- PGMEC - Universidade Federal Fluminense

Transcrição

PGMEC
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR
VOLUMES FINITOS PARA
CONVECÇÃO FORÇADA EM CANAIS
DE TROCADORES DE CALOR
DIANA NOGUEIRA
SETEMBRO DE 2009
DIANA NOGUEIRA
ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMES
FINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM
CANAIS DE TROCADORES DE CALOR
Dissertação apresentada ao Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica da UFF
como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica
Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)
U NIVERSIDADE F EDERAL F LUMINENSE
N ITERÓI , S ETEMBRO DE 2009
ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMES
FINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM
CANAIS DE TROCADORES DE CALOR
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma final
pela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:
Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)
Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
(Orientador)
Maria Laura Martins Costa (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Leonardo Santos de Brito Alves (Ph.D.)
Instituto Militar de Engenharia – IME
Agradecimentos
Primeiramente, gostaria de manifestar meus sinceros agradecimentos ao meu orientador, o Professor Leandro Alcoforado Sphaier, por sua orientação, suporte e grande
contribuição, sem os quais a realização deste trabalho não teria sido possível.
Gostaria também de agradecer a Professora Maria Laura Martins Costa por seu
incentivo e motivação, desde que ingressei no programa de pós-graduação da Universidade Federal Fluminense.
Também gostaria de agradecer ao Professor Leonardo Santos de Brito Alves por
aceitar o convite para participar do comitê de julgamento deste trabalho.
Agradeço especialmente ao Rafael, meu marido e companheiro, por seu apoio, pela
compreensão com minha ausência durante os longos períodos de estudos e, por fim,
por sua torcida para que eu obtivesse sucesso neste projeto.
Agradeço a minha família por me proporcionar as bases necessárias para que eu
chegasse até aqui, especialmente aos meus pais.
Aos meus colegas da Universidade Federal Fluminense, Marcos José Moraes e
Gilberto Risi, agradeço pelas varias vezes que abriram mão de seus fins de semana e
feriados para estudarmos.
iv
Resumo
Simulações computacionais têm um papel importante no projeto de trocadores de calor
e o estudo da convecção forçada em canais tem uma série de aplicações tanto em recuperadores como em regeneradores. Apesar da relevância para o projeto de trocadores,
a grande maioria de simulações, em geral, são baseadas em formulações simplificadas, as quais utilizam valores constantes para o número de Nusselt. O problema é
que esta situação hipotética só é válida em regiões onde o escoamento é termicamente
desenvolvido; no entanto, existem diversas situações onde o escoamento não pode ser
tratado como tal. Neste contexto, o principal objetivo deste trabalho foi estudar a
convecção forçada em canais de placas paralelas sem considerar o escoamento termicamente desenvolvido. Para que a análise servisse para recuperadores e regeneradores,
ambos regimes permanente e transiente foram considerados. Para atingir este objetivo,
as equações de transporte foram resolvidas numericamente, utilizando o Método de
Volumes Finitos associado ao Método das Linhas. Grande parte do trabalho desenvolvido foi focado na análise de diferentes estratégias de solução a fim de determinar
a alternativa mais adequada para o problema. Os resultados obtidos foram suficientes
para gerar uma ferramenta computacional robusta para o cálculo do número de Nusselt
em regiões em desenvolvimento térmico permanente e transiente. Esta ferramenta foi
utilizada para estudar o comportamento de Nusselt para diferentes números de Péclet,
e sua variação com a posição axial e o tempo foram determinadas para condições de
temperatura constante na parede. Os resultados mostraram que, para poder entender
completamente o comportamento de Nusselt em canais de trocadores, ainda existe a
necessidade de investigar o efeito de outras condições de aquecimento. Entretanto,
com a ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho, a inclusão de diferentes
condições de aquecimento na parede poderão ser facilmente obtidas.
Palavras-chave: Trocador de Calor, Simulação Numérica, Volumes Finitos, Escoamento Interno
v
Abstract
Numerical simulations play an important role in heat exchanger design and the study
of forced convection within channels have several applications in recuperators as well
as regenerators. In spite of the relevance of heat exchanger design, the majority of
simulations, in general, are based on simplified formulations, those of which employ
constant values for the Nusselt number. The problem with this hypothetical situation is
that it is only valid in regions wherein the flow is thermally developed; however, there
are several circumstances under which the flow cannot be treated as such. In this context, the main objective of this work was to study the forced convection within parallel
plates channels without considering thermal development. In order to make the analysis applicable to recuperators and regenerators, both steady-state and transient regimes
were considered. In order to achieve the proposed objective, the transport equations
were numerically solved by employing the Finite Volumes Method associated with the
Method of Lines. For the sake of determining the most adequate implementation alternative, a large amount of this work was focused on analyzing different solution strategies. The obtained results were sufficient for producing a robust computational tool
for calculating Nusselt number in thermally developing regions of steady and transient
flows. This tool was employed for studying the behavior of the Nusselt number for different Péclet numbers and its variation with axial position and time were determined
for isothermal wall conditions. The results showed that, in order to fully understand
the behavior of the Nusselt number in heat exchanger channels, there is still a need
for investigating other wall heating conditions. Nevertheless, with the computational
tool herein developed, the inclusion of different wall heating conditions can be easily
handled.
Key-words: Heat Exchanger, Numerical Simulation, Finite Volumes, Internal Flow
vi
Sumário
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xix
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
Aplicações de trocadores de calor recuperativos e regenerativos . . . .
2
1.2
Trocadores de calor recuperativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Trocadores de calor regenerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1
Tipos de trocadores regenerativos . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.1.1
Regenerador de matriz fixa . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.1.2
Regenerador rotativo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.1.3
Trocadores regenerativos com troca de calor latente .
13
Objetivo do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2. Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4
2.1
Modelagem do transporte em canais de trocadores de calor . . . . . . .
17
2.1.1
Equações de balanço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1.1
Balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.1.2
Balanço de momentum linear . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.1.3
Simplificação para desenvolvimento hidrodinâmico .
19
Equações para escoamento em canais de placas paralelas . . .
19
2.2
Coeficiente convectivo e temperatura de mistura . . . . . . . . . . . . .
20
2.3
Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.1
Condição de contorno na parede sólida . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.1.1
21
2.1.2
Temperatura da parede constante . . . . . . . . . . .
vii
Sumário
viii
2.3.1.2
Fluxo de calor constante . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.1.3
Armazenamento de energia na parede sólida . . . . .
22
2.3.2
Condição de contorno na entrada do canal . . . . . . . . . . . .
24
2.3.3
Condição de contorno no centro do canal . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.4
Condição de contorno na saída do canal . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.4.1
Temperatura constante na parede do canal . . . . . .
25
2.3.4.2
Fluxo de calor constante na parede do canal . . . . .
27
2.3.4.3
Armazenamento de energia na parede sólida . . . . .
27
Condição inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3. Adimensionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.5
3.1
Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2
Variáveis adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3
Adimensionalização das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3.1
Equação da energia para o fluido . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3.2
Condição de contorno na parede . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.3.2.1
Temperatura constante na parede . . . . . . . . . . .
32
3.3.2.2
Armazenamento na parede . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3.3
Condição de contorno na entrada do canal . . . . . . . . . . . .
34
3.3.4
Condição de contorno no centro do canal . . . . . . . . . . . . .
34
3.3.5
Condição de contorno na saída do canal . . . . . . . . . . . . .
34
3.3.5.1
Temperatura constante na parede . . . . . . . . . . .
34
3.3.5.2
Armazenamento de energia na parede . . . . . . . . .
35
Condição Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4. Discretização por Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3.6
4.1
Discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.1.1
Integração das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.1.2
Aproximação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.1.3
Regras de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Sumário
ix
4.1.4
Regras de interpolação para o acoplamento convecção-difusão
43
4.1.5
Condições de contorno nas coordenadas do MVF . . . . . . . .
45
4.1.5.1
Entrada do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.1.5.2
Saída do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.1.5.3
Centro do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.1.5.4
Parede do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.1.6
Equação para os volumes internos . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1.7
Equação para os volumes adjacentes ao centro do canal . . . .
49
4.1.8
Equação para os volumes adjacentes à parede do canal . . . . .
49
4.1.9
Equação para os volumes adjacentes à entrada do canal . . . .
49
4.1.10 Equação para os volumes adjacentes à saída do canal . . . . . .
50
4.1.11 Equação para os volumes adjacentes à parede e à entrada do
canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.1.12 Equação para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal 51
4.1.13 Equação para os volumes adjacentes à parede e à saída do canal 51
4.1.14 Equação para o volume adjacente ao centro e à saída do canal .
52
4.1.15 Equações para a temperatura da parede . . . . . . . . . . . . . .
52
Discretização unidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.2.1
Discretização transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.2.2
Discretização axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5. Implementação Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2
5.1
5.2
Soluções com discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.1.1
Solução transiente: integração numérica . . . . . . . . . . . . .
58
5.1.2
Solução transiente: integração analítica . . . . . . . . . . . . . .
61
5.1.3
Solução em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Solução permanente com discretização transversal apenas . . . . . . .
66
5.2.1
Solução com integração numérica em ξ . . . . . . . . . . . . . .
66
5.2.2
Solução numérica para Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.2.3
Solução analítica com o método do tiro . . . . . . . . . . . . . .
68
Sumário
x
5.2.4
Solução analítica para Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . .
70
Solução com discretização axial apenas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Solução com integração numérica em η . . . . . . . . . . . . .
71
5.4
Cálculo de Nusset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.5
Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6. Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.3
5.3.1
6.1
Solução analítica para slug-flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6.2
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
7. Resultados da solução permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
7.1
Análise de convergência da temperatura no escoamento . . . . . . . . .
82
7.2
Análise de convergência de Nusselt para CDS e HDS . . . . . . . . . .
91
7.2.1
Esquema de diferenças centradas – CDS . . . . . . . . . . . . .
91
7.2.2
Esquema híbrido – HDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.2.3
Análise da solução com Péclet grande . . . . . . . . . . . . . .
99
7.3
Resultados para a discretização apenas longitudinal . . . . . . . . . . . 104
7.4
Análise da influência de ξmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.1
Resultados com Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.2
Resultados para demais valores de Péclet . . . . . . . . . . . . . 108
7.5
Evolução de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.6
Verificação da ordem do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8. Resultados para Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.1
8.2
Análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.1.1
Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 2 . . . . . . . . 135
8.1.2
Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 1 . . . . . . . . 140
8.1.3
Número de Nusselt para Péclet 10 e ξmax = 1 . . . . . . . . . . 144
Evolução transiente da distribuição espacial de Nusselt . . . . . . . . . 148
9. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Sumário
xi
A. Demais resultados para regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.1 Slug-Flow com discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.2 Slug-Flow para Peclet grande com discretização bidirecional . . . . . . 163
A.3 Slug-Flow para Peclet grande com discretização em uma direção . . . 166
A.4 Resultados de temperatura para Péclet grande (CDS) . . . . . . . . . . 168
A.5 Resultados de Temperatura para HDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B. Resultados de estudo preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Lista de Figuras
1.1
Economia de combustível devido ao preaquecimento do ar para a combustão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
5
Trocador recuperativo tipo duplo tubo. (a) Passse simples com escoamento em contra corrente; e (b) passe multiplo com escoamento em
contra corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Regenerador tipo válvula dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Aquecedor de ar regenerativo. Partes Principais: 1 Matriz estacionaria,
2 Proteção rotativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
10
Regenerador rotativo. (a) Tipo disco e cilindro; (b) Arranjo ilustrativo
da matriz e (c) duas formas alternativas de regenerador rotativo tipo
disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6
Regenerador Rotativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.7
Mini-canal de regeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1
Mini-canal de regeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.1
Descrição de uma célula genérica bidimensional pelo metodo de volumes finitos notação discretizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
37
mapa computacional das celulas para um mini-canal pelo metodo dos
volumes finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.1
Domínio computacional para um mini-canal. . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.1
Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 10 e
Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2
Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 1 e
7.3
Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 0.1 e
xii
Lista de Figuras
7.4
xiii
Evolução de Nusselt com a posição axial: PeH = 10 (preto), PeH = 1
(azul), PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . 114
7.5
Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre
diferentes valores de Péclet (escala menor). . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6
Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre
diferentes valores de Péclet (escala menor ainda). . . . . . . . . . . . . 115
8.1
Variação transiente de Nusselt para PeH grande. . . . . . . . . . . . . . 148
8.2
Variação transiente de Nusselt para PeH = 10. . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3
Variação transiente de Nusselt para PeH = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.4
Variação transiente de Nusselt para PeH = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . 149
Lista de Tabelas
5.1
Transformação das coordenadas cardeais para o domínio computacional. 58
6.1
Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 10, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 1, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
83
Temperatura com PeH = 10 em η = 0 para discretização bidirecional
CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
81
Temperatura com PeH = 10 em η = 0.99 para discretização bidirecional
CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
80
Número de Nusselt para slug-flow com número de PeH grande, discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
78
Número de Nusselt para slug-flow, com número de PeH grande, discretização em duas direções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5
77
Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 0.1, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
76
84
Temperatura com PeH = 1 em η = 0.99 para discretização bidirecional
CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.4
Temperatura com PeH = 1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS. 87
7.5
Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6
88
Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0 para discretização bidirecional
CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
7.7
Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional CDS.
92
7.8
Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional CDS.
93
7.9
Número de Nusselt com PeH = 0.1 para discretização bidirecional CDS. 94
7.10 Valores do parâmetro α para o esquema HDS. . . . . . . . . . . . . . .
xiv
96
Lista de Tabelas
xv
7.11 Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional HDS.
97
7.12 Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional HDS.
98
7.13 Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional CDS. 100
7.14 Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional HDS. 101
7.15 Tempo computacional para HDS e CDS para discretização bidirecional
em diferentes malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.16 Número de Nusselt para PeH grande e discretização bidirecional UDS. 103
7.17 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas. . . . . . . . 104
7.18 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas — solução
analítica com exponenciais de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.19 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas com Péclet
grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.20 Número de Nusselt com PeH grande com J = 400. . . . . . . . . . . . . 107
7.21 Número de Nusselt com PeH grande com J = 800. . . . . . . . . . . . . 107
7.22 Número de Nusselt com PeH = 10 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. . . . . . . 108
7.26 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/25 e J = 400. . . . . . . 110
7.27 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/50 e J = 400. . . . . . . 110
7.28 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. . . . . . 110
7.29 Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. . . . . . 110
7.30 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS. . . 117
7.31 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS. . . 118
7.32 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS. . . 119
7.33 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS. . . 120
7.34 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS. . 121
7.35 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS. . 122
7.36 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS. . . 123
Lista de Tabelas
xvi
7.37 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS. . . 124
7.38 Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS. . . 125
7.39 Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS. . . 126
7.40 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. 127
7.41 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. 128
7.42 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. 129
7.43 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. 130
7.44 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. 131
7.45 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. 132
7.46 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grande com
discretização em uma direção apenas- HDS. . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.1
Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 136
8.2
Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1. . . . . . . . . . . . . . 137
8.3
Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.4
Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10. . . . . . . . . . . . . . . 139
8.5
Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1. . . . . . 140
8.6
Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1. . . . . . 141
8.7
Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1 com ξmax = 1. . . . . . . 142
8.8
Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10 com ξmax = 1. . . . . . . 143
8.9
Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1. . . . . . . 144
8.10 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1. . . . . . . . 145
8.11 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 1 com ξmax = 1. . . . . . . . . 146
8.12 Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 10 com ξmax = 1. . . . . . . . 147
A.1 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0.99, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.2 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0, discretização
bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Lista de Tabelas
xvii
A.3 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0.99, discretização
bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.4 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0, discretização
bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.5 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1 em η = 0.99, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.6 Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1, em η = 0, discretização
bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.7 Temperaturas para Slug-Flow em com número de PeH grande, em η =
0.99, discretização bidirecional.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.8 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0,
discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.9 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η =
0.99, discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.10 Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0,
discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.11 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em
η = 0.99, discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A.12 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em
η = 0, discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.13 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0.99, discretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.14 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0, discretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.15 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0.99, discretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.16 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0, discretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1 Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 3. . . . . . 177
Lista de Tabelas
xviii
Nomenclatura
A
Área superficial
cp
Calor especifico à pressão constante
cs
Calor especifico da perede sólida
H
Distância entre as paredes do canal
h
Coeficiente de transferência de calor por convecção
I
Número de volumes na direção axial
J
Número de volumes na direção transversal
k
Condutividade térmica
k0
Condutividade térmica de referência
L
Dimensão caracteristica na direção x
m, ṁ
Massa e taxa de transferência de massa
p
Pressão termodinâmica
P
Perímetro do canal
x, y, z
t
Coordenadas cartesianas
Tempo
tf
Tempo característico de referência
T
Temperatura
Tm
Temperatura média de mistura
u
Velocidade escalar na direção de x
u
Velocidade escalar na direção de y
u
Velocidade escalar na direção de z
ū
Velocidade escalar média na direção x
V Volume
W
Largura do canal
xix
Nomenclatura
Vetores e tensores
n
q̇00
v
Vetor normal
Fluxo de calor por difusão
Velocidade
Parâmetros Adimensionais
Bi
Número de Biot
Cr
Taxa de de capacidade térmica da matriz
C
Fo
K
Nt u
taxa de capacidade térmica do fluido
Número de Fourier
Fração de área entre a parede sólida e o canal
Número de unidades de transferência
Nu
Número de Nusselt
Pe
Número de Péclet
R∗
Razão entre resistências térmicas de condução transversal
Símbolos Gregos
α
Difusividade térmica
δ
Espessura da parede sólida
εm
εi
Efetividade para transferência de massa
Efetividade para transferência de entalpia ou energia
η
coordenada transversal adimensional
Θ
temperatura adimensional
Θ̂i
Temperatura adimensional discretizada
µ
Viscosidade dinâmica
ν
Viscosidade cinemática
ξ
coordenada longitudinal adimensional
ξmax
Comprimento adimensional máximo do canal
xx
Nomenclatura
τ
tempo adimensional
Φ
Função arbitrária
φ
Função arbitrária
Subscritos
H
Grandeza baseada no espaçamento entre as paredes do canal
in
Refere-se a grandeza na entrada do canal
m
Refere-se à grandeza média
out
Refere-se a grandeza na saída do canal
s
Refere-se a superfície sólida
0
Propriedade de referencia
∗
Quantidade adimensional
xxi
Capítulo 1
Introdução
O estudo da transferência de calor por convecção forçada em dutos e canais tem uma
série de importantes aplicações em engenharia. Provavelmente a mais importante destas aplicações está relacionada ao projeto de trocadores de calor.
Diferentes tipos de trocadores de calor são utilizados de acordo com o tipo de
aplicação requerida, podendo haver uma grande variedade de opções. No entanto, as
aplicações práticas deste trabalho servirão principalmente para trocadores de contato
indireto onde não há mistura entre as correntes, com destaque para os utilizados com
a finalidade de recuperação de energia. Mesmo neste grupo restrito, ainda resta uma
variedade significativa de trocadores de calor. De uma forma geral, estes podem ser
divididos, de acordo com forma que o calor é trocado, em recuperadores e regeneradores [1].
Devido à importância de trocadores de calor para indústria, diversos trabalhos sobre a formulação da transferência de calor em trocadores são encontrados na literatura.
Estudos antigos como [2–4] podem ser encontrados. Em especial, o trabalho de Chase
Jr. et al. [5] apresenta uma metodologia analítica simplificada para o cálculo de Nusselt em canais de regeneradores. Alguns estudos um pouco mais recentes são também
encontrados na literatura. Monte [6] estudou a resposta térmica cíclica de trocadores regenerativos de matrizes fixas em escoamento contra-corrente. Saastamoinen [7]
estudou a transferência de calor em regeneradores estacionários de correntes cruza1
1. Introdução
2
das. Scofano-Neto e Cotta [8] utilizaram a técnica das equações integrais acopladas
para desenvolver uma formulação para trocadores de calor duplo tubo. Shen e Worek [9] estudaram o efeito da condução axial na matriz de regeneradores, propondo
em seguida, uma correlação trocadores regenerativos que levasse em consideração a
condução axial [10]. Em [11], os mesmos autores fizeram uma otimização de regeneradores acordo com a segunda lei da termodinâmica, incluindo os efeitos de condução
na matriz.
1.1
Aplicações de trocadores de calor recuperativos e
regenerativos
O drástico aumento dos preços da energia tornou a recuperação de calor mais atrativa
ao longo das últimas décadas. Os processos industriais são grandes consumidores
de energia e boa parte desta energia é desperdiçada nos gases de exaustão (gases de
combustão) à alta temperatura, na forma de calor. A recuperação do calor através
de trocadores de calor pode aumentar a eficiência da planta como um todo e serve
para reduzir a demanda nacional de energia e preservar as reservas de combustíveis
fósseis [12].
Várias aplicações para recuperação de calor podem ser citadas, tais como: a produção de vidro e cimento, a metalurgia primária e secundária, o processamento de petróleo, desumidificadores para aplicações em ar condicionado, processos de separação
criogênica, e em reatores químicos não catalíticos, processo de produção de acetileno
e etileno, motores de turbinas a gás veiculares para transporte primários ( locomotivas,
navios, aviões a turboélice), geração de vapor, etc.
Atualmente, o interesse nos regeneradores do tipo armazenador tem sido renovado
devido às suas aplicações em recuperação de calor, armazenamento de calor e problemas relacionados a energia geral.
O objetivo desta seção é mostrar os vários tipos de regeneradores, os detalhes construtivos, o projeto térmico e mecânico. Além disso, alguns mecanismos para recuperação de calor industrial e recuperação de calor residual são discutidos.
1. Introdução
3
• Princípio de regeneração
Por muitos anos, o princípio de regeneração tem sido aplicado para a recuperação
de energia, utilizando pré-aquecedores de ar em alto-fornos e geração de vapor.
A regeneração é alcançada forçando a passagem periódica e alternada de uma
corrente quente e uma corrente fria através de uma matriz. Durante o período
de escoamento da corrente quente, a matriz recebe energia dos gases quentes e
durante o escoamento da corrente fria, a matriz transfere a energia para os gases
frios, aquecendo-os. O fluxo das duas correntes pode ser paralelo ou contra
corrente, entretanto, o fluxo contra corrente é preferido por sua maior efetividade
térmica.
• Regeneração em ciclos termodinâmicos
A inclusão de um pré-aquecedor de ar em uma planta de geração de energia a
vapor aumenta a eficiência e o desempenho da planta. Regeneradores são usados
como desumidificadores para aplicações em ar condicionado, processos de separação criogênica, e em reatores químicos não catalíticos, tais como o processo
Wisconsin para a fixação de nitrogênio e processos de pirólise de hidrocarbonetos na produção de acetileno e etileno.
• Ciclo de turbina a gás com regeneração
Uma das áreas importantes na aplicação de regeneradores é em motores de turbinas a gás veiculares. Em 1950, iniciou-se uma intensa pesquisa sobre plantas
de geração de energia com turbinas a gás, que incluía regeneradores rotativos.
Regeneradores tipo cilindro e disco foram desenvolvidos pela General Motors
e outros fabricantes de motores de turbinas a gás. O programa de desenvolvimento destas máquinas trouxe significativos avanços em vários sentidos para a
tecnologia de regeneradores, tais como melhoria dos modelos, das superfícies de
transferência de calor da matriz, do projeto das selagens e dos materiais empregados.
Uma planta simples de turbina a gás consiste apenas de um compressor e uma
1. Introdução
4
câmara de combustão, e a turbina têm a vantagem de ser mais leve e compacta.
Entretanto, é conhecida pelo alto consumo específico de combustível, quando
comparada com as modernas plantas de geração a vapor e motores de combustão interna. A única melhoria na planta de turbina a gás, que dá um excelente
incremento na eficiência térmica da planta, é a adição de um regenerador para
transferir a energia térmica dos gases quentes exaustos da turbina para o ar admitido no compressor, especialmente quando é empregado um conjunto de resfriadores intermediários durante a compressão. Esta melhoria resulta em um plano
de economia que é altamente desejável para alguns tipos de transporte primário,
tais como as locomotivas de turbinas a gás, navios com turbina a gás e os aviões
a turboélice.
• Aplicações em recuperação de calor residual
Substanciais ganhos na eficiência do combustível podem ser obtidos por recuperação de calor contido nos gases de combustão, por estes três meios: processo
de aquecimento da carga (matéria-prima) , geração de vapor e preaquecimento
do ar para combustão.
O preaquecimento da carga é freqüentemente mais apropriado para fornos com
