cálculo diferencial em ir

ISEP – LEI – AMATA - 1S. 2009/10
CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR
Cálculo Diferencial em IR
• Derivada de uma função num ponto
y
Q1
As rectas PQ1, PQ2 e PQ3 são
rectas secantes à curva y=f(x).
Q2
Q3
y=f(x)
A recta t é tangente à curva y=f(x) no ponto P.
t
P
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x
Os declives das rectas secantes PQ1, PQ2, PQ3,..., são
cada vez mais próximos do declive da recta tangente t.
Cálculo Diferencial em IR
y
y=f(x)
P(x0 , f(x0))
Q(x0+Δ x, f(x0+Δ x))
s
Q
f(x0+Δ x)
s ‐ recta secante à curva y=f(x) que
passa nos pontos P e Q.
t
Δy
f(x0)
P
t ‐ recta tangente à curva y=f(x) no ponto P.
x0
x0+Δ x
x
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Δx
Δ
x ‐ variação ou acréscimo da variável independente
Δ
y - variação ou acréscimo da variável dependente ou função: Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)
Cálculo Diferencial em IR
Δy f ( x0 + Δx) − f ( x0 )
=
Δx
Δx
Declive da recta secante s:
ms =
Declive da recta tangente t:
lim m s = lim
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 )
Δy
= lim
Δx → 0 Δx
Δx →0
Δx
Definição: A função y = f(x) diz‐se diferenciável num ponto x0 , sse existir
lim
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 )
Δx
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e representa‐se por, y' x= x
= f ' ( x0 ) = lim
0
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 )
Δx
f’(x0) é a derivada da função y=f(x) no ponto x0
Notação:
y ' ; f ′( x) ;
dy df
.
; ; Dy ; y
dx dx
Cálculo Diferencial em IR
• Interpretação geométrica da derivada
O valor da derivada de uma função num ponto P(x0 , f(x0)) é numericamente igual ao valor do declive da recta t tangente à curva y=f(x) nesse ponto, isto é
f ′( x0 ) = tgθ
y
y=f(x)
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t
f(x0)
P
θ
x0
x
θ : ângulo formado pela direcção
positiva do eixo OX e a recta t tangente à curva y=f(x) no ponto P.
Cálculo Diferencial em IR
• Recta tangente e recta normal
y
N
y=f(x)
T
y0
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mT = f ′( x0 ) =
P
x0
T – recta de declive mT, tangente à curva y=f(x) no ponto P.
N ‐ recta de declive mN, normal à curva y=f(x) no ponto P.
mN = −
x
dy
dx x = x0
1
1
1
=−
=−
dy
mT
f ′( x0 )
dx
x = x0
As equações das rectas tangente e normal à curva no ponto P(x0, y0 ) são dadas por:
T →
y − y 0 = mT ( x − x0 )
N →
y − y 0 = m N ( x − x0 )
Se f’(x)=0 então:
a recta tangente é horizontal (y=y0) e
a recta normal é vertical (x=x0)
Cálculo Diferencial em IR
•
Exemplo
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Considere a função y=sen(x) definida no intervalo [0, π], e os pontos P e Q de abcissas π/2 e π/4. Escreva as equações das rectas tangente e normal à curva nos pontos dados e represente‐as graficamente.
Cálculo Diferencial em IR
• Regras básicas de derivação
Derivada do produto
Derivada do quociente
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Derivada da potência
Derivada da função exponencial
Cálculo Diferencial em IR
• Regras básicas de derivação
Derivada da função logarítmica
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Derivada de funções trigonométricas
Cálculo Diferencial em IR
•
Exemplos
Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) y =
3x + 4
5x
b) y =
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c) y = sen 2 (3x)
3x + 4
5
d) y = tg (2 x)3
e) y = [cot g (e 2 x )]
4x
Cálculo Diferencial em IR
• Derivada da função composta
Seja u=g(x) uma função de x diferenciável e y=f(u) uma função de u diferenciável.
Define‐se a função composta y=(fog)(x) como a função y=f [g(x)].
g
x0
f
u0
y0
⎧ u0 = g ( x0 )
∴ y0 = f ( g ( x0 ))
⎨
=
y
f
(
u
)
0
⎩ 0
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A derivada da função composta é dada por:
( f o g )′( x) = f ′( g ( x)) g ′( x) ⇔ y′( x) = y′(u ) g ′( x) ⇔
e é extensível a um número maior de variáveis.
dy dy du
=
dx du dx
Cálculo Diferencial em IR
•
Exemplo
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Sendo y =
u −1
e u = x 2 , determine dy (das duas formas possíveis).
u +1
dx
Cálculo Diferencial em IR
• Função inversa
Recordemos que a condição para uma função admitir inversa é que seja injectiva.
--1
O domínio e contradomínio da função f (x) são respectivamente o contradomínio e o domínio da função f(x) .
f
y = f (x)
x = f −1 ( y )
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Domínio de f
y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y )
f −1
Domínio de f--1
D f −1 ( x ) = D′f ( x )
D′f −1 ( x ) = D f ( x )
Os gráficos de f(x) e f--1(x) são simétricos relativamente à recta de equação y=x.
Cálculo Diferencial em IR
• Derivada da função inversa
Seja y=f(x) uma função invertível e diferenciável no intervalo ]a,b[ tal que f’(x)≠ 0.
--1
A derivada da função inversa x=f (y) é dada por:
[x]′ = [ f −1 ( y)]′ =
1
1
=
f ′( x) f ′ f −1 ( y )
(
)
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A derivada da função inversa é igual ao inverso multiplicativo da derivada da função directa.
dy
1
dx 1
=
⇔
=
dx dx
dy dy
dy
dx
Cálculo Diferencial em IR
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•
Exemplos
Sendo y = 3 − 2 ln( x − 4) , calcule
dy
dx
directamente e através da regra da derivada da função inversa.
