceleração a = 1,5 m/s 2, partiu do repouso. Qual a distância que o carro
percorre em 4 s ?
55. Uma moto com velocidade inicial de 20 m/s freia com aceleração igual a 2 m/s2. Escreva a função horária da velocidade para esta moto.
56. Uma ave voa, a partir do repouso, com aceleração de 8 m/s 2. Qual é a
velocidade atingida em 20 s?
57. Para decolar numa pista de 2 km, a partir do repouso, um avião precisa
atingir a velocidade de 360 km/h. Qual a aceleração do avião?
58. O tempo de reação de um motorista é de aproximadamente 1s (intervalo
de tempo decorrido entre a percepção de um sinal para parar e a efetiva
aplicação dos freios). Se os freios de um automóvel podem garantir uma
aceleração de retardamento de -5m/s2, calcule a distância percorrida por ele
até parar, supondo que sua velocidade era de 20 m/s ao perceber o sinal para
parar.
Propriedades do gráfico da velocidade e função do tempo ( v  t )
A tangente do ângulo  representa numericamente a aceleração.
tg 
v
 tg  a
t
Gráfico da posição em função do tempo ( x  t )
M.R.U.
M.R.U.V.
19
7 – Movimento de Queda Livre (M.Q.L.)
Queda livre é o movimento dos corpos ( para cima ou para baixo) sem
sofrer a ação do ar ou qualquer outra interferência. A única força atuante é a
gravidade ou força gravitacional (peso do corpo). A causa da gravidade é o
campo gravitacional que existe em torno de qualquer massa, cujos estudos,
por Newton, resultou na Lei da Gravitação Universal.
Todos os corpos independentes de suas massas, num mesmo lugar,
caem com a mesma aceleração.
Para propósitos práticos, qualquer corpo independente de sua massa cai
em direção ao centro da terra com uma aceleração que pode ser considerada
constante. Quando existe a influência do ar, a velocidade de queda pode
depender do peso e da forma do corpo.. Mas se a queda for no “vácuo” a
pena e a esfera de aço atingem o solo ao mesmo tempo ou caem com a
mesma aceleração. Esta aceleração recebe o nome de aceleração da
gravidade e é representada pela letra (g).
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da terra fica
sujeito a uma aceleração constante, orientada sempre para baixo, na direção
vertical. O valor da aceleração da gravidade (g) varia de acordo com a altitude
e a latitude do local, mas para nossos fins, vamos tomá-la como constante,
cujo valor arredondado é:
gTerra  10 m/s2
g = aceleração da gravidade no local (m/s2)
O movimento de queda livre é um caso particular de MRUV onde a
aceleração vale sempre 10 m/s2. Assim podemos usar as equações do
MRUV, fazendo apenas algumas mudanças de letras. No MRUV usamos (x)
para posição, no lançamento vertical usamos (y) para altura e onde usávamos
aceleração (a) agora usamos aceleração da gravidade (g). Como nosso
referencial vai ser a superfície da terra, adotamos uma velocidade positiva
para subida e uma velocidade negativa para decida. Por isso nas formula
abaixa aparece um sinal de menos na frente da aceleração gravitacional (g),
já que seu sentido é para baixo.
v = vo -gt
g 2
.t
2
v2 = vo2 - 2.g.  y
y = yo + vot -
Exemplo:
Uma pedra foi solta do alto de um prédio de 20m de altura. Calcular,
assumindo queda livre (g = 10m/s2):
a) tempo para atingir o solo;
b) a velocidade com que a pedra atinge o solo.
20
Exercícios
59. Dois objetos, uma pedra e uma pena, são abandonados simultaneamente
da mesma altura. Determine qual deles chega primeiro ao chão, admitindo
que a experiência se realize: a) no ar; b) no vácuo.
60. Se não existisse a aceleração da gravidade, qual seria a trajetória para
um tiro de canhão?
61. Um objeto cai do alto de um edifício, gastando 7s na queda. Calcular com
que velocidade atinge o solo (g=10 m/s2).
62. De uma ponte deixa-se cair uma pedra que demora 2s para chegar à
superfície da água. Sendo a aceleração local da gravidade igual a g=10 m/s 2 ,
determine a altura da ponte.
63. Num planeta fictício, a aceleração da gravidade vale g=25 m/s 2. Um corpo
é abandonado de certa altura e leva 7s para chegar ao solo. Qual sua
velocidade no instante que chega ao solo?
64. Um gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior
velocidade com a qual ele possa atingir o solo sem se machucar seja 8 m/s.
Então, desprezando a resistência do ar, qual a altura máxima de queda para
que o gato nada sofra? ( g=10 m/s2).
65. Um objeto é lançado verticalmente para baixo com uma velocidade de
20m/s, levando 4s para atingir o solo. Assumir movimento de queda livre
MQL, g = 10 m/s2:
a) qual a altura de que foi lançado?
b) qual a velocidade ao atingir o solo?
52. Uma pedra de 20 kg é lançada verticalmente para cima a 80 m/s. Supor
MQL e g = 10 m/s2:
a) qual a altura máxima atingida pela pedra?
b) qual o tempo para voltar ao ponto de lançamento?
c) qual a velocidade de retorno ao ponto de lançamento?
53. Um pára-quedista desce com velocidade constante, quando a 120m do
solo, deixa cair uma bomba em queda livre. Esta leva 4s para atingir o solo.
Qual a velocidade de descida do pára-quedista? Adote g = 10m/s².
54. Um balão tripulado se move verticalmente com velocidade constante.
Num dado instante um passageiro do balão abandona uma pedra quando ele
está a uma altura de 90m do solo. A pedra gasta 3s para atingir o solo.
Despreze, no movimento da pedra, o efeito do ar e adote g = 10m/s².
Determine, justificando:
a)o módulo da velocidade do balão.
b)o sentido do movimento do balão (subindo ou descendo).
52. Maria abandona do alto de uma torre, um corpo a partir do
repouso.Durante a queda livre, com g=10m/s² e constante, ela observa que
nos dois primeiros segundos o corpo percorre uma distância de 20m. À
distância percorrida pelo corpo nos 4s segundos seguintes será de:
53. Um pequeno objeto é largado do 15º andar de um edifício, passando, 1
segundo após o lançamento, pela janela do 14º andar. Por qual andar ele
passará 2 segundos após o lançamento? Admita g =10m/s² e despreze o
atrito com o ar.
54. Um foguete é lançado verticalmente de uma base. Ao atingir uma altura
de 480 m, o combustível do primeiro estágio acaba e ele é desacoplado do
foguete. Nesse instante sua velocidade é de 100m/s. Usando g = 10 m/s²,
calcule o módulo da velocidade com que o primeiro estágio atingirá o solo.
21
Dinâmica
Tópico 04
Força (F) é o resultado da interação entre corpos. A força provoca uma
deformação ou uma variação no estado de movimento de um corpo, isto é:



põe em movimento um corpo que está em repouso
pára um corpo em movimento
muda a direção de um corpo.
Tipos de Força:


Forças de Contato: são aquelas aplicadas através do contato entre os corpos, por
exemplo, um empurrão que damos em uma mesa.
Forças de Campo: são as que atuam nos corpos ainda que separados por uma certa
distância. Não precisamos estar em contato com o chão para que sejamos puxados
contra ele, tanto que se jogarmos uma pedra para cima ela voltará a cair. Da mesma
forma, podemos notar que ao aproximarmos um ímã de um prego, este será atraído pelo
ímã.
Massa (m) é a quantidade de matéria contida em um corpo e é uma
propriedade que não varia de um lugar para outro.
Peso (Fp) é a força com que os planetas puxam a matéria dos corpos
para si. Na Terra esta força é maior do que na Lua, logo pode variar de um
local para outro. Por exemplo, no Pólo Sul e no Equador 1kg de ouro, não
pesa a mesma coisa, apesar de possuir a mesma massa, aceleração
gravitacional (g) do equador e menor do que nos pólos.
Inércia: Se um corpo estiver em repouso, é necessária a ação de uma
força sobre ele para coloca-lo em movimento. Uma vez iniciado o movimento,
cessando a ação das forças, o corpo continuará a se mover indefinidamente
em linha reta, com velocidade constante.
F=0 Movimento retilíneo uniforme
22
1 – Leis de Newton
Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia): Qualquer corpo em repouso ou em
MRU tende a permanecer nesse estado, a menos que seja obrigado a alterálo por aplicação de uma força externa.
Segunda Lei de Newton: A aceleração que um corpo adquire é diretamente
proporcional à força que atua sobre ele e tem a mesma direção e o mesmo
sentido desta força.


F  m a
A resultante das forças que agem sobre um corpo é igual ao produto de
sua massa pela aceleração adquirida.
Terceira Lei de Newton (Ação e Reação): Quando um corpo A exerce uma
força sobre um corpo B, o corpo B reage sobre A, exercendo nele uma força
de mesmo módulo, de mesma direção e sentido contrário.
Observação