escoamento continuo contra-corrente. Aplicações para este método são freqüentemente limitados pelo grande espaço requerido e pelo alto custo de investimento.
A geração de vapor é um meio efetivo de recuperação de calor quando a demanda
por vapor equivale à disponibilidade dos gases de combustão. Um método típico
de geração de vapor inclui um ciclo simples de recirculação forcada e recuperação do calor dos gases exaustos com um economizador, conjugado ou não com
um superaquecedor.
O preaquecimento do ar para a combustão é o mais adaptável para sistemas de
recuperação de calor, porque requer modificações mínimas no sistema existente.
Este método aumenta a eficiência do sistema, e os preaquecedores do ar frio para
1. Introdução
5
a combustão reduzem a quantidade de combustível requerido.
Na figura 1.1 a economia teórica de combustível, devido ao preaquecimento do
ar para a combustão, é exibida em função de três parâmetros: temperatura dos
gases exaustos (gases da combustão), temperatura do ar preaquecido para combustão e efetividade do preaquecedor.
Fig. 1.1: Economia de combustível devido ao preaquecimento do ar para a combustão.
1.2
Trocadores de calor recuperativos
O Recuperador é um tipo de trocador de calor de transferência direta onde os dois
fluidos são separados por uma parede condutora, através da qual é feita a transferência
de calor. Os fluidos escoam simultaneamente e permanecem separados. O recuperador
não tem partes móveis. Alguns exemplos de recuperadores de calor são os tubulares,
mostrados na figura 1.2, os de placas finas, e trocadores de superfície estendida [13].
Recuperadores de calor são usados quando os gases são limpos e não contaminados.
Os recuperadores têm algumas vantagens, tais como:
1. São de fácil construção.
1. Introdução
6
Fig. 1.2: Trocador recuperativo tipo duplo tubo. (a) Passse simples com escoamento
em contra corrente; e (b) passe multiplo com escoamento em contra corrente.
2. São de natureza estacionária.
3. Tem distribuição de temperatura uniforme e, portanto menor choque térmico.
4. Ausência de problemas de selagem.
Entretanto, seu uso é limitado pela resistência dos materiais à alta temperatura,
devido a radiação dos gases de combustão. Além disso, recuperadores são sujeitos
a degradação no desempenho de recuperação de calor pela sujeira proveniente dos
voláteis e resíduos (pó) gerados na combustão dos gases.
1.3
Trocadores de calor regenerativos
O regenerador consiste em uma matriz, através da qual a corrente quente e a corrente fria escoam periódica e alternadamente. Primeiro o fluido quente cede calor para
o regenerador. Depois, o fluido frio escoa pela matriz através da mesma passagem,
recebendo o calor armazenado. Desta maneira, pela reversão regular, a matriz é alternadamente exposta às correntes quente e fria, e as temperaturas do conjunto e do gás
1. Introdução
7
oscilam com o tempo, na mesma posição. Do ponto de vista da modelagem de transferência de calor, recuperadores podem ser tratados como estando operando em regime
permanente. Já em regeneradores, por mais que as correntes de processo que passam
pelo mesmo estejam trocando calor em regime permanente, localmente, o regime de
transferência de calor em um regenerador é transiente e periódico, visto que uma corrente passa o calor para a matriz que em seguida passa o calor para a outra corrente na
segunda parte do ciclo.
1.3.1
Tipos de trocadores regenerativos
Visto que a matriz é alternadamente aquecida pelo fluido quente e resfriada pelo fluido
frio, a matriz deve permanecer estacionária e os gases podem passar através dela alternadamente, ou a matriz deve girar entre as passagens dos gases quentes e dos gases
frios. Os regenerados podem ser classificados de acordo com esta condição em dois
tipos: Regenerador de Matriz Fixa ou Regenerador Rotativo.
1.3.1.1
Regenerador de matriz fixa
O regenerador de matriz fixa, ou tipo armazenador, é um mecanismo de transferência
de calor com escoamento periódico, com matriz de alta capacidade térmica, através
da qual a corrente de fluido quente e a corrente de fluido frio passam alternadamente.
Para alcançar o escoamento contínuo são necessárias pelo menos duas matrizes, como
mostrado na figura 1.3. O escoamento através das matrizes é controlado por vávulas.
De acordo com o número de matrizes empregadas o regenerador é classificado como
matriz simples ou matriz de válvula dupla. Inicialmente, enquanto a matriz A é aquecida pelo fluido quente a matriz B é resfriada pelo fluido frio. Depois de um intervalo
de tempo, as válvulas são operadas de forma a inverter o escoamento, então o fluido
quente escoa pela matriz B transferindo calor para a mesma, enquanto o fluido frio
escoa pela matriz A e é aquecido. A inversão do processo continua periodicamente.
Alguns exemplos de aplicações de trocadores de calor recuperativos são os preaquecedores de ar para combustível de auto-fornos, fornos para a indústria de vidro e fornos
1. Introdução
8
de núcleo aberto.
Fluido Quente Fluido Frio TQ1 TF1 Matriz TQ2 TF2 Fluido Quente Fluido Frio TF1 e TF2 ʹ Temperatura do Fluido Frio, na entrada e na saída TQ1 e TQ2 ʹ Temperatura do Fluido Quente, na entrada e na saída Fig. 1.3: Regenerador tipo válvula dupla.
Abaixo são descritas algumas vantagens dos regeneradores de matriz fixa:
1. Os materiais empregados na matriz não tem expansão térmica, portanto a tensão
térmica é baixa.
2. Este tipo de regenerador é facilmente montado, então os materiais da matriz
podem ser removidos para a limpeza e remontados.
3. Diferentemente dos recuperadores, a sujeira não reduz a capacidade de troca
térmica do regenerador, apenas aumenta a resistência ao escoamento (perda de
carga).
4. Ausência de problemas de selagem.
A maior desvantagem dos regeneradores de matriz fixa é a complexidade e os custos associados com dispositivo de inversão do processo.
1. Introdução
1.3.1.2
9
Regenerador rotativo
O regenerador rotativo consiste em uma matriz rotativa, através da qual as correntes
de fluido quente e frio escoam continuamente, como mostrado na figura 1.4. O regenerador rotativo é também chamado de trocador de calor de escoamento periódico,
visto que uma parte da matriz, por causa da rotação continua é sempre exposta ao
escoamento regular e contínuo das correntes de fluido quente e frio. O principio da
regeneração rotativa é alcançado por dois meios: o escoamento através da matriz é
revertido periodicamente pela rotação da mesma, ou a matriz é mantida estacionária
enquanto os dutos são girados continuamente.
Os regeneradores rotativos de escoamento periódico são caracterizados pelos seguintes fatores:
1. São mais compactos.
2. Os poros da matriz promovem uma longa e tortuosa passagem e portanto uma
grande área de contato durante o escoamento dos fluidos.
3. Não há uma separação do escoamento com tubos ou placas, mas um sistema de
selagem para e evitar a mistura das correntes, devido ao diferencial de pressão.
4. A presença de partes móveis, em vez da abertura e fechamento das válvulas
existentes nos regeneradores de matriz fixa.
5. Pode ser obtida alta efetividade, desde que a matriz possa ser aquecida a uma
temperatura próxima da temperatura dos gases de combustão.
6. Para alcançar uma efetividade muito alta, a capacidade térmica da matriz deve
ser grande, comparada à dos fluidos de trabalho. Este requisito restringe o uso
de regeneradores exclusivamente a aplicações gasosas.
7. A selagem entre as correntes fria e quente são um problema. Vazamentos da
corrente fria a alta pressão para a corrente quente a baixa pressão podem ocorrer,
carreando parte do fluido de uma corrente para a outra. Todavia, o problema de
vazamento é menor em desumidificadores para aplicações em ar condicionado.
1. Introdução
10
Fig. 1.4: Aquecedor de ar regenerativo. Partes Principais: 1 Matriz estacionaria, 2
Proteção rotativa.
8. Aplicação em altas temperaturas para serviços como turbinas a gás, fornos de
fusão e recuperação de calor em plantas de geração de energia a vapor.
9. Aplicações em médias pressões para turbinas a gás, e aplicações em baixas pres-
1. Introdução
11
sões para desumidificação e recuperação de calor residual.
10. Os regeneradores possuem características de auto-limpeza por causa do escoamento das correntes de gases quentes e frios em direções opostas periodicamente, através da mesma passagem.
11. Normalmente prevalece à condição de escoamento laminar, devido ao pequeno
diâmetro hidráulico.
Regeneradores rotativos são usados em turbinas a gás, fornos de processo em refinarias de petróleo e como desumidficadores em aplicações de ar condicionado.
Os dois tipos mais comuns de regeneradores rotativos são o tipo cilindro e o tipo
disco, como mostrado na figura 1.5. O regenerador com matriz tipo disco consiste de
placas metálicas finas, alternadas entre corrugadas e planas, montadas em torno de um
cubo central, ou de material cerâmico prensado em forma de disco. Em circunstâncias ideais sem má distribuição, o projeto com disco único é favorecido pelo menor
comprimento da selagem e menor vazamento pela selagem. O regenerador com matriz
tipo cilindro consiste de um material condutor de calor montado na forma de cilindro
oco. Os gases escoam radialmente através do cilindro. Os custos para a fabricação do
regenerador tipo cilindro são muito maiores, comparados ao regenerador tipo disco,
portanto o regenerador tipo cilindro não é utilizado em muitas aplicações.
A Figura 1.6 ilustra esquematicamente um trocador regenerativo. O rotor (ou matriz rotativa) é ciclicamente exposto a duas correntes de processo. Estas correntes
chegam ao regenerador, separadas, através de dois dutos, portanto, dividindo o regenerador em duas seções: uma para a corrente de processo I e a outra para a corrente
II. A matriz é composta por inúmeros mini-canais, paralelos ao eixo de rotação. Desta
forma, uma fração dos canais está exposta à corrente I enquanto a outra é exposta à corrente II. Dependendo da corrente que chega a um canal em um determinado instante,
ele é dito estar no período de operação I ou II. Como a matriz gira constantemente,
a posição de cada canal na roda varia fazendo com que este seja alternado entre os
períodos I e II. Independente do período de operação do fluido no canal, o mesmo é
1. Introdução
12
Fluxo Axial Fluxo Radial Fluido Frio Fluido Quente Saída gás Aquecido Saída gás Aquecido Entrada gás Quente Entrada gás Quente Matriz estacionaria Matriz Rotativa Saída gás Frio Proteção Rotativa Entrada gás Frio Saída gás Resfriado Entrada gás Frio Fig. 1.5: Regenerador rotativo. (a) Tipo disco e cilindro; (b) Arranjo ilustrativo da
matriz e (c) duas formas alternativas de regenerador rotativo tipo disco.
simplesmente referenciado como corrente de processo.
seção
ω
p
....................
...
....
...
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..... ......
..........
seção II
................
.. .....................
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...
....
....
...
...
..
...
...
...
...
....
..
...
....
....
...
.
.
.
.
.
.
....
..
.....
.......
....
.......
...........
.......
.......................
................
p
αI
@@
@@
@
@@
@
*
L
Fig. 1.6: Regenerador Rotativo.
I
p
p
1. Introdução
13
Para simplificar a análise, a modelagem matemática do problema é feita considerando o transporte de calor (e massa, no caso mais geral) em único canal, o qual é
alternado entre as correntes de processo I e II. Desta forma o canal pode ser analisado
de forma estacionária, desde que um sistema de coordenadas apropriado, fixo a um
canal representativo seja escolhido. O fluido de processo é ar úmido, ou seja, uma
mistura de ar e vapor d’água. As paredes de cada canal (parede sólida, na figura 2.1)
podem ser compostas por diferentes materiais, dependendo do tipo de trocador. No
caso de trocadores de calor sensível, materiais metálicos e ou cerâmicos são comumente utilizados.
parede sólida
y = H /2 + δ
y = H /2
y
6
-x
corrente de processo
parede sólida
Fig. 1.7: Mini-canal de regeneradores.
1.3.1.3
Trocadores regenerativos com troca de calor latente
Um caso especial de trocadores regenerativos é o de dispositivos capazes de proporcionar troca de calor sensível e latente entre duas correntes de processo. Estes trocadores
são denominados regeneradores de calor e massa, e tem se mostrado importantes em
diversas aplicações industriais envolvendo desumidificação e recuperação de energia.
A capacidade de trocar calor latente (associado à transferência de vapor d’água), é resultado da utilização de materiais higroscópicos (adsorventes com alta afinidade com
vapor d’água) na construção destes trocadores, que são comumente encontrados na
forma de rodas entálpicas (possuindo alta velocidade de rotação e baixa quantidade
de material adsorvente), ou rodas dessecantes (com baixa velocidade de rotação e alta
quantidade de adsorvente). Para projetar estes regeneradores de maneira eficiente, é
1. Introdução
14
necessário ter-se um bom entendimento da transferência de calor e massa acoplada
que ocorre durante a operação destes dispositivos.
Os mecanismos de transporte presentes em regeneradores de calor e massa, são
complexos, envolvem transferência calor e massa acoplada e adsorção física. Portanto,
vários estudos relacionados à simulação da transferência de calor e massa foram realizados. Entre aplicações de regeneradores na forma de rodas entálpicas, devem-se
mencionar [14–17]. Tratando-se de rodas dessecantes, devem-se mencionar os estudos [18–25]. Embora haja considerável pesquisa dedicada individualmente a rodas
dessecantes e rodas entálpicas, formulações unificadas válidas para ambos os tipos
de trocadores também foram propostas [26–34]. Apesar do número de formulações
propostas para o estudo da transferência de calor e massa, a grande maioria de estudos
baseia-se em modelos onde o escoamento através dos canais de regeneradores é tratado
de forma global (i.e. utilizando parâmetros concentrados) e coeficientes convectivos
(para transferência de calor e massa1 ) constantes.
1.4
Objetivo do trabalho
A grande maioria de formulações para trocadores de calor (regenerativos ou recuperativos), sejam estes trocadores de calor sensível apenas ou trocadores de calor sensível
e latente, em geral, são baseadas em formulações globais, utilizando velocidades, temperaturas e concentrações médias na seção transversal ao escoamento. Além disto, os
coeficientes convectivos utilizados são considerados constantes, o que só seria válido
em regiões onde o escoamento é completamente desenvolvido (momentum, temperatura e concentração). Entretanto, existem diversas situações onde o escoamento não
pode ser tratado como completamente desenvolvido, e coeficientes convectivos constantes não podem ser utilizados.
Em fluidos com número de Prandtl altos (óleos por exemplo) a condição de desenvolvimento térmico é dificilmente atingida em trocadores [35]. Em gases, esta
1
onde naturalmente a transferência de massa (na forma de vapor d’água) só ocorre no caso de regeneradores com materiais higroscópicos
1. Introdução
15
condição também não é atingida para baixos números de Reynolds. Desta forma, em
recuperadores, podem existir diversos casos onde coeficientes de transferência de calor
por convecção não devem ser considerados constantes.
Em regeneradores, os fluidos de processo são em geral gases, o que poderia permitir a utilização de coeficientes convectivos constantes, de acordo com a observação
acima, para valores de Reynolds não tão baixos. Todavia, neste tipo de trocadores
considerações adicionais devem ser observadas, sendo estas:
1. Não há uma condição de transferência de calor (e/ou massa) uniforme da parede
dos canais para o escoamento;
2. Regeneradores operam em um regime semi-estácionário, ou seja, periódicos, de
tal forma que haverá sempre uma dependência temporal no problema.
Desta forma, mesmo em trocadores regenerativos operando com valores de Reynolds
não tão baixos, não se deve automaticamente, assumir que a condição de desenvolvimento térmico está satisfeita.
Neste contexto, o objetivo principal deste trabalho é estudar o problema da convecção forçada em canais sem considerar o escoamento termicamente desenvolvido e
considerando regimes transiente e permanente. Para tal, as equações de transporte para
escoamento em dutos necessitam ser resolvidas. A solução do problema será abordada
de maneira numérica utilizando o Método de Volumes Finitos. A fim de determinar
uma solução numérica mais adequada para o problema, grande parte do trabalho será
focada no desenvolvimento e avaliação de diferentes estratégias de soluções numéricas, todas estas utilizando o MFV. Uma vez que diferentes soluções forem testadas,
o comportamento do coeficiente de transferência de calor por convecção adimensional (número de Nusselt) será avaliado para diferentes valores de Prandtl e Reynolds
(para simular a utilização de diferentes fluidos e escoamentos). Ainda, serão consideradas soluções em regime permanente (tendo aplicações em recuperadores) e em
regime transiente (tendo aplicação em regeneradores). Todavia, como gases em geral
são utilizados em regeneradores, apenas os casos relativos a escoamentos com este tipo
de fluido (em geral com valores maiores de Péclet) são analisados.
1. Introdução
16
O desenvolvimento deste trabalho envolverá a produção de uma ferramenta capaz
de determinar a variação espacial e temporal do coeficiente de transferência de calor
por convecção em canais de trocadores de calor. Com esta será possível determinar se a
hipótese da utilização de coeficientes convectivos constantes é válida, e em que condições esta poderia ser considerada. Ainda, esta ferramenta possibilitará, indiretamente,
comparar o impacto da utilização de coeficientes convectivos variáveis e constantes
sobre os valores das efetividades de trocadores de calor.
Deve-se mencionar, que no início do desenvolvimento deste trabalho, um estudo
preliminar [36] que apenas considera a variação dos coeficientes convectivos adimensionais (Nusselt e Sherwood) na região de entrada do escoamento nos canais de um
regenerador de calor e massa foi conduzido.2 Os resultados indicaram que a influência
dos comprimentos de entrada será relevante apenas para razões de aspecto fora do normalmente encontrado em regeneradores rotativos. Todavia, este estudo não é capaz de
determinar se o escoamento é de fato termicamente desenvolvido (e conseqüentemente
se os coeficientes convectivos serão constantes) após a região de entrada, tornando necessários os desenvolvimentos posteriores feitos nesta dissertação.
2
Resultados deste estudo podem ser encontrados no apêndice B
Capítulo 2
Formulação do Problema
Neste capítulo são definidas as hipóteses para o escoamento em canais de trocadores de
calor e a modelagem matemática do problema a partir do balanço de energia e balanço
de momentum. Também neste capítulo, são estabelecidas as condições de contorno e
condição inicial para o problema.
2.1
2.1.1
Modelagem do transporte em canais de trocadores de calor
Equações de balanço
Para a modelagem do problema de escoamento em canais de trocadores de calor, foram
consideradas as hipóteses a seguir:
• O fluido de processo é newtoniano e o escoamento é laminar e incompressível;
• Não há geração de energia ou aquecimento por dissipação viscosa durante o
processo;
• Não há mudança de fase do fluido de processo;
• A transferência de calor por radiação é desprezada;
• A variação de temperatura é tal que variações das propriedades termo-físicas do
17
2. Formulação do Problema
18
fluido são pequenas. Desta foma, as propriedades termo-físicas serão consideradas constantes;
• Os fluidos considerados são gases ideais ou líquidos, com propriedades termofí-
sicas constantes;
• O escoamento é hidrodinamicamente desenvolvido
2.1.1.1
Balanço de energia
O balanço de energia, desprezando efeitos da compressibilidade, dissipação viscosa, e
geração de energia é dado por:
ρ cp
µ
¶
∂T
+ v·∇T + ∇·q̇00 = 0
∂t
(2.1)
onde v = (u ,v ,w ).
O fluxo de calor é obtido a partir da Lei de Fourier:
q̇00 = −k ∇T
(2.2)
onde k é a condutividade térmica do fluido. Substituindo, a equação da energia é
escrita na forma:
ρ cp
2.1.1.2
µ
¶
∂T
+ v·∇T = ∇·(k ∇T )
∂t
(2.3)
Balanço de momentum linear
O balanço de momentum linear é dado pelas equações de Navier-Stokes (escritas na
forma vetorial), considerando o escoamento incompressível e com viscosidade dinâmica constante:
¶
∂v
ρ
+ v·∇v = − ∇p + µ ∇2 v
∂t
µ
(2.4)
2.1.1.3
19
Simplificação para desenvolvimento hidrodinâmico
Como o problema envolve o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido em um
duto cilíndrico (de área transversal constante), a velocidade v só tem componente na
direção axial (u ), e a equação de momentum é simplificada, fornecendo:
dp
= µ ∇2 u,
dx
(2.5)
e as demais equações de conservação são simplificadas para:
∂u
= 0,
∂x ¶
µ
∂T
∂T
ρ cp
+u
= ∇·(k ∇T )
∂t
∂x
2.1.2
(2.6)
(2.7)
Equações para escoamento em canais de placas paralelas
A figura (2.1) ilustra um mini-canal genérico de um trocador de calor, considerando as
hipóteses apresentadas anteriormente, onde o escoamento é simplificado para canais
de placas paralelas. O canal ilustrado na figura é simétrico.
parede sólida
y = H /2 + δ
y = H /2
y
6
-x
corrente de processo
parede sólida
Fig. 2.1: Mini-canal de regeneradores.
As equações de balanço para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido em
20
coordenadas cartesianas são escritas na forma abaixo:
µ 2
∂ u
dp
=µ
+
dx
∂y 2
µ
¶
µ
¶
∂T
∂T
∂
∂T
ρc p
+u
=
k
+
∂t
∂x
∂x
∂x
¶
∂2 u
,
∂z 2
µ
¶
µ
¶
∂
∂T
∂
∂T
k
+
k
∂y
∂y
∂z
∂z
(2.8)
(2.9)
Em canais de placas paralelas, não há dependência em z :
d2 u
dp
= µ 2,
dx
dy
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂T
∂T
∂
∂T
∂
∂T
ρc p
+u
=
k
+
k
∂t
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
(2.10)
(2.11)
Considerando a condutividade térmica do fluido constante, a equação (2.11) pode
ser simplificada para:
µ 2
¶
∂T
∂T
∂ T
∂2 T
+u
=α
+
∂t
∂x
∂x 2
∂y 2
(2.12)
Onde α é a difusividade térmica do fluido.
A solução para a equação de momentum (2.10) é a tradicional forma de HagenPoiseuille, que resulta no perfil de velocidade parabólico [37]:
µ
³ y ´2 ¶
3
u
=
1−
,
ū
2
H /2
(2.13)
onde a velocidade média na seção transversal é dada por:
ū =
2.2
1
Ax
Z
2
u dA =
H
Ax
Z
H /2
u dy
(2.14)
0
Coeficiente convectivo e temperatura de mistura
O fluxo de calor convectivo na interface entre o fluido e a parede dos canais1 é escrito
em função da Lei de Resfriamento de Newton:
00
00
q̇ s→
f = h(T s − Tm ) = − q̇ f →s
1
(2.15)
00
a seta indica o sentido do fluxo de calor, sendo portanto q̇ s→
o fluxo da parede sólida para o fluido.
f
21
onde T s é a temperatura na parede, Tm a temperatura média de mistrura e h o coeficiente de transferência de calor por convecção, dado por:
³
´
k ∂T
∂y
h=
y= H2
(2.16)
T s − Tm
A temperatura média de mistura para um escoamento incompressível entre placas
planas paralelas é dada por:
Tm =
1
ū Ax
Z
2
T u dA =
ū H
Ax
Z
H /2
T u dy
(2.17)
0
O número de Nusselt (baseado no diâmetro hidráulico), sendo uma forma adimensional comumente utilizada para o coeficiente de transferência de calor por convecção,
é definido como:
Nu =
2H h
k
(2.18)
onde 2 H é o diâmetro hidráulico para canais de placas paralelas.
2.3
Condições de contorno
2.3.1
Condição de contorno na parede sólida
Existem três possibilidades para esta condição de contorno, descritas a seguir.
2.3.1.1
Temperatura da parede constante
A temperatura na parede sólida T0 é conhecida e considerada constante para este caso.
T (x, H /2, t ) = T0
(2.19)
2.3.1.2
22
Fluxo de calor constante
O fluxo de calor fornecido para o fluido pelas paredes solidas , q̇000 é conhecido e constante ao longo do canal.
µ
2.3.1.3
∂T
k
∂y
¶
= q̇ 000
(2.20)
y=H /2
Armazenamento de energia na parede sólida
Esta condição de contorno será relevantes para trocadores de calor regenerativos. Nesta,
o fluxo de calor q̇ 00f →s deve ser determinado de uma balanço de energia na parede sólida.
¶
µ
∂T
= −q̇ 00f →s
k
∂y y=H /2
(2.21)
Balanço de energia na parede sólida
O balanço de energia na parede sólida é feito em um volume infinitesimal, onde a taxa
de calor que entra, menos a taxa de calor que sai, equivale à taxa de variação da energia
do volume considerado, resultando na equação abaixo:
00
Ax (q̇ x00 − q̇ x+dx
) + dAs (q̇ 00f →s ) = ρ s c s
∂T s
dV
∂t
(2.22)
Utilizando uma Série de Taylor, tem-se:
00
(q̇ x00 − q̇ x+dx
)=−
∂q̇ x00
∂x
dx + · · ·
(2.23)
onde os termos de ordem superior foram desprezados.
Pela Lei de Fourier:
q̇ x00 = −k s
∂T s
∂x
(2.24)
Sabe-se também que:
dV = Ax dx = δW dx
(2.25)
dAs = P x dx = 2W dx
(2.26)
23
onde W é a largura do canal, P x é o perímetro do canal e δ é a espessura da parede do
canal.
Substituindo na equação (2.22), obtém-se a equação da energia para a temperatura
constante na parede:
ρs cs
2
∂T s
∂2 T s
= ks
+ (q̇ 00f →s )
2
∂t
∂x
δ
(2.27)
Introduzindo a difusividade térmica da parede sólida:
αs =
ks
ρs cs
(2.28)
Obtém-se:
1 ∂T s
∂2 T s
2
=
+
(q̇ 00f →s )
2
αs ∂t
∂x
δ ks
(2.29)
Condição de contorno resultante
Pela equação (2.29), o fluxo de calor q̇ 00f →s é dado por:
q̇ 00f →s
µ
¶
∂2 T s
δ k s 1 ∂T s
−
=
2 αs ∂t
∂x 2
(2.30)
desta forma
µ
¶
µ
¶
∂2 T s
∂T
δ k s 1 ∂T s
−
k
=−
∂y y=H /2
2 αs ∂t
∂x 2
(2.31)
Reconhecendo que a temperatura do fluido na parede (em y = H /2) tem que ser
igual à temperatura do sólido, tem-se:
µ
¶
1 ∂T
δ k s ∂2 T
∂T
=
−
k
∂y
2 ∂x 2
αs ∂t
Lembrando que as equações acima são válidas para y = H /2.
(2.32)
2.3.2
24
Condição de contorno na entrada do canal
Na entrada do canal a condição de contorno é dada pela temperatura de entrada (Ti n ):
T (0, y, t ) = Ti n
2.3.3
(2.33)
Condição de contorno no centro do canal
Devido a condição de simetria, a derivada da temperatura no centro do canal é nula.
µ
¶
∂T
k
=0
∂y y=0
2.3.4
(2.34)
Condição de contorno na saída do canal
Assumindo que a condição de desenvolvimento térmico é atingida em uma posição
longe da entrada do canal, tem-se:
¶
µ
∂ T − Ts
= 0,
∂x Tm − T s
x > xeT ,
(2.35)
onde x e T é o comprimento de entrada térmica, e T s é a temperatura da parede, dada
por:
T s = T (x, H /2, t )
(2.36)
Para a saída do canal, considerando a condição de desenvolvimento térmico, serão
consideradas três possibilidades para as condições de contorno, as quais dependem da
condição de aquecimento na parede dos canais (em y = H /2).
Para obter a condição de contorno na saída do canal, faz-se um balanço de energia
em regime permanente, para depois estender a análise para o regime transiente:
−q̇ 00f →s P x dx = ρ c p ū Ax dTm
(2.37)
Ax = H W
(2.38)
Sabe-se que:
25
P x = 2W
(2.39)
Substituindo-se na equação (2.37), tem-se:
Rearrumando:
ρ c p ū H W dTm = −q̇ 00f →s 2W dx
(2.40)
2 q̇ 00f →s
dTm
=−
dx
ρ c p ū H
(2.41)
Introduzindo a difusividade térmica do fluido:
α=
Obtém-se a equação:
2.3.4.1
k
ρ cp
(2.42)
2 α q̇ f →s
dTm
=−
dx
k ū H
00
(2.43)
Temperatura constante na parede do canal
Para a temperatura constante na parede do canal, tem-se:
T s = T0
(2.44)
Considerando a condição de desenvolvimento térmico:
µ
¶
∂ T − T0
= 0,
∂x Tm − T0
para
x > xeT
(2.45)
resultando em:
µ
¶ µ
¶
1
T − T0
dTm
∂T
−
= 0,
2
∂x Tm − T0
(Tm − T0 )
dx
para
x > xeT
(2.46)
Desta forma, para a região termicamente desenvolvida, tem-se:
¶
µ
∂T
T − T0 dTm
=
,
∂x
Tm − T0 dx
para
x > xeT
(2.47)
26
Para temperatura constante na parede, o fluxo de calor na parede é dado por:
q̇ 00f →s = h (Tm − T0 )
(2.48)
Substituindo na equação (2.43), tem-se:
dTm
2αh
=−
(Tm − T0 ),
dx
k ū H
(2.49)
Substituindo na equação (2.47), obtem-se a condição de contorno na saída, para o caso
com temperatura constante na parede do canal:
∂T
2αh
=−
(T − T0 ),
∂x
k ū H
para
x > xeT
(2.50)
A solução para a equação (2.49) fornece uma exponencial negativa:
¶
µ
2 α h̄ 0−x
x
Tm (x) − T0 = (Ti n − T0 ) exp −
k ū H
(2.51)
onde h̄0−x é o coeficiente de transferência de calor médio da entrada até uma posição
x qualquer. Como h̄ 0−x é constante na região termicamente desenvolvida, fica claro
que, em regime permanente, Tm → T0 para x → ∞. Em regime transiente, como inicialmente o fluido encontra-se à mesma temperatura da parede, a condição Tm → T0
ocorrerá para valores de x menores que o limite considerado. Em outras palavras, se
for considerado que Tm ≈ T0 para um valor grande de x , o caso mais crítico para esta
aproximação é o regime permanente.
Considerando a aproximação anterior Tm ≈ T0 , a condição na parede pode ser simplificada para:
∂T
≈ 0,
∂x
para
x > xeT
(2.52)
onde o valor para a aproximação será exato para x À x e T , ou seja:
∂T
= 0,
∂x
para
x →∞
(2.53)
2.3.4.2
27
Fluxo de calor constante na parede do canal
Para o fluxo de calor constante na parede do canal (para região termicamente desenvolvida), tem-se:
Tm − T s = ct e,
x > xeT
para
(2.54)
o que implica em:
dTm
dT s
=
,
dx
dx
para
x > xeT
(2.55)
µ
¶ µ
¶
∂T
∂T s
1
∂ T − Ts
=
−
=0
∂x Tm − T s
∂x
∂x Tm − T s
(2.56)
∂T
dT s
=
∂x
dx
(2.57)
resultando em:
Sabe-se que o fluxo de calor na interface do canal é dado por:
00
00
−q̇ 00f →s = q̇ s→
f = q̇ 0
(2.58)
Substituindo na equação de balanço de energia para o fluido (2.43), tem-se:
2 α q̇ 000
dTm
=
,
dx
k ū H
(2.59)
obtém-se a condição de contorno na saída, para o fluxo de calor constante na parede
do canal:
2 α q̇ 000
∂T
dT s
=
=
= ct e,
∂x
dx
k ū H
2.3.4.3
para
x > xeT
(2.60)
Armazenamento de energia na parede sólida
Para a condição de armazenamento de calor na parede sólida, a condição de saída se
assemelha à condição utilizada para o caso com temperatura constante na parede, contudo, como a temperatura da parede também varia com o escoamento, se aproximando
da temperatura do fluido à medida que x cresce, a consideração de uma derivada axial
nula é mais adequada que no caso com temperatura constante na parede. Todavia, para
28
este caso, não existirá uma condição de desenvolvimento térmico, como nos casos tradicionais de fluxo e temperatura constante. Apesar disto, pode-se considerar, para um
valor razoavelmente grande de x , que a derivada axial é desprezível. Ou seja:
µ
∂T
∂x
¶
≈ 0,
(2.61)
x À0
A aproximação anterior torna-se exata para o caso assintótico:
µ
2.3.5
∂T
∂x
¶
= 0,
(2.62)
T (x, y, 0) = T0
(2.63)
x →∞
Condição inicial
A temperatura inicial é conhecida e constante:
Capítulo 3
Adimensionalização
Neste capítulo é feita a adimensionalização das equações obtidas no capítulo anterior,
a fim de facilitar a solução numérica e a analise do problema. Também são adimensionalizadas as condições de contorno e condição inicial. Para isto, previamente, serão
definidos os parâmetros adimensionais e as variáveis dependentes e independentes utilizadas na adimensionalização das equações.
3.1
Parâmetros adimensionais
O número de Nusselt, baseado no espaçamento entre as placas, é definido em termos
do coeficiente de transferência de calor por convecção (h ), e da condutividade térmica
do fluido:
hH
,
k
NuH =
(3.1)
O número de Fourier é definido em termos da espessura da principal direção de
condução de calor (H /2), do tempo final (t f ) e da difusividade térmica do fluido (α):
Fo =
αtf
(H /2)2
(3.2)
O número de Péclet baseado no espaçamento H , é definido em termos da veloci-
29
3. Adimensionalização
30
dade média (ū ) e da difusividade térmica do fluido:
ū H
α
PeH =
(3.3)
O número de Fourier para a parede sólida é similar ao do fluido, porém a espessura
e a difusividade térmica consideradas são as do sólido:
Fos =
αs t f
(3.4)
(δ/2)2
e o número de Biot é definido em termos do coeficiente de transferência de calor por
convecção, e da espessura e condutividade térmica da parede sólida:
Bi =
h (δ/2)
ks
(3.5)
A fração de área transversal entre a parede sólida e o canal (área de escoamento) é
dada por:
K =
δ
H
(3.6)
e a razão entre as resistências térmicas de condução na direção transversal é definida
como:
R∗ =
3.2
Bi
k (δ/2)
=2
k s (H /2)
NuH
(3.7)
Variáveis adimensionais
As variáveis independentes são as dimensões nos eixos longitudinal e transversal e o
tempo:
η=
y
,
H /2
ξ=
x
,
L
τ=
t
tf
(3.8)
onde L é escrito em termos do número de Péclet baseado no espaçamento entre as
placas:
L=
H
PeH ,
2
(3.9)
31
Desta forma as seguintes relações podem ser escritas:
y =η
H
,
2
x = ξ L,
t = τtf
(3.10)
A única variável dependente é a temperatura do fluido, adimensionalizada por:
Θ=
T − Tmin
,
Tmax − Tmin
(3.11)
Consequentemente, e a temperatura média de mistura, e as temperaturas inicial e de
entrada são adimensionalizadas por:
Tm − Tmin
,
Tmax − Tmin
T0 − Tmin
,
Θ0 =
Tmax − Tmin
Ti n − Tmin
Θi n =
,
Tmax − Tmin
Θm =
(3.12)
(3.13)
(3.14)
Onde, naturalmente, se a temperatura mínima for T0 então Θ0 = 0, e se a temperatura
máxima for Ti n então Θi n = 1, e assim por diante.
Com a adimensionalização utilizada, as seguintes relações podem ser escritas:
T = [Θ (Tmax − Tmin ) + Tmin ],
Tm = [Θm (Tmax − Tmin ) + Tmin ]
(3.15)
Lembrando que Tmin e Tmax são constantes e que a temperatura média Tm foi definida
pela equação (2.17).
3.3
Adimensionalização das equações
Nesta seção as equações governantes, incluindo as condições de contorno são adimensionalizadas.
3.3.1
Equação da energia para o fluido
Substituindo as variáveis dependentes na equação (2.12), tem-se:
32
µ 2
¶
∂Θ
∂ Θ ∂2 Θ
∂Θ
+u
=α
+
∂t
∂x
∂x 2
∂y 2
(3.16)
Em seguida, substituindo as variáveis independentes tem-se a equação de energia
adimensionalizada:
1 ∂Θ
α ∂2 Θ
α ∂2 Θ
1 ∂Θ
+ u ∗ ū
= 2
+
t f ∂τ
L ∂ξ
L ∂ξ2
(H /2)2 ∂η2
(3.17)
onde a velocidade adimensional é dada por:
u∗ =
¢
u
3¡
=
1 − η2 ,
ū
2
(3.18)
Rearrumando, obtém-se:
(H /2)2 ∂2 Θ ∂2 Θ
(H /2)2 ∂Θ (H /2)2 ū ∗ ∂Θ
+
u
=
+
α t f ∂τ
L
α
∂ξ
L 2 ∂ξ2
∂η2
(3.19)
Finalmente, introduzindo a definição dos parâmetros adimensionais chega-se à
forma:
Fo−1
3.3.2
∂2 Θ ∂2 Θ
∂Θ 1 ∗ ∂Θ
+ u
= Pe−2
+
H
∂τ
2
∂ξ
∂ξ2
∂η2
(3.20)
Condição de contorno na parede
Este seção descreve as diferentes possibilidades (de acordo com as diferentes condições de aquecimento) de condição de contorno na parede, isto é, na interface entre o
fluido e a parede dos canais, η = 1.
3.3.2.1
Temperatura constante na parede
Para esta condição de contorno tem-se:
Θ(ξ, 1, τ) = Θ0
(3.21)
3.3.2.2
33
Armazenamento na parede
Substituindo as variaveis dependentes na equação (2.32), tem-se:
µ
¶
∂Θ
δ k s ∂2 Θ
1 ∂Θ
k
=
−
∂y
2 ∂x 2
αs ∂t
(3.22)
Em seguida, substituindo as variáveis independentes
µ
¶
k ∂Θ
δ k s 1 ∂2 Θ
1 ∂Θ
=
−
(H /2) ∂η
2 L 2 ∂ξ2
αs t f ∂τ
(3.23)
k (δ/2) ∂Θ
(δ/2)2 ∂2 Θ (δ/2)2 ∂Θ
=
−
k s (H /2) ∂η
L 2 ∂ξ2
αs t f ∂τ
(3.24)
e rearrumando, tem-se:
Introduzindo os parâmetros adimensionais:
δ2
∂Θ
k (δ/2) ∂Θ
∂2 Θ
= 2 Pe−2
− Fo−1
s
H
2
k s (H /2) ∂η
H
∂ξ
∂τ
(3.25)
chega-se a forma final da condição de contorno para o caso com armazenamento de
energia na parede sólida:
R∗
∂Θ
∂2 Θ
−1 ∂Θ
= K 2 Pe−2
−
Fo
s
H
∂η
∂ξ2
∂τ
(3.26)
lembrando que esta condição de contorno é válida em η = 1. Neste ponto vale comentar a equação anterior. Enquanto o segundo termo do lado direito desta representa o
armazenamento de energia na parede, o primeiro termo representa a condução axial
∗
na parede. Note portanto que para casos com K 2 Pe−2
H /R ¿ 1 a condução na parede
poderia ser desprezada.
3.3.3
34
Condição de contorno na entrada do canal
Na entrada do canal, conforme já visto, a temperatura é conhecida, e a condição de
contorno adimensionalizada é dada por:
Θ(0, η, τ) = Θi n
3.3.4
(3.27)
Condição de contorno no centro do canal
No centro do canal, devido à simetria, a seguinte derivada da temperatura é nula:
µ
3.3.5
∂Θ
∂η
¶
η=0
=0
(3.28)
Condição de contorno na saída do canal
A condição de contorno na saída do canal dependerá da condição imposta na parede
(η = 1). Independente da condição na saída, uma forma generalizada é utilizada:
µ
¶
∂Θ
= Φ,
∂ξ
para
ξ > ξe T
(3.29)
onde Φ = Φ(η, τ) pode assumir valores diferentes, dependendo da condição imposta na
parede. A seguir os valores de Φ são determinados para as diferentes possibilidades de
aquecimento na parede.
3.3.5.1
Temperatura constante na parede
Para a temperatura constante na parede, a condição de contorno na saída do canal é
dada pela equação (2.50):
2αh
∂T
=−
(T − T0 ),
∂x
k ū ∗ H
para
x > xe
Introduzindo as variáveis adimensionais na equação (2.50) e rearrumando, obtém-
35
se:
∆T
∂Θ
− 2 L α h (Θ − Θ0 )
=
∆T,
∂ξ
k ū H
ξ > ξe T
para
(3.30)
e como L é escrito em função do número de Péclet, tem-se
− 2 (H /2) PeH α h (Θ − Θ0 )
∂Θ
=
,
∂ξ
k ū H
ξ > ξe T
para
(3.31)
Introduzindo a definição dos número de Nusselt e número de Péclet, obtém-se:
∂Θ
= − 2 NuH (Θ − Θ0 ),
∂ξ
ξ > ξe T
para
(3.32)
Desta forma:
Φ = − 2 NuH (Θ − Θ0 )
(3.33)
Como para x → ∞ a derivada axial tende a zero, de acordo com a equação (2.53),
pode-se escrever:
∂Θ
= 0,
∂ξ
ξ→∞
para
(3.34)
ou seja,
Φ = 0,
3.3.5.2
ξ→∞
para
(3.35)
Armazenamento de energia na parede
Para a condição de armazenamento de calor na parede, a condição de contorno na
saída do canal é dada pelas equações (2.61, 2.62). Adimensionalizando estas equações,
chega-se a:
µ
3.3.6
∂Θ
∂ξ
¶
µ
ξ > ξe T
≈ 0,
∂Θ
∂ξ
¶
ξ→∞
= 0,
(3.36)
Condição Inicial
A condição inicial também é adimensionalizada, fornecendo:
Θ(ξ, η, 0) = Θ0 .
(3.37)
Capítulo 4
Discretização por Volumes Finitos
A proposta deste trabalho é resolver as equações de transporte definidas anteriormente,
utilizando o método de volumes finitos. Para isso, neste capítulo é feita a discretização
bidirecional e unidirecional (transversal e axial) do problema, considerando os regimes
permanente e transiente. Inicialmente as equações são discretizadas para fornecer uma
equação genérica, válida para todos os volumes do canal. Em seguida, a equação é
particularizada para cada volume do canal, considerando suas respectivas condições de
contorno e condição inicial. As formas de aquecimento consideradas são a temperatura
constante e o armazenamento de energia na parede.
O sistema a ser resolvido na forma adimensional, é dado por:
• Equação de energia admensionalizada para o fluido (3.20):
Fo−1
∂2 Θ ∂2 Θ
∂Θ 1 ∗ ∂Θ
+ u
= Pe−2
+
H
∂τ
2
∂ξ
∂ξ2
∂η2
• Perfil de velocidade do fluido admensionalizado:
u∗ =
¢
3¡
1 − η2 ,
2
• Bem como Condições de Contorno e Condições iniciais.
36
4. Discretização por Volumes Finitos
4.1
37
Discretização bidirecional
A discretização do problema é feita utilizando o método dos volumes finitos. Para
localização dos volumes na malha, será usado o sistema de coordenadas conforme
indicado na figura 4.1.
N
u
u
u
n
r
u
W
w
r
u
P
r
e
u
E
r
s
u
u
u
S
Fig. 4.1: Descrição de uma célula genérica bidimensional pelo metodo de volumes
finitos notação discretizada.
Onde:
• P - É o centro do volume analizado, sendo P = P(ξ, η).
• N (Norte) - É o centro do volume imediatamente acima do volume analizado;
• S (Sul) - É o centro do volume imediatamente abaixo do volume analizado;
• E (Leste) - É o centro do volume imediatamente a direita do volume analizado;
• W (Oeste) - É o centro do volume imediatamente a esquerda do volume anali-
zado;
4.1.1
Integração das equações
A equação (3.20) pode ser reescrita na forma conservativa:
Fo−1
∂Θ 1 ∂ ¡ ∗ ¢
∂2 Θ ∂2 Θ
+
u Θ = Pe−2
+
H
∂τ
2 ∂ξ
∂ξ2
∂η2
(4.1)
38
Integrando no volume, tem-se:
Z
ηn
ηs
Z
ξe
ξw
¶
¶
µ
Z η n Z ξe µ
2
1 ∂ ¡ ∗ ¢
∂2 Θ
−1 ∂Θ
−2 ∂ Θ
+
u Θ dξ dη =
+
dξ dη
Fo
PeH
∂τ
2 ∂ξ
∂ξ2
∂η2
ηs
ξw
(4.2)
Onde:
∆η
,
2
ηn = ηP +
4.1.2
η s = ηP −
∆η
,
2
ξe = ξP +
∆ξ
,
2
ξ w = ξP −
∆ξ
2
(4.3)
Aproximação das integrais
Para aproximar os termos da equação (4.2) avaliados nas faces do volume central, as
seguintes aproximações de segunda ordem são utilizadas:
• Primeiro Termo da Equação
O primeiro termo da equação é escrito na forma:
Z
ηn
ηs
Z
ξe
ξw
µ
¶
·Z ηn Z ξe
¸
−1 ∂Θ
−1 d
Fo
dξ dη = Fo
Θ dξ dη
∂τ
dτ η s ξw
(4.4)
Utilizando uma aproximação de segunda ordem [38]:
ηn
Z
ηs
Z
ξe
ξw
Θ dξ dη ≈ Θ ∆η ∆ξ
(4.5)
A equação (4.4) é reescrita na forma:
Z
ηn
ηs
Z
ξe
ξw
¶
µ
dΘP
−1 ∂Θ
dξ dη ≈ Fo−1
∆η ∆ξ
Fo
∂τ
dτ
(4.6)
• Segundo Termo da Equação
O segundo termo da equação pode ser escrito como:
Z
ηn
ηs
Z
ξe
ξw
µ
¶
Z
1 ∂ ¡ ∗ ¢
1 ηn ∗ ¯¯ξe
(u Θ)¯ dη =
u Θ dξ dη =
2 ∂ξ
2 ηs
ξw
Z ηn ·
¯
¯ ¸
1
¯
¯
∗
∗
=
(u Θ)¯ − (u Θ)¯
dη (4.7)
2 ηs
ξe
ξw
39
Onde:
¯
(u ∗ Θ)¯ξe = (u ∗ Θ)e ,
¯
(u ∗ Θ)¯ξw = (u ∗ Θ)w
(4.8)
Utilizando uma aproximação de segunda ordem em η:
ηn
Z
h
ηs
¯
¯ i
£
¤
(u ∗ Θ)¯ξe − (u ∗ Θ)¯ξw dη ≈ (u ∗ Θ)e − (u ∗ Θ)w ∆η
(4.9)
ηn
Z
ξe
Z
ηs
µ
ξw
¶
i
1h ∗
1 ∂ ¡ ∗ ¢
u Θ dξ dη ≈
(u Θ)e − (u ∗ Θ)w ∆η
2 ∂ξ
2
(4.10)
• Terceiro Termo da Equação
O terceiro termo da equação pode ser escrito como:
Z
ηn
ηs
Z
ξe
ξw
Pe−2
H
µ
¸
¶
Z ηn ·
∂2 Θ
∂Θ ξe
−2
dξ dη = PeH
dη =
∂ξ2
∂ξ ξw
ηs
¶
¶ ¸
µ
Z ηn ·µ
∂Θ ¯¯
∂Θ ¯¯
−2
= PeH
dη (4.11)
¯ −
¯
∂ξ ξe
∂ξ ξw
ηs
Onde:
µ
¶
¶
µ
∂Θ ¯¯
∂Θ
,
¯ =
∂ξ ξe
∂ξ e
µ
¶
¶
µ
∂Θ ¯¯
∂Θ
¯ =
∂ξ ξw
∂ξ w
(4.12)
Utilizando uma aproximação de segunda ordem em η:
Z
ηn
·µ
ηs
¶
µ
¶ ¸
·µ
¶
µ
¶ ¸
∂Θ ¯¯
∂Θ ¯¯
∂Θ
∂Θ
dη ≈
−
∆η
¯ −
¯
∂ξ ξe
∂ξ ξw
∂ξ e
∂ξ w
(4.13)
Z
ηn
ηs
Z
ξe
ξw
Pe−2
H
µ
¶
·µ
¶
µ
¶ ¸
∂Θ
∂Θ
∂2 Θ
−2
dξ dη ≈ PeH ∆η
−
∂ξ2
∂ξ e
∂ξ w
• Quarto Termo da Equação
(4.14)
40
O quarto termo da equação pode ser escrito como:
Z
ηn
ηs
Z
ξe
ξw
µ
¶
Z ξe Z η n µ 2 ¶
∂2 Θ
∂ Θ
dξ dη =
dη dξ =
2
∂η
∂η2
ξw η s
¸
¶
¶ ¸
µ
Z ξe ·
Z ξe ·µ
∂Θ ηn
∂Θ ¯¯
∂Θ ¯¯
=
dξ =
¯ −
¯ dξ (4.15)
∂η η s
∂η ηn
∂η η s
ξw
ξw
Onde:
¶
¶
µ
∂Θ ¯¯
∂Θ
,
¯ =
∂η ηn
∂η n
µ
µ
¶
¶
µ
∂Θ ¯¯
∂Θ
¯ =
∂η η s
∂η s
(4.16)
Utilizando uma aproximação de segunda ordem:
Z
ξe
·µ
ξw
¶
¶ ¸
¶
µ
¶¸
µ
·µ
∂Θ
∂Θ ¯¯
∂Θ ¯¯
∂Θ
−
∆ξ
¯ −
¯ dξ ≈
∂η ηn
∂η η s
∂η n
∂η s
(4.17)
Z
ηn
ηs
Z
ξe
ξw
µ
¶
·µ
¶
µ
¶¸
∂2 Θ
∂Θ
∂Θ
dξ dη ≈
−
∆ξ
∂η2
∂η n
∂η s
(4.18)
Substituindo as aproximações para as integrais na equação (4.1):
¸ ·
·
´¸
1 ³ ∗
∗
−1 dΘP
∆η ∆ξ +
∆η (u Θ)e − (u Θ)w =
Fo
dτ
2
µ
·µ
µ
¶
¶ ¸¶ µ ·µ
¶
µ
¶ ¸¶
∂Θ
∂Θ
∂Θ
∂Θ
−2
= PeH ∆η
−
+ ∆ξ
−
(4.19)
∂ξ e
∂ξ w
∂η n
∂η s
e dividindo por ∆ξ ∆η tem-se a equação de energia integrada em um volume finito com
as aproximações integrais substituídas:
Fo−1
´
dΘP
1 ³ ∗
+
(u Θ)e − (u ∗ Θ)w =
dτ
2 ∆ξ
·µ
¶
µ
¶ ¸
·µ
¶
µ
¶¸
∂Θ
1
∂Θ
∂Θ
∂Θ
−2 1
−
+
−
(4.20)
= PeH
∆ξ
∂ξ e
∂ξ w
∆η ∂η n
∂η s
41
Todavia, como a velocidade não varia na direção axial pode-se simplificar a equação
anterior para:
−1
Fo
u P∗ ¡
¢
dΘP
+
Θe − Θw =
dτ
2 ∆ξ
·µ
¶
µ
¶ ¸
·µ
¶
µ
¶¸
∂Θ
∂Θ
1
∂Θ
∂Θ
−2 1
= PeH
−
+
−
(4.21)
∆ξ
∂ξ e
∂ξ w
∆η ∂η n
∂η s
onde u P∗ é o perfil de velocidade discretizado. Esta equação é valida para todos os
pontos do mini-canal, conforme ilustrado na figura 4.2.
Parede do Canal
η=1
7
···
..
.
4
···
..
.
···
..
.
1
8
5
..
.
···
..
.
···
2
9
6
..
.
···
3
η=0
Fig. 4.2: mapa computacional das celulas para um mini-canal pelo metodo dos volumes finitos.
Onde os números da figura representam os seguintes volumes:
• 1 - Volume adjacente à entrada e ao centro do canal;
• 2 - Volumes adjacentes ao centro do canal;
• 3 - Volume adjacente à saída e ao centro do canal;
• 4 - Volumes adjacentes à entrada do canal;
• 5 - Volumes internos do canal;
• 6 - Volumes adjacentes à saída do canal;
• 7 - Volume adjacente à entrada e à interface da parede do canal;
Fluido
42
• 8 - Volumes adjacentes à interface da parede do canal;
• 9 - Volume adjacente à saída e à interface da parede do canal;
4.1.3
Regras de interpolação
Para aproximar os termos difusivos (derivadas de segunda ordem) avaliados nas faces do volume central, as seguintes aproximações centradas de segunda ordem, são
utilizadas:
¶
∂Θ
∂η n
µ
¶
∂Θ
∂η s
µ
¶
∂Θ
∂ξ e
¶
µ
∂Θ
∂ξ w
µ
ΘN − ΘP
∆η
ΘP − ΘS
≈
∆η
ΘE − ΘP
≈
∆ξ
ΘP − ΘW
≈
∆ξ
≈
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
Para calcular quantidades nas faces do volume finito em termos de pontos centrais, e vice-versa, também utilizam-se as seguintes regras de interpolação de segunda
ordem:
´ 1³
´
1³
( f )P ≈ ( f )s + ( f )n ≈ ( f )w + ( f )e
2
2
´
1³
( f )P + ( f )N
2
´
1³
( f )s ≈ ( f )S + ( f )P
2
´
1³
( f )e ≈ ( f )P + ( f )E
2
´
1³
( f ) w ≈ ( f )W + ( f )P
2
( f )n ≈
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
Utilizando as relações anteriores, diferenças atrasadas e avançadas podem ser escritas
43
para determinar quantidades no contorno em função de pontos internos apenas:
´
1³
3 ( f )P − ( f )S
2
´
1³
( f )s ≈ 2 ( f )P − ( f )n ≈ 3 ( f )P − ( f )N
2
´
1³
( f )e ≈ 2 ( f )P − ( f )w ≈ 3 ( f )P − ( f )W
2
´
1³
( f )w ≈ 2 ( f )P − ( f )e ≈ 3 ( f )P − ( f )E
2
( f )n ≈ 2 ( f )P − ( f ) s ≈
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
Relações para calcular pontos no centro de volumes adjacentes em relação a pontos
no volume considerado também podem ser escritas:
4.1.4
( f )E ≈ 2 ( f )e − ( f )P
(4.35)
( f )W ≈ 2 ( f )w − ( f )P
(4.36)
( f )N ≈ 2 ( f )n − ( f )P
(4.37)
( f )S ≈ 2 ( f ) s − ( f )P
(4.38)
Regras de interpolação para o acoplamento convecção-difusão
Para aproximar a primeira derivada axial, pode-se utilizar o esquema de diferenças
centradas (CDS):
¢
1¡
ΘP + ΘE
2
¢
1¡
≈ ΘW + ΘP
2
Θe ≈
(4.39)
Θw
(4.40)
Todavia, enquanto esta aproximação é bastante apropriada para termos difusivos, ela
pode levar a certas instabilidades numéricas em termos convectivos. Para remediar tal
problema existe a opção de aproximar a derivada convectiva utilizando um esquema
upwind (UDS), que leva em consideração o sentido da velocidade:
Θe ≈ ΘP
e
Θw ≈ ΘW ,
para
u∗ > 0
(4.41)
Θe ≈ ΘE
e
Θw ≈ ΘP ,
para
u∗ < 0
(4.42)
44
Uma desvantagem do esquema acima é que este introduz difusão numérica, levando a
resultados errôneos, especialmente em malhas pouco refinadas. Uma forma de evitar as
instabilidades trazidas pelos esquema CDS e minimizar a difusão numérica introduzida
pelo UDS, é a de combinar as duas aproximações, chegando a um esquema híbrido:
¡
¢
Θe ≈ ΘP + ω ΘE − ΘP
(4.43)
¡
¢
Θw ≈ ΘW + ω ΘP − ΘW
(4.44)
onde o parâmetro ω dita o tipo de mistura de CDS com UDS utilizada, seguindo a
regra abaixo:
0 ≤ ω ≤ 1/2,
para
u∗ > 0
(4.45)
1/2 ≤ ω ≤ 1,
para
u∗ < 0
(4.46)
Desta forma, quando ω = 1/2 o esquema CDS é obtido, e quando ω = 0 ou ω = 1 o
esquema upwind é obtido. Como o esquema híbrido é uma combinação de UDS e
CDS a ordem este esquema é superlinear, ou seja, entre 1 e 2.
O parâmetro ω é extraído da solução analítica para o problema linear de difusãoconvecção na direção axial apenas [39]
1 ∗ dΘ
d2 Θ
u
= Pe−2
H
2
dξ
dξ2
(4.47)
¡
¢
Θ = c 1 + c 2 exp Pe2H /2 (ξ − ξP )
(4.48)
cuja solução fornece:
Com isto, as relações Θ(ξE ) = ΘE , Θ(ξW ) = ΘW e Θ(ξP ) = ΘP levam ao seguinte valor
para o parâmetro ω:
¡
¢
exp u ∗ Pe2H /4 − 1
¡
¢
ω=
exp u ∗ Pe2H /2 − 1
(4.49)
45
Os limites anteriores são atingidos para u ∗ PeH = 0 (resultando em ω = 1/2) e u ∗ PeH →
±∞ (resultando em ω = 0 para u ∗ > 0 e ω = 1 para u ∗ = 1). Desta forma para valo-
res grandes de u ∗ PeH (onde convecção é predominante) um esquema de diferenças
upwind será utilizado, enquanto para valores pequenos de u ∗ PeH o esquema de diferenças centrais será utilizado. Levando em consideração que u ∗ varia com η, o
parâmetro ω também irá variar verticalmente, contemplando localmente a razão entre
os efeitos convectivos e difusivos.
De uma forma geral a derivada convectiva é escrita como:
i u∗ ³
´
∆Θew
1 h ∗
(u Θ)e − (u ∗ Θ)w = P Θe − Θw = u P∗
∆ξ
∆ξ
∆ξ
(4.50)
onde ∆Θew será determinado da aproximação híbrida dada pelas equações (4.43) e
(4.44). Para pontos em volumes fora do contorno em ξ esta aproximação resulta em:
∆Θew
∆ξ
≈
¢
1 ¡
ω ΘE + (1 − 2 ω) ΘP − (1 − ω) ΘW
∆ξ
(4.51)
para volumes adjacentes à entrada ou saída do canal as condições de contorno devem
ser utilizadas.
4.1.5
4.1.5.1
Condições de contorno nas coordenadas do MVF
Entrada do canal
A condição de contorno para a entrada do canal (ξ = 0) é dada pela equação (3.27), a
qual é escrita em termos das coordenadas do MVF como:
Θw = Θi n
(4.52)
Utilizando as regras de interpolação a derivada axial na entrada do canal pode ser
escrita em relação à temperatura de entrada:
µ
∂Θ
∂ξ
¶
≈
w
ΘP − ΘW
ΘP − (2 Θw − ΘP )
Θi n − ΘP
=≈
≈2
∆ξ
∆ξ
∆ξ
(4.53)
46
No entanto, para determinar a derivada convectiva, o esquema híbrido UDS-CDS, dado
pela equação (4.43) é utilizado, levando à:
∆Θew
∆ξ
4.1.5.2
≈
¢
1 ¡
ω ΘE + (1 − ω) ΘP − Θi n
∆ξ
(4.54)
Saída do canal
Para especificar uma condição de contorno para a saída, foi necessário estipular que
esta estivesse localizada a uma posição além da entrada térmica (ou ξ À 0 em geral).
Foi visto também que para uma posição suficientemente grande uma condição de derivada nula de temperatura acaba sendo atingida. Para especificar a saída do canal de
uma maneira geral, é estipulado que a saída estará localizada em uma posição ξ = ξmax .
Naturalmente, este valor deve ser escolhido de forma que a uma variação em ξmax não
altere a solução. A condição de contorno em ξ = ξmax é dada pela equação (3.29), que
em coordenadas do MVF é:
µ
∂Θ
∂ξ
¶
= Φe
(4.55)
e
Utilizando a condição de contorno acima, pode-se escrever:
ΘE ≈ ΘP + ∆ξ Φe
(4.56)
Utilizando as regras de interpolação é possível determinar a temperatura para o
ponto de saída:
1
3 ΘP − ΘW
Θe ≈ 2 ΘP − Θw ≈ 2 ΘP − (ΘW + ΘP ) =
2
2
(4.57)
Entretanto, a derivada convectiva, é determinada utilizando a equação (4.44), junto
com a condição de contorno acima, levando a:
∆Θew
∆ξ
=
1
(1 − ω) (ΘP − ΘW ) + ω Φe
∆ξ
(4.58)
Observando a equação acima, fica claro que para posições onde a convecção é domi-
47
nante (ω ≈ 0) a condição de saída não tem influência sobre o problema.
4.1.5.3
Centro do canal
No centro do canal (η = 0), devido a condição de simetria, a derivada da temperatura é
nula, conforme equação (3.28), desta forma tem-se:
µ
∂Θ
∂η
¶
=0
(4.59)
s
A temperatura na posição central pode ser calculada utilizando as regras de interpolação:
1
3 ΘP − ΘS
Θs ≈ 2 ΘP − Θs ≈ 2 ΘP − (ΘS + ΘP ) =
2
2
4.1.5.4
(4.60)
Parede do canal
Utilizando as regras de interpolação a derivada transversal na parede pode ser escrita
em relação à temperatura da parede na forma:
µ
∂Θ
∂η
¶
≈
n
(2 Θn − ΘP ) − ΘP
Θn − ΘP
ΘN − ΘP
≈
≈2
∆η
∆η
∆η
(4.61)
O valor de Θn irá depender da condição de contorno aplicada na parede sólida. Para
parede isotérmica, tem-se
Θn = Θ0
(4.62)
e a equação (4.61) é facilmente modificada.
Para armazenamento de calor na parede, a derivada da temperatura é dada em função da equação de armazenamento de energia na parade admensionalizada, conforme
a equação (3.26), que em termos das coordenadas do MVF é escrita como:
µ
∂Θ
∂η
¶
η=η n
·
¸
2
1
2
−2 ∂ Θ
−1 ∂Θ
= ∗ K PeH
− Fos
R
∂ξ2
∂τ η=ηn
(4.63)
48
Integrando em ξ:
Z
ξe
µ
ξw
∂Θ
∂η
¶
·
·µ
¶
µ
¶ ¸
¶ ¸
Z ξe µ
∂Θ
∂Θ
∂Θ
1
2
−2
−1
dξ = ∗ K PeH
−
− Fos
dξ
(4.64)
R
∂ξ e
∂ξ w
ξw ∂τ
η=η n
η=η n
e utilizando aproximações de segunda ordem para as integrais:
µ
∂Θ
∂η
·
µµ
¶
µ
¶ ¶¸
·
µ
¶ ¸
∂Θ
∂Θ
1
1
2
−2
−1 ∂Θ
=
K PeH
−
− ∗ Fos
∆ξ R ∗
∂ξ ne
∂ξ nw
R
∂τ n
¶
n
(4.65)
Para este caso, a temperatura na coordenada n é uma incógnita, e portanto, modifica-se
a notação da última equação, escrevendo:
µ
∂Θ
∂η
¶
n
·
µµ
¶
µ
¶ ¶¸
∂Θn
∂Θn
∂ΘnP
1
1
2
−2
=
K PeH
−
− ∗ Fo−1
s
∗
∆ξ R
∂ξ e
∂ξ w
R
∂τ
(4.66)
onde Θn é a incógnita a ser determinada. Introduzindo a equação (4.61) e rearrumando,
chega-se à seguinte equação para Θn :
∂ΘnP
Fo−1
s
∂τ
2
−2
ΘnP − ΘP K PeH
= −2 R
+
∆η
∆ξ
∗
µµ
∂Θn
∂ξ
¶
∂Θn
−
∂ξ
µ
e
¶ ¶
(4.67)
w
onde, para determinar as derivadas axiais de Θn nas faces e e w utiliza-se as regras de
interpolação, e as condições de contorno na entrada e saída, quando necessárias.
4.1.6
Equação para os volumes internos
Os volumes internos do canal são representados pelo número 5 na figura (4.2). Substituindo as regras de interpolação na equação (4.21) tem-se a equação discretizada para
os volumes internos do canal:
−1
Fo
∗
ΘE − 2ΘP + ΘW ΘN − 2ΘP + ΘS
dΘP u P ∆Θew
+
= Pe−2
+
H
dτ
2 ∆ξ
∆ξ2
∆η2
(4.68)
onde ∆Θew é dado pela equação (4.51), fornencendo:
∆Θew ≈ ω ΘE + (1 − 2 ω) ΘP − (1 − ω) ΘW
(4.69)
4.1.7
49
Equação para os volumes adjacentes ao centro do canal
Os volumes adjacentes ao centro canal são representados pelo número 2 na figura 4.2.
Substituindo as regras de interpolação, a condição de contorno e na equação (4.21),
obtém-se a equação discretizada para os volumes adjacentes ao centro do canal:
Fo−1
∗
dΘP u P ∆Θew
ΘE − 2ΘP + ΘW ΘN − ΘP
+
= Pe−2
+
H
dτ
2 ∆ξ
∆ξ2
∆η2
(4.70)
com ∆Θew sendo dado pela equação (4.69).
4.1.8
Equação para os volumes adjacentes à parede do canal
São todos os volumes adjacentes à interface entre o fluido e a parede sólida do canal,
e que não estejam na entrada ou na saída do canal, representados pelo número 8 na
figura 4.2. Para estes volumes, pontos acima de n não estão disponíveis, de modo que
a derivada transversal é dada pela equação (4.61). Utilizando esta relação e as demais
regras de interpolação na equação (4.21) fornece:
Fo−1
∗
dΘP u P ∆Θew
ΘE − 2ΘP + ΘW 2 ΘnP − 3ΘP − ΘS
+
= Pe−2
+
H
dτ
2 ∆ξ
∆ξ2
∆η2
(4.71)
onde ∆Θew é dado pela equação (4.69).
4.1.9
Equação para os volumes adjacentes à entrada do canal
Os volumes adjacentes à entrada do canal são todos os volumes representados pelo
número 4 na figura 4.2. Substituindo as regras de interpolação e a condição de contorno
(4.53) na equação (4.21), chega-se à equação discretizada para os volumes da entrada
do canal:
Fo−1
∗
dΘP u P ∆Θew
ΘE + 2 Θi n − 3ΘP ΘN − 2ΘP + ΘS
+
+
= Pe−2
H
dτ
2 ∆ξ
∆ξ2
∆η2
(4.72)
50
onde ∆Θew é dado pela equação (4.54), que fornece:
∆Θew = ω ΘE + (1 − ω) ΘP − Θi n
4.1.10
(4.73)
Equação para os volumes adjacentes à saída do canal
Os volumes adjacentes à saída do canal são todos os volumes representados pelo número 6 na figura 4.2. Para estes volumes, pontos à direita de e não estão disponíveis, e
portanto a equação (4.21) é escrita utilizando as regras de interpolação apenas para as
faces n , s e w :
−1
Fo
µ
µ
¶
¶
∗
dΘP u P ∆Θew
1 ∂Θ
ΘP − ΘW
ΘN − 2ΘP + ΘS
−2
+
= PeH
−
+
2
dτ
2 ∆ξ
∆ξ ∂ξ e
∆ξ
∆η2
(4.74)
A condição de contorno (4.55) é substituída, resultando em:
−1
Fo
µ
¶
∗
dΘP u P ∆Θew
ΘP − ΘW
ΘN − 2ΘP + ΘS
−2 Φe
+
= PeH
−
+
2
dτ
2 ∆ξ
∆ξ
∆ξ
∆η2
(4.75)
onde ∆Θew é dado pela equação (4.58), resultando em:
∆Θew = (1 − ω) (ΘP − ΘW ) + ω Φe ∆ξ
4.1.11
(4.76)
Equação para os volumes adjacentes à parede e à entrada do canal
O volume adjacente à interface da parede e à entrada do canal é volume representado
pelo número 7 mostrado na figura 4.2. Tomando a equação (4.21) e substituindo as
regras de interpolação para as faces e e s obtém-se:
Fo−1
∗
dΘP u P ∆Θew
+
=
dτ
2 ∆ξ
=
Pe−2
H
·
µ
¶ ¸
·µ
¶
¸
1 ΘE − ΘP
∂Θ
1
∂Θ
ΘP − ΘS
−
+
−
(4.77)
∆ξ
∆ξ
∂ξ w
∆η ∂η n
∆η
51
Substituindo as equações das condições de contorno (4.53) e (4.61) obtém-se a equação
discretizada para o volume adjacente à interface da parede e à entrada do canal:
Fo−1
∗
dΘP u P ∆Θew
2 ΘnP − 3ΘP − ΘS
ΘE − 3ΘP + 2 Θi n
+
= Pe−2
+
H
2
dτ
2 ∆ξ
∆ξ
∆η2
(4.78)
4.1.12
Equação para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal
O volume adjacente ao centro e à entrada do canal é o volume 1, mostrado na figura
4.2. Utilizando a equação (4.21) com as regras de interpolação substituídas apenas
para as faces e e n obtém-se:
Fo−1
∗
dΘP u P ∆Θew
+
=
dτ
2 ∆ξ
=
Pe−2
H
µ
µ
·
¶ ¸
·
¶¸
1 ΘE − ΘP
∂Θ
∂Θ
1 ΘN − ΘP
−
−
+
(4.79)
∆ξ
∆ξ
∂ξ w
∆η
∆η
∂η s
Substituindo as condições de contorno (4.53) e (4.59), tem-se a equação discretizada
para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal:
−1
Fo
∗
ΘE + 2 Θi n − 3ΘP ΘN − ΘP
dΘP u P ∆Θew
+
= Pe−2
+
H
dτ
2 ∆ξ
∆ξ2
∆η2
(4.80)
4.1.13
Equação para os volumes adjacentes à parede e à saída do canal
O volume adjacente à parede e à saída do canal é o volume 9 mostrado na figura 4.2.
Tomando a equação (4.21) com as regras de interpolação substituídas apenas para as
faces w e s chega-se a:
Fo−1
∗
dΘP u P ∆Θew
+
=
dτ
2 ∆ξ
=
Pe−2
H
1
∆ξ
·µ
∂Θ
∂ξ
¶
e
¸
·µ
¶
¸
ΘP − ΘW
1
∂Θ
ΘP − ΘS
−
+
−
(4.81)
∆ξ
∆η ∂η n
∆η
52
Substituindo as equações das condições de contorno (4.55) e (4.61) obtém-se a equação
discretizada para o volume adjacente à interface da parede e à saída do canal:
−1
Fo
µ
¶
∗
dΘP u P ∆Θew
ΘP − ΘW
2 ΘnP − 3ΘP − ΘS
−2 Φe
+
= PeH
−
+
2
dτ
2 ∆ξ
∆ξ
∆ξ
∆η2
(4.82)
4.1.14
Equação para o volume adjacente ao centro e à saída do canal
O volume adjacente ao centro e à saída do canal é dado pelo volume 3 mostrado na
figura 4.2. Utilizando a equação (4.21) substituindo as regras de interpolação apenas
para as faces w e n chega-se a:
Fo−1
∗
dΘP u P ∆Θew
+
=
dτ
2 ∆ξ
=
Pe−2
H
1
∆ξ
·µ
∂Θ
∂ξ
¶
e
µ
¸
·
¶¸
ΘP − ΘW
∂Θ
1 ΘN − ΘP
−
−
+
(4.83)
∆ξ
∆η
∆η
∂η s
Substituindo as condições de contorno (4.55) e (4.59), tem-se a equação discretizada para os volumes adjacentes ao centro e à saída do canal:
Fo−1
µ
¶
∗
ΘP − ΘW
dΘP u P ∆Θew
Φe
ΘN − ΘP
+
= Pe−2
−
+
H
dτ
2 ∆ξ
∆ξ
∆ξ2
∆η2
(4.84)
4.1.15
Equações para a temperatura da parede
Para a condição de temperatura constante na parede ΘnP é sempre conhecido, sendo
dado por pela condição de contorno (4.62). Agora, quando há armazenamento de
energia na parede, ΘnP irá variar, e a equação (4.67) é utilizada. Para volumes que
não envolvam a entrada ou saída do canal, a equação para a temperatura da parede é
dada por:
dΘnP
Fo−1
s
dτ
2
−2
ΘnP − ΘP K PeH
= −2 R
+
(ΘnE − 2 ΘnP + ΘnW )
∆η
∆ξ2
∗
(4.85)
53
Para volumes adjacentes à entrada do canal, a equação para a temperatura da parede
é dada pela interpolação (4.61), fornecendo:
Fo−1
s
2
−2
dΘnP
ΘnP − ΘP K PeH
= −2 R ∗
+
(ΘnE − 3 ΘnP + 2 Θi n )
dτ
∆η
∆ξ2
(4.86)
Para volumes da parede adjacentes à saída do canal, utiliza-se uma condição de
contorno de derivada nula que resulta em:
Fo−1
s
4.2
2
−2
dΘnP
ΘnP − ΘP K PeH
= −2 R ∗
+
(ΘnW − ΘnP )
dτ
∆η
∆ξ2
(4.87)
Discretização unidirecional
4.2.1
Discretização transversal
Se apenas a direção transversal (η) for discretizada, as equações resultantes são bem
mais simples, como apresentado nesta seção. A equação (3.20) é integrada em um
volume de controle de altura ∆η:
−1
Fo
∂
∂τ
Z
ηn
ηs
1 ∂
Θ dη +
2 ∂ξ
Z
ηn
ηs
∗
(u Θ) dη =
Pe−2
H
∂2
∂ξ2
Z
ηn
ηs
¶¯
∂Θ ¯¯ηn
Θ dη +
.
∂η ¯η s
µ
(4.88)
Então, utilizando as aproximações para integrais e regras de interpolação de segunda
ordem, como discutido na discretização bidirecional, chega-se à seguinte equação:
Fo−1
∂ΘP 1 ∗ ∂ΘP
∂2 ΘP ΘN − 2 ΘP + ΘS
+ uP
= Pe−2
+
,
H
∂τ
2
∂ξ
∂ξ2
∆η2
(4.89)
válida para volumes não conectados com o contorno em η (isto é, o centro do canal e
a parede). Para o volume adjacente ao centro do canal (η = 0), tem-se:
Fo−1
∂ΘP 1 ∗ ∂ΘP
∂2 ΘP ΘN − ΘP
+ uP
= Pe−2
+
,
H
∂τ
2
∂ξ
∂ξ2
∆η2
(4.90)
54
enquanto para o volume adjacente à parede (η = 1), têm-se:
Fo−1
∂2 ΘP 2 Θn − 3 ΘP + ΘS
∂ΘP 1 ∗ ∂ΘP
+ uP
= Pe−2
+
,
H
∂τ
2
∂ξ
∂ξ2
∆η2
(4.91)
A condição inicial é dada por:
ΘP (ξ, 0) = Θ0
(4.92)
e as condições de contorno são dadas por:
ΘP (0, τ) = Θi n ,
µ
∂ΘP
∂ξ
¶
=Φ
(4.93)
ξ=ξmax
Para regime permanente, as três equações anteriores tomam a seguinte forma:
1 ∗ 0
ΘN − 2 ΘP + ΘS
00
u P ΘP = Pe−2
,
H ΘP +
2
∆η2
1 ∗ 0
ΘN − ΘP
00
u P ΘP = Pe−2
,
H ΘP +
2
∆η2
2 Θn − 3 ΘP + ΘS
1 ∗ 0
00
u P ΘP = Pe−2
H ΘP +
2
∆η2
(4.94)
(4.95)
(4.96)
onde Θ0 e Θ00 representam as derivadas dΘ/dξ e d2 Θ/dξ2 . A condição de contorno de
armazenamento de energia na parede é uma condição transiente, portanto, para regime
permanente considera-se apenas a condição de temperatura constante na parede, onde
Θn = Θ0 .
4.2.2
Discretização axial
Se apenas a direção axial (ξ) for discretizada, as equações resultantes são bem mais
simples. A equação (3.20) é integrada em um volume de controle de altura ∆ξ:
−1
Fo
∂
∂τ
Z
ξe
ξw
µ
¶¯ξe
Z
¯
¢¯ξe
∂2 ξe
−2 ∂Θ ¯
¯
+
Θ dξ + u Θ ξw = PeH
Θ dξ
∂ξ ¯ξw ∂η2 ξw
¡
∗
(4.97)
55
Em seguida, utilizando as aproximações para integrais e regras de interpolação de segunda ordem, como discutido na discretização bidirecional, chega-se à equação:
Fo−1
∗
∂ΘP u P ∆Θew
ΘE − 2 ΘP + ΘW ∂2 ΘP
+
= Pe−2
+
,
H
∂τ
2 ∆ξ
∆ξ2
∂η2
∆Θew = α ΘE + (1 − 2 α) ΘP − (1 − α) ΘW
(4.98)
(4.99)
válida para volumes não conectados com o contorno em ξ (isto é, a entrada e a saída).
Para o volume adjacente à entrada do canal (ξ = 0), tem-se:
−1 ∂ΘP
Fo
∂τ
+
u P∗ ∆Θew
∆ξ
2
= Pe−2
H
ΘE + 2 Θi n − 3ΘP ∂2 ΘP
+
,
∆ξ2
∂η2
∆Θew = α ΘE + (1 − α) ΘP − Θi n
(4.100)
(4.101)
enquanto para o volume adjacente à saída (ξ = ξmax ), têm-se:
−1 ∂ΘP
Fo
∂τ
+
u P∗ ∆Θew
∆ξ
2
=
Pe−2
H
µ
¶
ΘP − ΘW
Φe
∂2 ΘP
−
,
+
∆ξ
∆ξ2
∂η2
∆Θew = (1 − α) (ΘP − ΘW ) + α Φe ∆ξ
(4.102)
(4.103)
A condição inicial é dada por:
ΘP (η, 0) = Θ0
(4.104)
e as condições de contorno são dadas por:
µ
∂ΘP
∂η
¶
η=0
= 0,
ΘP (1, τ) = Θn
(4.105)
Para temperatura constante na parede, Θn é conhecida. Todavia, para armazenamento de energia na parede a temperatura na parede deve ser calculada das equações
56
discretizadas para a parede:
¶
K 2 Pe−2
∂Θ
H
= −R
+
(ΘnE − 2 ΘnP + ΘnW )
∂τ
∂η η=1
∆ξ2
µ
¶
K 2 Pe−2
H
−1 ∂ΘnP
∗ ∂Θ
Fos
= −R
+
(ΘnE − 3 ΘnP + 2 Θi n )
∂τ
∂η η=1
∆ξ2
µ
¶
K 2 Pe−2
H
∗ ∂Θ
−1 ∂ΘnP
= −R
+
Fos
(ΘnE − ΘnP )
∂τ
∂η η=1
∆ξ2
∂ΘnP
Fo−1
s
∗
µ
(4.106)
(4.107)
(4.108)
válidas para volumes internos (não adjacentes à entrada e saída), volumes na entrada,
e volumes na saída, respectivamente.
Para regime permanente apenas a condição de temperatura constante na parede é
considerada e as equações discretizadas para o fluido tomam a seguinte forma:
u P∗ α ΘE + (1 − 2 α) ΘP − (1 − α) ΘW
ΘE − 2 ΘP + ΘW
= Pe−2
+ Θ00P ,
H
2
∆ξ
∆ξ2
u P∗ α ΘE + (1 − α) ΘP − Θi n
ΘE + 2 Θi n − 3ΘP
= Pe−2
+ Θ00P ,
H
2
∆ξ
∆ξ2
µ
¶
u P∗ (1 − α) (ΘP − ΘW )
u P∗ Φe
ΘP − ΘW
−2 Φe
+α
= PeH
−
+ Θ00P ,
2
∆ξ
2
∆ξ
∆ξ2
onde Θ00 representa a derivada d2 Θ/dη2 .
(4.109)
(4.110)
(4.111)
Capítulo 5
Implementação Computacional
Este capítulo apresenta diferentes implementações computacionais, a fim de determinar a melhor alternativa para resolver o problema. Neste capítulo as variáveis discretas
são denotadas com acento circunflexo, como por exemplo Θ̂ e û .
5.1
Soluções com discretização bidirecional
Utilizando as equações discretizadas do capítulo anterior, esta seção mostra a implementação computacional para a solução do problema utilizando o Método dos Volumes
Finitos em ambas as direções. Para poder transcrever as equações na forma apresentada no capítulo anterior para um formato passível de implementação computacional
define-se um domínio computacional, baseado em um parâmetro k que numera dentro
do domínio físico como mostrado na figura 5.1
Para transformar a notação das equações discretizadas em termos das coordenadas multi-dimensionais cardeais (N , S , E e W ), define-se, de acordo com o domínio
computacional, regras de mapeamento, apresentadas na tabela 5.1. A primeira coluna
indica o ponto nas coordenadas cardeais, a segunda indica a posição em termos das
coordenadas no domínio físico e a terceira representa a relação entre os índices i e j
do domínio físico com o índice k do domínio computacional. A última coluna indica a
posição relativa, no domínio computacional, de um ponto cardeal em termos do ponto
57
5. Implementação Computacional
58
Parede do Canal
η=1
(J − 1)I + 1
(J − 1)I + i
···
..
.
( j − 1)I + 1
..
.
···
..
.
jI
..
.
i
···
IJ
..
.
( j − 1)I + i
···
..
.
1
···
···
I
η=0
Fig. 5.1: Domínio computacional para um mini-canal.
central P . Com base nestas regras, as seções seguintes apresentam a implementação
computacional utilizada para o problema em regime transiente e permanente, com diferentes metodologias de solução.
Tab. 5.1: Transformação das coordenadas cardeais para o domínio computacional.
ponto
(ξ, η)
k(i , j )
k(k P )
P
N
S
E
W
5.1.1
(ξi , η j )
(ξi , η j +1 )
(ξi , η j −1 )
(ξi +1 , η j )
(ξi −1 , η j )
( j − 1)I + i
( j − 1)I + i + I
( j − 1)I + i − I
( j − 1)I + i + 1
( j − 1)I + i − 1
k
k+I
k−I
k +1
k −1
Solução transiente: integração numérica
O sistema de equações discretizadas para todos os volumes finitos no fluido pode ser
escrito em forma compacta como:
Fo−1
dΘ̂k
= F k (τ),
dτ
para
k = 1, 2, . . . , K
(5.1)
onde K = I J é o número de volumes utilizados no domínio do fluido. Para situações
onde for necessário determinar a temperatura da parede, inclui-se no sistema anterior,
59
mais um conjunto de equações discretizadas:
Fo−1
s
dΘ̂k
= F k (τ),
dτ
para
k = K + 1, K + 2, . . . , K + I
(5.2)
de modo que as equações para a temperatura da parede são numeradas com k > K para
facilitar a implementação computacional. As condições iniciais para o sistema anterior
são dadas por:
Θ̂k (τ = 0) = Θ0
para
k = 1, 2, . . . , K + I
(5.3)
As funções de discretização, Fk (τ), que carregam toda informação sobre a discretização, são dadas por:
• para k = 1 (entrada/centro do canal):
F k (τ) = −û P∗
α Θ̂E + (1 − α) Θ̂P − Θi n
Θ̂E − 3 Θ̂P + 2 Θi n
Θ̂N − Θ̂P
+
+
, (5.4)
2
2
2 ∆ξ
∆η2
∆ξ PeH
• para 1 < k < I (centro do canal):
F k (τ) = −û P∗
α Θ̂E + (1 − 2 α) Θ̂P − (1 − α) Θ̂W
+
2 ∆ξ
Θ̂E − 2 Θ̂P + Θ̂W
Θ̂N − Θ̂P
+
, (5.5)
+
2
2
∆η2
∆ξ PeH
• para k = I (saída/centro do canal):
F k (τ)
=
−û P∗
(1 − α) (Θ̂P − Θ̂W )
−Θ̂P + Θ̂W
+
2 ∆ξ
∆ξ2 Pe2H
+
Θ̂N − Θ̂P
∆η2
, (5.6)
• para k = ( j − 1) I + 1 e 1 < j < J (entrada do canal):
F k (τ) = −û P∗
α Θ̂E + (1 − α) Θ̂P − Θi n
+
2 ∆ξ
Θ̂E − 3 Θ̂P + 2 Θi n
Θ̂N − 2 Θ̂P + Θ̂S
+
+
, (5.7)
2
2
∆η2
∆ξ PeH
60
• para k = j I e 1 < j < J (saída do canal):
F k (τ) = −û P∗
−Θ̂P + Θ̂W
(1 − α) (Θ̂P − Θ̂W )
Θ̂N − 2 Θ̂P + Θ̂S
+
+
, (5.8)
2
2
2 ∆ξ
∆η2
∆ξ PeH
• para k = (J − 1) I + 1 (entrada/parede do canal):
F k (τ) = −û P∗
α Θ̂E + (1 − α) Θ̂P − Θi n
+
2 ∆ξ
Θ̂E − 3 Θ̂P + 2 Θi n
2 Θ̂nP − 3 Θ̂P + Θ̂S
, (5.9)
+
+
2
2
∆η2
∆ξ PeH
• para k = (J − 1) I + i e 1 < I < I (parede do canal):
F k (τ) = −û P∗
α Θ̂E + (1 − 2 α) Θ̂P − (1 − α) Θ̂W
+
2 ∆ξ
Θ̂E − 2 Θ̂P + Θ̂W
2 Θ̂nP − 3 Θ̂P + Θ̂S
+
+
, (5.10)
2
2
∆η2
∆ξ PeH
• para k = I J (saída/parede do canal):
F k (τ) = −û P∗
−Θ̂P + Θ̂W
2 Θ0 − 3 Θ̂P + Θ̂S
(1 − α) (Θ̂P − Θ̂W )
, (5.11)
+
+
2
2
2 ∆ξ
∆η2
∆ξ PeH
• para todas as demais combinações k = (J − 1) I + i (volumes internos):
F k (τ) = −û P∗
α Θ̂E + (1 − 2 α) Θ̂P − (1 − α) Θ̂W
+
2 ∆ξ
Θ̂E − 2 Θ̂P + Θ̂W
Θ̂N − 2 Θ̂P + Θ̂S
+
+
. (5.12)
2
2
∆η2
∆ξ PeH
As equações anteriores referem-se a pontos no domínio fluido. Para os pontos
relativos às temperaturas da parede as funções de discretização são dadas por:
• para k = I J + 1 (parede na entrada):
F k (τ) = −2 R ∗
Θ̂nE − 3 Θ̂nP + 2 Θi n
Θ̂nP − Θ̂P
+ K2
∆η
∆ξ2 Pe2H
(5.13)
61
• para I J + i , 1 < i < I (volumes internos na parede ):
F k (τ) = −2 R ∗
Θ̂nP − Θ̂P
Θ̂nE − 2 Θ̂nP + Θ̂nW
+ K2
∆η
∆ξ2 Pe2H
(5.14)
• para k = I J + I (parede na saída):
F k (τ) = −2 R ∗
Θ̂nP − Θ̂P
Θ̂nP − Θ̂nW
− K2
∆η
∆ξ2 Pe2H
(5.15)
onde ∆ξ = ξmax /I e ∆η = 1/J .
A solução do sistema diferencial ordinário dado pelas equações (5.1), (5.2) e (5.3)
pode então ser obtida através de integração numérica. Para tal, a rotina de solução numérica de sistemas de equações diferenciais ordinárias NDSolve do programa Mathematica é utilizada.
5.1.2
Solução transiente: integração analítica
Uma solução alternativa para o sistema de equações (5.1, 5.2, 5.3) pode ser feita utilizando integração analítica. Para tal, escreve-se o sistema de equações diferenciais
ordinárias na forma:
0
ˆ −1
Fo
k Θ̂k (τ) =
KX
+I
M̂ k,l Θ̂l (τ) + b̂ k ,
para
k = 1, 2, . . . , K + I ,
(5.16)
l =1
onde:
ˆk=
Fo


