Bifurcação (Estabilidade)

Teoria das Estruturas II
Introdução à Estabilidade de Estruturas
1. Introdução
Neste capítulo vamos estudar os fenómenos de bifurcação sob o ponto de vista do
comportamento elástico. Esta hipótese não é verdadeira, porque antes de se verificar este
fenómeno ocorre fendilhação ou mesmo plastificação na peça. Está relacionada com casos
de instabilidade, podendo ser utilizado em conjunto com a Análise Plástica Limite.
1.1. Bifurcação de Equilíbrio
Supondo que uma biela está ligada através de uma mola rotacional à fundação, no
caso do elemento vertical rodar de θ e se a carga P se mantiver, o sistema continua a
provocar um momento nulo em relação à rotula da base O.
PLsinθ + ηPLcosθ = kθ ⇒
PL
θ
=
k
sin θ + η cos θ
onde η representa a proporção da carga horizontal.
 PL 
Se representarmos em gráfico a variação de θ com 
,
 k 
1
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
Relativamente a um comportamento linear elástico, θ vai aumentar devido ao
deslocamento lateral da biela.
Os comportamentos típicos da estrutura vão ser :
(1) Estado a que correspondem pequenos deslocamentos;
(2) Comportamento em que a rigidez não aumenta;
(3) Para deslocamentos muito elevados a peça volta a aumentar de rigidez.
Representando o Estado de Equilíbrio da Estrutura,
correspondente à diminuição de η para zero (não há carga horizontal), verifica-se ser
possível aumentar a carga P indefinidamente.
No caso de produzirmos um deslocamento na estrutura (ou a vibrarmos) até
 PL 

 = 1 , a biela mantém-se em equilíbrio.
 k 
 PL 
Para 
 = 1 se a estrutura for sujeita a uma pequena deformação, vai-se manter
 k 
em equilíbrio (com θ = 0) para a deformação inicial.
2
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
Para valores superiores vai ocorrer uma bifurcação do caminho em dois ramos. No
caso de se efectuar um carregamento fora do eixo do pilar e/ou no caso deste ter uma
imperfeição (deslocamento inicial), a peça vai procurar uma posição de equilíbrio na
CURVA ESTÁVEL.
Vamos supor que estamos a trabalhar com pequenos deslocamentos e que o valor de
θ é pequeno. No caso de aproximarmos o comportamento da CURVA ESTÁVEL aos
primeiros termos de uma série de Taylor (linearizarmos), só a primeira derivada das
funções vai ter importância,
A equação que nos dá a posição de equilíbrio virá,
PL
θ
=
k
θ+η
Utilizando estas expressões, não vamos considerar o aumento de rigidez que
caracterizava a expressão inicial.
3
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 PL 
Até valores de 
 = 1 vai vibrar à volta do Estado de Equilíbrio com um certo
 k 
amortecimento.
Para valores superiores pode provocar uma rotura catastrófica. Nesta forma de
colapso até ao ponto limite (inclusive) pode haver a verificação ao Estado de Equilíbrio, de
outro modo temos uma cedência frágil.
Geralmente ignoramos este tipo de comportamento que vai corresponder a um modo
de colapso mais alto (a plasticidade da estrutura é limitada, não se podendo desenvolver
este comportamento).
2. Dedução da Matriz de Rigidez Geométrica
Vamos determinar a rigidez geométrica (cinemática) que pode ser definida como
sendo o efeito na rigidez cinemática da estrutura devido ao encurtamento ∆.
4
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1


2 2


l
l
l

 du 
2
2
∆ = ∫ (ds − dx ) = ∫ du + dx − dx = ∫ 1 +    − 1dx =
0
0
0
  dx  



2
2

l
1  du 
1 l  du 
1 T l
= ∫ 1 +   + ... − 1 dx ≈ ∫   dx = u e  ∫ LT L dx  u e
0
 0