Força resultante: É a soma de todas as forças que atuam no corpo.
Corpo em e equilíbrio: A condição para que um corpo esteja em equilíbrio é que seja
nula a resultante das forças que atuam sobre ele.
Exercícios
1. Calcule o valor da aceleração:
a)
b)
6Kg
6N
10N
4Kg
26N
c)
2Kg
30N
10Kg
10N
6N
23
10N
4N
e)
f)
8N
3N
8Kg
5Kg
2N
6N
2. Um corpo tem massa de 5 kg e adquire uma aceleração de 3 m/s 2.
Determine o valor da força aplicada.
3. Uma força de 20N aplicada em um corpo provoca uma aceleração de 5
m/s2. Determine a massa do corpo.
4. Determine a aceleração adquirida por um corpo de massa de 2000g,
sabendo que sobre ele atua uma força resultante de intensidade 8N.
5. Calcule a força com que a Terra puxa um corpo de 20g de massa quando
ele está em sua superfície. (Dado: g=10 m/s 2)
6. Na Terra, a aceleração da gravidade é em média 9,8 m/s 2, e na Lua 1,6
m/s2. Para um corpo de massa 5kg, determine:
a) o peso desse corpo na Terra.
b) a massa e o peso desse corpo na Lua.
7. Um astronauta com o traje completo tem uma massa de 120kg. Determine
a sua
massa e o seu peso quando for levado para a Lua, onde a gravidade é
aproximadamente 1,6m/s 2.
8. Na Terra, num local em que a aceleração da gravidade vale 9,8 m/s 2, um
corpo pesa 98N. Esse corpo é, então levado para a Lua, onde a aceleração
da gravidade vale 1,6m/s2?. Determine sua massa e o seu peso na Lua.
9. Em Júpiter, a aceleração da gravidade vale 26 m/s 2, enquanto na Terra é
de 10 m/s2. Qual seria, em Júpiter, o peso de um astronauta que na Terra
corresponde a 800 N?
10. Qual é o peso, na Lua, de um astronauta que na Terra tem peso 784N?
Considere gT=9,8 m/s2 e gL = 1,6 m/s2.
11. Um corpo com massa de 0,6kg foi empurrado por uma força que lhe
comunicou uma aceleração de 3 m/s2. Qual o valor da força?
12. Um caminhão com massa de 4000kg está parado diante de um sinal
luminoso. Quando o sinal fica verde, o caminhão parte em movimento
acelerado e sua aceleração é de 2 m/s 2. Qual o valor da força aplicada pelo
motor?
13. Sobre um corpo de 2kg atua uma força horizontal de 8 N. Qual a
aceleração que ele adquire?
24
14. Uma força horizontal de 200 N age corpo que adquire a aceleração de 2
m/s2. Qual é a sua massa?
15. Partindo do repouso, um corpo de massa 3kg atinge a velocidade de 20
m/s em 5s. Descubra a força que agiu sobre ele nesse tempo.
16. A velocidade de um corpo de massa 1kg aumentou de 20 m/s para 40 m/s
em 5s. Qual a força que atuou sobre esse corpo?
17. Uma força de12N é aplicada em um corpo de massa 2kg.
a) Qual é a aceleração produzida por essa força?
b) Se a velocidade do corpo era 3 m/s quando se iniciou a ação da força, qual
será o seu valor 5 s depois?
18. Sobre um plano horizontal perfeitamente polido está apoiado, em
repouso, um corpo de massa m=2 kg. Uma força horizontal de 20N, passa a
agir sobre o corpo. Qual a velocidade desse corpo após 10s?
19. Um corpo de massa 2kg passa da velocidade de 7 m/s à velocidade de
13m/s num percurso de 52m. Calcule a força que foi aplicada sobre o corpo
nesse percurso.
20. Um automóvel, a 20 m/s, percorre 50m até parar, quando freado. Qual a
força que age no automóvel durante a frenagem? Considere a massa do
automóvel igual a 1000kg.
21. Sob a ação de uma força constante, um corpo de massa 7kg percorre
32m em 4 s, a partir do repouso. Determine o valor da força aplicada no
corpo.
22. Um corpo de 3,0 kg está se movendo sobre uma superfície horizontal sem
atrito com velocidade v0. Em um determinado instante (t = 0) uma força de 9,0
N é aplicada no sentido contrário ao movimento. Sabendo-se que o corpo
atinge o repouso no instante t = 9,0 s, qual a velocidade inicial v 0, em m/s, do
corpo?
23. Uma partícula de massa igual a 0,5 kg teve sua velocidade aumentada
linearmente de 4,0 m/s para 8,0 m/s durante 2,0 segundos. Nesse caso, a
força resultante que atuou sobre ela foi de:
2 – Lei de Hoock
A lei de Hooke consiste basicamente na consideração de que uma mola
possui uma constante elástica k. Esta constante é obedecida até um
certo limite, onde a deformação da mola em questão se torna
permanente. Dentro do limite onde a lei de Hooke é válida, a mola pode
ser comprimida ou elongada, retornando a uma mesma posiçã o de
equilíbrio.
25
Analiticamente, a lei de Hooke é dada pela equação:
F = -k.x
Neste caso, temos uma constante de proporcionalidade k (N/m) e a
variável independente x (m). A partir da equação pode se concluir que
a força da mola tem sentido contrario a da força aplicada.
Exercícios:
24. Uma mola tem constante elástica de 10 N/cm. Determine a força que deve