 Fo,
para 1 ≤ k ≤ K

 Fos , para
K +1 ≤ k ≤ K +I
e os coeficientes M̂k,l e b̂k são definidos abaixo:
(5.17)
62
• para k = 1 (entrada/centro do canal):
M̂ k,k = −û ∗j
M̂ k,k+1 = −û ∗j
αj
2 ∆ξ
+
(1 − α j )
2 ∆ξ
1
∆ξ2 Pe2H
b̂ k = û ∗j
−
3
∆ξ2 Pe2H
−
1
,
∆η2
M̂ k,k+I =
,
(5.18)
1
,
∆η2
Θi n
2 Θi n
+
,
2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H
(5.19)
(5.20)
• para 1 < k < I (centro do canal):
(1 − 2 α)
2
1
−
−
,
2
2
2 ∆ξ
∆ξ PeH ∆η2
αj
1
+
M̂ k,k+1 = −û ∗j
,
2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H
1 − αj
1
+
,
M̂ k,k−1 = û ∗j
2
2 ∆ξ
∆ξ Pe2H
M̂ k,k = −û ∗j
M̂ k,k+I =
1
,
∆η2
(5.21)
(5.22)
(5.23)
b̂ k = 0,
(5.24)
• for k = I (saída/centro do canal):
M̂ k,k = −û ∗j
M̂ k,k−1 = û ∗j
1 − αj
2 ∆ξ
1 − αj
2 ∆ξ
−
1
∆ξ2 Pe2H
1
+
∆ξ2 Pe2H
−
1
,
∆η2
M̂ k,k+1 = 0,
M̂ k,k+I =
,
1
,
∆η2
b̂ k = 0,
(5.25)
(5.26)
• para k = ( j + 1) I + 1 e 1 < j < J (entrada do canal):
M̂ k,k = −û ∗j
M̂ k,k+1 = −û ∗j
1 − αj
2 ∆ξ
αj
2 ∆ξ
M̂ k,k+I =
+
1
,
∆η2
−
3
∆ξ2 Pe2H
1
∆ξ2 Pe2H
−
2
,
∆η2
M̂ k,k−1 = 0,
1
,
∆η2
(5.28)
Θi n
2 Θi n
+
,
2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H
(5.29)
M̂ k,k−I =
,
b̂ k = û ∗j
(5.27)
63
• para k = j I e 1 < j < J (saída do canal):
M̂ k,k = −û ∗j
M̂ k,k−1 = û ∗j
M̂ k,k−I =
1 − αj
2 ∆ξ
1
,
∆η2
1 − αj
−
2 ∆ξ
+
1
∆ξ2 Pe2H
1
∆ξ2 Pe2H
−
2
,
∆η2
M̂ k,k+1 = 0,
,
1
,
∆η2
M̂ k,k+I =
(5.30)
b̂ k = 0,
(5.31)
(5.32)
• para k = (J − 1) I + 1 (entrada/parede do canal):
M̂ k,k = −û ∗j
M̂ k,k+1
1 − αj
−
3
3
,
∆η2
−
M̂ k,k−1 = 0,
2 ∆ξ
αj
1
+
= −û ∗j
,
2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H
M̂ k,k+I =
∆ξ2 Pe2H
2
,
∆η2
1
,
∆η2
(5.34)
2 Θi n
Θi n
+
,
2 ∆ξ ∆ξ2 Pe2H
(5.35)
M̂ k,k−I =
b̂ k = û ∗j
(5.33)
• para k = (J − 1) I + i e 1 < I < I (parede do canal):
M̂ k,k = −û ∗j
M̂ k,k−1
M̂ k,k+1 = −û ∗j
αj
2 ∆ξ
+
1 − 2 αj
−
2
−
3
,
∆η2
(5.36)
2 ∆ξ
1 − αj
1
,
= û ∗j
+
2 ∆ξ
∆ξ2 Pe2H
1
∆ξ2 Pe2H
M̂ k,k+I =
∆ξ2 Pe2H
M̂ k,k−I =
,
2
,
∆η2
(5.37)
1
,
∆η2
b̂ k = 0,
(5.38)
(5.39)
• para k = I J (saída/parede do canal):
M̂ k,k = −û ∗j
M̂ k,k−1 = û ∗j
1 − αj
2 ∆ξ
+
1 − αj
2 ∆ξ
1
∆ξ2 Pe2H
M̂ k,k+I =
2
,
∆η2
,
−
1
∆ξ2 Pe2H
−
3
,
∆η2
M̂ k,k−I =
b̂ k = 0,
(5.40)
1
,
∆η2
(5.41)
(5.42)
64
• e para qualquer outra combinação k = ( j + 1) I + i (volumes internos):
M̂ k,k = −û ∗j
1 − 2 αj
2 ∆ξ
M̂ k,k−1 = û ∗j
2
−
∆ξ2 Pe2H
2
,
∆η2
(5.43)
1−α
1
+
,
2
2 ∆ξ ∆ξ Pe2H
(5.44)
1
α
+
,
2
2 ∆ξ ∆ξ Pe2H
(5.45)
M̂ k,k+1 = −û ∗j
M̂ k,k−I =
−
1
,
∆η2
M̂ k,k+I =
1
,
∆η2
(5.46)
b̂ k = 0,
(5.47)
Para os pontos relativos às temperaturas da parede os coeficientes M̂ e b̂ são dados por:
• para k = I J + 1 (parede na entrada):
M̂ k,k = −
2 R∗
3K 2
− 2
,
∆η PeH ∆ξ
M̂ k,k−I
2 R∗
,
=
∆η
M̂ k,k+1 =
b̂ k =
K2
Pe2H ∆ξ
2 K 2 Θi n
Pe2H ∆ξ
,
,
(5.48)
(5.49)
• para I J + i , 1 < i < I (volumes internos na parede ):
M̂ k,k = −
M̂ k,k+1 =
2 R∗
2K 2
− 2
,
∆η PeH ∆ξ
K2
Pe2H ∆ξ
,
M̂ k,k−I =
M̂ k,k−1 =
2 R∗
,
∆η
K2
Pe2H ∆ξ
,
b̂ k = 0
(5.50)
(5.51)
• para k = I J + I (parede na saída):
M̂ k,k
2 R∗
K2
=−
−
,
∆η Pe2H ∆ξ
M̂ k,k−I =
Os demais coeficientes M̂k,l são nulos.
2 R∗
,
∆η
M̂ k,k−1 =
b̂ k = 0
K2
Pe2H ∆ξ
,
(5.52)
(5.53)
65
Para proceder com a integração analítica, o sistema (5.16) é escrito na forma vetorial abaixo:
Θ̂0 (τ) = M̃ Θ̂(τ) + b̃,
(5.54)
onde M̃ e b̃ são dados por:
M̃ = F M̂,
b̃ = F b̂
(5.55)
e o tensor F é uma matriz diagonal contendo os números de Fourier:
F k,l = Fo δk,l
F k,l = Fos δk,l
0≤k ≤K,
(5.56)
K + 1 ≤ k ≤ K + I.
(5.57)
para
para
onde δk,l é o Delta de Kronecker.
Uma solução analítica para este sistema pode ser escrita na forma:
´
³
−1
−1
Θ̂(τ) = Ĉ Θ̂0 + M̃ b̃ − M̃ b̃,
com
Ĉ = Ĉ (τ) = exp(M̃ τ),
(5.58)
onde Ĉ é uma exponencial matricial [40]. Os coeficientes Θ̂0 são os valores discretos
da condição inicial, dados pela equação (5.3).
5.1.3
Solução em regime permanente
Para regime permanente, o sistema (5.16) é reduzido à forma mais simples:
KX
+I
M̂ k,l Θ̂l (τ) + b̂ k = 0,
para
k = 1, 2, . . . , K + I ,
(5.59)
l =1
o qual é escrito em forma vetorial como:
M̂ Θ̂ + b̂ = 0,
(5.60)
66
Como para regime permanente a única condição de aquecimento na parede é a de
temperatura constante a matriz M̂ é simplificada pois os elementos relativos às temperaturas da parede são dados:
M̂ k,l = δk,l
k >K.
para
(5.61)
O sistema algébrico (5.60) é resolvido numericamente utilizando a função LinearSolve do programa Mathematica, onde a matriz M̂ é definida como uma matriz esparsa
utilizando a função SparseArray. Uma solução direta, em função da inversa da matriz
M̂ , também pode ser escrita na forma:
Θ̂(τ) = − M̂
−1
b̂.
(5.62)
Todavia, esta solução também necessitaria de um procedimento numérico para inverter
a matriz.
5.2
Solução permanente com discretização transversal apenas
Para as soluções em regime permanente a condição de contorno na parede é sempre de
temperatura constante, portanto, valerá sempre a relação:
Θn = Θ0
5.2.1
(5.63)
Solução com integração numérica em ξ
Uma solução alternativa para o problema em regime permanente pode ser implementada utilizado discretização apenas na direção η. Discretizando em apenas uma direção, há uma relação direta entre as coordenadas cardinais e o índice j , utilizado para
esta direção. Desta forma o sistema discretizado é escrito a partir das equações (4.93),
67
(4.94), (4.95) e (4.96) abaixo:1
−Pe−2
H
d2 Θ̂ j
dξ2
+
Θ̂ j (0) = Θi n ,
1 ∗ dΘ̂ j
û
= F j (ξ),
2 j dξ
Ã
!
dΘ̂ j
= Φe ,
dξ
(5.64)
ξ=ξmax
Para j = 1, 2, . . . , J . As funções de discretização F , para este caso, são dadas por:
• para j = 1 (volume adjacente ao centro do canal):
F j (ξ) =
Θ̂ j +1 − Θ̂ j
∆η2
,
(5.65)
• para 1 < j < J (volumes internos):
F j (ξ) =
Θ̂ j +1 − 2 Θ̂ j + Θ̂ j −1
∆η2
,
(5.66)
,
(5.67)
• para j = J (volume adjacente à parede do canal):
F j (ξ) =
2 Θn − 3 Θ̂ j + Θ̂ j −1
∆η2
Este sistema é resolvido numericamente usando a rotina NDSolve do software Mathematica.
5.2.2
Solução numérica para Péclet grande
Para casos com número de Péclet grande, o sistema anterior (5.64) é simplificado pela
eliminação do termo envolvendo a segunda derivada. Considerando estes casos, a
equação discretizada para todos os volumes é escrita na forma compacta:
dΘ̂ j
dξ
=
2
F j (ξ),
û ∗j
for
Θ̂ j (0) = Θi n ,
1
j = 1, 2, . . . , J
(5.68)
o termo Φe foi incluído aqui seguindo a notação do capítulo anterior; todavia, como também descrito anteriormente, este foi aproximado por zero para as soluções numéricas aqui implementadas.
68
Este problema de valor inicial é resolvido numericamente usando a rotina NDSolve do
software Mathematica.
5.2.3
Solução analítica com o método do tiro
Há outras soluções alternativas para o problema, como por exemplo a solução palo
método do tiro, mostrada abaixo.
As equações do sistema (5.64) podem ser escritas na forma matricial:
00
0
Θ̂ (ξ) − B Θ̂ (ξ) − D Θ̂(ξ) = − g ,
Θ̂(0) = Θi n ,
Θ̂0 (ξmax ) = Φe ,
(5.69)
onde o vetor independente g é dado por:
¢
¡
g = 0, 0, . . . , 0, 2 Θn /∆η2 ,
(5.70)
¡
¢
Θ̂i n = Θi n , Θi n , . . . , Θi n , Θi n ,
(5.71)
o vetor Θ̂i n é dado por
e as matrizes B e D são dadas por:
B j ,k
1
= Pe2H û ∗j δ j ,k ,
2
D j ,k = −
Pe2H
∆η2
A j ,k
(5.72)
onde A j ,k são os coeficientes de uma matriz tri-diagonal, dados por:
• para j = 1 (centro do canal):
A j , j = −1,
A j , j +1 = 1,
(5.73)
69
• para 1 < j < J (volumes internos):
A j , j −1 = 1
A j , j = −2,
A j , j +1 = 1,
(5.74)
• para j = J (parede do canal):
A j , j −1 = 1
A j , j = −3,
(5.75)
e os coeficientes remanescentes são zero. Os coeficientes û ∗j representam o perfil de
velocidade discretizado, sendo dados por:
û ∗j
µ
¢
3¡
=
1 − η2j ,
2
com
¶
1
η j = j − ∆η.
2
(5.76)
O problema de valor de contorno pode ser convertido para um problema de valor
inicial de primeira ordem se as condições de contorno em ξmax forem substituídas por
uma condição inicial e uma nova variável for introduzida:
Θ̂0 (0) = p,
Θ̂0 (ξ) = φ̂(ξ),
(5.77)
produzindo:
  
 
d  φ̂   B
=
dξ 
 Θ̂ 

I
   
   
D   φ̂   g 
−

   
0  Θ̂   0 
(5.78)
onde I é a matriz identidade, e 0 é a matriz zero. Introduzindo a matriz Q :

 B
Q=
I

D 
,
0
(5.79)
uma solução analítica para as temperaturas discretizadas pode ser obtida em termos de
70
uma matriz exponencial:



 φ̂ 


 Θ̂ 

=C



 p 


 Θ̂ 

− Q −1
in
 

g 

,
com
¡ ¢
C = exp Q ξ
(5.80)