2 0  dx 
2
 2  dx 

)
(
Vamos supor que o modelo para a deformada é cúbico
u(x) = N(x) ue, onde ue é o deslocamento nas extremidades
θ(x) =
dN( x) e
u = L ue
dx
d 2 N( x) e
k(x) =
u = B ue
2
dx
Pelo Teorema da Energia Potencial Total Mínima
W =U −V = ∫
W=
l
T
1
EI k 2 dx −  P∆ + F e u e + ∫ w( x) u ( x) dx 
02
0


l
l
l
T
T
1 eT  l T
1
u  ∫ B EI B dx  u e − Pu e  ∫ LT L dx u e + F e u e +  ∫ w( x) N dx  u e
 0

 0

 0

2
2
Para obtermos o valor mínimo de W fazemos :
l
l
l
dW
= 0 ⇔  ∫ B T EI B dx  u e − P ∫ LT L dx  u e + F e + ∫ w( x) N dx  = 0
e
  0

0
 0


du
5
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
ou seja,
K e = F e + ∫ w( x) N dx
l
0
onde
K e = K eE − K eG
Então, supondo que a viga é biencastrada
  4EI 4PL 
  L − 30 



  2EI PL 
+

− 
L
30 


K eE + K eG = 
  6EI 3P 
−  2 − 
30 
  L


  6EI − 3P 
2
30 
  L
 2EI PL 
−
+

30 
 L
 6EI 3P 
− 2 − 
30 
 L
 4EI 4PL 
−


30 
 L
 6EI 3P 
 2 − 
30 
 L
 6EI 3P 
 2 − 
30 
 L
 12EI 36P 
 3 −

30L 
 L
 6EI 3P 
− 2 − 
30 
 L
 12EI 36P 
− 3 −

30L 
 L
G
Exemplo : K 13
- Efeito de uma rotação
θ1 =
du1
2 3
= 1− + 2 x2
l l
dx
θ2 =
du 2
6
6
= − 2 x + 3 x2
dx
l
l
∫
du1 du 2
3P
= ... =
30
dx dx
6
 6EI 3P  
 2 −  
30 
 L


6EI
3P

 
− 2 −  
30  
 L

12EI
36P


− 3 −

30L 
 L


 12EI 36P  
−
 3

30l  
 L
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2.1 Determinação da Carga de Bifurcação num Pórtico Plano
Caso 1
Hipótese de cálculo : A estrutura vai permanecer direita e sem sofrer flexão.
Esta hipótese justifica que o pórtico se pode deslocar para uma nova posição de
equilíbrio sob acção de cargas axiais.
Vamos considerar que entramos na curva de comportamento estável em que não vai
haver endurecimento, pelo que temos de assegurar que este comportamento não irá
introduzir novas cargas na estrutura.
Como o sistema acima descrito é homogéneo, não é possível obter de uma forma
única u1, u2 e u3. Contudo este estado pode ser consistente com as cargas aplicadas à
estrutura, se for uma solução das equações algébricas,
A (λ) x = 0
onde o parâmetro λ é uma variável (carga de bifurcação).
Este problema consiste na determinação dos valores próprios do sistema homogéneo
de equações lineares.
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
Se considerarmos a estrutura em equilíbrio para uma posição de equilíbrio com uma
pequena deformação do tipo originada por flexão, o número de graus de liberdade vai ser a
indeterminação cinemática,
rotações e deslocamentos, mas desta vez em notação de velocidade, porque se referem a
modos de bifurcação.
A equação que nos dá o modo como a estrutura se move da posição de equilíbrio
será :
[K E + K G ]u = 0
8
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
A matriz KG é função de β , onde β é devido à presença de cargas axiais nos
membros (não é uma medida individual).
Então,
  8EI 4PL 
  L − 30 