ser aplicada para que a mola sofra uma deformação de 5cm.
25. A constante elástica de uma mola é de 30 N/cm. Determine a deformação
sofrida pela mola ao se aplicar nela uma força de 120 N.
26. Uma mola de suspensão de carro sofre deformação de 5 cm sob ação de
uma força de 2000 N. Qual a constante elástica dessa mola?
27. Uma mola é submetida à ação de uma força de tração. O gráfico abaixo
indica a intensidade da força tensora em função da deformação x. Determine:
a) a constante elástica da mola; b) a deformação x quando F=60N.
28. Aplicando-se uma força de 100 N numa mola ela sofre uma deformação de
2 cm. Qual a força que deforma a mola de 10 cm?
3 – Força de Atrito
Força Normal: Força de reação da superfície de contato com o corpo.
Fn (Normal)
Fp (Peso)
26
Obs.: Força Normal como o próprio nome diz é normal (perpendicular) à
superfície. E está uniformemente distribuída num corpo com massa
uniformemente distribuída e portanto deve estar localizada, exatamente, no
centro deste corpo.
Para o plano horizontal podemos sempre considerar, força peso igual a
força normal.
Fn = Fp
Força de Atrito: o fato de tentarmos fazer um corpo deslizar sobre um
superfície sem consegui-lo é justificado pelo aparecimento de uma força entre
as superfícies de contato, o que impede o movimento deste corpo é a força
de atrito estático.
Uma vez iniciado o movimento, a força de atrito estático deixa de existir,
passando a atuar a força de atrito cinético de valor sempre inferior ao da
força de atrito estático.
A força de atrito depende da Normal (N) e independe da área de
contato entre os corpos.
Fae = e.N , onde e é o coeficiente de atrito estático (quando é estática).
Fac = c. N , onde c é o coeficiente de atrito cinético (quando é cinética).
Fat =  .FN
Fn
F
Fat = força de atrito (N)
 = coeficiente de atrito
Fat
Fp
Fn= normal (N)
Exercícios
29. Um bloco de massa 8 kg é puxado por uma força horizontal de 20N.
Sabendo que a força de atrito entre o bloco e a superfície é de 2N, calcule a
aceleração a que fica sujeito o bloco. Dado: g = 10 m/s 2.
30. Um bloco de massa 10 kg movimenta-se numa mesa horizontal sob a
ação de uma força horizontal de 30 N. A força de atrito entre o bloco e a mesa
vale 20 N. Determine a aceleração do corpo.
31. Um corpo de massa m = 5 kg é puxado horizontalmente sobre uma mesa
por uma força F = 15 N. O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa é  =
0,2. Determine a aceleração do corpo. Considere g = 10 m/s 3.
32. Um bloco de massa 2 kg é deslocado horizontalmente por uma força F =
10 N, sobre um plano horizontal. A aceleração do bloco é 0,5 m/s2. Calcule a
força de atrito.
33. Um sólido de massa 5 kg é puxado sobre um plano horizontal por uma
força horizontal de 25 N. O coeficiente de atrito entre o sólido e o plano é 0,2.
A) Qual a força de atrito? B) Qual é a aceleração do corpo? Dado: g = 10
m/s2.
34. Um corpo de massa igual a 5 kg, repousa sobre um plano horizontal. O
coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é 0,1. Que força horizontal deve
ser aplicada para se obter uma aceleração de 3 m/s 2?
27
35. Um corpo de massa 6 kg é lançado com velocidade inicial de 8 m/s.
Determine a distância que o corpo percorrerá até parar, sabendo que o
coeficiente de atrito entre o corpo e a superfície é 0,1. Adote g = 10 m/s 2.
36. Um pequeno bloco de massa 20 kg, em movimento com a velocidade de
20 m/s, atinge uma superfície áspera onde a força de atrito vale 8 N.
Determine a distância percorrida pelo bloco até parar.
37. Um carro de massa 900 kg e velocidade de 30 m/s freia bruscamente e
pára em 3 s. Calcule a força de atrito.
38. Uma força horizontal de 10 N arrasta um corpo de massa 2,5 kg, que
estava inicialmente em repouso, deslocando-o 3 m, em uma superfície
horizontal. A velocidade final do corpo é 2 m/s. Qual a força de atrito entre o
corpo e a superfície?
4 – Aplicações das Leis de Newton
39. Dois blocos de massas mA = 2 kg e mB = 3 kg, apoiados sobre uma
superfície horizontal perfeitamente lisa, são empurrados por uma força F de
20 N, conforme indica a figura abaixo. Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a força que o corpo A exerce no corpo B.
40. Os corpos A e B encontram-se apoiados sobre uma superfície horizontal
plana perfeitamente lisa. Uma força F de 40 N é aplicada em A conforme
indica a figura. Dados: mA= 2kg e mB= 8kg. Determine:
a) aceleração dos corpos A e B;
b) a força que A exerce em B.
41. Dois corpos A e B, de massas mA= 10 kg e mB= 5 kg estão interligados por
um fio ideal. A superfície de apoio é horizontal e perfeitamente lisa. Aplicase em B uma força horizontal de 30 N, conforme indica a figura abaixo.
Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a força de tração no fio.
28
42. Dois corpos A e B de massas respectivamente iguais à 5kg e 3kg,
interligados por um fio de massa desprezível, são puxadas sobre um plano
horizontal liso por uma força horizontal F. A aceleração do conjunto é de 6
m/s2. Determine:
a) a força F;
b) a força de tração no fio.
43. Na situação do esquema abaixo, não há atrito entre os blocos e o plano,
mA=2kg e mB=8kg. Sabe-se que o fio que une A com B suporta, sem
romper-se uma tração de 32N. Calcule a força admissível à força F, para
que o fio não se rompa.
44. No salvamento de um homem em alto mar, uma bóia é largada de um
helicóptero e leva 2,0 s para atingir a superfície da água. Considerando a
aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando o atrito com o ar,
determine:
a) a velocidade da bóia ao atingir a superfície da água;
b) a tração sobre o cabo usado para içar o homem, sabendo que a massa
deste é igual a 120 kg e que a aceleração do conjunto é 0,5 m/s 2.
45. Determine a aceleração do conjunto da figura e a intensidade de tração na
corda, supondo que não há atritos. Despreze a massa da corda e
considere g=10m/s2.
46. Na figura temos três corpos A, B e C interligados e suspensos através de
fios ideais. Se suas massas são, respectivamente, iguais a 1,0 kg, 1,5 kg e
29
0,80 kg e a aceleração da gravidade no local vale 10 m/s 2, o módulo da
tração no fio que liga os corpos A e B é de:
47. O dispositivo representado na figura é denominado “máquina de Atwood”.
A polia tem inércia de rotação desprezível e os atritos não devem ser
considerados. O fio é inextensível e de massa desprezível e, no local, a
aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s 2. A massa do corpo A é 100 g
e a massa do corpo B é 50 g. Se, em determinado instante, a máquina é
destravada, o módulo da aceleração de cada bloco é:
48. No esquema da figura, despreza-se qualquer forma de atrito. Tomando g =
10 m/s2, calcule:
a) a intensidade da força de
tração na corda, antes de
se retirar o pino;
b) a aceleração do sistema
em
conseqüência
da
retirada do pino;
c) o tempo gasto pelo
bloco até atingir a polia.
30
49. O bloco A da figura tem massa ma= 80kg e o bloco B tem massa mb= 20
kg. A força F tem intensidade de 600N. Os atritos e a inércia do fio e da
polia são desprezíveis. Admitindo g=10m/s 2, determine:
a) a aceleração do bloco B;
b) a intensidade da força que traciona o fio .
50. Considere o esquema representado na figura abaixo. As roldanas e a corda
são ideais. O corpo suspenso da roldana móvel tem peso P = 500N.
a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o
homem deve exercer sobre a corda para equilibrar o
sistema ?
b) Para cada 1 metro de corda que o homem puxa, de
quanto se eleva o corpo suspenso ?
51. Na figura abaixo , os corpos A, B e C têm massas respectivamente iguais a
2 kg, 5 kg e 3 kg.
a) Com os dados acima diga qual é a
aceleração do sistema;
b) O valor da tração T1, no cabo que liga
C a B, vale;
c) O valor da tração T2 vale.
31
Movimento Circular
Uniforme (M.C.U.)
Tópico 05
O Movimento Circular Uniforme (MCU) consiste num tipo de movimento
de trajetória circular em que o módulo da velocidade é constante, variando
apenas a direção do vetor velocidade uma vez que o somatório das forças no
corpo é não nulo apenas na componente normal.
Período:
"É o tempo gasto por um corpo para efetuar uma volta completa no circulo."
Freqüência:
"'É o número de voltas efetuadas no circulo na unidade de tempo."
Relação entre período e freqüência
f=
1
T
f = freqüência (Hz)
T = período (s)
Exercícios
1. Qual o período do ponteiro das horas de um relógio?
2. Qual o período de rotação da Terra?
3. Qual o período de translação da Terra ao redor do Sol?
4. Um garoto num gira-gira descreve um movimento circular uniforme
executando 5 voltas em 20 s. Determine o período e a freqüência do
movimento.
5. Um carrinho de um autorama realiza um movimento circular uniforme
completando 10 voltas em 5 s. Determine seu período e sua freqüência.
6. Um corpo em movimento circular uniforme completa 20 voltas em 10
segundos. Determine o período e a freqüência do corpo.
7. Um carrossel gira uniformemente, efetuando uma rotação completa a
cada 4 s. Determine a freqüência com que cada cavalo executa o movimento
circular uniforme.
1 – Velocidade Angular
É a razão entre o ângulo descrito “” em relação ao centro da
circunferência e o intervalo de tempo gasto em descrevê-lo. Ela indica a
rapidez com que o móvel descreve ângulos.
32