Sendo y = 3 − 2 ln( x − 4) , calcule
dx
dy
pela regra da derivada da função inversa.
Cálculo Diferencial em IR
• Derivada da função trigonométrica inversa arcsen(x)
Seja y=arcsen(x) com -1< x <1, cuja função inversa é x=sen(y) com − π
2
< y<
π
2
Aplicando o teorema da derivada da função inversa, temos
dy
1
1
=
=
= (∗)
dx dx cos y
dy
Como cos(y) é positivo no intervalo
consequentemente: ISEP – LEI – AMATA ‐ 1S. 2009/10
(∗)
Assim, (arcsen x )′ =
−
π
2
< y<
π
2
então teremos
cos( y ) = + 1 − sen 2 y
dy
1
1
=
=
dx
1 − sen 2 y
1− x2
1
1− x2
Generalizando através da aplicação da derivada da função composta teremos:
′
′
d
(arcsen u ) = d(arcsen u ) du = 1 2 .u′ = u 2 ∴ (arcsen u )′ = u 2
dx
du
dx
1− u
1− u
1− u
e Cálculo Diferencial em IR
• Derivada da função trigonométrica inversa arctg(x)
Seja y=arctg (x) com -∞< x <∞, cuja função inversa é x=tg(y) com −
π
2
< y<
π
2
Aplicando o teorema da derivada da função inversa, temos
dy
1
1
1
1
=
=
=
=
dx dx sec 2 y 1 + tg 2 y 1 + x 2
dy
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Generalizando através da aplicação da derivada da função composta teremos:
′
′
d
(arctg u ) = d(arctg u ) du = 1 2 .u′ = u 2 ∴ (arctg u )′ = u 2
dx
du
dx 1 + u
1+ u
1+ u
Cálculo Diferencial em IR
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• Derivadas das função trigonométricas inversas
Cálculo Diferencial em IR
•
Exemplos
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Calcule y’ sendo y=f(x)
4
a)
f(x)=arccos(x )
b)
f(x)=arctg(4x+2)
c)
f(x)=arcsen(2x ‐3)
2
Cálculo Diferencial em IR
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• Derivadas de ordem superior a um
dy
dx
– Derivada de 1ª ordem:
y′;
– Derivada de 2ª ordem:
d 2 y d ⎛ dy ⎞
y′′; 2 = ⎜ ⎟
dx
dx ⎝ dx ⎠
– Derivada de 3ª ordem:
d3 y d ⎛ d 2 y ⎞
y′′′; 3 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟
dx
dx ⎝ dx ⎠
– Derivada de ordem n:
d n y d ⎛ d n -1 y ⎞
y ; n = ⎜⎜ n −1 ⎟⎟
dx
dx ⎝ dx ⎠
(n)
‐2x
Exemplo: Calcule a derivada de 2ª ordem da função y=xe
Cálculo Diferencial em IR
• Diferencial
A variação Δy que uma função y=f(x) sofre
em consequência da variação da sua
variável independente x tem uma relação
estreita com a sua derivada f’(x).
y
y=f(x)
Q
f(x+Δx)
t
Seja Δx a variação ou acréscimo da
variável independente e Δy=f(x+Δx)-f(x) a
variação ou acréscimo da variável
dependente ou função.
dy
f(x)
P
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x
Quando a variável independente varia de
x para x+Δx a variação exacta da função é
dada por Δy, no entanto, para valores
pequenos de Δx, esta variação pode ser
estimada por dy.
Δy
x+Δx
Δx
x
Cálculo Diferencial em IR
Tendo em conta a interpretação geométrica da
derivada num ponto podemos verificar que:
comp. cateto oposto
dy
=
comp. cateto adjacente Δx
dy = tgθ Δx ⇔ dy = f ′( x) Δx
tgθ =
y
y=f(x)
Q
f(x+Δx)
a que se dá o nome de diferencial da função:
t
P
dy=f’(x) Δx
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x
Através da observação directa da figura anterior podemos verificar que, para valores pequenos de Δx, a variação Δy pode ser aproximada pelo diferencial dy.
Δy ≈ dy ⇔ Δy ≈ f ′( x) Δx
dy
θ
f(x)
Δy
x+Δx
Δx
x
Cálculo Diferencial em IR
Verifiquemos se o erro cometido quando se toma Δy por dy é efectivamente pequeno quando comparado com Δx.
Considere‐se a diferença e calcule‐se o limite
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lim
Δx → 0
[
]
Δy − dy = f ( x + Δx) − f ( x ) − f ′( x) Δx
lim
Δx → 0
Δy − dy
Δx
[ f ( x + Δx) − f ( x)] − f ′( x)Δx =
Δy − dy
= lim
Δx
Δx
Δx → 0
f ( x + Δx ) − f ( x )
f ′( x ) Δx
− lim
=
= lim
Δ
Δ
x
x
Δx → 0
Δx → 0
= f ′( x) − f ′( x) = 0
Conclui‐se que a aproximação é tanto melhor quanto menor for Δx.
Sendo que Δx=dx, podemos também representar o diferencial dy como dy=f’(x)dx.
Cálculo Diferencial em IR
Exemplo
Considere a função y = x , x>0 (área de um quadrado).
Escreva as expressões analíticas de Δy e dy , correspondentes a uma variação Δx do lado do quadrado. ISEP – LEI – AMATA ‐ 1S. 2009/10
2