[K E + K G ] =  2EI
L


  6EI 3P 
−  2 − 
30 
  L
2EI
L
 8EI 4PL 
−


30 
 L
 6EI 3P 
− 2 − 
30 
 L
 6EI 3P  
− 2 − 
30  
 L

 6EI 3P  
− 2 − 
30  
 L

 24EI 72P 
 3 −

30L 
 L
Resolvendo o sistema de equações de equilíbrio,
  8EI 4PL 
  L − 30 




2EI

L


  6EI 3P 
−  2 − 
30 
  L
2EI
L
 8EI 4PL 
−


30 
 L
 6EI 3P 
− 2 − 
30 
 L
 6EI 3P  
−  2 −   u1  0
30      
 L
   
 6EI 3P      
−  2 −   u 2  = 0
30      
 L
   
 24EI 72P     
 3 −
 u 3  0
30L 
 L
D iv id in d o as lin h as 1 e 2 p o r L , se gu in d o -se a m u ltip lic ação d a co lu n a 3 p o r L e
2
faz en d o β = PL
60EI
, terem o s :
 (4 − 4β )


2EI 

1
L2 


− (3 − 3β )

1
(4 − 4β)
− (3 − 3β)
9
− (3 − 3β )   Lu1  0

  

  
 
  
− (3 − 3β )  Lu 2  = 0

  

  

  
(12 − 72β)  u 3  0
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
Para uma solução não trivial (a solução inicial seria obtida não considerando o
efeito das cargas axiais) {u}≠ 0 vamos ter :
det[K E + K G ] = 0
Resolvendo este sistema vamos obter os valores próprios correspondentes aos
modos de rotura por encurvadura da estrutura. Estamos interessados na carga de bifurcação
mais baixa.
Assim, vamos resolver a equação anterior em ordem a β. Com este valor podemos
determinar o vector próprio correspondente, u (modo de bifurcação).
O menor valor de β que satisfaz a equação (3 − 4β)(7 − 62β + 45β2) = 0 é :
β = 0.1241
que corresponde a uma carga crítica, Pcr = 7.444 EI
L2
Substituindo β no sistema de equações de equilíbrio e fazendo u3 = 1 , temos :
 Lu1  0.583
 




 


 
u
=
.
L
0
583

 2 


 


 

 