t

2.
T
 = velocidade angular (rad/s)
 = ângulo percorrido (rad)
t = tempo (s)
Exercícios
8. Um ponto percorre uma circunferência e descreve um ângulo central de 2
rad em 5 s. Determine a velocidade angular nesse intervalo de tempo.
9. Uma partícula percorre uma circunferência, descrevendo um ângulo
central de 3 rad em 2 s. Determine a velocidade angular neste intervalo de
tempo.
Relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular
É a razão entre a variação de posição ( arco percorrido , distância
percorrida ) e o intervalo de tempo em que esta variação ocorreu. Ela indica a
rapidez com que o móvel percorre a circunferência.
v = . R
v
2. .R
T
v = velocidade escalar (m/s)
 = velocidade angular (rad/s)
R = raio (m)
Exercícios
10. Um ponto percorre uma circunferência com velocidade angular  = 10
rad/s. Sendo R = 2 m o raio da circunferência, determine a velocidade escalar
v.
11. Uma partícula descreve um movimento circular uniforme com velocidade
escalar v = 5 m/s. Sendo R = 2 m o raio da circunferência, determine a
velocidade angular.
12. Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio 5 m. Ao percorrer o
arco de circunferência  , ela desenvolve uma velocidade escalar de 10 m/s,
gastando 0,5 segundo nesse percurso. Determine o ângulo descrito  .
13. Uma partícula percorre uma circunferência de raio 10 m, com velocidade
escalar de 20 m/s. Quanto tempo a partícula demora para percorrer um arco
de circunferência de 1 rad?
33
2 – Aceleração Centrípeta
A aceleração centrípeta, também chamada de aceleração normal ou
radial, é a aceleração originada pela variação da direção do vetor velocidade
de um móvel, característico de movimentos curvilíneos ou circulares. Ela é
perpendicular à velocidade e aponta para o centro da curvatura da trajetória.
A aceleração centrípeta pode ser calculada como:
v2
ac 
R
a = aceleração centrípeta (m/s2)
v = velocidade escalar (m/s)
r = raio da circunferência (m)
Exercícios
14. Um móvel realiza um movimento circular e uniforme, com velocidade de 5
m/s. Sendo a aceleração centrípeta igual a 10 m/s 2, determine o raio de sua
trajetória.
15. Uma pedra amarrada em um barbante realiza um movimento circular e
uniforme, em um plano horizontal, com velocidade de 3 m/s. Sendo o raio da
circunferência igual a 0,5 m , determine o valor da aceleração centrípeta.
16. Um corpo realiza um movimento circular e uniforme, em uma
circunferência com raio de 2 metros. Determine a velocidade do corpo,
sabendo que sua aceleração centrípeta é igual a 8 m/s2.
17. A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular
e uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a
400000 quilômetros, determine sua aceleração centrípeta.
3 – Força Centrípeta
É a força resultante que puxa o corpo para o centro da trajetória em um
movimento curvilíneo ou circular. Objetos que se deslocam em movimento
retilíneo uniforme possuem velocidade modular constante. Entretanto, um
objeto que se desloca em arco, com o valor da velocidade constante, possui
uma variação na direção do movimento; como a velocidade é um vetor de
módulo, direção e sentido, uma alteração na direção implica uma mudança no
vetor velocidade. A razão dessa mudança na velocidade é a aceleração
centrípeta.
Como força é dada pela fórmula:
F  ma
e a aceleração, neste caso particular, corresponde à aceleração centrípeta
dada pela fórmula:
34
v2
ac 
R
temos a força centrípeta que pode ser calculada como:
v2
F m
R
Exercícios
18. Considere um corpo de massa 3 kg descrevendo uma trajetória circular de
raio 2 m, com velocidade escalar constante de 10 m/s. Calcule a força
centrípeta que atua no corpo.
19. Determine a intensidade da força centrípeta necessária para manter um
automóvel de massa 1000 kg numa trajetória circular de raio 100 m, à
velocidade de 10 m/s.
20. Se num movimento circular reduzirmos o raio e a velocidade à metade, a
força centrípeta será:
a) igual à anterior;
b) o quádruplo da anterior;
c) a metade da anterior;
d) a quarta parte da anterior;
e) n.d.a.
21. A força centrípeta que age numa partícula de massa 4 kg num movimento
circular uniforme tem intensidade de 32 N. Se o raio da trajetória for 200 cm,
determine a velocidade adquirida pela partícula.
22. Um corpo de massa igual a 1,0 kg descreve, sobre uma mesa bem polida,
uma circunferência horizontal de raio 1,0 m, quando preso mediante um fio a
um ponto fixo na mesa. O corpo efetua 60 rpm. Qual a intensidade da força
tensora no fio (força tração)? Adote π² = 10.
35
Quantidade de Movimento
(Quantidade de Momentum)
Tópico 06
Em mecânica clássica a quantidade de movimento (momentum) é
definida pelo produto da massa pela velocidade de um corpo. É uma
grandeza vetorial, com direção e sentido, cujo módulo é o produto da
massa pelo módulo da velocidade, e cuja direção e sentido são os
mesmos da velocidade. A quantidade de movimento total de um
conjunto de objetos permanece inalterada, a não ser que uma força
externa seja exercida sobre o sistema.

- direção: a mesma de V


- sentido: o mesmo de V
V


- módulo: Q  m  V
m
Seja um corpo de massa m e que, em certo instante,
possui

velocidade V em relação a um dado referencial. Por definição, a

quantidade de movimento Q desse corpo é dada por:


Q  m V
Nessa expressão, m é a massa do corpo, em kg; V é a
intensidade da velocidade do corpo, em m/s; Q é a intensidade da
quantidade de movimento do corpo, em kg.m/s.
Num sistema de partículas, a quantidade de movimento em cada
instante é a soma vetorial da quantidade de movimento de cada
partícula.





Q sistema  Q 1  Q 2  Q 3  ...  Q n
36
Exercício:
1. (Puccamp-SP) Dois meninos estão parados sobre o gelo de uma
pista de patinação. O menino A, de massa mA = 40kg, empurra o
menino B, de massa 60kg. Se B adquire velocidade de 0,6m/s, podese afirmar que o menino A:
a) permanece parado.
b) segue com B, com velocidade de 0,6m/s.
c) adquire velocidade de 0,6m/s, oposta à de B.
d) adquire velocidade de 0,4m/s, oposta à de B.
e) adquire velocidade de 0,9m/s, oposta à de B.
2. (FES-MG) Um atleta lança uma esfera de 4kg a uma velocidade
de 6m/s. A energia cinética e a quantidade de movimento imprimidas
na esfera têm valores, em unidades do SI, respectivos de :
a) 18 e 32
b) 36 e 12
c) 72 e 24
d) 18 e 36
e) 144 e 24
3. (UEMS) Uma partícula de massa igual a 0,1kg realiza um
movimento circular uniforme, com velocidade escalar V = 2m/s. A
respeito da quantidade de movimento da partícula, é correto afirmar
que:
a) é constante.
b) é constante só na direção.
c) é constante só na intensidade.
d) tem sentido apontando para o centro da trajetória
e) varia em módulo, direção e sentido.
4. (Unirio-RJ) Uma bola de tênis de massa igual a 100g e
velocidade de 10m/s é rebatida por um jogador, retornando com
velocidade de mesmo módulo, mesma direção e sentido contrario.
Podemos afirmar que a quantidade de movimento:
a)permanece constante
b)variou de 2,0.102kgm/s
c) variou de 1,0.102kgm/s
e) variou de 1,0.102kgm/s
d) variou de 2,0.102kgm/s
1 – Impulso de uma força
Impulso é a grandeza física que relaciona a força que atua sobre um
corpo e o intervalo de tempo que ela atua sobre o mesmo. Seja um

ponto material sujeito a uma força F constante e que atua sobre um
intervalo de tempo t  t1  t 2 .
37