0

Com a forma analítica anterior, o Método do Tiro é utilizado para o calcular iterativamente o valor apropriado de p que satisfaça a condição de contorno em ξ = ξmax ,
dado pela equação (5.69). O Método do Tiro é implementado utilizando a função FindRoot do software Mathematica, que consiste em uma rotina para resolver sistemas
de equações algébricas lineares e não lineares (que neste caso utiliza o Método de
Newton-Raphson para sistemas de equações algébricas).
5.2.4
Solução analítica para Péclet grande
A fim de obter uma solução analítica para o sistema discretizado, a equação (5.68) é
escrita na forma matricial, como mostrado abaixo:
Θ̂0 (ξ) = Q̂ Θ̂(ξ) + ĝ ,
(5.81)
Θ̂(0) = Θi n ,
(5.82)
onde o vetor independente g é dado por:
¡
¢
g = 0, 0, . . . , 0, 4 Θn /(∆η2 û ∗J ) ,
(5.83)
e os coeficientes de Q̂ são dados por:
• para j = 1 (entrada/centro do canal):
Q̂ j , j = −
2
û ∗j ∆η
,
2
Q̂ j , j +1 =
2
û ∗j ∆η2
,
(5.84)
71
• para 1 < j < J (entrada do canal):
Q̂ j , j −1 =
2
û ∗j ∆η2
Q̂ j , j = −
,
4
û ∗j ∆η2
,
Q̂ j , j +1 =
2
û ∗j ∆η2
,
(5.85)
• para j = J (entrada/parede do canal):
Q̂ j , j −1 =
2
û ∗j ∆η2
Q̂ j , j = −
,
6
û ∗j ∆η2
,
(5.86)
E os coeficientes restantes de Q̂ j ,k são zero.
A solução analítica para a temperatura adimensional nos pontos discretos, pode ser
escrita da seguinte forma:
Θ̂(ξ) = Ĉ Θi n + Q̂
5.3
5.3.1
−1
ĝ ,
com
¡ ¢
Ĉ = exp Q̂ ξ .
(5.87)
Solução com discretização axial apenas
Solução com integração numérica em η
Outra solução para o problema em regime permanente pode ser implementada utilizado
discretização apenas na direção ξ. Discretizando em apenas ξ há uma relação direta
entre as coordenadas cardinais e o índice i , fazendo com que o sistema discretizado,
obtido a partir das equações (4.98; 4.100; 4.102 e 4.105), seja escrito na forma
d2 Θ̂i
= F i (η),
dη2
µ
dΘ̂i
dη
¶
η=0
= 0,
Θ̂i (1) = Θn ,
(5.88)
(5.89)
Para i = 1, 2, . . . , I . As funções de discretização F , para este caso, são dadas por:
• para i = 1 (entrada/centro do canal):
F i (η) =
u ∗ α Θ̂i +1 + (1 − α) Θ̂i − Θi n
Θ̂i +1 + 2 Θi n − 3Θ̂i
−
2
∆ξ
Pe2H ∆ξ2
(5.90)
72
• para 1 < i < I (centro do canal):
F i (η) =
u ∗ α Θ̂i +1 + (1 − 2 α) Θ̂i − (1 − α) Θ̂i −1 Θ̂i +1 − 2 Θ̂i + Θ̂i −1
−
2
∆ξ
Pe2H ∆ξ2
(5.91)
• para i = I (saída/centro do canal):
µ
¶
u ∗ (1 − α) (Θ̂i − Θ̂i −1 )
u ∗ Φe
Θ̂i − Θ̂i −1
−2 Φe
F i (η) =
+α
− PeH
−
2
∆ξ
2
∆ξ
∆ξ2
(5.92)
onde u ∗ é função de η. Este sistema é resolvido numericamente utilizando a função
NDSolve do Mathematica. O parâmetro α, como dado pela equação (4.49) também
dependerá de η, pois u ∗ depende de η. Isto impossibilita uma solução analítica deste
sistema, como feito nas outras soluções fornecidas até agora. Ainda, mesmo com uma
solução numérica, ao utilizar o valor de α dado por esta equação, a solução computacional torna-se bem mais complicada, devido ao auto custo computacional necessário
para avaliar exponenciais.
5.4
Cálculo de Nusset
Usando as soluções encontradas, o número de Nusselt é calculado pela equação
NuD H =
4 (∂Θ/∂η)η=1
,
R1
Θs − 0 u ∗ Θ dη
(5.93)
onde as derivada e integrais são calculadas numericamente. As derivadas são calculadas interpolando as soluções obtidas com a função Interpolation do Mathematica
(utilizando interpolações lineares) e diferenciando analiticamente os resultados obtidos com a função D. Todas integrações numéricas são feitas utilizando a função NIntegrate.
5.5
73
Comentários finais
Como comentários finais deve-se dizer que, para todos os casos de soluções apresentadas, soluções simplificadas para slug-flow podem ser obtidas para velocidade u ∗ = 1,
pois para o caso com escoamento slug-flow a velocidade é igual a média.
Capítulo 6
Validação
O objetivo deste capítulo é verificar que a solução calculada pelo algoritmo numérico
converge para o valor dado pela solução analítica.
6.1
Solução analítica para slug-flow
Para situações onde o escoamento é do tipo slug-flow, soluções analíticas para o problema em regime permanente podem ser encontradas, como descrito em [41]. Para o
caso com valores grandes de Péclet, o campo de temperatura adimensional pode ser
calculado analiticamente por:
Θ(ξ, η) = Θ0 +
¡
¢
∞ b̄ exp −2 µ2 ξ Y (η)
X
n
n
n
N (µn )
n=1
(6.1)
onde as autofunções Yn e os autovalores µn , assim como a norma N (µn ), são dados
por:
Yn (η) = cos(µn η),
¶
1
µn = n − π,
para
n = 1, 2, 3, . . .
2
Z 1
1
N (µn ) =
Yn2 (η) dη = .
2
0
(6.2)
µ
74
(6.3)
(6.4)
6. Validação
75
e os coeficientes b̄n são calculados de:
Z
b̄ n =
0
1
(Θi n − Θ0 ) Yn (η) dη,
(6.5)
Já para outros valores de Péclet, a solução é dada por:
Θ(ξ, η) = ΘF (η) +
∞ Θ̄∗ (ξ) Y (η)
X
n
n
n=0
N (µn )
,
(6.6)
onde as funções Θ̄∗n (ξ) são definidas por:
Ã
Θ̄∗n (ξ) = b̄ n exp
!
Pe2H ξ 4 βn cosh(βn (ξmax − ξ)) + Pe2H sinh(βn (ξmax − ξ))
4
4 βn cosh(βn ξmax ) + Pe2H sinh(βn ξmax )
(6.7)
e os coeficientes βn são dados por:
PeH q 2
PeH + 16 µ2n
βn =
4
6.2
(6.8)
Resultados
A primeira coluna das tabelas indica o número de volumes em que o canal foi dividido em cada uma das direções (ξ e η) para compor a malha necessária para obter a
convergência. O grau de convergência é mensurado em termos de número de dígitos
convergidos, ou seja, quando os resultados não variam mais até n digitos diz-se ter n
digitos convergidos. Esta comparação é feita considerando o refinamento da malha em
I e em J . A solução completamente convergida foi calculada pela solução analítica an-
teriormente descrita e foi incluída como resultado exato para comparação. As tabelas
6.1 e 6.2 e 6.3 mostram os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para diferentes
números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1).
A tabela 6.4 mostra os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para número
de Péclet grande. Comparando os valores de Nusselt obtidos para número de Péclet
grande e número PeH = 10 é possivel observar que o comportamento das soluções é
6. Validação
76
Tab. 6.1: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 10, discretização bidirecional.
I
J
12
12
12
25
12
50
12 100
12 200
12 400
25
12
25
25
25
50
25 100
25 200
25 400
50
12
50
25
50
50
50 100
50 200
50 400
100 12
100 25
100 50
100 100
100 200
100 400
200 12
200 25
200 50
200 100
200 200
200 400
400 12
400 25
400 50
400 100
400 200
400 400
800 12
800 25
800 50
800 100
800 200
800 400
1600 12
1600 25
1600 50
1600 100
1600 200
1600 400
exata
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
144.614
299.720
598.030
1194.67
2387.08
4773.64
140.616
289.916
577.146
1151.69
2300.00
4598.28
134.770
272.773
538.332
1069.81
2132.99
4258.85
128.980
246.909
470.410
918.199
1814.98
3609.37
126.856
221.883
375.093
672.631
1270.65
2470.75
127.669
214.309
298.072
382.843
528.749
830.244
128.793
219.733
294.869
259.234
26.8611
-473.831
129.372
224.467
320.136
353.901
311.740
273.757
267.383
113.466
229.898
454.055
902.511
1799.00
3593.01
79.3671
146.083
275.382
534.677
1053.50
2091.69
44.5090
42.8670
41.0815
39.9545
39.3385
39.0187
37.5839
1.62527
-72.1648
-216.200
-500.757
-1067.70
46.5914
38.4751
33.5345
32.4336
32.4396
32.5771
47.1367
39.4662
35.7842
35.1938
35.0944
35.0712
47.2297
39.3946
35.7538
35.1931
35.0915
35.0680
47.2498
39.3541
35.7211
35.1755
35.0756
35.0524
35.0385
-23.2099
-70.0798
-159.489
-337.928
-694.682
-1407.94
11.0194
10.9712
10.9624
10.9603
10.9598
10.9597
10.8198
10.7881
10.7817
10.7802
10.7798
10.7797
10.7749
10.7453
10.7392
10.7378
10.7374
10.7373
10.7623
10.7332
10.7273
10.7258
10.7255
10.7254
10.7591
10.7302
10.7242
10.7228
10.7224
10.7223
10.7582
10.7294
10.7235
10.7220
10.7217
10.7216
10.7580
10.7292
10.7233
10.7218
10.7215
10.7214
10.7213
9.83306
9.85179
9.86067
9.86513
9.86960
9.86960
9.85949
9.86455
9.86706
9.86834
9.86960
9.86960
9.86677
9.86806
9.86882
9.86924
9.86960
9.86960
9.86909
9.86918
9.86938
9.86949
9.86960
9.86960
9.86979
9.86951
9.86954
9.86957
9.86960
9.86960
9.86998
9.86961
9.86959
9.86959
9.86960
9.86960
9.87003
9.86963
9.86960
9.86961
9.86960
9.86960
9.87005
9.86964
9.86961
9.86961
9.86960
9.86960
9.86960
6. Validação
77
Tab. 6.2: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 1, discretização bidirecional.
I
J
12
12
12
25
12
50
12 100
12 200
12 400
25
12
25
25
25
50
25 100
25 200
25 400
50
12
50
25
50
50
50 100
50 200
50 400
100 12
100 25
100 50
100 100
100 200
100 400
200 12
200 25
200 50
200 100
200 200
200 400
400 12
400 25
400 50
400 100
400 200
400 400
800 12
800 25
800 50
800 100
800 200
800 400
1600 12
1600 25
1600 50
1600 100
1600 200
1600 400
exata
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
145.868
300.286
596.650
1189.43
2375.14
4746.74
145.627
297.025
582.802
1151.79
2289.91
4566.93
145.715
296.023
570.839
1100.19
2148.96
4247.24
145.832
296.423
567.219
1055.20
1954.31
3715.45
145.909
296.974
569.074
1043.83
1798.21
3032.83
145.951
297.332
571.365
1052.75
1775.45
2585.90
145.972
297.520
572.771
1061.96
1818.64
2637.25
145.980
297.600
573.388
1066.49
1848.64
2800.77
2559.61
126.595
238.568
448.451
868.720
1710.78
3396.01
125.128
213.950
341.543
576.749
1048.73
1998.52
126.447
211.825
282.865
305.040
295.649
282.969
127.653
218.791
299.010
274.021
39.1622
-489.800
128.121
222.296
317.830
351.482
301.340
253.257
128.207
222.898
320.542
358.556
312.456
273.140
128.229
223.048
321.210
360.085
313.304
273.517
128.234
223.086
321.376
360.451
313.380
273.375
264.323
35.106
6.00708
-52.9306
-167.625
-394.107
-845.314
42.9731
36.6179
33.4288
32.7729
32.6544
32.6289
43.3002
36.3833
33.1725
32.6639
32.5736
32.5527
43.4034
36.3752
33.1692
32.6809
32.5918
32.5712
43.4276
36.3634
33.1587
32.6787
32.5905
32.5700
43.4336
36.3598
33.1555
32.6778
32.5898
32.5694
43.4351
36.3589
33.1547
32.6776
32.5897
32.5692
43.4354
36.3586
33.1545
32.6775
32.5896
32.5692
32.5625
10.3237
10.3083
10.3053
10.3046
10.3045
10.3044
10.3399
10.3238
10.3205
10.3197
10.3196
10.3195
10.3433
10.3270
10.3237
10.3229
10.3227
10.3227
10.3442
10.3278
10.3245
10.3237
10.3235
10.3234
10.3444
10.3280
10.3247
10.3239
10.3237
10.3236
10.3444
10.3281
10.3247
10.3239
10.3237
10.3237
10.3444
10.3281
10.3248
10.3239
10.3237
10.3237
10.3444
10.3281
10.3248
10.3239
10.3237
10.3237
10.3237
6. Validação
78
Tab. 6.3: Número de Nusselt para slug-flow, com PeH = 0.1, discretização bidirecional.
I
J
12
12
12
25
12
50
12 100
12 200
12 400
25
12
25
25
25
50
25 100
25 200
25 400
50
12
50
25
50
50
50 100
50 200
50 400
100 12
100 25
100 50
100 100
100 200
100 400
200 12
200 25
200 50
200 100
200 200
200 400
400 12
400 25
400 50
400 100
400 200
400 400
800 12
800 25
800 50
800 100
800 200
800 400
1600 12
1600 25
1600 50
1600 100
1600 200
1600 400
exata
ξ = 0.001
147.891
306.429
609.300
1208.440
2394.700
4759.160
147.898
306.482
609.514
1207.610
2376.980
4664.900
147.901
306.512
609.715
1208.470
2374.490
4601.490
147.903
306.528
609.837
1209.280
2378.020
4593.370
147.904
306.537
609.904
1209.770
2381.300
4608.300
147.904
306.541
609.937
1210.040
2383.270
4621.530
147.904
306.543
609.954
1210.17
2384.29
4629.11
147.905
306.544
609.961
1210.22
2384.71
4632.38
25478.1
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
145.804 127.603 60.4202
296.270 218.315 49.0775
566.739 303.887 43.9027
1047.380 303.579 43.1463
1901.140 135.953 43.0066
3536.830 -249.111 42.9741
145.874 127.914 60.7168
296.806 220.587 49.4300
569.179 315.764 44.1403
1044.400 351.967 43.3594
1774.220 309.567 43.2163
2833.960 272.922 43.1830
145.909 127.970 60.7831
297.104 220.968 49.5074
571.220 317.404 44.1917
1054.740 355.283 43.4060
1785.040 309.601 43.2622
2554.190 270.711 43.2288
145.925 127.984 60.7997
297.254 221.064 49.5267
572.353 317.828 44.2044
1062.570 356.235 43.4176
1829.010 309.981 43.2737
2697.330 270.659 43.2402
145.931 127.988 60.8039
297.305 221.088 49.5315
572.754 317.933 44.2076
1065.520 356.466 43.4205
1848.740 310.021 43.2765
2808.970 270.554 43.2431
145.932 127.989 60.8049
297.315 221.094 49.5327
572.831 317.960 44.2084
1066.070 356.523 43.4212
1852.230 310.027 43.2772
2826.350 270.522 43.2438
145.932 127.989 60.8052
297.318 221.095 49.5330
572.850 317.966 44.2086
1066.21 356.538 43.4214
1853.11 310.028 43.2774
2830.66 270.514 43.2440
145.932 127.989 60.8052
297.319 221.095 49.5331
572.855 317.968 44.2086
1066.24 356.541 43.4215
1853.32 310.029 43.2775
2831.74 270.512 43.2440
2556.15 261.653 43.2331
6. Validação
79
muito semelhante e os resultados estão muito próximos, exceto na região da entrada do
canal (ξ = 0.001 e ξ = 0.01). Na saída do canal (ξ = 1) os resultados obtidos para Péclet
grande e PeH = 10 são iguais a solução exata com 6 digitos. Observa-se também que
os valores de Nusselt para Péclet grande são menores que os valores encontrados para
PeH = 10 e também são menores que os resultados encontrados para os demais valores
de Péclet estudados.
Com base nos resultados é possível observar que para o cáculo dos valores de
Nusselt para escoamento slug-flow a convergencia melhora a medida em que aumenta
o valor de Péclet.
A tabela 6.5 mostra os valores de Nusselt obtidos para slug-flow, para número de
Péclet grande com discretização em uma direção apenas. Os resultados mostram que
os valores do número de Nusselt obtidos com número de Péclet grande para discretização em uma direção apenas e discretização em duas direções também são muito
semelhantes.
6. Validação
80
Tab. 6.4: Número de Nusselt para slug-flow, com número de PeH grande, discretização
em duas direções.
I
J
12
12
12
25
12
50
12 100
12 200
12 400
25
12
25
25
25
50
25 100
25 200
25 400
50
12
50
25
50
50
50 100
50 200
50 400
100 12
100 25
100 50
100 100
100 200
100 400
200 12
200 25
200 50
200 100
200 200
200 400
400 12
400 25
400 50
400 100
400 200
400 400
800 12
800 25
800 50
800 100
800 200
800 400
1600 12
1600 25
1600 50
1600 100
1600 200
1600 400
exata
ξ = 0.001
ξ = 0.01
144.631 113.452
299.849 230.746
598.367 456.493
1195.410 908.081
2388.640 1810.81
4776.840 3617.29
140.351 76.1515
289.937 144.225
577.681 275.824
1153.210 539.407
2303.480 1066.610
4605.670 2121.460
132.804 28.6382
271.374 27.2600
538.117 26.4724
1071.760 26.0465
2138.450 25.8261
4273.270 25.7141
120.257
4.6605
237.229
-35.790
462.927 -110.712
914.906 -258.774
1818.700 -553.969
3627.480 -1143.75
102.931 20.4474
180.788 19.0001
331.837 18.8493
635.789 18.8800
1244.870 18.9179
2463.470 18.9419
86.4928 20.0732
106.103 19.3482
142.241 19.2416
219.119 19.2173
376.358 19.2113
692.820 19.2098
80.5174 19.7942
52.1268 19.1775
-15.6181 19.0792
-143.748 19.0565
-393.184 19.0510
-887.971 19.0496
82.8151 19.7178
67.9506 19.1286
58.3883 19.0328
56.1435 19.0106
55.7555 19.0052
55.7203 19.0038
53.1445 18.9877
ξ = 0.1
ξ=1
-27.0209
-76.2482
-170.360
-358.299
-734.116
-1485.51
10.3346
10.3168
10.3132
10.3124
10.3121
10.3121
10.1253
10.1152
10.1131
10.1125
10.1124
10.1124
10.0700
10.0612
10.0593
10.0588
10.0587
10.0587
10.0546
10.0462
10.0443
10.0439
10.0438
10.0437
10.0507
10.0423
10.0405
10.0400
10.0399
10.0399
10.0497
10.0413
10.0395
10.0391
10.0390
10.0389
10.0494
10.0411
10.0393
10.0388
10.0387
10.0387
10.0386
9.80314
9.83730
9.85340
9.86149
9.86960
9.86960
9.84637
9.85823
9.86389
9.86675
9.86960
9.86960
9.85949
9.86455
9.86706
9.86834
9.86960
9.86960
9.86504
9.86723
9.86840
9.86901
9.86960
9.86960
9.86761
9.86846
9.86902
9.86931
9.86960
9.86960
9.86885
9.86906
9.86932
9.86946
9.86960
9.86960
9.86945
9.86935
9.86946
9.86953
9.86960
9.86960
9.86975
9.86950
9.86954
9.86957
9.86960
9.86960
9.86960
6. Validação
81
Tab. 6.5: Número de Nusselt para slug-flow com número de PeH grande, discretização
em uma direção.
I
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
3
5
10
20
40
80
100
200
250
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2800
3000
3200
3400
3600
3800
4000
4200
4400
4600
4800
exata
25.5106
38.7817
58.7782
59.5184
54.2935
53.4099
53.3129
53.1862
53.1710
53.1629
53.1549
53.1511
53.1491
53.1478
53.1471
53.1465
53.1461
53.1458
53.1456
53.1454
53.1454
53.1452
53.1451
53.1450
53.1450
53.1449
53.1449
53.1449
53.1448
53.1448
53.1448
53.1447
53.1447
53.1447
53.1446
53.1446
53.1446
53.1446
53.1446
53.1446
53.1446
53.1445
53.1445
53.1445
53.1445
20.6058
22.1256
19.7022
19.1415
19.0251
18.9970
18.9936
18.9892
18.9886
18.9884
18.9881
18.9879
18.9879
18.9878
18.9878
18.9878
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
18.9877
10.2319
10.1079
10.0587
10.0441
10.0400
10.0390
10.0389
10.0387
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
10.0386
9.81047
9.87219
9.87496
9.87161
9.87016
9.86975
9.86977
9.86964
9.86963
9.86962
9.86962
9.86961
9.86961
9.86961
9.86961
9.86961
9.86960
9.86961
9.86961
9.86961
9.86960
9.86961
9.86960
9.86960
9.86960
9.86961
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
9.86960
Capítulo 7
Resultados da solução permanente
Neste capítulo são calculados os valores de temperatura e Nusselt para o escoamento
tipo Hagen-Poiseuille para regime permanente por diferentes metodos de solução com
o objetivo de verificar a solução desenvolvida e determinar o melhor método a ser utilizado para calcular a transferência de calor. Isto também servirá como indicação de
qual metodologia será mais apropriada para executar a solução transiente. Para tal,
também são apresentadas algumas soluções alternativas para o problema. O resultados
apresentados são calculados para diferentes números de Péclet, com discretização bidirecional e em uma direção apenas, para diferentes posições de ξ e η, variando também
o comprimento máximo do canal.
7.1
Análise de convergência da temperatura no escoamento
A primeira análise feita tem o objetivo de estudar o comportamento da convergência
em diferentes posições (longitudinais e axiais) no escoamento. Para fazer esta análise, o campo de temperatura adimensional é calculado utilizando diferentes malhas
para diferentes combinações de ξ e η. Para estas comparações iniciais o esquema de
diferenças centradas (CDS) é utilizado. As tabelas 7.1 e 7.2 mostram os valores de
temperaturas adimensionalizadas obtidos para o número de Péclet PeH = 10 e valores de η = 0.99 e η = 0, respectivamente. Em geral, a convergência é pior próximo à
82
7. Resultados da solução permanente
83
entrada do canal.
Tab. 7.1: Temperatura com PeH = 10 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.01
0.323176 0.231609
0.603197 0.424877
0.964517 0.674406
1.157220 0.807494
0.964511 0.674353
0.964511 0.674350
0.312743 0.153380
0.581386 0.261229
0.928118 0.401261
1.113050 0.475969
0.928068 0.400869
0.928065 0.400849
0.297607 0.0758945
0.544776 0.0721540
0.864004 0.0693143
1.034250 0.0677701
0.863634 0.0672255
0.863616 0.0671204
0.282343 0.06151090
0.491201 0.00117281
0.757633 -0.0800874
0.899224 -0.1242440
0.755200 -0.0857729
0.755075 -0.0860622
0.276496 0.0839658
0.440418 0.0710265
0.617270 0.0652269
0.704079 0.0646110
0.604448 0.0646999
0.603746 0.0646958
0.278670 0.0856408
0.425533 0.0735890
0.512223 0.0689084
0.513095 0.0681638
0.470897 0.0680051
0.468134 0.0679660
0.281781 0.0859627
0.437144 0.0736990
0.512622 0.0690283
0.462171 0.0682963
0.455905 0.0681376
0.450467 0.0680984
0.283396 0.0860365
0.447126 0.0736903
0.549417 0.0690210
0.526569 0.0682997
0.497948 0.0681423
0.493368 0.0681035
ξ = 0.1
ξ=1
-0.0286699
-0.0712198
-0.1259220
-0.1550900
-0.1259860
-0.1259890
0.0135170
0.0135101
0.0135076
0.0135069
0.0135067
0.0135067
0.0134219
0.0134174
0.0134154
0.0134147
0.0134145
0.0134145
0.0134099
0.0134054
0.0134034
0.0134027
0.0134026
0.0134025
0.0134067
0.0134023
0.0134003
0.0133996
0.0133995
0.0133994
0.0134059
0.0134016
0.0133996
0.0133989
0.0133988
0.0133987
0.0134057
0.0134014
0.0133994
0.0133988
0.0133986
0.0133985
0.0134057
0.0134014
0.0133994
0.0133987
0.0133985
0.0133985
0.000438061
0.000436693
0.000436375
0.000436294
0.000436273
0.000436268
0.000499288
0.000497713
0.000497349
0.000497257
0.000497234
0.000497228
0.000524156
0.000522515
0.000522137
0.000522041
0.000522018
0.000522012
0.000532669
0.000531031
0.000530651
0.000530555
0.000530531
0.000530525
0.000535098
0.000533471
0.000533093
0.000532997
0.000532973
0.000532967
0.000535733
0.000534113
0.000533735
0.000533640
0.000533616
0.000533610
0.000535894
0.000534276
0.000533898
0.000533803
0.000533779
0.000533773
0.000535935
0.000534317
0.000533939
0.000533844
0.000533820
0.000533814
84
Tab. 7.2: Temperatura com PeH = 10 em η = 0 para discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.999830
0.999767
0.999753
0.999750
0.999749
0.999749
1.00036
1.00034
1.00034
1.00033
1.00033
1.00033
0.999981
0.999974
0.999972
0.999972
0.999972
0.999972
0.999818
0.999805
0.999803
0.999802
0.999802
0.999802
0.999766
0.999751
0.999748
0.999748
0.999747
0.999747
0.999745
0.999729
0.999726
0.999725
0.999725
0.999725
0.999736
0.999719
0.999716
0.999715
0.999715
0.999715
0.999732
0.999715
0.999712
0.999711
0.999711
0.999711
0.996447
0.995850
0.995718
0.995686
0.995678
0.995676
1.00068
1.00042
1.00036
1.00035
1.00035
1.00035
0.997867
0.997690
0.997655
0.997646
0.997644
0.997644
0.996717
0.996512
0.996470
0.996460
0.996457
0.996456
0.996405
0.996190
0.996145
0.996134
0.996132
0.996131
0.996341
0.996124
0.996079
0.996068
0.996065
0.996065
0.996325
0.996108
0.996063
0.996052
0.996049
0.996048
0.996321
0.996104
0.996059
0.996047
0.996045
0.996044
0.831760
0.828237
0.827449
0.827251
0.827202
0.827190
0.838349
0.834674
0.833848
0.833641
0.833589
0.833576
0.843198
0.839494
0.838660
0.838452
0.838400
0.838387
0.844694
0.840989
0.840154
0.839945
0.839893
0.839880
0.845106
0.841402
0.840568
0.840359
0.840307
0.840294
0.845212
0.841509
0.840675
0.840466
0.840414
0.840401
0.845239
0.841536
0.840702
0.840493
0.840441
0.840428
0.845246
0.841543
0.840709
0.840500
0.840448
0.840435
0.0383709
0.0382961
0.0382793
0.0382751
0.0382740
0.0382738
0.0366945
0.0366167
0.0365991
0.0365947
0.0365936
0.0365934
0.0363713
0.0362925
0.0362747
0.0362702
0.0362691
0.0362688
0.0363031
0.0362241
0.0362063
0.0362018
0.0362007
0.0362004
0.0362878
0.0362089
0.0361910
0.0361865
0.0361854
0.0361851
0.0362842
0.0362052
0.0361874
0.0361829
0.0361818
0.0361815
0.0362833
0.0362043
0.0361865
0.0361820
0.0361809
0.0361806
0.0362830
0.0362041
0.0361862
0.0361818
0.0361806
0.0361804
A tabela 7.1 mostra resultados atípicos em relação aos demais resultados na região
próxima a entrada do canal, nas posições de ξ = 0.001 e ξ = 0.01, onde os valores da
85
temperatura aumentam com J = 100 e depois diminuem, voltando a convergir. Além
disso, é observado que os valores da temperatura ficam negativos com I = 100 e voltam
a convergir com I = 200. Este comportamento atípico é explicado pela descontinuidade
da condição de contorno da entrada do canal, onde a temperatura dá um salto do valor
na parede para o valor do esocoamento não em contato com a mesma.
As tabelas 7.3 e 7.4 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para o número de Péclet PeH = 1 e valores de η = 0.99 e η = 0, respectivamente. Na
tabela 7.3, os resultados apresentam o mesmo comportamento atípico apresentado na
tabela 7.1, onde os valores da temperatura aumentam e em seguida diminuem, voltando
a convergir normalmente. Na tabela 7.4, os resultados mostram boa convergência, já
na entrada do canal, mesmo com malha grosseira (12×12) apresentando 4 dígitos convergidos.
As tabelas 7.5 e 7.6 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para o número de Péclet PeH = 0.1 e valores de η = 0.99 e η = 0, respectivamente.
Na tabela 7.5, os resultados apresentam comportamento atípico nas mesmas regiões
que os resultados da tabela 7.1 e também em uma região mais afastada da entrada
(ξ = 0.1), onde os valores da temperatura aumentam e em seguida diminuem, voltando
a convergir normalmente. Na tabela 7.6, os resultados estão todos convergidos já na
entrada do canal com malha grosseira (12 × 12), com 6 dígitos. No entanto, é possível
verificar que quase não houve variação dos valores da temperatura em relação a temperatura na entrada do canal. Isto ocorre porque para valores de Péclet muito baixos
a difusão axial é predominante em relação a difusão transversal, fazendo com que a
informação sobre a temperatura da parede (θ0 = 0) dificilmente chegue à região central
do escoamento.
Comparando os resultados de temperatura obtidos, de modo geral, a convergencia é
melhor na saída do canal e é melhor em η = 0 do que em η = 0.99, quando comparados
em relação as posições (ξ e η). Analisando os resultados em relação aos diferentes
números de Péclet considerados, os resultados obtidos para PeH = 10 apresentaram
melhor convergencia em η = 0.99. No entanto, para valores de Péclet pequenos (PeH =
86
Tab. 7.3: Temperatura com PeH = 1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.328403
0.608794
0.969774
1.162170
0.969338
0.969316
0.327880
0.602574
0.949850
1.133100
0.947282
0.947134
0.328102
0.600781
0.933970
1.100660
0.925744
0.925108
0.328384
0.601619
0.929809
1.079530
0.919134
0.917555
0.328566
0.602703
0.932631
1.077710
0.930019
0.927696
0.328665
0.603401
0.935809
1.083780
0.938562
0.935035
0.328714
0.603768
0.937728
1.088770
0.940172
0.936399
0.328734
0.603922
0.938567
1.091120
0.940069
0.936649
0.278602
0.475051
0.721531
0.851866
0.717657
0.717457
0.275611
0.429835
0.573377
0.634967
0.553310
0.552161
0.278734
0.426912
0.500145
0.474989
0.449345
0.445563
0.281519
0.440310
0.525291
0.480136
0.471878
0.466378
0.282596
0.446962
0.550929
0.528387
0.500130
0.495539
0.282796
0.448110
0.554710
0.533887
0.504720
0.500129
0.282846
0.448396
0.555642
0.535168
0.505923
0.501339
0.282859
0.448468
0.555874
0.535482
0.506228
0.501647
0.0661544
0.0215595
-0.0388090
-0.0716990
-0.0439599
-0.0442216
0.0809299
0.0698129
0.0651523
0.0642780
0.0640965
0.0640520
0.0816273
0.0696434
0.0649598
0.0642133
0.0640533
0.0640139
0.0818415
0.0696842
0.0650009
0.0642715
0.0641135
0.0640745
0.0818923
0.0696794
0.0649968
0.0642747
0.0641176
0.0640788
0.0819048
0.0696773
0.0649950
0.0642748
0.0641180
0.0640793
0.0819079
0.0696767
0.0649945
0.0642748
0.0641181
0.0640794
0.0819087
0.0696766
0.0649943
0.0642748
0.0641181
0.0640794
0.00926535
0.00924187
0.00923675
0.00923548
0.00923516
0.00923508
0.00932989
0.00930596
0.00930075
0.00929945
0.00929913
0.00929904
0.00934419
0.00932017
0.00931494
0.00931364
0.00931332
0.00931323
0.00934775
0.00932372
0.00931848
0.00931718
0.00931685
0.00931677
0.00934864
0.00932460
0.00931937
0.00931806
0.00931774
0.00931766
0.00934886
0.00932482
0.00931959
0.00931829
0.00931796
0.00931788
0.00934892
0.00932488
0.00931964
0.00931834
0.00931802
0.00931793
0.00934893
0.00932489
0.00931966
0.00931835
0.00931803
0.00931795
0.1) a convergencia é melhor em η = 0, isto também pode ser pelo fato de que nos casos
com valores de Péclet pequenos, o problema é predominado pela difusão axial.
87
Tab. 7.4: Temperatura com PeH = 1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.999417
0.999411
0.999410
0.999409
0.999409
0.999409
0.999412
0.999406
0.999405
0.999404
0.999404
0.999404
0.999409
0.999403
0.999402
0.999401
0.999401
0.999401
0.999408
0.999401
0.999400
0.999400
0.999400
0.999400
0.999407
0.999401
0.999399
0.999399
0.999399
0.999399
0.999406
0.999400
0.999399
0.999399
0.999398
0.999398
0.999406
0.999400
0.999399
0.999398
0.999398
0.999398
0.999406
0.999400
0.999399
0.999398
0.999398
0.999398
0.994141
0.994079
0.994066
0.994062
0.994062
0.994061
0.994090
0.994028
0.994015
0.994011
0.994011
0.994010
0.994061
0.994000
0.993986
0.993983
0.993982
0.993982
0.994047
0.993985
0.993972
0.993968
0.993968
0.993967
0.994042
0.993980
0.993967
0.993963
0.993963
0.993962
0.994041
0.993979
0.993966
0.993962
0.993962
0.993961
0.994041
0.993979
0.993966
0.993962
0.993961
0.993961
0.994041
0.993979
0.993966
0.993962
0.993961
0.993961
0.938956
0.938334
0.938196
0.938162
0.938154
0.938152
0.938840
0.938220
0.938084
0.938050
0.938041
0.938039
0.938826
0.938207
0.938071
0.938037
0.938028
0.938026
0.938823
0.938204
0.938068
0.938034
0.938025
0.938023
0.938822
0.938203
0.938067
0.938033
0.938024
0.938022
0.938821
0.938203
0.938067
0.938033
0.938024
0.938022
0.938821
0.938203
0.938067
0.938033
0.938024
0.938022
0.938821
0.938203
0.938067
0.938033
0.938024
0.938022
0.561877
0.562242
0.562323
0.562344
0.562349
0.562350
0.561569
0.561934
0.562016
0.562037
0.562042
0.562043
0.561501
0.561866
0.561948
0.561968
0.561973
0.561974
0.561483
0.561849
0.561930
0.561951
0.561956
0.561957
0.561479
0.561844
0.561926
0.561946
0.561952
0.561953
0.561478
0.561843
0.561925
0.561945
0.561951
0.561952
0.561478
0.561843
0.561925
0.561945
0.561950
0.561952
0.561478
0.561843
0.561925
0.561945
0.561950
0.561951
88
Tab. 7.5: Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.333797
0.622661
0.992757
1.187090
0.991782
0.991585
0.333813
0.622763
0.993072
1.187070
0.993257
0.992941
0.333822
0.622822
0.993348
1.187630
0.994088
0.993557
0.333826
0.622853
0.993516
1.188070
0.994253
0.993655
0.333828
0.622870
0.993606
1.188320
0.994240
0.993671
0.333829
0.622878
0.993651
1.188460
0.994210
0.993675
0.333830
0.622882
0.993674
1.18852
0.994192
0.993676
0.333830
0.622883
0.993683
1.18855
0.994184
0.328796
0.602193
0.930493
1.077690
0.921234
0.919438
0.328959
0.603235
0.934014
1.079690
0.933995
0.931328
0.329039
0.603812
0.936814
1.085910
0.939793
0.936020
0.329078
0.604101
0.938351
1.090060
0.940411
0.936767
0.329091
0.604200
0.938894
1.091580
0.940321
0.936925
0.329094
0.604220
0.938999
1.091870
0.940325
0.936964
0.329094
0.604225
0.939025
1.09194
0.940326
0.936974
0.329095
0.604226
0.939032
1.09196
0.940327
0.285552
0.445861
0.539035
0.503526
0.487887
0.482703
0.286265
0.450189
0.555371
0.534002
0.504835
0.500235
0.286393
0.450917
0.557685
0.537011
0.507792
0.503202
0.286426
0.451100
0.558281
0.537823
0.508567
0.503983
0.286434
0.451146
0.55842
0.538024
0.508763
0.504181
0.286436
0.451157
0.558466
0.538074
0.508812
0.504231
0.286436
0.451160
0.558476
0.538086
0.508824
0.504243
0.286436
0.451161
0.558478
0.538089
0.508828
0.1328770
0.1096510
0.1007040
0.0993483
0.0990530
0.0989800
0.1335310
0.1103820
0.1012470
0.0998569
0.0995552
0.0994807
0.1336770
0.1105430
0.1013660
0.0999687
0.0996656
0.0995908
0.1337140
0.1105830
0.1013950
0.0999965
0.0996930
0.0996181
0.1337230
0.1105930
0.1014030
0.1000030
0.0996999
0.0996250
0.1337250
0.1105950
0.1014050
0.1000050
0.0997016
0.0996267
0.133726
0.110596
0.101405
0.100006
0.0997020
0.0996271
0.133726
0.110596
0.101405
0.100006
0.0997022
89
Tab. 7.6: Temperatura com PeH = 0.1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
90
Com o objetivo de verificação e comparação de resultados, os campos de temperatura para o escoamento tipo slug-flow também foram calculados, e encontram-se nos
apêndices A.1, A.2 e A.3. Os resultados mostram que a convergência das soluções para
os dois tipos de escoamento é muito semelhante, em relação ao número de Péclet, em
relação as diferentes posições no escoamento (dadas pelos valores de ξ e η) e também
em relação as malhas utilizadas; todavia a convergência dos campos de temperatura é,
em geral, um pouco melhor para o escoamento slug-flow. O mesmo o comportamento
atípico apresentado em alguns casos da solução com escoamento Hagen-Poiseuille
(anteriormente mencionado) foram obtidos para o caso com slug-flow para os mesmos
números de Péclet, mesmas posições e mesmas malhas. Algumas poucas exceções foram observadas como é o caso da tabela A.2, com número de Péclet PeH = 10 em η = 0,
onde os resultados apresentaram comportamento atípico para slug-flow em posições e
malhas ligeiramente diferentes dos apresentados para Hagen-Poiseuille.
Comparando os valores de θ obtidos para slug-flow e Hagen-Poiseuille, é possível
observar algumas diferenças na distribuição de temperatura para os diferentes tipos
de escoamentos. As temperaturas para o escoamento Hagen-Poiseuille, de modo geral, são ligeiramente maiores que os valores de temperatura para slug-flow na saída do
canal. Este resultado está associado à diferença nos perfis de velocidade para os dois
tipos de escoamento. Com o perfil de escoamento reto do slug-flow haverá maior transferência de calor junto a parede, fazendo com que a temperatura caia mais rapidamente
com a posição axial (ξ), resultando em menores temperaturas na saída.
7.2
91
Análise de convergência de Nusselt para CDS e HDS
O objetivo desta seção é comparar os resultados das soluções com a discretização
baseada no esquema de diferenças centradas (CDS) com a discretização baseada no
esquema de diferenças híbrido (HDS), para o cálculo do número de Nusselt com o
escoamento Hagen-Poiseuille.
7.2.1
Esquema de diferenças centradas – CDS
Esta seção apresenta os resultados para a solução em regime permanente, utilizando
discretização em duas direções, considerando a condição de contorno de temperatura
constante na parede do canal. O esquema de discretização baseado em diferenças centradas para o termo convectivo (CDS) foi utilizado. O número de Nusselt foi calculado
para diferentes posições e diferentes valores de número de Péclet.
As tabelas 7.7, 7.8 e 7.9 mostram os valores de Nusselt, para diferentes números de
Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). Os resultados apresentam um comportamento
atípico na região da entrada do canal (ξ = 0.01), onde resultados começam a apresentar convergência, porém quando a malha é refinada para I = 100 os resultados ficam
negativos e voltam a convergir ao refinar a malha para I = 200. Este comportamento é
observado para número de PeH = 1 e PeH = 10.
Comparando os resultados em diferentes posições axiais, verifica-se que a convergência é muito pior nas posições próximas da entrada do canal (pequenos valores de ξ).
Além disso, a redução do número de Péclet diminui a convergência, como observado
na tabela 7.9 e 7.8. Para menores valores de Péclet (PeH = 0.1 e PeH = 1), nenhum
dígito apresenta convergência, mesmo para malha mais refinada utilizada, próximo à
entrada do canal (ξ = 0.001).
92
Tab. 7.7: Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
142.762
297.397
594.589
1188.880
2377.440
4754.480
138.154
286.594
571.951
1142.620
2283.950
4566.560
131.320
268.013
530.943
1056.990
2109.230
4213.780
124.318
240.174
460.594
902.173
1786.320
3555.260
121.577
213.013
362.802
655.213
1242.910
2421.900
122.538
204.593
283.688
365.713
508.964
804.824
123.951
210.603
280.516
242.552
14.2330
-475.662
124.687
215.905
307.048
338.681
298.107
261.858
107.173
219.275
434.854
866.008
1728.32
3452.93
70.5440
133.459
255.049
498.577
985.823
1960.41
33.5192
32.1138
30.9288
30.2176
29.8355
29.6383
26.3604
-7.20932
-74.3350
-205.750
-465.961
-984.789
37.0201
30.6256
26.9930
26.2346
26.2734
26.3936
37.7968
31.9331
29.2716
28.8534
28.7825
28.7659
37.9440
31.9672
29.3177
28.9124
28.8384
28.8212
37.9775
31.9558
29.3076
28.9122
28.8392
28.8221
-20.8444
-57.1762
-126.822
-266.010
-544.336
-1100.96
8.25530
8.25791
8.25796
8.25787
8.25783
8.25782
8.16864
8.17273
8.17298
8.17295
8.17293
8.17293
8.15113
8.15516
8.15541
8.15538
8.15536
8.15535
8.14622
8.15028
8.15054
8.15051
8.15049
8.15049
8.14498
8.14906
8.14932
8.14929
8.14927
8.14926
8.14467
8.14875
8.14901
8.14898
8.14897
8.14896
8.14459
8.14868
8.14894
8.14891
8.14889
8.14888
7.73673
7.75869
7.76699
7.77077
7.77431
7.77433
7.77968
7.79041
7.79382
7.79521
7.79638
7.79640
7.77186
7.77924
7.78115
7.78184
7.78225
7.78226
7.75112
7.75768
7.75912
7.75952
7.75971
7.75973
7.73862
7.74506
7.74637
7.74670
7.74680
7.74682
7.73378
7.74022
7.74150
7.74181
7.74189
7.74191
7.73227
7.73872
7.73999
7.74029
7.74037
7.74039
7.73185
7.73829
7.73957
7.73987
7.73995
7.73996
93
Tab. 7.8: Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
144.438
298.694
594.554
1186.24
2369.72
4736.78
144.190
295.355
580.491
1148.14
2283.56
4555.12
144.287
294.343
568.416
1096.25
2142.07
4234.42
144.413
294.764
564.791
1051.16
1947.31
3702.74
144.495
295.336
566.692
1039.82
1791.34
3021.41
144.540
295.707
569.023
1048.82
1768.74
2575.70
144.562
295.902
570.452
1058.09
1812.00
2627.15
144.572
295.984
571.079
1062.65
1842.04
2790.44
123.545
233.484
439.571
852.247
1679.08
3333.82
122.079
208.840
333.474
563.546
1025.35
1954.67
123.483
206.831
275.704
296.966
287.711
275.353
124.753
213.912
291.872
266.854
37.1027
-479.736
125.246
217.470
310.593
343.126
294.025
247.072
125.338
218.081
313.298
350.119
304.978
266.582
125.361
218.234
313.963
351.632
305.826
266.967
125.366
218.272
314.129
351.995
305.906
266.832
30.9689
4.57372
-48.4931
-151.747
-355.683
-762.009
38.4667
32.7172
29.8808
29.2981
29.1925
29.1697
38.7984
32.5424
29.6815
29.2280
29.1471
29.1283
38.9017
32.5456
29.6871
29.2510
29.1711
29.1525
38.9261
32.5376
29.6798
29.2509
29.1718
29.1533
38.9321
32.5350
29.6775
29.2505
29.1716
29.1532
38.9336
32.5343
29.6769
29.2504
29.1716
29.1532
38.9340
32.5342
29.6767
29.2504
29.1716
29.1532
8.45042
8.43917
8.43693
8.43643
8.43637
8.43634
8.46242
8.45054
8.44809
8.44750
8.44737
8.44734
8.46474
8.45274
8.45025
8.44964
8.44949
8.44946
8.46529
8.45326
8.45076
8.45015
8.44999
8.44996
8.46542
8.45338
8.45088
8.45027
8.45012
8.45008
8.46545
8.45341
8.45091
8.45030
8.45015
8.45011
8.46546
8.45342
8.45092
8.45030
8.45015
8.45011
8.46546
8.45342
8.45092
8.45031
8.45015
8.45012
94
Tab. 7.9: Número de Nusselt com PeH = 0.1 para discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
146.666
305.317
608.178
1207.17
2393.08
4756.75
146.674
305.371
608.396
1206.34
2375.35
4662.39
146.678
305.402
608.599
