Triângulos e circunferências I - MA13 - Unidade 6

Triângulos e circunferências I
MA13 - Unidade 6
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Triângulos e circunferências
Duas secantes a uma circunferência cortam-se em um ponto P
interior a ela.
A medida de um ângulo de vértice P é igual a semissoma das
medidas dos arcos interiores ao ângulo.
arc AB + arc CD
Na figura a seguir, α =
.
2
B
b
C
b
α
b
b
A
b
D
Triângulos e circunferências I
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Duas secantes a uma circunferência cortam-se em um ponto P
exterior a ela.
A medida de um ângulo de vértice P é igual ao módulo da
semidiferença das medidas dos arcos interiores ao ângulo.
Na figura a seguir, α =
arc AB − arc CD
.
2
B
b
C
b
b
A
b
b
α
D
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Ângulo de segmento
Uma corda de uma circunferência e a tangente em uma das
extremidades determinam um ângulo de segmento.
A medida do ângulo de segmento é a metade da medida do arco
interior ao ângulo.
Na figura a seguir, α =
arc AB
.
2
t
B
b
α
b
A
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A circunferência circunscrita ao triângulo
Teorema
As mediatrizes dos lados de um triângulo cortam-se em um
único ponto.
Demonstração
Considere o triângulo ABC , a reta r , mediatriz de AB e a reta s,
mediatriz de BC .
A
b
r
b
O
b
b
B
C
s
Seja O o ponto de interseção de r e s.
O ∈ r ⇒ OA = OB
e
O ∈ s ⇒ OB = OC
Logo, OA = OC e, portanto, O pertence à mediatriz de AC .
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Circuncentro
O ponto O chama-se circuncentro do triângulo ABC e é o centro
da sua circunferência circunscrita.
A
b
r
b
O
b
b
B
C
s
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A circunferência inscrita no triângulo
Teorema
As bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo cortam-se
em um único ponto.
Demonstração
Fica para o leitor seguindo os passos da demonstração anterior.
A
b
b
b
b
I
b
B
b
b
C
O ponto I , comum às três bissetrizes internas chama-se incentro
do triângulo ABC e é o centro da sua circunferência inscrita.
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