O impulso da força F constante e vetor I dado por:


I  F .t
I


F
F
I
1
2

- direção coincide com a direção do vetor F ;

- sentido igual a do vetor força F ;


- módulo I  F .t .
Num dado intervalo de tempo, o impulso da força resultante é igual à
variação da quantidade de movimento:




I   Q  Q 2  Q1
Exemplo:
5. Uma bola de bilhar com massa de 100g atinge perpendicularmente
uma tabela com velocidade 2m/s e rebate com velocidade 1,5m/s.
a) o módulo da velocidade da quantidade de movimento da bola de
pilhar;
b) a intensidade da força média aplicada pela tabela à bola, sabendo
que a rebatida durou 0,01s.
Solução:



a)  Q  Q f  Q i  Q  0,10.( 1,5)  0,10.( 2)  Q  0,35kg.m / s




b) I r   Q  F m .T   Q  Fm .0,01  0,35  Fm  35N
Exercícios:
6. (Vunesp) Uma nave espacial de 103kg se movimenta, livre de
quaisquer forças, com velocidade constante de 1m/s, em relação a
um referencial inercial. Necessitando pará-la , o centro de controle
decidiu acionar um dos motores auxiliares, que fornecerá uma força
constante de 200N, na mesma direção, mas em sentido contrário ao
do movimento. Esse motor deverá ser programado para funcionar
durante:
a) 1s
b) 2s
c) 4s
d) 5s
38
e) 10s
7. (U.E.Londrina-PR) Uma partícula de massa 2,0kg move-se com
velocidade escalar de 3,0m/s no instante em que recebe a ação de

uma força F , de intensidade constante, que nela atua durante 2,0s. A
partícula passa, então, a se mover na direção perpendicular à inicial
com quantidade de movimento de módulo 8,0kg.m/s. A intensidade da

força F , em N, vale:
a) 3,0
b) 5,0
c) 6,0
d) 8,0
e) 10,0
8. (FEI-SP) Sobre uma partícula de massa 10g, inicialmente em
repouso, age uma força F , de direção e sentido constante, cujo
módulo varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo.
F(N)
10
5
Quando t= 0,4s, a velocidade dessa partícula, em m/s, é:
a) 300
b) 350
c) 400
d) 425
e) 510
2 – Princípio da conservação de quantidade movimento
Em um sistema de corpos isolados de forças externas, a
quantidade de movimento é constante.


QF  QI
Exemplo:
9. .A figura mostra dois blocos, A e B, deslocando-se com
velocidades escalares constantes. Quando o bloco A alcançar B, eles
se chocarão e passarão a se mover juntos com velocidade v.
A
6m/s
B
3kg
1m/s
2kg
Determine:
a) o módulo da quantidade de movimento inicial do sistema
constituído pelos blocos A e B;
b) o módulo da velocidade final v dos carrinhos A e B.
39
Solução:






a) Q i  Q f  Q f  Q A  Q B  mva  mvb  1.2  3.6  20.kgm / s  Qi  20kg.m / s


b) Q i  Q f  m.v A  m.v B  (m A  mB ).v  (2  3)v  20  v  4m / s
Exercício:
10. .(Faap-SP) João e Maria patinam em pista perfeitamente lisa (por
hipótese). Estando ambos juntos em repouso, João empurra Maria.
a) Devido a lei de ação e reação, João e Maria continuam juntos.
b) João permanece em repouso, Maria entra em movimento.
c) João e Maria movem-se no sentido da força que João exercerá.
d) João entra em movimento, Maria permanece em repouso.
e) João e Maria movem-se em sentidos opostos.
11. (Unicamp-SP) Um corpo A com massa M e um corpo B com
massa 3M estão em repouso sobre um plano horizontal sem atrito.
Entre eles existe uma mola, de massa desprezível, que está
comprimida por meio de um barbante tensionado que mantém ligados
os dois corpos. Num dado instante, o barbante é cortado e a mola
distende-se, empurrando as duas massas, que dela se separam e
passam a se mover livremente. Designado por T a energia cinética,
pode-se afirmar que:
a) 9TA=TB
d) TA=3TB
b) 3TA=TB
e) TA=9TB
c) TA=TB
12. (Ucsal-BA) Uma granada de massa igual a 3m, que estava imóvel
e suspensa por uma linha, explode em duas partes sólidas, uma de
massa m e a outra de massa 2m, sendo desprezível a massa dos
gases resultantes da explosão. A massa de m se desloca, logo após a
explosão, com velocidade 3V, enquanto a outra se desloca com
velocidade :
a) –3V
b) –2V
d) -V e) –V/2
c) -3V/2
13. (UFRGS) O gráfico representa a variação do módulo da
velocidade v de um corpo de 2,0kg de massa durante o tempo t. Qual
a variação do módulo da quantidade de movimento linear desse corpo
durante os dois primeiros segundos?
v(m/s)
15
10
0
a) 5kg.m/s
d) 25 kg.m/s
1
2
3
b) 10 kg.m/s
e)530 kg.m/s
40
4
t (s)
c) 20 kg.m/s
14. (UFRGS) Duas massas constituem um sistema e movem-se
sobre uma linha reta com velocidade constante. Necessariamente, a
quantidade de movimento linear do sistema se conserva se
a) As massas forem iguais.
b) As massas se moverem em sentidos contrários.
c) As massas se moverem no mesmo sentido.
d) A força resultante sobre o sistema permanecer igual a zero.
e) A energia cinética do sistema variar.
15. (UNISINOS) Nesta última copa do Mundo de Futebol, muitas
foram as emoções: bolas na trave, gols que pareciam feitos e não o
foram e várias outras situações espetaculares.
Suponhamos que uma bola tenha sido chutada e batido na trave e
que o choque entre a bola e a trave tenha sido perfeitamente elástico.