 u 3  1.000 
10
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
que corresponde ao seguinte modo de bifurcação :
Como de uma geral não são conhecidas as cargas axiais nas colunas dos pórticos,
para determinar a componente da matriz de rigidez geométrica, tem que se resolver
iterativamente o sistema de equações de equilíbrio. O processo é terminado quando o valor
dos esforços axiais é idêntico em iterações sucessivas. Como os resultados não são
normalmente obtidos numa só iteração define-se este efeito como análise geometricamente
não-linear.
Caso 2 :
Quando a carga é exercida na viga de um pórtico e não nas colunas, pode ser
importante determinar como se degrada a rigidez da estrutura até ocorrer o fenómeno da
bifurcação
11
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
No segundo caso as cargas verticais estão aplicadas na viga do pórtico. Vai ser
bastante mais difícil determinar os valores e vectores próprios do sistema. Vamos
considerar a carga total aplicada nos pilares e fazer o estudo a partir da posição de
equilíbrio. Deste modo a carga de bifurcação é diminuída embora não o seja de um modo
significativo.
Em resumo :
1) Quando ocorrem cargas horizontais num pórtico, a estrutura não se vai bifurcar,
dado que começa a flectir a partir do momento em que as cargas são aplicadas.
2) A carga de bifurcação dá-nos uma boa aproximação para o tipo de acções na
estrutura que vão provocar grandes deslocamentos.
Vamos considerar a carga concentrada, analisamos o sistema em equilíbrio e
determinamos a carga de bifurcação.
2.2. Utilização de Modelos de Deformação Parabólicos
Quando se estudam modelos de deformações dos membros individuais assumem-se
deslocamentos entre as extremidades dos membros de acordo com uma expressão cúbica e
não parabólica que é a forma correcta.
Geralmente as equações de equilíbrio são desenvolvidas para estruturas no estado
inicial em que se considere esta ainda não deformada. Contudo quando se aplicam cargas, a
estrutura vai deformar-se, modificando as características geométricas.
O momento flector está relacionado com a curvatura. A mudança de curvatura será
de w − w0, que vai dar uma equação diferencial de 1ª ordem relativamente a w0.
A solução desta equação é baseada na hipótese de pequenas deformações.
12
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No caso de ocorrerem também tracções considere-se um modelo hiperbólico para as
tracções, oposto ao modelo parabólico de compressões.
Podemos resolver o sistema utilizando os princípios de cálculo automático
(equações de rotações, afundamentos e distribuição de momentos) ou métodos genéricos
(rigidez dos membros e capacidade resistente da estrutura).
NOTA : Caso os nós estejam fixos podem-se utilizar as funções de Berry.
Obtendo-se as características fij ou kij dos membros deformados que estão
relacionados com estados de equilíbrio (estável e instável) e não com funções de
estabilidade (em elementos do tipo viga).
No caso de se fazer uma aproximação do tipo tangente vamos ter uma aproximação
simples parabólica ou hiperbólica.
Cada uma destas relações não é a inversa da outra (embora o sejam por
aproximação).
Neste caso cada uma das funções é não linear. Podemos definir o problema de
valores próprios,
det [K E + K G ] = 0
Usando um método de solução gráfica (determinando os valores do determinante
para vários valores do parâmetros de carga λ, obtemos as formas de bifurcação). A primeira
corresponde a :
Pcr = 7.380
o que implica um erro inferior a 1%.
13
EI
L2
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
Assim, se arrumarmos um modelo cúbico de deformações obtemos um problema de
determinação de valores próprios linear algébrico.
2.3 Outros Modos de Bifurcação
Quando consideramos as funções de estabilidade para resolver o determinante da
estrutura, obtemos um problema de valores próprios não-linear.
Estamos normalmente interessados no primeiro modo que dá uma aproximação para
o valor mais baixo da carga de bifurcação, limite a partir do qual a estrutura entra em
colaspso. Os restantes modos estão associados a deformadas a que corresponde maior
energia e só são considerados se a instabilização global da estrutura for resultante da
interacção dos modos.
2.4. Método de Rayleigh
( )
2
1
1
EI φ'∗' ds + φ ∗ k φ ∗
∫
2
Pcr = 2
' 2
∫ ρ φ∗ ds
( )
onde a deformada φ ∗ apresenta notação de velocidade dado que não estamos a afectar de