1207.21
2372.87
4598.96
146.679
305.419
608.724
1208.02
2376.42
4590.87
146.680
305.428
608.791
1208.52
2379.72
4605.83
146.681
305.432
608.825
1208.79
2381.70
4619.08
146.681
305.434
608.842
1208.92
2382.71
4626.68
146.681
305.435
608.849
1208.97
2383.14
144.444 125.215 57.0132
294.738 214.366 46.1014
564.566 298.058 41.2032
1043.77 297.429 40.4846
1894.82 133.074 40.3514
3525.30 -244.069 40.3204
144.518 125.538 57.3048
295.289 216.654 46.4417
567.046 309.837 41.4341
1040.86 345.046 40.6923
1768.21 303.355 40.5558
2824.14 267.417 40.5241
144.554 125.595 57.3701
295.595 217.038 46.5165
569.112 311.466 41.4841
1051.27 348.321 40.7378
1779.14 303.409 40.6007
2545.35 265.268 40.5688
144.571 125.610 57.3864
295.748 217.135 46.5351
570.258 311.887 41.4965
1059.13 349.261 40.7491
1823.14 303.787 40.6118
2688.30 265.222 40.5799
144.577 125.614 57.3904
295.801 217.159 46.5398
570.663 311.992 41.4996
1062.09 349.489 40.7520
1842.86 303.827 40.6146
2799.73 265.120 40.5827
144.578 125.614 57.3915
295.811 217.165 46.5409
570.741 312.018 41.5003
1062.65 349.546 40.7527
1846.36 303.833 40.6153
2817.09 265.089 40.5834
144.579 125.615 57.3917
295.814 217.166 46.5412
570.761 312.025 41.5005
1062.78 349.560 40.7529
1847.23 303.835 40.6155
2821.39 265.081 40.5835
144.579 125.615 57.3918
295.815 217.167 46.5413
570.766 312.026 41.5006
1062.82 349.564 40.7529
1847.45 303.835 40.6155
ξ = 0.1
ξ=1
95
Comparando os resultados obtidos nesta seção com os obtidos na validação com o
escoamento slug-flow (tabelas 6.1 , 6.2 e 6.3), observa-se que a convergência é melhor
para slug-flow. Para este tipo simplificado de escoamento é obtida uma convergência
com seis dígitos, com malhas relativamente grosseiras, na posição ξ = 1, para valores
de PeH = 1 e PeH = 10. Já para o escoamento do tipo Hagen-Poiseuille, é necessário
um refinamento muito maior da malha para obter a mesma precisão obtida em posições
similares para slug-flow. De fato, para o escoamento do tipo Hagen-Poiseuille, em
nenhum caso foi obtida a convergência com seis dígitos. Entretanto, para posições
próximas da entrada do canal e para número de Péclet PeH = 0.1, não foi observada
convergência superior para o escoamento slug-flow.
Comparando os valores de número de Nusselt obtidos para os dois de tipos de
escoamento é possível observar que o comportamento das soluções é muito semelhante
e os resultados estão muito próximos, sendo que os valores do número de Nusselt para
slug-flow são um pouco maiores que os valores obtidos para Hagen-Poiseuille. Este
resultado pode estar associado à diferença dos perfis de velocidade para os dois tipos
de escoamento, onde o perfil de velocidade reto do slug-flow contribui para a melhor
transferência de calor junto a parede, conforme mencionado anteriormente.
7.2.2
96
Esquema híbrido – HDS
Esta seção apresenta os resultados para a solução HDS em regime permanente, discretizada em duas direções, com o objetivo de comparar os resultados obtidos para
solução numérica CDS desenvolvida, considerando a condição de contorno de temperatura constante na parede do canal.
Antes de apresentar resultados calculados com o esquema de diferenças híbrido
HDS (combinação de diferenças centradas e upwind) valores do parâmetro ω em função do número de Péclet são avaliados e mostrados na tabela 7.10.
u ∗ PeH
ω
Tab. 7.10: Valores do parâmetro α para o esquema HDS.
0
0.1
0.5
1.0
1.5
2.0
5.0
10
0.5000 0.4994 0.4844 0.4378 0.3630 0.2689 0.0019 0.0000
Como pode-se observar desta tabela, para valores de Péclet ≤ 0.1 os valores de ω
(ω ≈ 0.5) estarão resultando num esquema praticamente apenas CDS. Portanto, resultados para HDS com Péclet igual a 0.1 não serão apresentados, pois estes levariam a
praticamente aos mesmos resultados calculados com o esquema CDS. Para PeH = 10
pode-se dizer que o esquema é praticamente UDS, todavia, como perto da parede a velocidade cai para zero, nestas posições a difusão é dominante e o esquema aproxima-se
do CDS.
O número de Nusselt foi calculado para diferentes posições longitudinais (ξ =
0.001, 0.01, 0.1 e 1) variando o valor de número de Péclet (PeH = 10 e PeH = 1).
A critério de verificação, valores de Nusselt com PeH = 0.1 foram também calculados
com o esquema HDS, todavia, como esperado os mesmos resultados obtidos com o
esquema CDS foram obtidos. As tabelas 7.11 e 7.12 mostram os valores de Nusselt
obtidos para diferentes números de Péclet.1 Comparando os valores de Nusselt obtidos
para os dois esquemas, CDS E HDS, é possível observar que o comportamento das soluções é muito semelhante e os resultados estão muito próximos, sendo que em alguns
casos os resultados são exatamente iguais para os dois esquemas, tanto para PeH = 10
1
Valores para as temperaturas adimensionais em diferentes posições no escoamento também foram
calculados pelo esquema HDS, e são apresentadas no apêndice A.5.
97
quanto para Pe H = 1.
Tab. 7.11: Número de Nusselt com PeH = 10 para discretização bidirecional HDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
143.068
298.060
595.937
1191.60
2382.90
4765.42
138.430
287.207
573.213
1145.18
2289.10
4576.91
131.489
268.412
531.786
1058.73
2112.74
4220.85
124.380
240.359
460.996
903.017
1788.05
3558.76
121.570
213.081
362.942
655.497
1243.49
2423.09
122.520
204.615
283.736
365.772
509.053
804.979
123.952
210.616
280.542
242.573
14.2337
-475.701
124.698
215.922
307.066
338.698
298.123
261.874
109.340
223.938
444.315
885.064
1766.57
3529.56
71.6251
135.776
259.762
508.091
1004.94
1998.74
33.6142
32.1817
30.9765
30.2558
29.8691
29.6696
26.4031
-7.31182
-74.7231
-206.685
-467.977
-988.958
37.2120
30.7628
27.1298
26.3749
26.4146
26.5349
37.9217
32.0247
29.3654
28.9489
28.8783
28.8616
38.0151
32.0195
29.3711
28.9667
28.8928
28.8756
38.0153
31.9836
29.3359
28.9409
28.8679
28.8509
-22.8937
-61.9008
-136.672
-286.103
-584.909
-1182.50
8.44427
8.44838
8.44861
8.44852
8.44848
8.44847
8.29824
8.30302
8.30332
8.30328
8.30325
8.30324
8.22668
8.23106
8.23133
8.23129
8.23127
8.23126
8.18668
8.19092
8.19118
8.19115
8.19113
8.19112
8.16586
8.17002
8.17028
8.17025
8.17023
8.17022
8.15527
8.15939
8.15965
8.15962
8.15960
8.15959
8.14993
8.15403
8.15429
8.15426
8.15425
8.15424
7.61721
7.63479
7.64027
7.64245
7.64430
7.64432
7.67078
7.68227
7.68532
7.68638
7.68714
7.68716
7.70338
7.71196
7.71398
7.71459
7.71492
7.71494
7.71720
7.72452
7.72608
7.72650
7.72667
7.72669
7.72266
7.72951
7.73089
7.73124
7.73134
7.73136
7.72603
7.73268
7.73400
7.73432
7.73441
7.73443
7.72842
7.73497
7.73626
7.73657
7.73665
7.73667
7.72992
7.73642
7.73770
7.73801
7.73808
7.73810
98
Tab. 7.12: Número de Nusselt com PeH = 1 para discretização bidirecional HDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
144.439
298.695
594.556
1186.24
2369.73
4736.80
144.190
295.355
580.492
1148.14
2283.57
4555.13
144.287
294.343
568.417
1096.25
2142.08
4234.42
144.413
294.765
564.792
1051.16
1947.31
3702.74
144.495
295.336
566.692
1039.82
1791.34
3021.41
144.540
295.707
569.023
1048.82
1768.74
2575.70
144.562
295.902
570.452
1058.09
1812.00
2627.15
144.572
295.984
571.079
1062.65
1842.04
2790.44
123.549
233.491
439.585
852.274
1679.14
3333.92
122.080
208.843
333.478
563.554
1025.37
1954.70
123.483
206.832
275.706
296.967
287.712
275.354
124.754
213.913
291.872
266.854
37.1027
-479.736
125.246
217.470
310.593
343.126
294.025
247.072
125.338
218.081
313.298
350.119
304.978
266.582
125.361
218.234
313.963
351.632
305.826
266.967
125.366
218.272
314.129
351.995
305.906
266.832
30.9700
4.57483
-48.4919
-151.746
-355.682
-762.007
38.4660
32.7168
29.8806
29.2979
29.1923
29.1695
38.7978
32.5420
29.6813
29.2278
29.1469
29.1281
38.9014
32.5454
29.6870
29.2508
29.1709
29.1524
38.9260
32.5375
29.6797
29.2508
29.1717
29.1532
38.9321
32.5349
29.6775
29.2505
29.1716
29.1532
38.9336
32.5343
29.6769
29.2504
29.1715
29.1532
38.9340
32.5341
29.6767
29.2504
29.1715
29.1532
8.44801
8.43679
8.43456
8.43406
8.43400
8.43397
8.46127
8.44941
8.44697
8.44638
8.44625
8.44621
8.46416
8.45217
8.44969
8.44908
8.44893
8.44889
8.46500
8.45297
8.45048
8.44987
8.44971
8.44967
8.46528
8.45324
8.45074
8.45013
8.44997
8.44994
8.46538
8.45334
8.45084
8.45023
8.45008
8.45004
8.46543
8.45339
8.45089
8.45027
8.45012
8.45008
8.46545
8.45341
8.45090
8.45029
8.45014
8.45010
99
Os resultados apresentados mostram que a convergência das soluções para os dois
esquemas é muito semelhante em relação ao número de Péclet, em relação às coordenadas (ξ e η) e em relação as malhas utilizadas. O mesmo o comportamento atípico
apresentado em alguns casos da solução para CDS foram obtidos para HDS, para os
mesmos números de Péclet, mesmas coordenadas e mesmas malhas.
Os resultados mostram que aparentemente a convergência para CDS é melhor do
que para HDS. É muito provável que a ordem do erro esteja influenciando na convergência, visto que para CDS o erro é da ordem de ∆ξ2 enquanto que para UDS
(diferença avançada ou atrasada) o erro é da ordem de ∆ξ. Porém, o tempo computacional também deve ser comparado. Tal comparação é apresentada no final desta seção,
na tabela 7.15.
7.2.3
Análise da solução com Péclet grande
Com o objetivo de verificar importância da difusão axial, a solução com Pe → ∞ é
calculada. As soluções com discretização bidirecional CDS e HDS são utilizadas. As
tabelas 7.13 e 7.14 mostram os valores de Nusselt obtidos para diferentes malhas para
a discretização CDS e HDS, respectivamente. Como pode-se observar, os resultados
obtidos são muito semelhantes aos resultados obtidos para a solução com número de
PeH = 10. O mesmo o comportamento atípico apresentado em alguns casos da solução
para número de PeH = 10 foram obtidos também para a solução com número de Péclet
grande, nas mesmas coordenadas e nas mesmas malhas, tanto para a discretização CDS
quanto para HDS.
Valores para a temperatura adimensional também foram calculados com a discretização CDS, em diferentes posições, e são apresentados no apêndice A.4, mostrando
um comportamento, em geral, similar ao de Nusselt. Comparando os valores de temperatura obtidos para número de Péclet grande e número PeH = 10, é possível observar
que o comportamento das soluções é muito semelhante e os resultados estão muito
próximos.
100
Tab. 7.13: Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional CDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
142.783 107.121 -23.9407 7.48260
297.551 220.177 -61.7740 7.51716
594.989 437.504 -134.483 7.52975
1189.770 872.107 -279.890 7.53541
2379.300 1741.290 -570.701 7.54066
4758.280 3479.630 -1152.32 7.54069
137.816 66.6339 7.74537 7.50868
286.610 131.117 7.75708 7.52968
572.583 255.190 7.75905 7.53602
1144.440 503.336 7.75945 7.53855
2288.130 999.622 7.75954 7.54066
4575.430 1992.190 7.75956 7.54069
128.642 14.1349 7.65403 7.51766
266.067 13.9271 7.66508 7.53398
530.244 13.8901 7.66698 7.53817
1058.530 13.8821 7.66738 7.53963
2115.060 13.8803 7.66747 7.54066
4228.120 13.8799 7.66749 7.54069
111.802 -13.5763 7.62853 7.52162
227.498 -48.8065 7.63942 7.53588
450.116 -115.994 7.64129 7.53912
895.337 -250.266 7.64170 7.54010
1785.770 -518.788 7.64178 7.54066
3566.590 -1055.83 7.64180 7.54069
83.4941 11.9306 7.62141 7.52349
160.456 12.0700 7.63224 7.53677
309.350 12.0930 7.63411 7.53957
607.277 12.0969 7.63451 7.54032
1203.150 12.0976 7.63459 7.54066
2394.900 12.0978 7.63462 7.54069
44.2133 12.0230 7.61958 7.52440
62.4122 12.0846 7.63039 7.53721
100.5570 12.0921 7.63226 7.53978
177.4140 12.0931 7.63266 7.54043
331.2370 12.0932 7.63274 7.54066
638.9060 12.0932 7.63277 7.54069
13.0182 11.9694 7.61912 7.52485
-21.8185 12.0281 7.62993 7.53742
-82.0234 12.0353 7.63180 7.53989
-201.189 12.0362 7.63220 7.54048
-439.274 12.0363 7.63228 7.54066
-915.396 12.0364 7.63230 7.54069
25.4184 11.9540 7.61900 7.52507
25.1331 12.0119 7.62981 7.53753
25.3401 12.0190 7.63168 7.53994
25.3787 12.0199 7.63208 7.54051
25.3846 12.0201 7.63216 7.54066
25.3855 12.0201 7.63218 7.54069
101
Tab. 7.14: Número de Nusselt com PeH grande e discretização bidirecional HDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
143.211
298.477
596.872
1193.56
2386.92
4773.55
138.356
287.804
575.033
1149.40
2298.11
4595.46
129.202
267.387
533.029
1064.24
2126.65
4251.41
112.199
228.677
452.808
901.056
1797.53
3590.47
83.3424
160.904
310.973
611.260
1211.86
2413.05
42.9604
61.3214
99.7686
177.260
332.358
642.579
10.8804
-24.0756
-84.7076
-204.673
-444.349
-923.650
26.2917
25.1710
25.3752
25.4206
25.4277
110.202
226.828
451.013
899.327
1795.94
3589.12
68.7065
135.733
264.703
522.642
1038.52
2070.25
13.7268
13.5027
13.4629
13.4545
13.4526
13.4521
-14.8794
-51.0801
-120.100
-258.033
-533.873
-1085.55
12.1301
12.2729
12.2993
12.3037
12.3045
12.3047
12.1550
12.2264
12.2352
12.2363
12.2365
12.2365
12.0560
12.1199
12.1278
12.1288
12.1290
12.1290
12.0029
12.0636
12.0710
12.0720
12.0721
-27.5848
-69.8078
-150.950
-313.222
-637.760
-1286.84
7.90618
7.91869
7.92070
7.92109
7.92118
7.92120
7.75764
7.76894
7.77081
7.77119
7.77128
7.77130
7.68727
7.69821
7.70006
7.70044
7.70053
7.70055
7.65258
7.66342
7.66527
7.66566
7.66574
7.66576
7.63559
7.64641
7.64826
7.64866
7.64874
7.64876
7.62723
7.63804
7.63990
7.64030
7.64038
7.64040
7.62308
7.63389
7.63575
7.63615
7.63624
7.50786
7.52929
7.53582
7.53845
7.54066
7.54069
7.51766
7.53398
7.53817
7.53963
7.54066
7.54069
7.52162
7.53588
7.53912
7.54010
7.54066
7.54069
7.52349
7.53677
7.53957
7.54032
7.54066
7.54069
7.52440
7.53721
7.53978
7.54043
7.54066
7.54069
7.52485
7.53742
7.53989
7.54048
7.54066
7.54069
7.52507
7.53753
7.53994
7.54051
7.54066
7.54069
7.52519
7.53758
7.53997
7.54052
7.54066
102
Comparando os valores de apresentados para o número de Nusselt, observa-se que
o caso com Péclet grande aproxima-se de PeH = 10, em posições longe da entrada do
canal. Os resultados são notavelmente diferentes próximo a entrada do canal; porém,
os valores de Nusselt são sempre maiores para o caso com PeH = 10. Este fenômeno,
novamente, deve-se ao fato de haver mais difusão axial em PeH = 10 (de fato, para a
aproximação com Péclet grande não existe difusão axial).
Para completar a comparação dos esquemas HDS e CDS, o tempo computacional
(em segundos) associado à solução do problema para diferentes malhas e diferentes
valores de Péclet é apresentado na tabela 7.15. Como pode ser observado, o tempo
computacional com o esquema HDS é notadamente menor do que com o esquema
CDS, principalmente para PeH = 1, onde o tempo computacional gasto para HDS é
menos que a metade do CDS.
Tab. 7.15: Tempo computacional para HDS e CDS para discretização bidirecional em
diferentes malhas.
PeH → ∞
I
50
200
100
50
25
400
200
100
50
25
400
200
100
50
200
J CDS HDS
50
8
6
25
35
23
50
37
25
100 38
25
200 39
26
25 161
91
50 172 112
100 186 120
200 186 125
400 196 124
50 920 599
100 791 561
200 955 601
400 1027 659
200 4113 2947
PeH = 10
PeH = 1
PeH = 1/10
CDS HDS CDS HDS CDS HDS
9
8
9
6
6
6
42
35
43
35
25
25
38
33
39
25
26
25
42
36
43
25
25
25
55
49
49
25
26
25
231 194 229 105 108 103
206 168 204 101 104 101
214 181 211 105 110 107
246 215 245 114 108 111
294 261 255 108 120 114
1003 878 1052 470 506 472
1001 886 995 480 504 488
1080 919 1183 527 546 524
1100 928 1095 458 454 457
4361 2965 4437 2276 2394 2360
Também foram calculados os resultados com a discretização baseada exclusivamente no esquema UDS (diferença avançada ou atrasada) para comparação com os
resultados obtidos anteriormente. Estes resultados estão na tabela 7.16. Os resultados
não mostraram diferenças significativas em relação aos demais resultados obtidos com
valores de Péclet grande.
103
Tab. 7.16: Número de Nusselt para PeH grande e discretização bidirecional UDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
143.211
298.477
596.872
1193.56
2386.92
4773.55
138.356
287.804
575.033
1149.40
2298.11
4595.46
129.202
267.387
533.029
1064.24
2126.65
4251.41
112.199
228.677
452.808
901.056
1797.53
3590.47
83.3424
160.904
310.973
611.260
1211.86
2413.05
42.9604
61.3214
99.7686
177.260
332.358
642.579
10.8804
-24.0756
-84.7076
-204.673
-444.349
-923.650
26.2917
25.1710
25.3752
25.4206
25.4277
25.4287
110.202
226.828
451.013
899.327
1795.94
3589.12
68.7065
135.733
264.703
522.642
1038.52
2070.25
13.7268
13.5027
13.4629
13.4545
13.4526
13.4521
-14.8794
-51.0801
-120.100
-258.033
-533.873
-1085.55
12.1301
12.2729
12.2993
12.3037
12.3045
12.3047
12.1550
12.2264
12.2352
12.2363
12.2365
12.2365
12.056
12.1199
12.1278
12.1288
12.1290
12.1290
12.0029
12.0636
12.0710
12.0720
12.0721
12.0721
-27.5848
-69.8078
-150.950
-313.222
-637.760
-1286.84
7.90618
7.91869
7.92070
7.92109
7.92118
7.92120
7.75764
7.76894
7.77081
7.77119
7.77128
7.77130
7.68727
7.69821
7.70006
7.70044
7.70053
7.70055
7.65258
7.66342
7.66527
7.66566
7.66574
7.66576
7.63559
7.64641
7.64826
7.64866
7.64874
7.64876
7.62723
7.63804
7.63990
7.64030
7.64038
7.64040
7.62308
7.63389
7.63575
7.63615
7.63624
7.63626
7.50786
7.52929
7.53582
7.53845
7.54066
7.54069
7.51766
7.53398
7.53817
7.53963
7.54066
7.54069
7.52162
7.53588
7.53912
7.54010
7.54066
7.54069
7.52349
7.53677
7.53957
7.54032
7.54066
7.54069
7.52440
7.53721
7.53978
7.54043
7.54066
7.54069
7.52485
7.53742
7.53989
7.54048
7.54066
7.54069
7.52507
7.53753
7.53994
7.54051
7.54066
7.54069
7.52519
7.53758
7.53997
7.54052
7.54066
7.54069
7.3
104
Resultados para a discretização apenas longitudinal
Esta seção apresenta os resultados para a solução em regime permanente utilizando
discretização em apenas uma direção, com o objetivo de testar um forma alternativa de
resolver o problema, considerando a condição de contorno de temperatura constante na
parede do canal. O numero de Nusselt é calculado para diferentes posições axiais (ξ)
e diferentes valores de número de Péclet. A tabela 7.17 mostra os valores de Nusselt
obtidos para diferentes números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). A primeira
coluna das tabelas indicam o número de volumes em que o canal foi dividido. Como
mostram os resultados a solução numérica falha para número de Péclet maiores.
Tab. 7.17: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas.
I
ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1
PeH = 10
3
ξ=1
erro de solução
PeH = 1
3
6
12
15
35.7757
72.5352
144.574
34.8488 27.0978 9.05009
67.9371 37.3617 8.52423
125.368 38.9341 8.46468
erro de solução
3
6
12
25
50
100
200
35.8745
73.0238
146.681
305.435
608.851
1208.99
35.8198 35.3016
72.6188 68.8247
144.579 125.615
295.815 217.167
570.767 312.027
1062.83 349.565
erro de solução
PeH = 0.1
32.8593
52.0686
57.3918
46.5413
41.5006
40.7529
Com o objetivo de contornar as dificuldades numéricas encontradas na solução
cujos resultados foram apresentados anteriormente (tabela 7.17), os resultados foram
recalculados utilizando uma rota alternativa. A solução analítica envolvendo exponenciais de matrizes, dada pelas equações 5.80, junto com o método do tiro foram
utilizados para obter os valores de Nusselt. Os resultados são apresentados na tabela
7.18. Como pode-se observar, com esta alternativa, é possível obter resultados para
casos anteriormente inviáveis. Esta tabela também apresenta as colunas SWP e MWP.
Estes valores representam o número de casas decimais necessárias para executar a solução. MWP é valor utilizado para o cálculo das matrizes exponenciais e SWP é o
105
valor utilizado para o método do tiro.
Tab. 7.18: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas — solução analítica com exponenciais de matrizes.
I
SWP MWP ξ = 0.001 ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
PeH = 10
3
6
12
16
16
16
45
75
80
34.8909
67.8090
27.3693 8.27696 7.45751
36.7766 8.11875 7.69144
erro de solução
PeH = 1
3
6
12
25
–
16
16
16
16
–
16
16
16
30
–
35.7757
72.5352
144.574
296.005
3
6
12
25
50
–
16
16
16
16
16
–
16
16
16
16
16
–
35.8745
73.0238
146.681
305.435
608.851
34.8488 27.0978
67.9371 37.3617
125.368 38.9341
218.285 32.5341
erro de solução
9.05009
8.52423
8.45597
8.45334
PeH = 0.1
35.8198 35.3016
72.6188 68.8247
144.579 125.615
295.815 217.167
570.767 312.027
erro de solução
32.8593
52.0686
57.3918
46.5413
41.5006
Em seguida, as soluções para o caso aproximado sem difusão axial, representando
os casos com valores grandes de Péclet são apresentados. A tabela 7.19 mostra os valores de Nusselt obtidos para diferentes malhas transversais calculados em diferentes
posições axiais. Os resultados mostram que os valores de Nusselt obtidos com número
de Péclet grande com discretização em apenas uma direção são muito próximos dos resultados obtidos com discretização em duas direções. Para este caso, como o problema
é reduzido a um problema de valor inicial, a solução numérica é realizada sem nenhum
problema, podendo facilmente serem calculados valores de Nusselt para malhas muito
refinadas.
106
Tab. 7.19: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas com Péclet
grande.
I
3
5
10
20
40
80
100
120
140
160
180
200
250
300
350
400
450
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
2500
ξ = 0.001 ξ = 0.01
22.7720
29.7022
24.5340
24.7082
24.6923
24.6892
24.6888
24.6886
24.6884
24.6884
24.6884
24.6883
24.6883
24.6883
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
14.1417
12.0181
12.0401
12.0206
12.0160
12.0149
12.0147
12.0147
12.0146
12.0146
12.0146
12.0146
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
ξ = 0.1
ξ=1
7.53344
7.61568
7.63233
7.63279
7.63239
7.63222
7.63225
7.63220
7.63217
7.63217
7.63216
7.63217
7.63216
7.63216
7.63216
7.63216
7.63216
7.63215
7.63215
7.63215
7.63215
7.63215
7.63215
7.63215
7.63215
7.63215
7.36294
7.49827
7.53491
7.53989
7.54058
7.54068
7.54074
7.54071
7.54069
7.54069
7.54069
7.54070
7.54071
7.54071
7.54070
7.54070
7.54070
7.54070
7.54070
7.54070
7.54070
7.54071
7.54070
7.54070
7.54070
7.54070
107
Análise da influência de ξmax
7.4
O objetivo desta seção é verificar a influência do comprimento máximo do canal (ξmax )
nos valores de Nusselt. São apresentados resultados calculados com discretização bidirecional baseada no esquema de diferenças híbrido HDS para o cálculo do número de
Nusselt. Os casos com a aproximação de Péclet grande são calculados com a solução
com discretização longitudinal apenas.
7.4.1
Resultados com Péclet grande
Os valores de Nusselt obtidos para número de Péclet grande para diferentes valores
de ξmax = (1 2, 4, 8) são apresentados nas tabelas 7.20 e 7.21. Como o desempenho
da solução unidirecional foi muito superior para este caso, apenas esta alternativa foi
utilizada para estes resultados. Comprando os valores apresentados é possível observar que o valor de ξmax não influencia os valores de Nusselt, tanto na entrada quanto
na saída do canal. Para a malha com 400 divisões longitudinais percebe-se alguma
flutuação para ξ > 1; todavia, estas desaparecem quando a malha é refinada para 800,
confirmando o que o aumento de ξmax além de ξ = 1 não influencia a solução para
este caso. Isto também confirma o fato que para este caso, o desenvolvimento térmico
é atingido para ξmax ≈ 1.
ξmax
1
2
4
8
ξmax
1
2
4
8
Tab. 7.20: Número de Nusselt com PeH grande com J = 400.
ξ = 0.001 ξ = 0.01
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
ξ = 0.1
7.63214
7.63214
7.63214
7.63214
ξ=1
ξ=2
ξ=4
Tab. 7.21: Número de Nusselt com PeH grande com J = 800.
ξ = 0.001 ξ = 0.01
24.6882
24.6882
24.6882
24.6882
12.0145
12.0145
12.0145
12.0145
ξ = 0.1
7.63215
7.63215
7.63215
7.63215
ξ=8
7.54069
—
—
—
7.54069 7.54069
—
—
7.54069 7.54069 7.53692
—
7.54069 7.54069 7.50788 7.54070
ξ=1
ξ=2
ξ=4
ξ=8
7.54070
—
—
—
7.54070 7.54070
—
—
7.54070 7.54070 7.54070
—
7.54070 7.54070 7.54070 7.54070
7.4.2
108
Resultados para demais valores de Péclet
As tabelas 7.22 e 7.23 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de PeH = 10
para diferentes valores de ξmax . Para calcular os resultados para valores de Péclet iguais
a 10 e menores, a solução com discretização bidirecional foi utilizada. Os resultados
para número de PeH = 10 apresentam um comportamento parecido ao observado para
Péclet grande, com o valor de ξmax (acima de 1) tendo pouca influência sobre os valores
de Nusselt. Como para estes casos soluções com discretização axial foram utilizadas,
naturalmente o aumento do valor de ξmax influencia a necessidade de refinamento da
malha para obtenção da convergência. Em outras palavras, quando o valor de ξmax é
dobrado, é necessário o dobro do número de volumes para obter a mesma convergência
e os mesmos valores, ou valores muito próximos, para Nusselt. Devido a este fato, os
resultados para diferentes valores de ξmax foram apresentados fixando-se o tamanho
do espaçamento da malha axial ∆ξ = ξmax /I .
Tab. 7.22: Número de Nusselt com PeH = 10 com ∆ξ = 1/100 e J = 400.
ξmax
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
ξ=2
ξ=4
1
2
4
3558.76
3558.76
3558.76
-988.958 8.23126 7.72669
—
—
-988.958 8.23126 7.56840 7.72669
—
-988.958 8.23126 7.56840 7.56840 7.72669
ξ=8
—
—
—
ξmax
1
2
4
ξ = 0.001 ξ = 0.01
2423.09
2423.09
2423.09
ξ = 0.1
ξ=1
ξ=2
ξ=4
26.5349 8.19112 7.73136
—
—
26.5349 8.19112 7.56884 7.73136
—
26.5349 8.19112 7.56884 7.56884 7.73136
ξ=8
—
—
—
Analisando os valores de Nusselt para posições ξ ≥ 1 percebe-se que, similar ao
caso com Péclet grande, que o desenvolvimento térmico também é atingido para ξmax ≈
1, onde os valores de Nusselt não mudam para ξ > 1. Entretanto, o valor na saída do
canal (onde a condição de contorno de derivada nula é aplicada) é sempre um pouco
diferente dos valores anteriores. Isto mostra que a condição de contorno na saída
mascara o resultado dos valores de Nusselt nesta posição. Desta forma, para obter
o resultado em uma determinada posição ξ, o ideal é calcular os valores de Nusselt
109
também em uma posição a frente, ou seja um ξmax maior, para minimizar a influencia
da condição de contorno na saída do canal.
As tabelas 7.24 e 7.25 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de
PeH = 1 para diferentes valores de ξmax . Diferente do que foi observado para os casos
anteriores, os valores de Nusselt são alterados para valores ξmax > 1. Todavia, esta
alteração é cada vez menor, mostrando que haverá um valor de ξmax não muito maior
que ξ = 1 acima do qual não haverá mais mudanças nos valores de Nusselt. Outra observação que pode ser feita é que o valor de ξmax tem mais influência sobre os valores
de Nusselt calculados em posições próximas à saída do canal. Desta forma, para calcular valores de Nusselt próximos à entrada do canal, valores de ξmax não tão elevados
poderão ser utilizados.
ξmax
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
1
2
4
8
3702.74
3703.03
3703.04
3703.04
-479.736
-480.127
-480.144
-480.144
29.1524
29.3415
29.3498
29.3498
ξ=1
ξ=2
ξ=4
ξ=8
8.44967
—
—
—
8.26176 8.06121
—
—
8.25709 7.93031 8.04556
—
8.25708 7.92976 7.91624 8.04553
ξmax
1
2
4
8
ξ = 0.001 ξ = 0.01
3021.41
3021.65
3021.66
ξ = 0.1
ξ=1
ξ=2
ξ=4
247.072 29.1532 8.44994
—
—
247.262 29.3423 8.26180 8.06136
247.271 29.3506 8.25712 7.93044 8.04571
ξ=8
—
—
Finalmente, as tabelas de 7.26 até 7.29 mostram os valores de Nusselt obtidos para
número de PeH = 0.1 para diferentes valores de ξmax . De maneira similar ao observado
para valores de PeH = 1, o valor de ξmax influencia os valores de Nusselt. Entretanto,
para estes casos, esta influência é muito maior, mostrando que o valor adequado de
ξmax que deve ser utilizado para calcular o Nusselt será muito maior que ξ = 1. Da
mesma forma, o escoamento só atingirá o desenvolvimento térmico para valores de
ξmax notavelmente superiores à unidade.
110
Tab. 7.26: Número de Nusselt com PeH = 0.1 com ∆ξ = 1/25 e J = 400.
ξmax
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
ξ=2
1
2
4
8
16
32
4662.39
4662.50
4662.68
4662.89
4662.98
4662.99
2824.14
2824.77
2825.88
2827.13
2827.71
2827.76
267.417
267.297
268.176
269.327
269.868
269.919
40.5241
29.4560
28.4050
29.2117
29.7118
29.7606
—
21.1022
16.3414
16.7101
17.1834
17.232
ξ=4
ξ=8
ξ = 16
ξ = 32
—
—
—
—
—
—
—
—
12.1468
—
—
—
10.8357 8.87788
—
—
11.2207 8.75216 8.16318
—
11.2683 8.79449 8.14524 8.11000
ξ = 0.001 ξ = 0.01
ξmax
1
2
4
8
16
4598.96
4599.07
4599.25
4599.45
4599.55
2545.35
2545.91
2546.91
2548.03
2548.55
ξ = 0.1
ξ=1
ξ=2
265.268
265.143
266.013
267.155
267.691
40.5688
29.4559
28.4050
29.2116
29.7117
ξ=4
ξ=8
—
—
—
—
21.1077
—
—
—16.3413 12.1475
—
—
16.7101 10.8356 8.87795
—
17.1834 11.2207 8.75215 8.16318
ξ = 0.001 ξ = 0.01
ξmax
1
2
4
8
4590.87
4590.98
4591.16
4591.37
2688.30
2688.90
2689.95
2691.14
ξ = 0.1
265.222
265.096
265.966
267.108
ξ=1
ξ=2
ξ=4
ξ=8
40.5799
—
—
—
29.4559 21.1091
—
—
28.4049 16.3413 12.1477
—
29.2116 16.7101 10.8356 8.87796
ξmax
1
2
4
8
ξ = 0.001 ξ = 0.01
4605.83
4605.94
ξ = 0.1
ξ = 16
ξ=1
ξ=2
2799.73 265.120 40.5827
—
2800.35 264.994 29.4559 21.1095
ξ=4 ξ=8
—
—
—
—
7.5
111
Evolução de Nusselt
O objetivo desta seção é comparar graficamente os resultados obtidos para Nusselt, calculados com diferentes números de Péclet. São apresentados gráficos com resultados
calculados com discretização bidirecional baseada no esquema de diferenças híbrido
HDS. Para calcular os resultados para valores de Péclet igual a 10 e menores, a solução com discretização bidirecional foi utilizada. Os casos com a aproximação de
Péclet grande são calculados com a solução com discretização longitudinal apenas.
No figura 7.1 é apresentada a evolução dos números de Nusselt obtidos para número de Péclet grande e PeH = 10, utilizando o valor de ξmax = 1.1 para para PeH = 10.2
Analisando os valores de Nusselt percebe-se que o desenvolvimento térmico é atingido
para ξmax ≈ 0.3, onde os valores de Nusselt praticamente não mudam para ξ > 0.3, tanto
para número de Péclet grande quanto para PeH = 10. O gráfico também mostra como
a escolha de ξmax = 1 é adequada para a solução.
Nu
14
12
10
8
Ξ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fig. 7.1: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 10 e Péclet
grande (tracejado).
No gráfico da figura 7.2 é apresentada a evolução dos números de Nusselt obtidos
para número de Péclet grande e PeH = 1. Para a solução com PeH = 1 foi utilizado um
valor de ξmax = 2.5. Diferente do que foi observado para o caso anterior, os valores de
2
A solução utilizada para Péclet grande não requer a escolha de um valor para ξmax .
112
Nusselt são alterados para valores ξ > 1. No entanto, esta alteração é cada vez menor,
aproximando-se do desenvolvimento térmico, o qual aparenta, graficamente, ser atingido e torno de ξ = 2. A curva dos resultados para número de PeH = 1 aproxima-se
da curva para Péclet grande, somente com o valor de ξmax (acima de 1). Comparando
os gráficos para PeH = 10 e PeH = 1, observa-se que a redução do número de Péclet
requer um comprimento maior do canal para que o desenvolvimento térmico seja atingido. Além disso, observa-se uma diferença significativa dos valores do número de
Nusselt nas posições junto à entrada do canal (ξmax ≤ 1).
Nu
20
18
16
14
12
10
8
Ξ
0.5
1.0
1.5
2.0
Fig. 7.2: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 1 e Péclet
grande (tracejado).
Na figura 7.3 é apresentada a evolução do número de Nusselt obtido para PeH = 0.1,
juntamente com o resultado anterior para Péclet grande. Utilizou-se o valore de ξmax =
9 para calcular a solução com Péclet pequeno. Conforme esperado, de maneira similar
ao observado para valores de PeH = 1, o valor de ξmax influencia os valores de Nusselt.
Entretanto, para estes casos, a influência é muito maior, mostrando a necessidade um
valor de ξmax bem maior que ξ = 2 para calcular o Nusselt. Mesmo para valores de
ξmax = 8, apesar de estar próximo do desenvolvimento térmico, os valores Nusselt
ainda apresentam uma pequena variação com ξ para PeH = 0.1.
Nos gráficos de 7.4 até 7.6 é apresentada a evolução dos números de Nusselt ob-
113
Nu
40
35
30
25
20
15
10
Ξ
2
4
6
8
Fig. 7.3: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para PeH = 0.1 e Péclet
grande (tracejado).
tidos para diferentes números de Péclet, sendo: PeH = 10 (preto), PeH = 1 (azul),
PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). Nestes gráficos a escala do valor de
Nusselt varia de modo a facilitar a visualização e a comparação dos valores de Nusselt
para os diferentes números de Péclet. Como já observado nos gráficos anteriores, a posição axial no canal não influencia nos resultados do número Nusselt para valores de
PeH ≥ 10, sendo o valor de ξmax ≈ 1 suficiente para atingir o desenvolvimento térmico.
Já para valores de Péclet pequenos a influencia é ainda grande, sendo necessário um
canal notavelmente maior para atingir o desenvolvimento térmico. Os gráficos apresentados nesta seção ilustram de forma clara o que foi mostrado nas tabelas da seção
anterior, ratificando alguns comentários apresentados anteriormente.
114
Nu
40
35
30
25
20
15
10
Ξ
2
4
6
8
Fig. 7.4: Evolução de Nusselt com a posição axial: PeH = 10 (preto), PeH = 1 (azul),
PeH = 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado).
Nu
25
20
15
10
Ξ
2
4
6
8
Fig. 7.5: Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre diferentes valores de Péclet (escala menor).
115
Nu
14
12
10
8
Ξ
2
4
6
8
Fig. 7.6: Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre diferentes valores de Péclet (escala menor ainda).
7.6
116
Verificação da ordem do erro
O objetivo desta seção é comparar o erro percentual dos resultados obtidos nas seções anteriores, com diferentes métodos de discretização, para diferentes posições e
diferentes valores de número de Péclet. Para comparação foram calculados os erros
considerendo o refinamento da malha em J e também o erro considerando o refinamento da malha em I . Naturalmente, como não há solução exata, o erro calculado
toma como valor “exato” o valor mais próximo do convergido. O erro global é calculando tomando-se o melhor valor obtido (com a malha mais refinada, tanto em I
quanto em J ). O erro local compara a evolução do erro em cada conjunto de malhas
(fixando-se I ou J ).
As tabelas de 7.30 até 7.35 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização baseada no método de diferenção centradas - CDS,
com números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1 e PeH = 0.1). As tabelas de 7.36 até 7.39
mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização
baseada no método hibrido - HDS, com números de Péclet (PeH = 10, PeH = 1). As tabelas de 7.40 até 7.43 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos
com a discretização baseada nos métodos CDS e HDS, com número de Péclet grande.
Já as tabelas 7.44 e 7.45 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização baseada no método UDS, com número de Péclet grande.
E finalmente a tabela 7.46 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt
obitidos com a discretização em apenas uma direção, baseada no método HDS, com
número de Péclet grande.
117
Tab. 7.30: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
45.48 97.00
13.57 93.74
127.07 87.49
354.02 74.99
807.91 50.00
1715.67 0.00
47.24 96.97
9.45
93.72
118.42 87.48
336.35 74.98
772.21 49.99
1643.91 0.00
49.85 96.88
2.35
93.64
102.76 87.40
303.65 74.92
705.49 49.94
1509.19 0.00
52.52 96.50
8.28
93.24
75.89 87.04
244.53 74.62
582.17 49.76
1257.71 0.00
53.57 94.98
18.65 91.20
38.55 85.02
150.22 72.95
374.65 48.68
824.89 0.00
53.20 84.77
21.87 74.58
8.34
64.75
39.66 54.56
94.37 36.76
207.35 0.00
52.66 126.06
19.57 144.28
7.13 158.97
7.37 150.99
94.56 102.99
281.65 0.00
52.38 52.38
17.55 17.55
17.26 17.26
29.34 29.34
13.84 13.84
0.00
0.00
ERRO %
global
local
271.84 96.90
660.79 93.65
1408.75 87.41
2904.67 74.92
5896.51 49.95
11880.15 0.00
144.76 96.40
363.04 93.19
784.91 86.99
1629.84 74.57
3320.37 49.71
6701.76 0.00
16.30
13.09
11.42
8.35
7.31
4.35
4.84
1.95
3.52
0.67
2.83
0.00
8.54
102.68
125.01 99.27
357.91 92.45
813.86 79.11
1716.68 52.68
3516.78 0.00
28.44
40.26
6.26
16.03
6.35
2.27
8.98
0.60
8.84
0.46
8.43
0.00
31.14
31.39
10.79
11.01
1.56
1.76
0.11
0.30
0.14
0.06
0.19
0.00
31.65
31.65
10.91
10.92
1.72
1.72
0.31
0.32
0.06
0.06
0.00
0.00
31.77
31.77
10.87
10.87
1.68
1.68
0.31
0.31
0.06
0.06
0.00
0.00
ERRO %
global local
355.79 98.11
801.64 94.81
1656.31 88.48
3364.37 75.84
6779.89 50.56
13610.57 0.00
1.31
0.03
1.34
0.00
1.34
0.00
1.34
0.00
1.34
0.00
1.34
0.00
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0.00
0.30
0.00
0.30
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0.30
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0.08
0.00
0.08
0.00
0.08
0.00
0.08
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0.00
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0.00
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0.00
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0.00
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0.00
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0.05
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0.00
0.00
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0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
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0.24 0.20
0.35 0.09
0.40 0.05
0.44 0.00
0.44 0.00
0.51 0.21
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0.70 0.03
0.71 0.02
0.73 0.00
0.73 0.00
0.41 0.13
0.51 0.04
0.53 0.01
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0.55 0.00
0.55 0.00
0.14 0.11
