1 Mosaico formado por hexágonos Orientanda: Gabriela

Mosaico formado por hexágonos
Orientanda: Gabriela Baptistella Peres
Orientador: Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento
Depois de aprender um pouco sobre o superlogo e ter desenhado algumas figuras
geométricas, foi proposto construir um mosaico formado por hexágonos.
Foi construído um mosaico com hexágonos de lado 20.
Foi necessário recordar como calcular a medida dos ângulos internos e externos do polígono
para criar o procedimento “aprenda hex” para construir um hexágono.
aprenda hex
repita 6 [pf 20 pe 60]
fim
Depois foi preciso recordar a trigonometria para calcular quanto a tartaruga teria que andar
(no desenho AB) para fazer outro hexágono um ao lado do outro.
Como o ângulo interno do hexágono mede 120° e o ângulo ACD 60° usando a relação
sen 60 = AD/AC, onde AD é o cateto oposto e AC é a hipotenusa (medida do lado do hexágono que
é 20) descobre-se a medida de AD ( = 10 3 ) e multiplicando por 2 temos a medida de AB ( =
20 3 ). Então após desenhar um hexágono, para desenhar o próximo foi preciso deslocar a
tartaruga 20 3 para a esquerda : pe 90 pf (raizq 3)* 20 pd 90.
A seguir, pensamos em fazer um procedimento para construir uma faixa de hexágonos, onde
primeiro a tartaruga foi posicionada na parte superior direita da tela através dos comandos: un pf
450 pd 90 pt 450 pd 90.
Para que a faixa coubesse na tela ela não poderia ultrapassar, em comprimento, a 1000
passos de largura. Como cada hexágono teria de largura 20 3 passos então não poderia haver mais
que 1000/( 20 3 ) (= 28,867 hexágonos). Assim, optamos por colocar 25 hexágonos na faixa).
Então o procedimento “aprenda faixa” ficou assim:
aprenda faixa
un pf 450 pd 90 pt 450 pd 90
repita 24 [ul hex un pe 90 pf (raizq 3)* 20 pd 90]
ul hex
fim
Para fazer a segunda faixa precisamos posicionar a tartaruga abaixo da primeira faixa (pf 20
pd 60 pf 20 pe 60) e elaborar um procedimento para construir a segunda faixa:
aprenda segunda
pf 20 pd 60 pf 20 pe 60
repita 24 [ul hex un pd 90 pf (raizq 3)* 20 pe 90]
fim
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A terceira faixa foi feita com o procedimento “aprenda fila”:
aprenda fila
pf 20 pe 60 pf 20 pd 60
repita 24 [ul hex un pe 90 pf (raizq 3)* 20 pd 90]
ul hex
fim
E a quarta fila com o procedimento “aprenda quarta”:
aprenda quarta
pf 20 pd 60 pf 20 pe 60
repita 24 [ul hex un pd 90 pf (raizq 3)* 20 pe 90]
fim
E, observando que o procedimento “aprenda quarta” estava parecido com o procedimento
“aprenda segunda” então foi só repetir a terceira(“aprenda fila”) e a quarta(“aprenda quarta”) até
completar.
Depois de feito o mosaico, a proposta foi pintá-lo com quatro cores sem que dois hexágonos
que estivessem lado a lado ficassem com a mesma cor (Teorema das quatro cores) daí foi
posicionado a tartaruga (pf 10 pe 90 pf 20) e foi pintando uma por uma até achar um procedimento.
Então foi montado o procedimento “aprenda faixa1”:
aprenda faixa1
repita 6 [un pf 35 mudecp 14 pinte un pf 35 mudecp 9 pinte un pf 35 mudecp 10 pinte un pf
35 mudecp 13 pinte]
fim
E para a faixa2 houve um pouco mais de dificuldade, pois se continuasse na mesma ordem
as cores elas iriam coincidir e testando percebeu-se que se trocasse a ordem daria certo. Então o
procedimento “aprenda faixa2” ficou assim:
aprenda faixa2
pe 90 pf 30 pe 90 mudecp 10 pinte
repita 6 [um pf 35 mudecp 9 pinte un pf 35 mudecp 14 pinte un pf 35 mudecp 13 pinte un pf
35 mudecp 10 pinte]
pd 90 pf 30 pd 90
fim
E repetindo faixa1 faixa2 o mosaico ficaria pintado.
