Aula número 15

Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
Classes laterais
Sejam G um grupo, H um subconjunto de G e a um elemento de G .
Usamos as seguintes notações:
aH = {ah | h ∈ H} e Ha = {ha | h ∈ H}.
Definição (Classe lateral de H em G )
Seja H um subgrupo do grupo G . O conjunto aH diz-se a classe lateral
esquerda de H em G contendo a.
O conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G contendo a.
O elemento a diz-se um representante da classe lateral aH (ou Ha).
Exemplo
Sejam G = S3 e H = {(), (1 2 3), (1 3 2)}. As classes laterais esquerdas
de H em G são
• (1)H = H = (1 2 3)H = (1 3 2)H;
• (1 2)H = {(1 2), (1 2)(1 2 3), (1 2)(1 3 2)} = {(1 2), (2 3), (1 3)} =
(1 3)H = (2 3)H.
Álgebra (Curso de CC)
Ano lectivo 2005/2006
156 / 173
Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
O GAP permite trabalhar com classes laterais direitas. (Como gH
consiste dos inversos dos elementos de Hg −1 , não é difı́cil usar também o
GAP para trabalhar com classes laterais esquerdas.)
Exemplo
gap> s3 := SymmetricGroup(3);
Sym( [ 1 .. 3 ] )
gap> Elements(last);
[ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ]
gap> h := Subgroup(s3,[ (), (1,2,3), (1,3,2) ]);
Group([ (), (1,2,3), (1,3,2) ])
gap> RightCoset(h,(1,3));
RightCoset(Group( [ (), (1,2,3), (1,3,2) ] ),(1,3))
gap> Elements(last);
[ (2,3), (1,2), (1,3) ]
Álgebra (Curso de CC)
Ano lectivo 2005/2006
157 / 173
Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
Exemplo
Sejam G = Z9 e H = {0, 3, 6}. Como a operação que estamos a
considerar é a adição, usamos a notação a + H em vez de aH. As classes
laterais (esquerdas) de H em Z9 são
• 0 + H = {0, 3, 6} = 3 + H = 6 + H = H;
• 1 + H = {1, 4, 7} = 4 + H = 7 + H;
• 2 + H = {2, 5, 8} = 5 + H = 8 + H.
Exercı́cio
Sejam G = S3 e H = {(1), (1 2)}. Determine as classes laterais (1 3)H e
H(1 3).
Álgebra (Curso de CC)
Ano lectivo 2005/2006
158 / 173
Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
Teorema de Lagrange
Os exemplos e exercı́cio anteriores levantam questões como: Quando é
que aH = bH? Quando é que aH = Ha? Quantos elementos têm em
comum aH e Hb? O lema seguinte ajuda a esclarecer.
Lema
Sejam G um grupo, H ≤ G e a, b ∈ G . Então
1. a ∈ aH;
2. aH = H se e só se a ∈ H;
3. aH = bH ou aH ∩ bH = ∅;
4. aH = bH se e só se a−1 b ∈ H;
5. |aH| = |bH|;
6. aH = Ha se e só se H = aHa−1 ;
7. aH é um subgrupo de G se e só se a ∈ H.
Álgebra (Curso de CC)
Ano lectivo 2005/2006
159 / 173
Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
Demonstração.
1. Basta notar que a = ae ∈ aH;
2. Suponhamos que aH = H. Então a = ae ∈ aH = H. Reciprocamente, se
a ∈ H, então aH ⊆ H, por H ser fechado para a multiplicação. Também
H ⊆ aH, pois, para qualquer h ∈ H, tem-se a−1 h ∈ H, logo
h = eh = (aa−1 )h = a(a−1 h) ∈ aH.
3. Suponhamos que aH ∩ bH 6= ∅ e seja x ∈ aH ∩ bH. Tem-se x = ah1 e
x = ah2 , para alguns h1 , h2 ∈ H. Então a = xh1−1 = bh2 h1−1 e
aH = (bh2 h1−1 )H = b(h2 h1−1 H) = bH.
4. Resulta de aH = bH ⇐⇒ H = a−1 bH e de 2.
5. Basta observar que ah → bh é uma bijecção de aH em bH.
6. aH = Ha se e só se aHa−1 = Haa−1 = H.
7. Se aH é um subgrupo, então e ∈ aH. Logo aH ∩ eH 6= ∅ e, por 3,
aH = eH = H. Por 2, a ∈ H. Reciprocamente, novamente por 2,
aH = H.
Claro que vale um resultado análogo considerando classes laterais direitas
em vez de esquerdas.
Álgebra (Curso de CC)
Ano lectivo 2005/2006
160 / 173
Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
Teorema (Teorema de Lagrange)
Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G , então ord(H) divide
ord(G ). Além disso, o número de classes laterais esquerdas (ou direitas)
distintas é ord(G )/ ord(H).
Demonstração. Sejam a1 H, a2 H, . . . , ar H as classes laterais esquerdas
distintas de H em G . Como cada elemento de G pertence a alguma
classe lateral esquerda de H (por 1 do lema anterior), tem-se
G = a1 H ∪ a2 H ∪ · · · ∪ ar H.
Como esta união é disjunta (3 do lema anterior), tem-se
|G | = |a1 H| + |a2 H| + · · · + |ar H|.
Usando agora 5 do lema, tem-se |ai H| = |H|, para qualquer i, logo
ord(G ) = r ord(H).
O Teorema de Lagrange tem diversas consequências, algumas das quais,
imediatas.
Álgebra (Curso de CC)
Ano lectivo 2005/2006
161 / 173
Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
Atendendo a que a ordem de um elemento de um grupo finito é a ordem
do subgrupo por ele gerado, tem-se:
Corolário (ord(a) divide ord(G ))
A ordem de um elemento de um grupo finito divide a ordem do grupo.
Corolário
Todo o grupo de ordem prima é cı́clico.
Demonstração. Basta notar que um elemento diferente do elemento
neutro tem como ordem a ordem do grupo.
Corolário (a|G | = e)
Sejam G um grupo finito e a ∈ G . Então aord(G ) = e.
Demonstração. Tem-se ord(G ) = k ord(a), para algum inteiro positivo
k. Então aord(G ) = aord(a)·k = e k = e.
Álgebra (Curso de CC)
Ano lectivo 2005/2006
162 / 173
Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
Corolário (Pequeno Teorema de Fermat)
Sejam p um primo e a um inteiro. Tem-se ap ≡ a (mod p).
Demonstração. Tem-se, pelo algoritmo da divisão, a = pm + r , com
0 ≤ r < p. Logo a ≡ r (mod p), bastando então provar que r p ≡ r
(mod p).
Como para r = 0 o resultado é trivial, podemos supor que r ∈ U(p) (que
não é mais que {1, 2, . . . , p − 1} com a multiplicação módulo p). Então
r p−1 ≡ 1 (mod p) e, portanto, r p ≡ r (mod p).
O número de classes laterais esquerdas (ou direitas) de um subgrupo H
no grupo G designa-se por ı́ndice de H em G e denota-se por (G : H).
Corolário
Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G , então
(G : H) = ord(G )/ ord(H).
Nota
Existem exemplos que mostram que o recı́proco do Teorema de Lagrange
falso.
Álgebra (Curso de CC)
Ano lectivo 2005/2006
163 / 173
Introdução à Teoria de Grupos
Grupos cı́clicos
Grupos de permutações
Isomorfismos
Álgebra (Curso de CC)
Teorema de Lagrange
Subgrupos normais e grupos quociente
Ano lectivo 2005/2006
164 / 173