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0.25 0.01
0.25 0.00
0.26 0.00
0.26 0.00
0.02 0.11
0.07 0.02
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0.09 0.00
0.09 0.00
0.09 0.00
0.08 0.11
0.00 0.02
0.02 0.01
0.02 0.00
0.02 0.00
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0.10 0.10
0.02 0.02
0.00 0.01
0.00 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.10 0.10
0.02 0.02
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
118
Tab. 7.31: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - CDS.
I
J
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
12
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
400
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global
local
45.48
14.50
47.24
10.80
49.85
5.32
52.52
0.30
53.57
2.49
53.20
1.72
52.66
0.59
52.38
0.00
13.57
37.74
9.45
32.74
2.35
24.13
8.28
11.24
18.65
1.34
21.87
5.24
19.57
2.46
17.55
0.00
127.07 93.65
118.42 86.27
102.76 72.92
75.89
50.01
38.55
18.16
8.34
7.61
7.13
8.64
17.26
0.00
354.02 251.03
336.35 237.37
303.65 212.09
244.53 166.38
150.22 93.46
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7.98
7.37
28.38
29.34
0.00
807.91 697.51
772.21 666.15
705.49 607.54
582.17 499.22
374.65 316.93
94.37
70.73
94.56
95.23
13.84
0.00
1715.67 1715.67
1643.91 1643.91
1509.19 1509.19
1257.71 1257.71
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207.35 207.35
281.65 281.65
0.00
0.00
ERRO %
global
local
271.84
182.20
144.76
85.75
16.30
11.74
8.54
30.59
28.44
2.52
31.14
0.48
31.65
0.09
31.77
0.00
660.79
586.18
363.04
317.64
11.42
0.49
125.01
122.56
6.26
4.16
10.79
0.07
10.91
0.04
10.87
0.00
1408.75 1383.76
784.91
770.25
7.31
5.53
357.91
353.64
6.35
7.90
1.56
0.12
1.72
0.03
1.68
0.00
2904.67 2895.30
1629.84 1624.45
4.84
4.52
813.86
811.64
8.98
9.26
0.11
0.20
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0.00
0.31
0.00
5896.51 5892.95
3320.37 3318.34
3.52
3.45
1716.68 1715.72
8.84
8.90
0.14
0.20
0.06
0.00
0.06
0.00
11880.15 11880.15
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2.83
2.83
3516.78 3516.78
8.43
8.43
0.19
0.19
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global
local
355.79
355.93
1.31
1.36
0.24
0.30
0.03
0.08
0.03
0.02
0.05
0.00
0.05
0.00
0.05
0.00
801.64
801.66
1.34
1.34
0.29
0.30
0.08
0.08
0.02
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1656.31 1656.30
1.34
1.34
0.30
0.30
0.08
0.08
0.02
0.02
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3364.37 3364.36
1.34
1.34
0.30
0.30
0.08
0.08
0.02
0.02
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6779.89 6779.88
1.34
1.34
0.30
0.30
0.08
0.08
0.02
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
13610.57 13610.57
1.34
1.34
0.30
0.30
0.08
0.08
0.02
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.04 0.06
0.51 0.62
0.41 0.52
0.14 0.25
0.02 0.09
0.08 0.02
0.10 0.01
0.10 0.00
0.24 0.26
0.65 0.67
0.51 0.53
0.23 0.25
0.07 0.09
0.00 0.02
0.02 0.01
0.02 0.00
0.35 0.35
0.70 0.70
0.53 0.54
0.25 0.25
0.08 0.09
0.02 0.02
0.00 0.01
0.01 0.00
0.40 0.40
0.71 0.71
0.54 0.54
0.25 0.25
0.09 0.09
0.02 0.03
0.00 0.01
0.00 0.00
0.44 0.44
0.73 0.73
0.55 0.55
0.26 0.26
0.09 0.09
0.02 0.03
0.01 0.01
0.00 0.00
0.44 0.44
0.73 0.73
0.55 0.55
0.26 0.26
0.09 0.09
0.03 0.03
0.01 0.01
0.00 0.00
119
Tab. 7.32: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
94.82 96.95
89.30 93.69
78.69 87.45
57.49 74.96
15.08 49.97
69.75 0.00
94.83 96.83
89.42 93.52
79.20 87.26
58.85 74.79
18.16 49.87
63.24 0.00
94.83 96.59
89.45 93.05
79.63 86.58
60.71 74.11
23.24 49.41
51.75 0.00
94.82 96.10
89.44 92.04
79.76 84.75
62.33 71.61
30.21 47.41
32.69 0.00
94.82 95.22
89.42 90.23
79.69 81.24
62.74 65.58
35.80 40.71
8.28 0.00
94.82 94.39
89.40 88.52
79.61 77.91
62.41 59.28
36.61 31.33
7.70 0.00
94.82 94.50
89.40 88.74
79.56 78.29
62.08 59.72
35.06 31.03
5.85 0.00
94.82 94.82
89.39 89.39
79.53 79.53
61.92 61.92
33.99 33.99
0.00 0.00
ERRO %
global local
53.70 96.29
12.50 93.00
64.74 86.81
219.39 74.44
529.26 49.63
1149.41 0.00
54.25 93.75
21.73 89.32
24.98 82.94
111.20 71.17
284.27 47.54
632.55 0.00
53.72 55.15
22.49 24.89
3.32
0.13
11.29
7.85
7.82
4.49
3.19
0.00
53.25 126.00
19.83 144.59
9.38 160.84
0.01 155.63
86.10 107.73
279.79 0.00
53.06 49.31
18.50 11.98
16.40 25.71
28.59 38.88
10.19 19.00
7.41
0.00
53.03 52.98
18.27 18.19
17.41 17.52
31.21 31.34
14.30 14.40
0.09
0.00
53.02 53.04
18.21 18.25
17.66 17.60
31.78 31.71
14.61 14.56
0.05
0.00
53.02 53.02
18.20 18.20
17.73 17.73
31.92 31.92
14.64 14.64
0.00
0.00
ERRO %
global local
6.23 104.06
84.31 100.60
266.34 93.64
620.52 80.09
1320.05 53.32
2713.81 0.00
31.95 31.87
12.23 12.16
2.50
2.44
0.50
0.44
0.13
0.08
0.06
0.00
33.08 33.20
11.63 11.72
1.81
1.90
0.26
0.34
0.02
0.06
0.09
0.00
33.44 33.44
11.64 11.64
1.83
1.83
0.34
0.34
0.06
0.06
0.00
0.00
33.52 33.52
11.61 11.61
1.81
1.81
0.34
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0.06
0.06
0.00
0.00
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1.80
1.80
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0.33
0.06
0.06
0.00
0.00
33.55 33.55
11.60 11.60
1.80
1.80
0.33
0.33
0.06
0.06
0.00
0.00
33.55 33.55
11.60 11.60
1.80
1.80
0.33
0.33
0.06
0.06
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.00 0.17
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0.16 0.00
0.16 0.00
0.16 0.00
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0.03 0.00
0.03 0.00
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0.01 0.00
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0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.18 0.18
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0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.18 0.18
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.18 0.18
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0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.18 0.18
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
120
Tab. 7.33: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - CDS.
I
J
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
12
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
400
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
94.82 0.09
94.83 0.26
94.83 0.20
94.82 0.11
94.82 0.05
94.82 0.02
94.82 0.01
94.82 0.00
89.30 0.92
89.42 0.21
89.45 0.55
89.44 0.41
89.42 0.22
89.40 0.09
89.40 0.03
89.39 0.00
78.69 4.11
79.20 1.65
79.63 0.47
79.76 1.10
79.69 0.77
79.61 0.36
79.56 0.11
79.53 0.00
57.49 11.63
58.85 8.04
60.71 3.16
62.33 1.08
62.74 2.15
62.41 1.30
62.08 0.43
61.92 0.00
15.08 28.65
18.16 23.97
23.24 16.29
30.21 5.71
35.80 2.75
36.61 3.98
35.06 1.63
33.99 0.00
69.75 69.75
63.24 63.24
51.75 51.75
32.69 32.69
8.28 8.28
7.70 7.70
5.85 5.85
0.00 0.00
ERRO %
global
local
53.70
1.45
54.25
2.62
53.72
1.50
53.25
0.49
53.06
0.10
53.03
0.02
53.02
0.00
53.02
0.00
12.50
6.97
21.73
4.32
22.49
5.24
19.83
2.00
18.50
0.37
18.27
0.09
18.21
0.02
18.20
0.00
64.74
39.93
24.98
6.16
3.32
12.23
9.38
7.09
16.40
1.13
17.41
0.26
17.66
0.05
17.73
0.00
219.39 142.12
111.20 60.10
11.29
15.63
0.01
24.19
28.59
2.52
31.21
0.53
31.78
0.10
31.92
0.00
529.26 448.89
284.27 235.18
7.82
5.95
86.10
87.87
10.19
3.88
14.30
0.30
14.61
0.03
14.64
0.00
1149.41 1149.41
632.55 632.55
3.19
3.19
279.79 279.79
7.41
7.41
0.09
0.09
0.05
0.05
0.00
0.00
ERRO %
global
local
6.23
20.46
31.95
1.20
33.08
0.35
33.44
0.08
33.52
0.02
33.54
0.00
33.55
0.00
33.55
0.00
84.31
85.94
12.23
0.56
11.63
0.03
11.64
0.04
11.61
0.01
11.60
0.00
11.60
0.00
11.60
0.00
266.34 263.40
2.50
0.69
1.81
0.02
1.83
0.04
1.81
0.01
1.80
0.00
1.80
0.00
1.80
0.00
620.52 618.79
0.50
0.16
0.26
0.08
0.34
0.00
0.34
0.00
0.33
0.00
0.33
0.00
0.33
0.00
1320.05 1319.28
0.13
0.07
0.02
0.08
0.06
0.00
0.06
0.00
0.06
0.00
0.06
0.00
0.06
0.00
2713.81 2713.81
0.06
0.06
0.09
0.09
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.00 0.18
0.15 0.04
0.17 0.01
0.18 0.00
0.18 0.00
0.18 0.00
0.18 0.00
0.18 0.00
0.13 0.17
0.00 0.03
0.03 0.01
0.04 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.16 0.17
0.02 0.03
0.00 0.01
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.16 0.16
0.03 0.03
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.16 0.16
0.03 0.03
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.16 0.16
0.03 0.03
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
121
Tab. 7.34: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
93.85 96.92
87.19 93.58
74.48 87.21
49.35 74.62
0.42 49.69
99.60 0.00
93.85 96.85
87.19 93.45
74.47 86.95
49.38 74.13
0.33 49.05
95.64 0.00
93.85 96.81
87.18 93.36
74.46 86.77
49.34 73.75
0.43 48.40
92.98 0.00
93.85 96.80
87.18 93.35
74.46 86.74
49.31 73.69
0.28 48.24
92.64 0.00
93.85 96.82
87.18 93.37
74.45 86.78
49.29 73.76
0.14 48.33
93.27 0.00
93.85 96.82
87.18 93.39
74.45 86.82
49.28 73.83
0.06 48.44
93.82 0.00
93.85 96.83
87.18 93.40
74.45 86.84
49.27 73.87
0.02 48.50
94.14 0.00
93.85 93.85
87.18 87.18
74.45 74.45
49.27 49.27
0.00 0.00
ERRO %
global local
92.18 95.90
84.05 91.64
69.44 83.99
43.50 70.39
2.56 46.25
90.82 0.00
92.18 94.88
84.02 89.54
69.31 79.92
43.66 63.14
4.29 37.39
52.87 0.00
92.18 94.32
84.00 88.39
69.19 77.64
43.10 58.70
3.70 30.10
37.78 0.00
92.17 94.62
83.99 89.00
69.13 78.79
42.67 60.60
1.32 32.18
45.51 0.00
92.17 94.84
83.99 89.43
69.11 79.62
42.51 62.06
0.25 34.18
51.55 0.00
92.17 94.87
83.99 89.50
69.11 79.74
42.48 62.28
0.06 34.46
52.49 0.00
92.17 94.88
83.99 89.52
69.11 79.77
42.47 62.33
0.01 34.53
52.72 0.00
92.17 92.17
83.99 83.99
69.11 69.11
42.47 42.47
0.00 0.00
ERRO %
global local
58.79 151.30
29.45 187.83
1.90 222.12
2.11 221.86
56.20 154.52
180.33 0.00
58.68 53.06
28.69 18.98
1.98 15.86
13.56 29.03
0.16 13.44
11.99 0.00
58.66 52.65
28.57 18.18
2.51 17.42
14.64 31.31
0.14 14.38
12.69 0.00
58.66 52.64
28.54 18.13
2.65 17.59
14.95 31.69
0.02 14.54
12.71 0.00
58.66 52.62
28.53 18.09
2.68 17.68
15.03 31.82
0.00 14.60
12.74 0.00
58.66 52.61
28.53 18.08
2.69 17.70
15.04 31.86
0.00 14.62
12.75 0.00
58.66 52.61
28.53 18.08
2.70 17.71
15.05 31.87
0.00 14.62
12.75 0.00
58.66 58.66
28.52 28.52
2.70
2.70
15.05 15.05
0.00
0.00
ERRO %
global local
40.37 41.40
13.51 14.34
1.45 2.19
0.32 0.41
0.65 0.08
0.73 0.00
41.09 41.41
14.34 14.60
2.02 2.25
0.19 0.42
0.15 0.08
0.23 0.00
41.25 41.41
14.53 14.66
2.14 2.26
0.30 0.42
0.04 0.08
0.11 0.00
41.29 41.42
14.57 14.68
2.17 2.26
0.33 0.42
0.01 0.08
0.09 0.00
41.30 41.42
14.59 14.68
2.18 2.26
0.34 0.42
0.00 0.08
0.08 0.00
41.30 41.42
14.59 14.68
2.18 2.26
0.34 0.42
0.00 0.08
0.08 0.00
41.30 41.42
14.59 14.68
2.18 2.26
0.34 0.42
0.00 0.08
0.08 0.00
41.31 41.31
14.59 14.59
2.18 2.18
0.34 0.34
0.00 0.00
122
Tab. 7.35: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 0.1 - CDS.
I
J
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
12
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
400
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
96.83 0.01
96.83 0.00
96.83 0.00
96.83 0.00
96.83 0.00
96.83 0.00
96.83 0.00
96.83 0.00
93.40 0.04
93.40 0.02
93.40 0.01
93.40 0.01
93.40 0.00
93.40 0.00
93.40 0.00
93.40 0.00
86.85 0.11
86.85 0.07
86.85 0.04
86.84 0.02
86.84 0.01
86.84 0.00
86.84 0.00
86.84 0.00
73.91 0.15
73.93 0.22
73.91 0.15
73.89 0.08
73.88 0.04
73.87 0.01
73.87 0.00
73.87 0.00
48.28 0.42
48.66 0.33
48.71 0.43
48.64 0.28
48.57 0.14
48.52 0.06
48.50 0.02
48.49 0.00
2.81 2.81
0.77 0.77
0.60 0.60
0.77 0.77
0.45 0.45
0.16 0.16
0.00 0.00
ERRO %
global local
94.88 0.09
94.88 0.04
94.88 0.02
94.88 0.01
94.88 0.00
94.88 0.00
94.88 0.00
94.88 0.00
89.55 0.36
89.53 0.18
89.52 0.07
89.52 0.02
89.52 0.00
89.52 0.00
89.52 0.00
89.52 0.00
79.99 1.09
79.90 0.65
79.83 0.29
79.79 0.09
79.77 0.02
79.77 0.00
79.77 0.00
79.77 0.00
63.01 1.79
63.11 2.07
62.74 1.09
62.46 0.35
62.36 0.07
62.34 0.02
62.33 0.00
62.33 0.00
32.84 2.56
37.33 4.29
36.94 3.70
35.38 1.32
34.68 0.25
34.56 0.06
34.53 0.01
34.52 0.00
24.95 24.95
0.10 0.10
9.78 9.78
4.72 4.72
0.77 0.77
0.15 0.15
0.00 0.00
ERRO %
global local
52.76 0.32
52.64 0.06
52.62 0.02
52.61 0.00
52.61 0.00
52.61 0.00
52.61 0.00
52.61 0.00
19.13 1.29
18.27 0.24
18.12 0.06
18.09 0.01
18.08 0.00
18.08 0.00
18.08 0.00
18.08 0.00
12.44 4.48
16.88 0.70
17.50 0.18
17.66 0.04
17.70 0.01
17.71 0.00
17.71 0.00
17.71 0.00
12.20 14.91
30.17 1.29
31.40 0.36
31.76 0.09
31.84 0.02
31.86 0.01
31.87 0.00
31.87 0.00
49.80 56.20
14.44 0.16
14.46 0.14
14.60 0.02
14.62 0.00
14.62 0.00
14.62 0.00
14.62 0.00
192.07 192.07
0.88
0.88
0.07
0.07
0.05
0.05
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
40.48 0.66
41.20 0.15
41.36 0.04
41.40 0.01
41.41 0.00
41.42 0.00
41.42 0.00
41.42 0.00
13.60 0.95
14.43 0.21
14.62 0.05
14.67 0.01
14.68 0.00
14.68 0.00
14.68 0.00
14.68 0.00
1.53 0.72
2.10 0.16
2.22 0.04
2.25 0.01
2.26 0.00
2.26 0.00
2.26 0.00
2.26 0.00
0.24 0.66
0.27 0.15
0.38 0.04
0.41 0.01
0.42 0.00
0.42 0.00
0.42 0.00
0.42 0.00
0.57 0.65
0.07 0.15
0.04 0.04
0.07 0.01
0.08 0.00
0.08 0.00
0.08 0.00
0.08 0.00
0.65 0.65
0.15 0.15
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
123
Tab. 7.36: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
45.37 97.00
13.82 93.75
127.57 87.49
355.03 74.99
809.94 50.00
1719.74 0.00
47.14 96.98
9.67
93.72
118.89 87.48
337.30 74.98
774.12 49.99
1647.75 0.00
49.79 96.88
2.50
93.64
103.07 87.40
304.29 74.92
706.78 49.95
1511.79 0.00
52.50 96.50
8.22
93.25
76.04 87.05
244.83 74.63
582.79 49.76
1258.96 0.00
53.58 94.98
18.63 91.21
38.59 85.02
150.31 72.95
374.84 48.68
825.29 0.00
53.21 84.78
21.87 74.58
8.35
64.75
39.67 54.56
94.39 36.76
207.39 0.00
52.67 126.06
19.57 144.27
7.13 158.97
7.37 150.99
94.56 102.99
281.65 0.00
52.38 52.38
17.55 17.55
17.26 17.26
29.34 29.34
13.84 13.84
0.00
0.00
ERRO %
global
local
278.98 96.90
676.19 93.66
1440.04 87.41
2967.72 74.92
6023.10 49.95
12133.80 0.00
148.26 96.42
370.61 93.21
800.36 87.00
1661.09 74.58
3383.22 49.72
6827.83 0.00
16.51
13.30
11.54
8.47
7.37
4.40
4.87
1.98
3.53
0.67
2.84
0.00
8.48
102.67
125.34 99.26
359.00 92.44
816.39 79.10
1722.05 52.68
3527.82 0.00
28.98
40.24
6.63
15.93
5.97
2.24
8.58
0.60
8.44
0.45
8.03
0.00
31.44
31.39
11.00
10.96
1.78
1.75
0.34
0.30
0.09
0.06
0.04
0.00
31.76
31.65
10.98
10.89
1.80
1.72
0.40
0.32
0.15
0.06
0.09
0.00
31.76
31.76
10.86
10.86
1.68
1.68
0.31
0.31
0.06
0.06
0.00
0.00
ERRO %
global local
380.76 98.06
859.12 94.77
1776.09 88.44
3608.64 75.81
7273.07 50.54
14601.66 0.00
3.56
0.05
3.61
0.00
3.61
0.00
3.61
0.00
3.61
0.00
3.61
0.00
1.77
0.06
1.82
0.00
1.83
0.00
1.83
0.00
1.83
0.00
1.83
0.00
0.89
0.06
0.94
0.00
0.95
0.00
0.94
0.00
0.94
0.00
0.94
0.00
0.40
0.05
0.45
0.00
0.45
0.00
0.45
0.00
0.45
0.00
0.45
0.00
0.14
0.05
0.19
0.00
0.20
0.00
0.20
0.00
0.20
0.00
0.20
0.00
0.01
0.05
0.06
0.00
0.07
0.00
0.07
0.00
0.07
0.00
0.07
0.00
0.05
0.05
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
1.56 0.35
1.34 0.12
1.26 0.05
1.24 0.02
1.21 0.00
1.21 0.00
0.87 0.21
0.72 0.06
0.68 0.02
0.67 0.01
0.66 0.00
0.66 0.00
0.45 0.15
0.34 0.04
0.31 0.01
0.30 0.00
0.30 0.00
0.30 0.00
0.27 0.12
0.18 0.03
0.16 0.01
0.15 0.00
0.15 0.00
0.15 0.00
0.20 0.11
0.11 0.02
0.09 0.01
0.09 0.00
0.09 0.00
0.09 0.00
0.16 0.11
0.07 0.02
0.05 0.01
0.05 0.00
0.05 0.00
0.05 0.00
0.13 0.11
0.04 0.02
0.02 0.01
0.02 0.00
0.02 0.00
0.02 0.00
0.11 0.11
0.02 0.02
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
124
Tab. 7.37: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 10 - HDS.
I
J
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
12
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
400
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global
local
45.37
14.73
47.14
11.01
49.79
5.45
52.50
0.26
53.58
2.51
53.21
1.75
52.67
0.60
52.38
0.00
13.82
38.04
9.67
33.01
2.50
24.31
8.22
11.32
18.63
1.32
21.87
5.24
19.57
2.46
17.55
0.00
127.57 94.07
118.89 86.67
103.07 73.18
76.04
50.13
38.59
18.20
8.35
7.60
7.13
8.64
17.26
0.00
355.03 251.82
337.30 238.11
304.29 212.59
244.83 166.61
150.31 93.53
39.67
7.99
7.37
28.38
29.34
0.00
809.94 699.30
774.12 667.84
706.78 608.68
582.79 499.77
374.84 317.11
94.39
70.75
94.56
95.23
13.84
0.00
1719.74 1719.74
1647.75 1647.75
1511.79 1511.79
1258.96 1258.96
825.29 825.29
207.39 207.39
281.65 281.65
0.00
0.00
ERRO %
global
local
278.98
187.62
148.26
88.41
16.51
11.58
8.48
30.55
28.98
2.11
31.44
0.25
31.76
0.00
31.76
0.00
676.19
600.17
370.61
324.52
11.54
0.62
125.34
122.86
6.63
3.82
11.00
0.13
10.98
0.11
10.86
0.00
1440.04 1414.58
800.36
785.47
7.37
5.59
359.00
354.72
5.97
7.52
1.78
0.10
1.80
0.12
1.68
0.00
2967.72 2958.18
1661.09 1655.62
4.87
4.54
816.39
814.16
8.58
8.87
0.34
0.03
0.40
0.09
0.31
0.00
6023.10 6019.50
3383.22 3381.17
3.53
3.47
1722.05 1721.10
8.44
8.50
0.09
0.04
0.15
0.09
0.06
0.00
12133.80 12133.80
6827.83 6827.83
2.84
2.84
3527.82 3527.82
8.03
8.03
0.04
0.04
0.09
0.09
0.00
0.00
ERRO %
global
local
380.76
380.91
3.56
3.61
1.77
1.82
0.89
0.94
0.40
0.45
0.14
0.20
0.01
0.07
0.05
0.00
859.12
859.14
3.61
3.61
1.82
1.83
0.94
0.94
0.45
0.45
0.19
0.20
0.06
0.07
0.00
0.00
1776.09 1776.07
3.61
3.61
1.83
1.83
0.95
0.94
0.45
0.45
0.20
0.20
0.07
0.07
0.00
0.00
3608.64 3608.63
3.61
3.61
1.83
1.83
0.94
0.94
0.45
0.45
0.20
0.20
0.07
0.07
0.00
0.00
7273.07 7273.06
3.61
3.61
1.83
1.83
0.94
0.94
0.45
0.45
0.20
0.20
0.07
0.07
0.00
0.00
14601.66 14601.66
3.61
3.61
1.83
1.83
0.94
0.94
0.45
0.45
0.20
0.20
0.07
0.07
0.00
0.00
ERRO %
global local
1.56 1.46
0.87 0.77
0.45 0.34
0.27 0.16
0.20 0.09
0.16 0.05
0.13 0.02
0.11 0.00
1.34 1.31
0.72 0.70
0.34 0.32
0.18 0.15
0.11 0.09
0.07 0.05
0.04 0.02
0.02 0.00
1.26 1.26
0.68 0.68
0.31 0.31
0.16 0.15
0.09 0.09
0.05 0.05
0.02 0.02
0.01 0.00
1.24 1.23
0.67 0.67
0.30 0.30
0.15 0.15
0.09 0.09
0.05 0.05
0.02 0.02
0.00 0.00
1.21 1.21
0.66 0.66
0.30 0.30
0.15 0.15
0.09 0.09
0.05 0.05
0.02 0.02
0.00 0.00
1.21 1.21
0.66 0.66
0.30 0.30
0.15 0.15
0.09 0.09
0.05 0.05
0.02 0.02
0.00 0.00
125
Tab. 7.38: Erro Percentual em J para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
94.82 96.95
89.30 93.69
78.69 87.45
57.49 74.96
15.08 49.97
69.75 0.00
94.83 96.83
89.42 93.52
79.20 87.26
58.85 74.79
18.16 49.87
63.24 0.00
94.83 96.59
89.45 93.05
79.63 86.58
60.71 74.11
23.24 49.41
51.75 0.00
94.82 96.10
89.44 92.04
79.76 84.75
62.33 71.61
30.21 47.41
32.69 0.00
94.82 95.22
89.42 90.23
79.69 81.24
62.74 65.58
35.80 40.71
8.28 0.00
94.82 94.39
89.40 88.52
79.61 77.91
62.41 59.28
36.61 31.33
7.70 0.00
94.82 94.50
89.40 88.74
79.56 78.29
62.08 59.72
35.06 31.03
5.85 0.00
94.82 94.82
89.39 89.39
79.53 79.53
61.92 61.92
33.99 33.99
0.00 0.00
ERRO %
global local
53.70 96.29
12.50 93.00
64.74 86.81
219.40 74.44
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54.25 93.75
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53.72 55.15
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3.33
0.13
11.29
7.85
7.83
4.49
3.19
0.00
53.25 126.00
19.83 144.59
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7.41
0.00
53.03 52.98
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0.09
0.00
53.02 53.04
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14.61 14.56
0.05
0.00
53.02 53.02
18.20 18.20
17.73 17.73
31.92 31.92
14.64 14.64
0.00
0.00
ERRO %
global local
6.23 104.06
84.31 100.60
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620.51 80.09
1320.04 53.32
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12.22 12.16
2.50
2.44
0.50
0.44
0.13
0.08
0.06
0.00
33.08 33.20
11.62 11.72
1.81
1.90
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0.02
0.06
0.09
0.00
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1.83
1.83
0.33
0.34
0.06
0.06
0.00
0.00
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11.61 11.61
1.81
1.81
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0.33
0.06
0.06
0.00
0.00
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1.80
1.80
0.33
0.33
0.06
0.06
0.00
0.00
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1.80
1.80
0.33
0.33
0.06
0.06
0.00
0.00
33.55 33.55
11.60 11.60
1.80
1.80
0.33
0.33
0.06
0.06
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.02 0.17
0.16 0.03
0.18 0.01
0.19 0.00
0.19 0.00
0.19 0.00
0.13 0.18
0.01 0.04
0.04 0.01
0.04 0.00
0.05 0.00
0.05 0.00
0.17 0.18
0.02 0.04
0.00 0.01
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.18 0.18
0.03 0.04
0.00 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.01 0.00
0.18 0.18
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.18 0.18
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.18 0.18
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.18 0.18
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
126
Tab. 7.39: Erro Percentual em I para número de Nusselt com PeH = 1 - HDS.
I
J
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
12
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
400
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
94.82 0.09
94.83 0.26
94.83 0.20
94.82 0.11
94.82 0.05
94.82 0.02
94.82 0.01
94.82 0.00
89.30 0.92
89.42 0.21
89.45 0.55
89.44 0.41
89.42 0.22
89.40 0.09
89.40 0.03
89.39 0.00
78.69 4.11
79.20 1.65
79.63 0.47
79.76 1.10
79.69 0.77
79.61 0.36
79.56 0.11
79.53 0.00
57.49 11.63
58.85 8.04
60.71 3.16
62.33 1.08
62.74 2.15
62.41 1.30
62.08 0.43
61.92 0.00
15.08 28.65
18.16 23.97
23.24 16.29
30.21 5.71
35.80 2.75
36.61 3.98
35.06 1.63
33.99 0.00
69.75 69.75
63.24 63.24
51.75 51.75
32.69 32.69
8.28 8.28
7.70 7.70
5.85 5.85
0.00 0.00
ERRO %
global
local
53.70
1.45
54.25
2.62
53.72
1.50
53.25
0.49
53.06
0.10
53.03
0.02
53.02
0.00
53.02
0.00
12.50
6.97
21.73
4.32
22.49
5.24
19.83
2.00
18.50
0.37
18.27
0.09
18.21
0.02
18.20
0.00
64.74
39.94
24.98
6.16
3.33
12.23
9.38
7.09
16.40
1.13
17.41
0.26
17.66
0.05
17.73
0.00
219.40 142.13
111.20 60.10
11.29
15.63
0.01
24.19
28.59
2.52
31.21
0.53
31.78
0.10
31.92
0.00
529.29 448.91
284.28 235.19
7.83
5.95
86.10
87.87
10.19
3.88
14.30
0.30
14.61
0.03
14.64
0.00
1149.45 1149.45
632.56 632.56
3.19
3.19
279.79 279.79
7.41
7.41
0.09
0.09
0.05
0.05
0.00
0.00
ERRO %
global
local
6.23
20.46
31.94
1.20
33.08
0.35
33.44
0.08
33.52
0.02
33.54
0.00
33.55
0.00
33.55
0.00
84.31
85.94
12.22
0.56
11.62
0.02
11.64
0.03
11.61
0.01
11.60
0.00
11.60
0.00
11.60
0.00
266.33 263.40
2.50
0.69
1.81
0.02
1.83
0.03
1.81
0.01
1.80
0.00
1.80
0.00
1.80
0.00
620.51 618.78
0.50
0.16
0.26
0.08
0.33
0.00
0.33
0.00
0.33
0.00
0.33
0.00
0.33
0.00
1320.04 1319.28
0.13
0.07
0.02
0.08
0.06
0.00
0.06
0.00
0.06
0.00
0.06
0.00
0.06
0.00
2713.80 2713.80
0.06
0.06
0.09
0.09
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.02 0.21
0.13 0.05
0.17 0.02
0.18 0.01
0.18 0.00
0.18 0.00
0.18 0.00
0.18 0.00
0.16 0.20
0.01 0.05
0.02 0.01
0.03 0.01
0.04 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.18 0.19
0.04 0.05
0.00 0.01
0.00 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.19 0.19
0.04 0.05
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.19 0.19
0.05 0.05
0.01 0.01
0.00 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.19 0.19
0.05 0.05
0.01 0.01
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
127
Tab. 7.40: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Peclet grande - CDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global
local
462.46 97.00
1072.13 93.75
2243.81 87.50
4586.81 75.00
9272.67 50.00
18644.09 0.00
442.89 96.99
1029.03 93.74
2155.55 87.49
4408.24 74.99
8913.53 49.99
17923.79 0.00
406.75 96.96
948.11 93.71
1988.77 87.46
4069.82 74.96
8231.76 49.98
16555.65 0.00
340.42 96.87
796.17 93.62
1673.12 87.38
3426.96 74.90
6934.61 49.93
13949.71 0.00
228.90 96.51
532.08 93.30
1118.61 87.08
2292.22 74.64
4639.52 49.76
9334.13 0.00
74.17
93.08
145.86 90.23
296.12 84.26
598.88 72.23
1204.83 48.16
2416.81 0.00
48.72 101.42
185.95 97.62
423.11 91.04
892.54 78.02
1830.41 52.01
3705.98 0.00
0.13
0.13
0.99
0.99
0.18
0.18
0.03
0.03
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
791.18 96.92
1731.74 93.67
3539.77 87.43
7155.41 74.94
14386.49 49.96
28848.43 0.00
454.35 96.66
990.81 93.42
2023.03 87.19
4087.45 74.73
8216.25 49.82
16473.82 0.00
17.59
1.84
15.87
0.34
15.56
0.07
15.49
0.02
15.48
0.00
15.47
0.00
212.95 98.71
506.04 95.38
1065.00 89.01
2182.06 76.30
4416.00 50.86
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0.74
1.38
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0.23
0.61
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0.64
0.00
0.65
0.00
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0.60
0.01
0.61
0.00
0.61
0.00
0.61
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0.01
0.13
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0.13
0.00
0.14
0.00
0.55
0.55
0.07
0.07
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
413.68 97.92
909.39 94.64
1862.05 88.33
3767.24 75.71
7577.56 50.47
15198.18 0.00
1.48
0.18
1.64
0.03
1.66
0.01
1.67
0.00
1.67
0.00
1.67
0.00
0.29
0.18
0.43
0.03
0.46
0.01
0.46
0.00
0.46
0.00
0.46
0.00
0.05
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0.09
0.03
0.12
0.01
0.12
0.00
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0.00
0.13
0.00
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0.03
0.03
0.01
0.03
0.00
0.03
0.00
0.03
0.00
0.17
0.17
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0.03
0.00
0.01
0.01
0.00
0.01
0.00
0.01
0.00
0.17
0.17
0.03
0.03
0.00
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
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0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.77 0.77
0.31 0.31
0.15 0.15
0.07 0.07
0.00 0.00
0.00 0.00
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0.15 0.15
0.06 0.06
0.03 0.03
0.00 0.00
0.00 0.00
0.31 0.31
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0.03 0.03
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.25 0.25
0.06 0.06
0.02 0.02
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0.00 0.00
0.00 0.00
0.23 0.23
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0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.22 0.22
0.05 0.05
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.21 0.21
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.21 0.21
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
128
Tab. 7.41: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Peclet grande - CDS.
I
J
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
12
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
400
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global
local
462.46
461.73
442.89
442.19
406.75
406.10
340.42
339.85
228.90
228.48
74.17
73.94
48.72
48.78
0.13
0.00
1072.13 1083.90
1029.03 1040.37
948.11
958.63
796.17
805.17
532.08
538.43
145.86
148.33
185.95
186.81
0.99
0.00
2243.81 2248.01
2155.55 2159.59
1988.77 1992.51
1673.12 1676.30
1118.61 1120.79
296.12
296.83
423.11
423.69
0.18
0.00
4586.81 4588.07
4408.24 4409.45
4069.82 4070.94
3426.96 3427.91
2292.22 2292.86
598.88
599.07
892.54
892.75
0.03
0.00
9272.67 9273.01
8913.53 8913.85
8231.76 8232.06
6934.61 6934.86
4639.52 4639.68
1204.83 1204.87
1830.41 1830.47
0.00
0.00
18644.09 18644.09
17923.79 17923.79
16555.65 16555.65
13949.71 13949.71
9334.13 9334.13
2416.81 2416.81
3705.98 3705.98
0.00
0.00
ERRO %
global
local
791.18
796.11
454.35
457.42
17.59
18.24
212.95
213.57
0.74
0.20
0.02
0.58
0.42
0.13
0.55
0.00
1731.74 1732.99
990.81
991.56
15.87
15.94
506.04
506.32
0.42
0.48
0.54
0.61
0.07
0.13
0.07
0.00
3539.77 3540.10
2023.03 2023.22
15.56
15.57
1065.00 1065.09
0.61
0.62
0.60
0.61
0.13
0.14
0.01
0.00
7155.41 7155.53
4087.45 4087.52
15.49
15.49
2182.06 2182.10
0.64
0.64
0.61
0.61
0.13
0.14
0.00
0.00
14386.49 14386.49
8216.25 8216.25
15.48
15.48
4416.00 4416.00
0.64
0.64
0.61
0.61
0.13
0.13
0.00
0.00
28848.43 28848.43
16473.82 16473.82
15.47
15.47
8883.87 8883.87
0.65
0.65
0.61
0.61
0.14
0.14
0.00
0.00
ERRO %
global
local
413.68
414.22
1.48
1.66
0.29
0.46
0.05
0.13
0.14
0.03
0.17
0.01
0.17
0.00
0.17
0.00
909.39
909.64
1.64
1.67
0.43
0.46
0.09
0.13
0.00
0.03
0.02
0.01
0.03
0.00
0.03
0.00
1862.05 1862.17
1.66
1.67
0.46
0.46
0.12
0.13
0.03
0.03
0.00
0.01
0.00
0.00
0.01
0.00
3767.24 3767.28
1.67
1.67
0.46
0.46
0.12
0.13
0.03
0.03
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
7577.56 7577.58
1.67
1.67
0.46
0.46
0.13
0.13
0.03
0.03
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
15198.18 15198.18
1.67
1.67
0.46
0.46
0.13
0.13
0.03
0.03
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.77 0.56
0.42 0.22
0.31 0.10
0.25 0.05
0.23 0.02
0.22 0.01
0.21 0.00
0.21 0.00
0.31 0.27
0.15 0.10
0.09 0.05
0.06 0.02
0.05 0.01
0.05 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.15 0.14
0.06 0.05
0.03 0.02
0.02 0.01
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.07 0.07
0.03 0.03
0.01 0.01
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
129
Tab. 7.42: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - HDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global
local
463.21 97.00
1073.83 93.75
2247.33 87.50
4593.94 75.00
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18673.03 0.00
444.12 96.99
1031.85 93.74
2161.44 87.49
4420.27 74.99
8937.82 49.99
17972.65 0.00
408.12 96.96
951.56 93.71
1996.25 87.46
4085.36 74.97
8263.52 49.98
16619.60 0.00
341.25 96.88
799.32 93.63
1680.77 87.39
3443.60 74.90
6969.18 49.94
14020.31 0.00
227.76 96.55
532.79 93.33
1122.97 87.11
2303.91 74.67
4665.90 49.78
9389.85 0.00
68.95
93.31
141.16 90.46
292.36 84.47
597.11 72.41
1207.07 48.28
2427.08 0.00
57.21 101.18
194.68 97.39
433.13 90.83
904.92 77.84
1847.50 51.89
3732.46 0.00
3.40
3.40
1.01
1.01
0.21
0.21
0.03
0.03
0.00
0.00
ERRO %
global local
812.87 96.93
1778.94 93.68
3635.99 87.43
7349.63 74.94
14776.78 49.96
29630.70 0.00
469.13 96.68
1024.35 93.44
2092.68 87.21
4229.34 74.75
8502.65 49.84
17049.05 0.00
13.71
2.04
11.85
0.38
11.52
0.08
11.45
0.02
11.44
0.00
11.43
0.00
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523.13 95.29
1094.86 88.94
2237.43 76.23
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9092.22 0.00
0.48
1.42
1.66
0.26
1.88
0.04
1.92
0.01
1.93
0.00
1.93
0.00
0.69
0.67
1.28
0.08
1.35
0.01
1.36
0.00
1.36
0.00
1.36
0.00
0.13
0.60
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0.46
0.01
0.47
0.00
0.47
0.00
0.47
0.00
0.57
0.57
0.07
0.07
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
461.24 97.86
1014.16 94.58
2076.76 88.27
4201.78 75.66
8451.75 50.44
16951.75 0.00
3.53
0.19
3.70
0.03
3.73
0.01
3.73
0.00
3.73
0.00
3.73
0.00
1.59
0.18
1.74
0.03
1.76
0.01
1.77
0.00
1.77
0.00
1.77
0.00
0.67
0.17
0.81
0.03
0.84
0.01
0.84
0.00
0.84
0.00
0.84
0.00
0.21
0.17
0.36
0.03
0.38
0.01
0.39
0.00
0.39
0.00
0.39
0.00
0.01
0.17
0.13
0.03
0.16
0.01
0.16
0.00
0.16
0.00
0.16
0.00
0.12
0.17
0.02
0.03
0.05
0.01
0.05
0.00
0.05
0.00
0.05
0.00
0.17
0.17
0.03
0.03
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.43 0.44
0.15 0.15
0.06 0.06
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0.00 0.00
0.00 0.00
0.31 0.31
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0.00 0.00
0.00 0.00
0.25 0.25
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0.02 0.02
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.23 0.23
0.05 0.05
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.22 0.22
0.05 0.05
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.21 0.21
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.21 0.21
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.21 0.21
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
130
Tab. 7.43: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - HDS.
I
J
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
12
12
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global local
115.50 444.70
114.98 426.23
113.99 391.42
112.15 326.75
109.02 216.99
104.65 63.40
101.18 58.62
102.85 0.00
132.31 1085.80
131.16 1043.40
128.95 962.28
124.76 808.49
117.42 539.24
106.64 143.62
97.39 195.65
102.73 0.00
164.62 2252.19
162.26 2166.12
157.71 2000.59
149.02 1684.45
133.67 1125.50
110.80 293.17
90.83 433.82
102.75 0.00
229.22 4595.25
224.44 4421.53
215.22 4086.53
197.55 3444.59
166.18 2304.59
119.19 597.31
77.84 905.15
102.75 0.00
358.42 9287.09
348.81 8937.82
330.24 8263.52
294.61 6969.18
231.20 4665.90
135.98 1207.07
51.89 1847.50
102.75 0.00
616.81 616.81
597.53 597.53
560.28 560.28
488.73 488.73
361.25 361.25
169.57 169.57
0.00
0.00
ERRO %
global
local
808.58
818.13
466.46
472.42
13.17
14.36
222.68
223.97
0.01
1.06
0.21
1.27
0.60
0.44
1.04
0.00
1770.13 1780.27
1019.08 1025.15
11.33
11.93
521.14
523.42
1.19
1.73
0.80
1.35
0.08
0.47
0.54
0.00
3618.47 3636.34
2082.40 2092.88
11.00
11.53
1090.19 1094.95
1.40
1.89
0.88
1.36
0.01
0.47
0.48
0.00
7314.68 7349.69
4209.03 4229.37
10.93
11.45
2227.41 2237.45
1.44
1.92
0.88
1.36
0.00
0.47
0.47
0.00
14706.99 14776.78
8462.29 8502.65
10.91
11.44
4501.62 4522.37
1.45
1.93
0.89
1.36
0.00
0.47
0.47
0.00
29491.23 29491.23
16968.60 16968.60
10.91
10.91
9050.04 9050.04
1.45
1.45
0.89
0.89
0.00
0.00
ERRO %
global
local
461.04
461.86
3.48
3.71
1.53
1.77
0.61
0.84
0.16
0.39
0.06
0.16
0.17
0.05
0.23
0.00
1013.67 1014.45
3.64
3.73
1.68
1.77
0.76
0.84
0.30
0.39
0.08
0.16
0.03
0.05
0.09
0.00
2075.68 2076.89
3.67
3.73
1.71
1.77
0.78
0.84
0.33
0.39
0.10
0.16
0.01
0.05
0.06
0.00
4199.55 4201.83
3.67
3.73
1.71
1.77
0.79
0.84
0.33
0.39
0.11
0.16
0.00
0.05
0.06
0.00
8447.21 8451.75
3.67
3.73
1.71
1.77
0.79
0.84
0.33
0.39
0.11
0.16
0.00
0.05
0.05
0.00
16942.57 16942.57
3.68
3.68
1.71
1.71
0.79
0.79
0.33
0.33
0.11
0.11
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.44 0.23
0.31 0.10
0.25 0.05
0.23 0.02
0.22 0.01
0.21 0.00
0.21 0.00
0.21 0.00
0.15 0.11
0.09 0.05
0.06 0.02
0.05 0.01
0.05 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.06 0.06
0.03 0.02
0.02 0.01
0.01 0.01
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.03 0.03
0.01 0.01
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
131
Tab. 7.44: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - UDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global
local
463.19 97.00
1073.78 93.75
2247.24 87.50
4593.75 75.00
9286.72 50.00
18672.29 0.00
444.09 96.99
1031.81 93.74
2161.35 87.49
4420.09 74.99
8937.47 49.99
17971.94 0.00
408.10 96.96
951.52 93.71
1996.17 87.46
4085.19 74.97
8263.19 49.98
16618.94 0.00
341.23 96.88
799.29 93.63
1680.70 87.39
3443.46 74.90
6968.90 49.94
14019.75 0.00
227.75 96.55
532.77 93.33
1122.92 87.11
2303.82 74.67
4665.72 49.78
9389.47 0.00
68.94
93.31
141.15 90.46
292.35 84.47
597.09 72.41
1207.02 48.28
2426.98 0.00
57.21 101.18
194.68 97.39
433.12 90.83
904.89 77.84
1847.43 51.89
3732.31 0.00
3.39
3.39
1.01
1.01
0.21
0.21
0.03
0.03
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
812.87 96.93
1778.94 93.68
3635.99 87.43
7349.63 74.94
14776.78 49.96
29630.70 0.00
469.13 96.68
1024.35 93.44
2092.68 87.21
4229.34 74.75
8502.65 49.84
17049.05 0.00
13.71
2.04
11.85
0.38
11.52
0.08
11.45
0.02
11.44
0.00
11.43
0.00
223.25 98.63
523.13 95.29
1094.86 88.94
2237.43 76.23
4522.37 50.82
9092.22 0.00
0.48
1.42
1.66
0.26
1.88
0.04
1.92
0.01
1.93
0.00
1.93
0.00
0.69
0.67
1.28
0.08
1.35
0.01
1.36
0.00
1.36
0.00
1.36
0.00
0.13
0.60
0.40
0.08
0.46
0.01
0.47
0.00
0.47
0.00
0.47
0.00
0.57
0.57
0.07
0.07
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
461.23 97.86
1014.16 94.58
2076.75 88.27
4201.77 75.66
8451.73 50.44
16951.70 0.00
3.53
0.19
3.70
0.03
3.72
0.01
3.73
0.00
3.73
0.00
3.73
0.00
1.59
0.18
1.74
0.03
1.76
0.01
1.77
0.00
1.77
0.00
1.77
0.00
0.67
0.17
0.81
0.03
0.84
0.01
0.84
0.00
0.84
0.00
0.84
0.00
0.21
0.17
0.36
0.03
0.38
0.01
0.39
0.00
0.39
0.00
0.39
0.00
0.01
0.17
0.13
0.03
0.16
0.01
0.16
0.00
0.16
0.00
0.16
0.00
0.12
0.17
0.02
0.03
0.05
0.01
0.05
0.00
0.05
0.00
0.05
0.00
0.17
0.17
0.03
0.03
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.44 0.44
0.15 0.15
0.06 0.06
0.03 0.03
0.00 0.00
0.00 0.00
0.31 0.31
0.09 0.09
0.03 0.03
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.25 0.25
0.06 0.06
0.02 0.02
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.23 0.23
0.05 0.05
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.22 0.22
0.05 0.05
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.21 0.21
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.21 0.21
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.21 0.21
0.04 0.04
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
132
Tab. 7.45: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - UDS.
I
J
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
25
50
100
200
400
800
1600
12
12
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
400
400
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ξ = 0.001
ERRO %
global
local
463.19
444.70
444.09
426.23
408.10
391.42
341.23
326.75
227.75
216.99
68.94
63.40
57.21
58.62
3.39
0.00
1073.78 1085.80
1031.81 1043.40
951.52
962.28
799.29
808.49
532.77
539.24
141.15
143.62
194.68
195.65
1.01
0.00
2247.24 2252.19
2161.35 2166.12
1996.17 2000.59
1680.70 1684.45
1122.92 1125.50
292.35
293.17
433.12
433.82
0.21
0.00
4593.75 4595.25
4420.09 4421.53
4085.19 4086.53
3443.46 3444.59
2303.82 2304.59
597.09
597.31
904.89
905.15
0.03
0.00
9286.72 9287.09
8937.47 8937.82
8263.19 8263.52
6968.90 6969.18
4665.72 4665.90
1207.02 1207.07
1847.43 1847.50
0.00
0.00
18672.29 18672.29
17971.94 17971.94
16618.94 16618.94
14019.75 14019.75
9389.47 9389.47
2426.98 2426.98
3732.31 3732.31
0.00
0.00
ERRO %
global
local
812.87
818.13
469.13
472.42
13.71
14.36
223.25
223.97
0.48
1.06
0.69
1.27
0.13
0.44
0.57
0.00
1778.94 1780.27
1024.35 1025.15
11.85
11.93
523.13
523.42
1.66
1.73
1.28
1.35
0.40
0.47
0.07
0.00
3635.99 3636.34