uma posição de equilíbrio
Observações
14
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
1) Os termos discretos só são utilizados quando se conhecem o valor das forças e
momentos nas extremidades.
2) O numerador representa a Energia de Deformação que é necessária para mudar
o corpo de uma para outra posição.
Anteriormente consideraram-se 4 graus de liberdade na estrutura, onde φ ∗
representa o modo aproximado de bifurcação. No caso real, também há a considerar o
encurtamento dos pilares, além do deslocamento horizontal e rotações dos pilares.
NOTA : φ1 e φ2 são uma forma de medir a translação da estrutura.
Poder-se-á determinar valores aproximados de φ1 e φ2, φ∗1 e φ∗2 , aplicando um par
de forças horizontais F1 e F2. No caso de trabalharmos com energia armazenada.
A Energia de Deformação no modo aproximado será :
V=
1 n
∑ Fi δ i
2 i =1
(i = 1, 2, ..., n andares)
Desenvolvendo a expressão,
15
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Introdução à Estabilidade de Estruturas
1
[F1h 1φ∗1 + F2 (h 1φ∗1 + h 2 φ∗2 ) + ... + Fn (h 1φ∗1 + ... + h n φ∗n )] =
2
1
= [(F1 + F2 + ... + Fn )h 1φ∗1 + (F2 + F3 + ... + Fn )h 2 φ∗2 + ... + Fn h n φ ∗n ] =
2
1
= [S1 h 1φ ∗1 + S 2 h 2 φ ∗2 + ... + S n h n φ∗n ] =
2
1 n
= ∑ S i h i φ∗i
2 i =1
V=
onde Si representa a força horizontal total que actua no andar i.
Trabalho produzido pelas cargas verticais
n
W = ∑ wi ∆ i
i =1
[
= [(w
(
)
W = w1c1 h 1φ ∗21 + w2 c1 h 1φ ∗21 + c 2 h 2 φ ∗22 + ... + wn c n h n φ ∗2n
1
]
=
]
+ w2 + ... + wn )c1 h 1 φ + (w2 + w3 + ... + wn )c 2 h 2 φ ∗22 + wn c n h n φ ∗2n =
2
∗1
n
= ∑ Pi ci h i φ∗2i
i =1
onde,
w1, w2, ..., wn tem valores constantes antes, durante e depois de se dar a deformação
Pi representa a força axial total nos pilares do andar inferior
Podemos utilizar as expressões aproximadas,
16
Teoria das Estruturas II
Introdução à Estabilidade de Estruturas
n
λ cr =
n
∑ S i hi φ∗i
i =1
n
2 ∑ Pi ci h i φ ∗2i
λ cr =
;
i =1
0.9 ∑ S i hi φ ∗i
i =1
n
∑P h φ
i =1
i
i
2
∗i
ou
λcr = 1
Observações :
1) A segunda expressão é derivada da primeira, eliminando ci (considere-se o
mesmo valor para todos os andares, 1 , 3 ou qualquer valor intermédio).
2
5
 1 
= 0.9
Isto consegue-se fazendo,  
 2c  médio
2) Procedendo deste modo encontramos erros de 10 a 15% do lado da segurança,
dado que estamos a restringir algum dos movimentos da estrutura e por esse
motivo o pórtico comporta-se de um modo mais rígido.
3) No caso de considerarmos o pórtico com vigas (pavimentos) rígidas, então o
fenómeno da bifurcação vai ocorrer no andar inferior, o que não é verdadeiro
mas que ajuda a obter estimativas.
λ cr =
5 Sk
6 Pk φ∗k
, onde todos os outros
φ∗i
acima do nível considerado são nulos.
Uma aproximação do mesmo tipo foi proposta por Hooke,
17
Teoria das Estruturas II
Introdução à Estabilidade de Estruturas
λ cr =
0.9S k
Pk φ ∗k
para os valores de φ∗k determinados a partir de uma Análise Linear Elástica.
Como neste caso vamos estudar todos os pisos, vai ser uma estimativa do lado
da segurança uma vez que os efeitos mais desfavoráveis são no andar inferior.
4) Uma outra aproximação da carga de bifurcação seria obtida à custa de tabelas.
Vai-se ignorar o que se passa em outros andares à excepção de dois
consecutivos.
3. Comparação dos Diferentes Comportamentos
Exemplo :
Observações :
18
Teoria das Estruturas II
Introdução à Estabilidade de Estruturas
1) Considera-se o carregamento aplicado em ambos os nós para se poder fazer a
Análise Elástica Não-Linear com mais facilidade.
2) Quando se faz uma Análise Elasto-Plástica temos que tomar em consideração o
processo de formação das rótulas.
3) A Análise Elasto-Plástica Não-Linear, que teria em consideração o efeito dos
esforços axiais produz-nos a carga final de rotura da estrutura mais baixa,
apesar de ser mais trabalhoso do ponto de vista computacional.
Obtemos diferentes tipos de comportamento, consoante o tipo de análise.
Aproximação ‘Tipo’ Rankine
1
1
1
=
+
λF λC λE
A Análise Plástica Limite só nos dá níveis de carregamento, não nos mostrando
como os membros individuais se comportam nem entra em consideração com as rotações
plásticas produzidas nas rótulas que se formam para o mecanismo de rotura.
Em Betão Armado as relações momentos-curvaturas são muito importantes para
traduzirem o comportamento do material.
Pelo que podemos concluir que nem a Análise Plástica Limite nem a Análise
Elástica Linear dão resultados correctos.
19