Então foi criado o procedimento final “aprenda ladrilho” que, ao ser executado constrói e
pinta todo o ladrilho.
aprenda ladrilho
tat
faixa segunda fila quarta
repita 9 [fila quarta]
pf 10 pe 90 pf 20
repita 11 [faixa1 faixa2]
fim
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Depois de pronto ainda houve algumas modificações:
-Colocar o comando espere para ver a tartaruga realizar o procedimento;
-Reposicionar a tartaruga no inicio de modo que fique visível na tela;
-Definir o número de faixa de modo que todas as faixas fiquem visíveis na tela;
-Simplificar um pouco mais.
Além disso, foram trocados os nomes de alguns procedimentos para facilitar a compreensão
a respeito do funcionamento da atividade. Os procedimentos que ficaram são:
aprenda hex
repita 6 [pf 20 pe 60]
fim
aprenda faixa1
pf 20 pe 60 pf 20 pd 60
repita 24 [ul hex un pe 90 pf (raizq 3)* 20 pd 90 espere 1]
ul hex
fim
aprenda faixa2
pf 20 pd 60 pf 20 pe 60
repita 24 [ul hex un pd 90 pf (raizq 3)* 20 pe 90 espere 1]
fim
aprenda corfaixa1
repita 6 [un pf 35 mudecp 10 pinte un pf 35 mudecp 14 pinte un pf 35 mudecp
11 pinte un pf 35 mudecp 15 pinte]
fim
aprenda corfaixa2
pe 90 pf 30 pe 90
mudecp 11 pinte
repita 6 [un pf 35 mudecp 14 pinte un pf 35 mudecp 10 pinte un pf 35 mudecp
15 pinte un pf 35 mudecp 11 pinte]
pd 90 pf 30 pd 90
fim
aprenda ladrilho
tat
mudeespessuradolápis [2 2]
un repita 32 [pf 10 espere 1] pe 90 repita 45 [pf 10 espere 1] pe 90
repita 10 [faixa1 faixa2]
pf 10 pe 90 pf 20
repita 10 [corfaixa1 corfaixa2]
fim
Pesquisando um pouco mais sobre o Teorema das quarto cores:
A formulação desse teorema é:
Dado um mapa plano, dividido em regiões quatro cores chegam para o colorir,
de forma a que regiões vizinhas não partilhem a mesma cor.
Quatro cores são suficientes para pintar qualquer mapa plano. Mas note-se que, ao dizer-se
que quatro cores são suficientes para qualquer mapa, isto não significa que sejam necessárias para
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cada mapa. Isto é, no máximo são precisas quatro cores. Por exemplo, se considerarmos um
tabuleiro de xadrez como sendo um mapa, e cada "casa" do tabuleiro representar um país, então a
coloração habitual de um tabuleiro de xadrez mostra-nos que, nesse caso, bastam apenas duas cores.
É necessário precisar um pequeno detalhe: as regiões que só se tocam num ponto não são
consideradas vizinhas.
Depois de pesquisar melhor o Teorema das Quatro cores e sabendo que quarto cores é
suficiente mas não necessária, então foi pintado com apenas três cores utilizando os mesmos
procedimentos anteriores, só trocando o corfaixa1 por corlinha1 e corfaixa2 por corlinha2, ficando
assim:
aprenda corlinha1
repita 8 [un pf 35 mudecp 10 pinte pf 35 mudecp 14 pinte pf 35 mudecp 11 pinte]
fim
aprenda corlinha2
pe 90 pf 30 pe 90
mudecp 14 pinte
repita 8 [ un pf 35 mudecp 10 pinte pf 35 mudecp 11 pinte pf 35 mudecp 14 pinte]
pd 90 pf 30 pd 90
fim
Então substituindo o corfaixa pelo corlinha no procedimento ladrilho, fica assim:
aprenda ladrilho2
tat
mudeespessuradolápis [2 2]
un repita 32 [pf 10 espere 1] pe 90 repita 45 [pf 10 espere 1] pe 90
repita 10 [faixa1 faixa2]
pf 10 pe 90 pf 20
repita 10 [corlinha1 corlinha2]
fim
Comandos utilizados, além dos básicos: mudeespessuradolápis, espere, pinte, mudecp, raizq
Comandos básicos utilizados: pf, pt, pd, pe, ul, un, aprenda, repita
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