Se esta bola tinha quantidade de movimento p no momento do
choque, retornando na mesma direção, mas em sentido contrário à
orientação original, então a variação da quantidade de movimento da
bola foi de


a) p . b) -2 p .


c) p /2. d) - p . e) zero.
16. (PUC) Sobre um corpo de 2,0kg de massa, inicialmente em
repouso, atua uma força resultante, que varia conforme o gráfico de
F= f(t) abaixo:
F(N)
5
0
5
10
t(s)
A velocidade do corpo ao fim dos 10 primeiros segundos, em m/s
aproximadamente:
a) 1,6 
b) 2,5  c) 3,9 
d) 6,2 
e) 8,1 
17. (UFRGS) A condição de validade do princípio de conservação da
quantidade de movimento linear de um sistema de partículas é que
a) a energia cinética de cada partícula deve permanecer inalterada.
b) as partículas do sistema não podem interagir umas com as outras.
c) a soma das forças externas sobre o sistema deve ser nula.
d) a velocidade de cada partícula deve permanecer inalterada.
e) o centro de massa do sistema deve permanecer em repouso em
relação ao observador.
41
18. (PUC) Um corpo de massa m movimenta-se horizontalmente com
velocidade v e colide com outro corpo em repouso, de modo que
após a colisão ambos movimentam-se juntos e horizontalmente não
estando sujeitos a forças de atritos. Sendo 3m a massa do segundo
corpo, pode-se afirmar
que após a interação e velocidade do
conjunto vale:
a) v
b)3v/4
c)v/2
d)v/3
e)v/4
19. (PUCRS) O móvel A de massa M move-se com velocidade
constante Y ao longo de um plano horizontal sem atrito. Quando o
corpo B de massa M/3 é solto, este se encaixa perfeitamente na
abertura do móvel ª Qual será a nova velocidade do conjunto, após
as duas massas terem-se encaixado perfeitamente?
B
A
a) 3v/4
b) 2v/3
c) v/3
d) 3v
e) 4v/3
20. (UNISINOS) O tenista Holandês Richard Krajicek consegue, num
saque, imprimir à bola de tênis a velocidade de 60m/s (Folha de São
Paulo, 03/10/93). Se a massa da bola é 0,1 kg, o impulso sofrido pela
mesma, é em N.s, de
a) 600.
b)100.
c) 60.
d)6.
e) 0,6.
21. (PUC) Dois corpos de massa m1 = 2,0kg e m2 = 3,0kg com
velocidades respectivas v1=20m/s e v2=10m/s, na mesma direção,
colidem e passam a mover-se juntos após a colisão. A velocidade
comum aos dois corpos, após a colisão, é de
a) 10m/s b)14m/s c)16m/s d)20m/s e)30m/s
22. (UFRGS) Um corpo de massa igual a 0,5kg, sob a ação de uma
força resultante constante, apresenta uma variação de quantidade de
movimento linear igual a 5kg.m/s. Qual é a velocidade média desse
corpo, em m/s, no mesmo intervalo de tempo em que se deu essa
variação de quantidade de movimento linear, sabendo-se que no
início desse intervalo sua velocidade era de 5m/s/
a) 20
b)15
c)10
d)7.5
42
e)5
3 – Choques
Tipo
Choque Elástico
Choque Inelástico
Choque
Completamente
Inelástico

Ec (Sistema)
Q (Sistema)


Conservação de
energia
Q i Q f

Eci  Ec f

Dissipação parcial
Q i Q f

Ec i  Ec f

Dissipação máxima
Q i Q f
Ec i  Ec f
43
Observação
Não ocorre deformação
permanente durante a
colisão.
Ocorre
deformações
permanentes durante a
colisão.
Ocorre
máxima
dissipação de energia
durante a colisão. Os
corpos
permanecem
unidos após a colisão.
Referências Bibliográficas
Física básica – volume único – Atual Editora
Autores: Nicolau e Toledo
Física Ensino Médio – volume único – Editora Scipione
Autor: Chiquetto, Marcos José

Física – volume único – Editora Ática
Autor: Alberto Gaspar

Física – volume único – Editora Scipione
Autores: Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga

Imagens da Física – volume único – Editora Scipione
Autores: Ugo Amaldi