2092.68 2092.88
11.52
11.53
1094.86 1094.95
1.88
1.89
1.35
1.36
0.46
0.47
0.01
0.00
7349.63 7349.69
4229.34 4229.37
11.45
11.45
2237.43 2237.45
1.92
1.92
1.36
1.36
0.47
0.47
0.00
0.00
14776.78 14776.78
8502.65 8502.65
11.44
11.44
4522.37 4522.37
1.93
1.93
1.36
1.36
0.47
0.47
0.00
0.00
29630.70 29630.70
17049.05 17049.05
11.43
11.43
9092.22 9092.22
1.93
1.93
1.36
1.36
0.47
0.47
0.00
0.00
ERRO %
global
local
461.23
461.86
3.53
3.71
1.59
1.77
0.67
0.84
0.21
0.39
0.01
0.16
0.12
0.05
0.17
0.00
1014.16 1014.45
3.70
3.73
1.74
1.77
0.81
0.84
0.36
0.39
0.13
0.16
0.02
0.05
0.03
0.00
2076.75 2076.89
3.72
3.73
1.76
1.77
0.84
0.84
0.38
0.39
0.16
0.16
0.05
0.05
0.01
0.00
4201.77 4201.83
3.73
3.73
1.77
1.77
0.84
0.84
0.39
0.39
0.16
0.16
0.05
0.05
0.00
0.00
8451.73 8451.75
3.73
3.73
1.77
1.77
0.84
0.84
0.39
0.39
0.16
0.16
0.05
0.05
0.00
0.00
16951.70 16951.70
3.73
3.73
1.77
1.77
0.84
0.84
0.39
0.39
0.16
0.16
0.05
0.05
0.00
0.00
ERRO %
global local
0.44 0.23
0.31 0.10
0.25 0.05
0.23 0.02
0.22 0.01
0.21 0.00
0.21 0.00
0.21 0.00
0.15 0.11
0.09 0.05
0.06 0.02
0.05 0.01
0.05 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.04 0.00
0.06 0.06
0.03 0.02
0.02 0.01
0.01 0.01
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.01 0.00
0.03 0.03
0.01 0.01
0.01 0.01
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00 0.00
133
Tab. 7.46: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grande com discretização em uma direção apenas- HDS.
ERRO REAL %
I
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
3
5
10
20
40
80
100
120
140
160
180
200
250
300
350
400
450
500
600
700
800
7.76
20.31
0.62
0.08
0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
17.71
0.03
0.21
0.05
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.29
0.22
0.00
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2.36
0.56
0.08
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Capítulo 8
Resultados para Regime Transiente
Este capítulo apresenta resultados do número de Nusselt para o regime transiente. Valores em diferentes posições e tempos são calculados e apresentados, inicialmente, em
tabelas, para analisar a convergência das soluções e determinar as malhas mais adequadas para cada caso. A solução HDS (com discretização bidirecional) foi escolhida
devido ao menor custo computacional. Mesmo assim, cada um dos casos transientes
calculados requer um tempo de computação uma ordem de grandeza acima do gasto
para um caso de regime permanente equivalente (mesma malha e mesmo Péclet). Além
disto, o tempo computacional investido nas soluções permanentes também foi considerável. Devido as estes fatores, apenas os casos com temperatura constante na parede foram calculados. Para os casos com temperatura constante na parede o número
de Fourier pode ser incorporado ao tempo adimensional, definindo uma nova variável
τ∗ = τ Fo. Desta forma os resultados podem ser analisados em função de τ∗ ao invés de
τ e o efeito do número de Fourier estaria automaticamente incorporado aos resultados.
Portanto, todos os resultados transientes são apresentados em termos de τ∗ .
134
8. Resultados para Regime Transiente
8.1
8.1.1
135
Análise de convergência
Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 2
As tabelas de 8.1 até 8.4 apresentam os valores calculados para o número de Nusselt
em diferentes posições de ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01, 0.1, 1, 10) utilizando diversas malhas, para o caso com Péclet grande, utilizando ξmax = 2. Os resultados mostram
que, em geral, a mesma tendência observada para as soluções permanentes se repetem
aqui, com a convergência sendo pior em posições próximas à entrada do canal. Entretanto, agora há um efeito adicional: a convergência é também pior para tempos mais
curtos. As tabelas apresentam posições (longe da entrada) onde, principalmente para
tempos mais curtos, não existe transferência de calor. Nestas posições o cálculo do
número de Nusselt gera erros numéricos; porém o valor exato para o Nusselt não é
bem definido pois este eqüivaleria a calcular a razão entre dois zeros. Para resolver o
problema atribui-se o valor nulo para Nusselt em regiões onde não há transferência de
calor. Esta escolha esta de acordo com o comportamento do Nusselt, pois este tende a
zero a medida que se aproxima-se da região sem transferência de calor. Isto pode ser
claramente observado nos gráficos no final deste capítulo.
136
Tab. 8.1: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01.
I
J
ξ = 0.001
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
12
146.809
306.292
612.785
1225.67
2451.40
4902.80
146.455
305.524
611.222
1222.52
2445.07
4890.11
145.127
302.641
605.354
1210.68
2421.28
4842.46
140.302
292.120
583.903
1167.38
2334.28
4876.87
125.021
258.542
515.231
1028.55
2055.15
4108.34
89.3282
178.665
350.758
694.987
1383.45
2760.36
38.2695
59.2454
2.82568
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
ξ=2
145.711
235.557
0.123486 0.000000
303.913
498.653
0.0967044 0.000000
607.947
1004.02
0.0941777 0.000000
1215.91
2014.47
0.0941515 0.000000
2431.81
4035.26
0.142685
ERRO
4863.55
8076.67
0.21938
ERRO
141.126
190.304
0.000000 0.000000
293.976
400.372
0.000000 0.000000
587.732
803.985
0.000000 0.000000
1175.15
1611.04
0.000000 0.000000
2349.96
3225.07
ERRO
ERRO
4699.50
6453.02
ERRO
ERRO
119.245
0.671390
0.000000 0.000000
246.480
0.760498
0.000000 0.000000
491.059
0.779693
0.000000 0.000000
980.157
0.783964
0.000000 0.000000
1958.32
0.784884
ERRO
ERRO
3914.64
0.785087
ERRO
ERRO
10.6652
0.577069
0.000000 0.000000
10.5428
0.617776
0.000000 0.000000
10.5187
0.629075
0.000000 0.000000
10.5139
0.631975
0.000000 0.000000
10.5128
0.632635
ERRO
ERRO
9.91855
0.011872
ERRO
ERRO
-134.028 0.02846260 0.000000 0.000000
-302.458 0.00909083 0.000000 0.000000
-626.141 0.01020310 0.000000 0.000000
-1273.53 0.00714442 0.000000 0.000000
-2568.34 0.01366060
ERRO
ERRO
-5157.96 -0.00228826
ERRO
ERRO
0.467197
0.000000
0.000000 0.000000
1.10113
0.000000
0.000000 0.000000
1.23530
0.000000
0.000000 0.000000
1.26223
0.000000
0.000000 0.000000
1.26779
ERRO
ERRO
ERRO
1.26901
ERRO
ERRO
ERRO
0.429905
0.000000
0.000000 0.000000
0.444452
0.000000
0.000000 0.000000
0.10175
0.000000
0.000000 0.000000
137
Tab. 8.2: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
12
146.120
304.802
609.755
1219.56
2439.14
4878.22
144.142
300.501
600.996
1201.89
2403.64
4807.07
139.273
289.828
579.184
1157.81
2315.00
4629.38
129.501
268.080
534.476
1067.20
2132.60
4263.40
112.224
228.747
452.961
901.376
1798.19
3591.79
83.3421
160.905
310.976
611.267
1211.87
2413.08
42.9604
61.3214
10.8804
138.443 -58.6168
288.193 -137.009
575.993 -287.699
1151.50 -589.079
2302.49 -1191.84
4604.41 -2397.38
117.613 -91.2382
242.937 -205.575
483.832 -425.500
965.560 -865.384
1928.99 -1745.16
3855.82 -3504.75
73.2941
4.96474
145.949
5.04668
285.723
5.06141
565.264
5.06459
1124.34
5.06533
2242.48
5.06550
13.4621
3.33672
13.2502
3.41033
13.2126
3.42420
13.2047
3.42726
13.2029
3.42796
13.2025
3.42813
-15.2632 1.90107
-51.6969 1.94683
-121.187 1.95619
-260.065 1.95828
-537.798 1.95876
-1093.26 1.95887
12.0794 0.850070
12.2281 0.858976
12.2556 0.861960
12.2603 0.862666
12.2611 0.862817
12.2613 0.862852
12.1482 0.279718
12.2209 0.265442
12.0554 0.0637647
ξ = 0.1
ξ=1
ξ=2
3.20561 -0.545651
3.27796
1.35982
3.29169 0.525253
3.29473 0.792128
3.29542
ERRO
3.29537
ERRO
0.478727 0.000000
0.488348 0.000000
0.565440 0.000000
0.475902 0.000000
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
0.000000 0.000000
0.000000 0.000000
0.000000 0.000000
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ERRO
ERRO
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0.000000 0.000000
0.000000 0.000000
138
Tab. 8.3: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
12
145.376
303.192
606.483
1212.96
2425.89
4851.68
143.026
298.072
596.046
1191.90
2383.55
4766.83
138.356
287.804
575.033
1149.40
2298.09
4595.46
129.202
267.387
533.029
1064.24
2126.64
4251.41
112.199
228.677
452.808
901.056
1797.53
3590.47
83.3424
160.904
310.973
611.260
1211.86
2413.05
42.9604
61.3214
10.8804
131.248
272.639
544.379
1087.78
2174.55
4348.02
108.470
223.046
443.294
883.739
1764.60
3526.31
68.7065
135.733
264.703
522.642
1038.51
2070.25
13.7268
13.5027
13.4629
13.4545
13.4526
13.4521
-14.8794
-51.0801
-120.100
-258.033
-533.875
-1085.55
12.1301
12.2729
12.2993
12.3037
12.3045
12.3047
12.1550
12.2264
12.056
ξ = 0.1
ξ=1
ξ=2
-15.381 7.08807 9.96236
-43.7871 7.11093 9.21549
-98.3457 7.11525 8.98337
-207.447 7.11621 7.95748
-425.645 7.11642 8.63361
-862.042 7.11648
8.6314
-22.2014 6.62691 43.0894
-58.0687 6.65851 20.4034
-126.999 6.66447 16.5387
-264.848 6.66583 9.83527
-540.543 6.66614 13.9505
-1091.93 6.66623 14.8736
7.90617 5.85298
-0.06
7.91869 5.89624
ERRO
7.92069 5.90445
ERRO
7.92108 5.90632
ERRO
7.92117 5.90675
ERRO
7.92119 5.90688
ERRO
7.75764
4.6738 0.000000
7.76894 4.72735 0.000000
7.77081 4.73765 0.000000
7.77119 4.73998
ERRO
7.77128 4.74053
ERRO
7.77130 4.73755
ERRO
7.68727 3.16711 0.000000
7.69821 3.21946 0.000000
7.70006
3.2298 0.000000
7.70045 3.28313 0.000000
7.70053 3.23265
ERRO
7.70055 3.23226
ERRO
7.65258 1.66551 0.000000
7.66342 1.69843 0.000000
7.66527 1.70526 0.000000
7.66565 1.70590 0.000000
7.66574 2.21727
ERRO
7.66576 1.70921
ERRO
7.63559 0.756369 0.000000
7.64641 4.84818 0.000000
7.62723 9.03929 0.000000
139
Tab. 8.4: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
12
145.374
303.189
606.477
1212.95
2425.87
4851.64
143.026
298.072
596.046
1191.90
2383.55
4766.83
138.356
287.804
575.033
1149.40
2298.09
4595.46
129.202
267.387
533.029
1064.24
2126.64
4251.41
112.199
228.677
452.808
901.056
1797.53
3590.47
83.3424
160.904
310.973
611.260
1211.86
2413.05
42.9604
61.3214
10.8804
131.236
272.612
544.325
1087.67
2174.32
4347.58
108.470
223.045
443.292
883.734
1764.59
3526.29
68.7065
135.733
264.703
522.642
1038.51
2070.25
13.7268
13.5027
13.4629
13.4545
13.4526
13.4521
-14.8794
-51.0801
-120.100
-258.033
-533.875
-1085.55
12.1301
12.2729
12.2993
12.3037
12.3045
12.3047
12.1550
12.2264
12.056
-15.3217
-43.6597
-98.0869
-206.926
-424.599
-859.944
-22.1952
-58.0557
-126.973
-264.796
-540.438
-1091.72
7.90618
7.91869
7.92070
7.92109
7.92118
7.92120
7.75764
7.76894
7.77081
7.77119
7.77128
7.77130
7.68727
7.69821
7.70006
7.70044
7.70053
7.70055
7.65258
7.66342
7.66527
7.66565
7.66574
7.66576
7.63559
7.64641
7.62723
ξ=1
ξ=2
7.52443 7.4826
7.53758 7.51716
7.54003 7.52975
7.54058 7.5352
7.54070 7.54066
7.54074 7.54069
7.52438 7.50868
7.53753 7.52968
7.53998 7.53602
7.54054 7.53697
7.54066 7.54066
7.54069 7.54069
7.52438 7.51766
7.53753 7.53398
7.53998 7.53817
7.54054 7.54544
7.54066 7.54066
7.54069 7.54069
7.52438 7.52162
7.53753 7.53588
7.53998 7.53912
7.54054 7.54289
7.54066 7.54066
7.54069 7.540690
7.52438 7.52349
7.53753 7.53677
7.53998 7.53957
7.54054 7.54169
7.54066 7.54066
7.54069 7.54069
7.52438 7.52440
7.53753 7.53721
7.53998 7.53978
7.54054 7.54110
7.54066 7.54066
7.54069 7.54069
7.52438 7.52485
7.53753 7.53742
7.52438 7.52507
8.1.2
140
Número de Nusselt para Péclet grande e ξmax = 1
As tabelas de 8.5 até 8.8 apresentam os valores calculados para o número de Nusselt
em diferentes posições ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01, 0.1, 1, 10) utilizando diversas
malhas, para o caso com Péclet grande, utilizando ξmax = 1.
Tab. 8.5: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
800
800
800
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
12
25
50
12
25
ξ = 0.001
ξ = 0.01
146.490
141.621
305.601
295.048
611.380
589.913
1222.83
1179.55
2445.71
2358.79
4891.39
4717.21
145.127
119.245
302.641
246.480
605.354
491.059
1210.68
980.157
2421.28
1958.32
4842.46
3914.64
140.302
10.6652
292.12
10.5428
583.903
10.5187
1167.38
10.5139
2334.28
10.5128
4668.07
10.5126
89.3282
0.467197
178.665
1.10113
350.758
1.2353
694.987
1.26223
1383.45
1.26779
2760.36
1.26901
38.2695
0.429905
59.2454
0.444452
101.17
0.450525
185.372
0.45245
2.82568
0.101750
-31.5621 0.0533346
-93.782 0.0490972
19.5390
0.015766
20.3105 0.00234701
ξ = 0.1
ξ=1
188.612
396.755
796.671
1596.33
3195.58
6393.96
0.67139
0.760498
0.779693
0.783964
0.784884
0.785087
0.577069
0.617776
0.629075
0.631975
0.632634
0.632696
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.00000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
141
Tab. 8.6: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
800
800
800
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
12
25
50
12
25
144.317
300.884
601.776
1203.46
2406.80
4813.41
139.273
289.828
579.184
1157.81
2315.00
4629.38
129.501
268.080
534.476
1067.20
2132.60
4263.40
83.3421
160.905
310.976
611.267
1211.87
2413.08
42.9604
61.3214
99.7685
177.260
10.8804
-24.0756
-84.7076
26.2917
25.1710
119.406
-111.015
246.841
-248.472
491.789
-512.863
981.622
-1041.69
1961.26
-2099.37
3920.50
-4214.76
73.2941
4.96474
145.949
5.04668
285.723
5.06141
565.264
5.06459
1124.34
5.06533
2242.48
5.06550
13.4621
3.33672
13.2502
3.41033
13.2126
3.4242
13.2047
3.42726
13.2029
3.42796
13.2025
3.42813
12.0794 0.850070
12.2281 0.858976
12.2556 0.861960
12.2603 0.862666
12.2611 0.862817
12.2613 0.862851
12.1482 0.279718
12.2209 0.265442
12.2300 0.264197
12.2312 0.263970
12.0554 0.0637647
12.1196 0.0491908
12.1275 0.0475619
12.0029 0.0100628
12.0636 0.00441478
ξ = 0.1
ξ=1
0.717806
0.724995
0.723766
0.700985
0.665786
0.926832
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
142
Tab. 8.7: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 1 com ξmax = 1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
800
800
800
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
12
25
50
12
25
143.211
298.477
596.872
1193.57
2386.9
4773.56
138.356
287.804
575.033
1149.4
2298.09
4595.46
129.202
267.387
533.029
1064.24
2126.64
4251.41
83.3424
160.904
310.973
611.260
1211.86
2413.05
42.9604
61.3214
99.7686
177.26
10.8804
-24.0756
-84.7076
26.2917
25.1710
110.203
226.829
451.016
899.334
1795.94
3589.14
68.7065
135.733
264.703
522.642
1038.51
2070.25
13.7268
13.5027
13.4629
13.4545
13.4526
13.4521
12.1301
12.2729
12.2993
12.3037
12.3045
12.3047
12.155
12.2264
12.2352
12.2363
12.0560
12.1199
12.1278
12.0029
12.0636
ξ = 0.1
ξ=1
-27.5936 6.47887
-69.8263 6.53724
-150.987 6.55542
-313.296 6.56287
-637.909 6.56918
-1287.14 6.56926
7.90617 5.72723
7.91869 5.78796
7.92069 5.80429
7.92108 5.81003
7.92117 5.81464
7.92119 5.81476
7.75764 4.59051
7.76894 4.65532
7.77081 4.67114
7.77119 4.69416
7.77128 4.67964
7.7713
4.67998
7.65258 1.64546
7.66342 1.68135
7.66527 1.68967
7.66565 1.69853
7.66574 1.82281
7.66576 1.69384
7.63559
0.7685
7.64641
ERRO
7.64826
ERRO
7.64865
ERRO
7.62723
ERRO
7.63804 0.00000
7.6399
ERRO
7.62308 -0.06015
7.63389
ERRO
143
Tab. 8.8: Número de Nusselt para PeH grande e τ∗ = 10 com ξmax = 1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
800
800
800
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
12
25
50
12
25
143.211
298.477
596.872
1193.56
2386.90
4773.55
138.356
287.804
575.033
1149.40
2298.09
4595.46
129.202
267.387
533.029
1064.24
2126.64
4251.41
83.3424
160.904
310.973
611.260
1211.86
2413.05
42.9604
61.3214
99.7686
177.26
10.8804
-24.0756
-84.7076
26.2917
25.1710
110.202
226.828
451.013
899.328
1795.93
3589.12
68.7065
135.733
264.703
522.642
1038.51
2070.25
13.7268
13.5027
13.4629
13.4545
13.4526
13.4521
12.1301
12.2729
12.2993
12.3037
12.3045
12.3047
12.155
12.2264
12.2352
12.2363
12.0560
12.1199
12.1278
12.0029
12.0636
-27.5848
-69.8078
-150.95
-313.222
-637.76
-1286.84
7.90618
7.91869
7.92070
7.92109
7.92118
7.92120
7.75764
7.76894
7.77081
7.77119
7.77128
7.77130
7.65258
7.66342
7.66527
7.66565
7.66574
7.66576
7.63559
7.64641
7.64826
7.64865
7.62723
7.63804
7.6399
7.62308
7.63389
7.50786
7.52929
7.53582
7.53846
7.54066
7.54069
7.51766
7.53398
7.53817
7.53958
7.54066
7.54069
7.52162
7.53588
7.53912
7.54008
7.54066
7.54069
7.52440
7.53721
7.53978
7.54034
7.54066
7.54069
7.52485
7.53742
7.53989
7.54081
7.52507
7.53753
7.53994
7.52519
7.53758
8.1.3
144
Número de Nusselt para Péclet 10 e ξmax = 1
As tabelas de 8.9 até 8.12 apresentam os valores calculado para o número de Nusselt
em diferentes posições ξ e diferentes tempos (τ∗ = 0.01, 0.1, 1, 10) utilizando diversas
malhas, para o caso com PeH = 10, utilizando ξmax = 1.
Tab. 8.9: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.01 com ξmax = 1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
800
800
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
12
25
12
146.392
305.314
610.738
1221.49
2442.93
4885.82
144.455
300.552
600.587
1200.60
2400.61
4800.61
138.072
283.197
562.241
1120.52
2237.20
4470.67
128.456
249.151
478.668
938.467
1859.09
3701.01
124.763
219.291
374.030
676.099
1283.20
2501.16
125.523
210.168
291.714
376.260
523.922
126.906
216.194
127.641
140.480
291.683
582.349
1163.65
2326.24
4651.41
113.022
224.379
439.078
869.002
1729.17
3449.65
46.6545
44.6367
42.4754
41.1443
40.4232
40.0498
30.4826
-23.2386
-131.598
-343.858
-764.172
-1602.24
46.3542
36.9209
31.4225
30.2809
30.3454
30.5309
47.3436
38.7832
34.7945
34.1742
34.0700
47.595
38.8588
47.6965
206.095
442.235
895.279
1800.65
3611.04
7231.52
4.02497
4.10936
4.15317
4.16097
4.16215
4.16236
-16.9799
-15.9002
-15.8535
-15.8406
-15.8359
-15.8346
0.450009
0.500491
0.512441
0.514922
0.515409
0.516901
0.914592
0.954889
0.967025
0.969210
0.969994
0.948303
1.11033
1.15137
1.16246
1.16701
1.16082
1.4824
1.52701
1.91184
0.000000
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
0.000000
0.000000
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
ERRO
145
Tab. 8.10: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 0.1 com ξmax = 1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
800
800
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
12
25
12
143.931
299.936
599.760
1199.31
2398.39
4796.48
138.908
288.255
575.354
1149.51
2297.79
4594.35
131.750
268.983
532.950
1061.08
2117.47
4230.34
124.555
240.729
461.733
904.492
1791.00
3564.66
121.707
213.345
363.413
656.372
1245.17
2426.40
122.641
204.839
284.058
366.196
509.654
124.066
210.833
124.809
116.309
239.017
474.980
946.898
1890.74
3778.40
74.1654
141.092
270.431
529.479
1047.78
2084.47
34.1029
32.6391
31.4031
30.6636
30.2667
30.0619
26.5699
-7.80524
-76.5509
-211.127
-477.595
-1008.90
37.5063
30.9553
27.2616
26.4942
26.5345
26.6570
38.1925
32.2095
29.5089
29.0860
29.0143
38.2707
32.1903
38.2628
ξ = 0.1
ξ=1
-68.7992 1.03353
-163.125 1.03612
-344.059 1.03543
-705.702 1.00734
-1428.87 1.10466
-2875.15 0.796429
6.96433
ERRO
7.01787
ERRO
7.02700
ERRO
7.02875
ERRO
7.02910
ERRO
7.02918
ERRO
6.34931
ERRO
6.40702
ERRO
6.41685
ERRO
6.41883
ERRO
6.41926
ERRO
6.41936
ERRO
6.01842
ERRO
6.07524
ERRO
6.08503
ERRO
6.08704
ERRO
6.08749
ERRO
6.08759
ERRO
5.83758
ERRO
5.89347
ERRO
5.90314
ERRO
5.90514
ERRO
5.90559
ERRO
5.90569
ERRO
5.74581
ERRO
5.80096
ERRO
5.81052
ERRO
5.81250
ERRO
5.81295
ERRO
5.70051
ERRO
5.7552
ERRO
5.6782
ERRO
146
Tab. 8.11: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 1 com ξmax = 1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
800
800
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
12
25
12
143.068
298.060
595.939
1191.60
2382.90
4765.43
138.430
287.207
573.213
1145.18
2289.09
4576.91
131.489
268.412
531.786
1058.73
2112.74
4220.85
124.380
240.359
460.996
903.017
1788.05
3558.76
121.570
213.081
362.942
655.497
1243.48
2423.08
122.520
204.615
283.736
365.772
509.053
123.952
210.616
124.698
109.342
223.942
444.324
885.082
1766.61
3529.63
71.6253
135.777
259.763
508.092
1004.94
1998.74
33.6142
32.1817
30.9765
30.2558
29.8691
29.6696
26.4031
-7.31182
-74.7231
-206.685
-467.975
-988.959
37.2120
30.7628
27.1298
26.3749
26.4146
26.5349
37.9217
32.0247
29.3654
28.9489
28.8783
38.0151
32.0195
38.0153
-22.9104
-61.9373
-136.746
-286.253
-585.211
-1183.10
8.44397
8.44810
8.44833
8.44824
8.44820
8.44818
8.29811
8.30290
8.30320
8.30316
8.30313
8.30312
8.22662
8.23100
8.23127
8.23123
8.23121
8.23120
8.18665
8.19088
8.19115
8.19112
8.19110
8.19109
8.16583
8.16999
8.17025
8.17022
8.17020
8.15525
8.15937
8.14991
6.97235
7.01331
7.02606
7.03115
7.03546
7.03552
6.78643
6.82078
6.8299
6.83294
6.83537
6.83542
6.58400
6.61525
6.62253
6.62453
6.62619
6.62605
6.39981
6.43004
6.43640
6.44053
6.44149
6.43886
6.27196
6.30230
6.30925
6.31063
6.31026
6.31033
6.20154
6.23237
6.23806
6.23973
6.24007
6.16722
6.19791
6.15095
147
Tab. 8.12: Número de Nusselt para PeH = 10 e τ∗ = 10 com ξmax = 1.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
800
800
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
12
25
12
143.068
298.060
595.937
1191.60
2382.90
4765.42
138.430
287.207
573.213
1145.18
2289.09
4576.91
131.489
268.412
531.786
1058.73
2112.74
4220.85
124.380
240.359
460.996
903.017
1788.05
3558.76
121.570
213.081
362.942
655.497
1243.48
2423.08
122.520
204.615
283.736
365.772
509.053
123.952
210.616
124.698
109.340
223.938
444.315
885.064
1766.57
3529.56
71.6251
135.776
259.762
508.091
1004.94
1998.74
33.6142
32.1817
30.9765
30.2558
29.8691
29.6696
26.4031
-7.31182
-74.7231
-206.685
-467.975
-988.958
37.2120
30.7628
27.1298
26.3749
26.4146
26.5349
37.9217
32.0247
29.3654
28.9489
28.8783
38.0151
32.0195
38.0153
-22.8937
-61.9008
-136.672
-286.103
-584.909
-1182.50
8.44427
8.44838
8.44861
8.44852
8.44848
8.44847
8.29824
8.30302
8.30332
8.30328
8.30325
8.30324
8.22668
8.23106
8.23133
8.23129
8.23127
8.23126
8.18668
8.19092
8.19118
8.19115
8.19113
8.19112
8.16586
8.17002
8.17028
8.17025
8.17023
8.15527
8.15939
8.14993
7.61721
7.63479
7.64027
7.64246
7.64430
7.64432
7.67078
7.68227
7.68532
7.68635
7.68714
7.68716
7.70338
7.71196
7.71398
7.71457
7.71492
7.71494
7.7172
7.72452
7.72608
7.72643
7.72667
7.72669
7.72266
7.72951
7.73089
7.73141
7.73134
7.73136
7.72603
7.73268
7.73400
7.73437
7.73441
7.72842
7.73497
7.72992
8.2
148
Evolução transiente da distribuição espacial de Nusselt
Esta seção tem o objetivo de analisar o comportamento transiente para os diferentes
números de Nusselt. As figuras de 8.1até 8.4 mostram a evolução de Nusselt para
diferentes valores de número de Péclet e diferentes tempos (τ∗ = 0.01, 0.1, 1, 10), para
diferentes tamanhos de canal (ξmax = 1, 2, 10).
Nu
14
12
Τ=¥
10
Τ = 1.0
8
Τ = 0.5
6
Τ = 0.1
Τ = 0.05
4
2
Ξ
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 8.1: Variação transiente de Nusselt para PeH grande.
Nu
14
12
Τ=¥
10
Τ = 1.0
8
Τ = 0.5
Τ = 0.1
6
Τ = 0.05
4
2
Ξ
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 8.2: Variação transiente de Nusselt para PeH = 10.
Comparando a evolução do número de Nusselt com Péclet grande e com PeH = 10,
ambos em regime transiente, observa-se que apesar do comportamento em regime permanente ser próximo, o comportamento transiente é bastante diferente. Para valores
muito pequenos de τ∗ (0.05 e 0.1), o número de Nusselt atinge a região onde não há
149
Nu
25
Τ=¥
20
Τ = 1.0
15
Τ = 0.5
Τ = 0.1
10
Τ = 0.05
5
Ξ
0.5
1.0
1.5
2.0
Fig. 8.3: Variação transiente de Nusselt para PeH = 1.
Nu
40
Τ=¥
30
Τ = 1.0
Τ = 0.5
20
Τ = 0.1
Τ = 0.05
10
Ξ
0
2
4
6
8
Fig. 8.4: Variação transiente de Nusselt para PeH = 0.1.
transferencia de calor1 logo no início do canal. Observa-se também nos resultados uma
semelhança entre PeH = 10 e Péclet grande, onde os valores de Nusselt transientes são
sempre menores que os valores atingidos em regime permanente. Todavia, comparando a evolução do número de Nusselt para PeH = 1 PeH = 0.1 este comportamento se
inverte, e os valores de Nusselt obtidos para regime transiente são maiores que os valores obtidos para regime permanente. Os resultados também mostram que, à medida
que o número de Péclet é reduzido, os valores de Nusselt atingem mais rapidamente
o desenvolvimento térmico. Isto pode ser observado pelos gráficos, onde curvas para
PeH = 1 e PeH = 0.1 om τ∗ = 1 e τ∗ = 0.1 estão praticamente sobrepostas às curvas
1
ou seja, onde o número de Nusselt é nulo.
150
para o regime permanente (τ∗ infinito).
Também observa-se que para valores de PeH = 0.1 a independência em relação
à posição do canal (ξ) é atingida antes do regime permanente. Isto pode ser visto
observando as curvas para PeH = 0.1 e notando que em todos os tempos a derivada em
relação à ξ é aparentemente nula próximo à saída. O mesmo não ocorre para PeH = 1
e para nenhum outro caso de Péclet.
Capítulo 9
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Apêndice A
Demais resultados para regime permanente
A.1
Slug-Flow com discretização bidirecional
Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para
o escoamento tipo Slug-flow com diferentes valores para número de Péclet, usando a
discretização bidirecional, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ) e
diferentes posições para a coordenada transversal η.
As tabelas A.1 e A.2 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 10 e valores de η = 0 e η = 0.99.
As tabelas A.3 e A.4 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 1 e valores de η = 0 e η = 0.99.
As tabelas A.5 e A.6 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obtidos para Slug-flow, para número de Péclet PeH = 0.1 e valores de η = 0 e η = 0.99.
156
Apêndice A. Demais resultados para regime permanente
157
Tab. A.1: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0.99, discretização bidirecional.
I
J
12
12
12
25
12
50
12 100
12 200
12 400
25
12
25
25
25
50
25 100
25 200
25 400
50
12
50
25
50
50
50 100
50 200
50 400
100 12
100 25
100 50
100 100
100 200
100 400
200 12
200 25
200 50
200 100
200 200
200 400
400 12
400 25
400 50
400 100
400 200
400 400
800 12
800 25
800 50
800 100
800 200
800 400
1600 12
1600 25
1600 50
1600 100
1600 200
1600 400
exata
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
0.323506
0.234550
-0.0246250 0.000191525
0.603496
0.427536
-0.067577 0.000190531
0.964798
0.676910
-0.122477 0.000190308
1.157490
0.809920
-0.151740 0.000190253
0.964780
0.676752
-0.122669 0.000190239
0.964779
0.676744
-0.122678 0.000190236
0.313819
0.161820
0.0143742 0.000218889
0.582364
0.268895
0.0142953 0.000217770
0.929028
0.408400
0.0142799 0.000217520
1.113920
0.482830
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0.928929
0.407633
0.0142752 0.000217442
0.928924
0.407594
0.0142749 0.000217438
0.300328 0.0923806
0.0141140 0.000230015
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0.0140391 0.000228502
0.865822 0.0804405
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0.759919 -0.07070180 0.0139830 0.000232708
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0.612662 0.0734838
0.0139672 0.000234073
0.284838 0.0984785
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0.0139787 0.000234823
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0.509260 0.0763764
0.0139621 0.000234607
0.504563 0.0763273
0.0139619 0.000234603
0.511806 0.0762989
0.0139618 0.000234611
158
Tab. A.2: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 10, em η = 0, discretização bidirecional.
I
J
12
12
12
25
12
50
12 100
12 200
12 400
25
12
25
25
25
50
25 100
25 200
25 400
50
12
50
25
50
50
50 100
50 200
50 400
100 12
100 25
100 50
100 100
100 200
100 400
200 12
200 25
200 50
200 100
200 200
200 400
400 12
400 25
400 50
400 100
400 200
400 400
800 12
800 25
800 50
800 100
800 200
800 400
1600 12
1600 25
1600 50
1600 100
1600 200
1600 400
exata
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
0.999368
0.999313
0.999301
0.999298
0.999297
0.999297
1.00004
1.00003
1.00002
1.00002
1.00002
1.00002
0.999689
0.999678
0.999676
0.999676
0.999676
0.999676
0.999507
0.999492
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0.999489
0.999488
0.999488
0.999440
0.999423
0.999420
0.999419
0.999419
0.999419
0.999409
0.999392
0.999389
0.999388
0.999388
0.999387
0.999395
0.999378
0.999374
0.999373
0.999373
0.999373
0.999390
0.999372
0.999368
0.999368
0.999367
0.999367
0.999366
0.991733
0.991209
0.991093
0.991064
0.991057
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0.997061
0.996824
0.996775
0.996763
0.996760
0.996759
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0.994052
0.994051
0.992955
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0.992705
0.992694
0.992692
0.992691
0.992560
0.992346
0.992300
0.992289
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0.992285
0.992481
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0.992220
0.992208
0.992205
0.992205
0.992462
0.992246
0.992200
0.992188
0.992185
0.992185
0.992457
0.992241
0.992195
0.992183
0.992180
0.992180
0.992178
0.781316
0.778264
0.777581
0.777410
0.777367
0.777356
0.785136
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0.781215
0.781036
0.780991
0.780979
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0.785369
0.784641
0.784459
0.784414
0.784402
0.789553
0.786305
0.785575
0.785392
0.785347
0.785335
0.789803
0.786553
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0.785594
0.785582
0.789866
0.786616
0.785885
0.785702
0.785656
0.785645
0.789882
0.786631
0.785901
0.785718
0.785672
0.785661
0.789886
0.786635
0.785904
0.785722
0.785676
0.785665
0.785662
0.0168394
0.0167870
0.0167752
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0.0167715
0.0167713
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0.0149440
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0.0149431
0.0150046
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0.0149390
0.0149383
0.0149381
0.0150033
0.0149522
0.0149407
0.0149378
0.0149371
0.0149369
0.0150030
0.0149518
0.0149404
0.0149375
0.0149368
0.0149366
0.0149364
159
Tab. A.3: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0.99, discretização bidirecional.
I
J
12
12
12
25
12
50
12 100
12 200
12 400
25
12
25
25
25
50
25 100
25 200
25 400
50
12
50
25
50
50
50 100
50 200
50 400
100 12
100 25
100 50
100 100
100 200
100 400
200 12
200 25
200 50
200 100
200 200
200 400
400 12
400 25
400 50
400 100
400 200
400 400
800 12
800 25
800 50
800 100
800 200
800 400
1600 12
1600 25
1600 50
1600 100
1600 200
1600 400
exata
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
0.328472
0.608877
0.969852
1.162240
0.969408
0.969385
0.327963
0.602716
0.950006
1.133250
0.947417
0.947268
0.328182
0.600947
0.934207
1.100890
0.925958
0.925320
0.328458
0.601778
0.930076
1.079830
0.919402
0.917822
0.328636
0.602852
0.932885
1.078020
0.930283
0.927958
0.328733
0.603541
0.936044
1.084060
0.938801
0.935272
0.328781
0.603904
0.937952
1.089030
0.940396
0.936622
0.328801
0.604056
0.938785
1.091380
0.940287
0.936867
0.936781
0.279226
0.475796
0.722234
0.852516
0.718286
0.718082
0.276324
0.430995
0.574643
0.636129
0.554411
0.553253
0.279391
0.428127
0.501750
0.476537
0.450784
0.446987
0.282116
0.441380
0.526735
0.481584
0.473215
0.467702
0.283170
0.447956
0.552208
0.529622
0.501286
0.496683
0.283366
0.449091
0.555963
0.535091
0.505850
0.501247
0.283415
0.449374
0.556889
0.536365
0.507047
0.502451
0.283427
0.449445
0.557120
0.536678
0.507351
0.502758
0.501235
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0.0232298
-0.0372672
-0.0702377
-0.0425278
-0.0427951
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0.0708876
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0.0651460
0.0649850
0.0649453
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0.0706865
0.0658842
0.0651455
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0.0649451
0.0832105
0.0706857
0.0658835
0.0651454
0.0649847
0.0649450
0.0832112
0.0706855
0.0658833
0.0651453
0.0649847
0.0649450
0.0649318
0.00918419
0.00915747
0.00915172
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0.00923521
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0.00924309
0.00923719
0.00923572
0.00923536
0.00923526
0.00927058
0.00924311
0.00923720
0.00923574
0.00923537
0.00923528
0.00923525
160
Tab. A.4: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 1, em η = 0, discretização bidirecional.
I
J
12
12
12
25
12
50
12 100
12 200
12 400
25
12
25
25
25
50
25 100
25 200
25 400
50
12
50
25
50
50
50 100
50 200
50 400
100 12
100 25
100 50
100 100
100 200
100 400
200 12
200 25
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200 100
200 200
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800 200
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1600 12
1600 25
1600 50
1600 100
1600 200
1600 400
exata
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
0.999360
0.999355
0.999353
0.999353
0.999353
0.999353
0.999357
0.999351
0.999350
0.999350
0.999350
0.999350
0.999355
0.999349
0.999348
0.999348
0.999348
0.999348
0.999354
0.999348
0.999347
0.999347
0.999347
0.999347
0.999353
0.999348
0.999346
0.999346
0.999346
0.999346
0.999353
0.999347
0.999346
0.999346
0.999346
0.999346
0.999353
0.999347
0.999346
0.999346
0.999346
0.999346
0.999353
0.999347
0.999346
0.999346
0.999345
0.999345
0.999345
0.993582
0.993524
0.993512
0.993509
0.993508
0.993508
0.993549
0.993492
0.993479
0.993476
0.993475
0.993475
0.993529
0.993472
0.993459
0.993456
0.993455
0.993455
0.993519
0.993462
0.993449
0.993446
0.993445
0.993445
0.993516
0.993458
0.993445
0.993442
0.993441
0.993441
0.993515
0.993457
0.993445
0.993441
0.993441
0.993440
0.993515
0.993457
0.993444
0.993441
0.993440
0.993440
0.993515
0.993457
0.993444
0.993441
0.993440
0.993440
0.993440
0.934157
0.933573
0.933445
0.933413
0.933405
0.933403
0.934113
0.933532
0.933403
0.933372
0.933364
0.933362
0.934112
0.933531
0.933403
0.933371
0.933363
0.933361
0.934112
0.933531
0.933403
0.933371
0.933363
0.933361
0.934112
0.933531
0.933403
0.933371
0.933363
0.933361
0.934112
0.933531
0.933403
0.933371
0.933363
0.933361
0.934112
0.933531
0.933403
0.933371
0.933363
0.933361
0.934112
0.933531
0.933403
0.933371
0.933363
0.933361
0.933360
0.550016
0.550323
0.550392
0.550409
0.550414
0.550415
0.549682
0.549989
0.550057
0.550075
0.550079
0.550080
0.549606
0.549913
0.549982
0.550000
0.550004
0.550005
0.549588
0.549895
0.549964
0.549981
0.549985
0.549986
0.549583
0.549890
0.549959
0.549976
0.549980
0.549981
0.549582
0.549889
0.549958
0.549975
0.549979
0.549980
0.549581
0.549888
0.549957
0.549975
0.549979
0.549980
0.549581
0.549888
0.549957
0.549975
0.549979
0.549980
0.549980
161
Tab. A.5: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1 em η = 0.99, discretização bidirecional.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.333798
0.622662
0.992759
1.18709
0.991784
0.991587
0.333814
0.622765
0.993074
1.18707
0.993260
0.992943
0.333822
0.622823
0.993351
1.18763
0.994091
0.993559
0.333826
0.622855
0.993518
1.18807
0.994256
0.993657
0.333829
0.622871
0.993608
1.18832
0.994242
0.993674
0.333830
0.622879
0.993654
1.18846
0.994213
0.993678
0.333830
0.622883
0.993676
1.18853
0.994194
0.993679
0.333830
0.622885
0.993685
1.18855
0.994186
0.993679
0.328802
0.602208
0.930519
1.07772
0.921260
0.919464
0.328965
0.603249
0.934038
1.07972
0.934019
0.931353
0.329045
0.603825
0.936836
1.08593
0.939815
0.936042
0.329084
0.604113
0.938373
1.09008
0.940432
0.936788
0.329097
0.604213
0.938915
1.09161
0.940342
0.936946
0.329099
0.604232
0.939020
1.09190
0.940346
0.936985
0.329100
0.604237
0.939046
1.09197
0.940347
0.936995
0.329100
0.604238
0.939053
1.09199
0.940348
0.936997
0.285600
0.445957
0.539164
0.503654
0.488005
0.482820
0.286312
0.450279
0.555489
0.534116
0.504942
0.500341
0.286440
0.451006
0.557802
0.537123
0.507897
0.503306
0.286472
0.451190
0.558398
0.537935
0.508672
0.504087
0.286480
0.451235
0.558546
0.538135
0.508868
0.504284
0.286482
0.451247
0.558583
0.538185
0.508917
0.504334
0.286482
0.451250
0.558593
0.538198
0.508929
0.504346
0.286482
0.451250
0.558595
0.538201
0.508932
0.504349
0.1329640
0.1097210
0.1007590
0.0994011
0.0991053
0.0990323
0.1336180
0.1104520
0.1013020
0.0999101
0.0996079
0.0995333
0.1337640
0.1106130
0.1014210
0.1000220
0.0997184
0.0996435
0.1338010
0.1106530
0.1014510
0.1000500
0.0997459
0.0996709
0.1338100
0.1106630
0.1014580
0.1000570
0.0997528
0.0996777
0.1338120
0.1106650
0.1014600
0.1000580
0.0997545
0.0996795
0.133813
0.110666
0.101461
0.100059
0.0997549
0.0996799
0.133813
0.110666
0.101461
0.100059
0.099755
0.099680
162
Tab. A.6: Temperaturas para Slug-Flow com PeH = 0.1, em η = 0, discretização bidirecional.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.999999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
A.2
163
Slug-Flow para Peclet grande com discretização bidirecional
o escoamento tipo Slug-flow com valores de Péclet grande, usando a discretização bidirecional, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e diferentes posições
para a coordenada transversal η.
As tabelas A.7 e A.8 mostram os valores de Temperaturas adimensionalizadas obtidos para Slug-flow, para número de Péclet grande e valores de η = 0 e η = 0.99.
164
Tab. A.7: Temperaturas para Slug-Flow em com número de PeH grande, em η = 0.99,
discretização bidirecional.
I
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
J
ξ = 0.001
12
0.323310
25
0.603315
50
0.964625
100 1.157330
200 0.964613
400 0.964613
12
0.312641
25
0.581277
50
0.928009
100 1.112940
200 0.927957
400 0.927955
12
0.294682
25
0.541948
50
0.861380
100 1.031750
200 0.861184
400 0.861174
12
0.266001
25
0.472670
50
0.740429
100 0.883252
200 0.739705
400 0.739668
12
0.227724
0.362644
25
50
0.538675
100 0.632514
200 0.536185
400 0.536060
12
0.192438
0.222490
25
50
0.259645
100 0.278877
200 0.252293
400 0.251922
12
0.179991
25
0.124563
50 0.0368335
100 -0.0119355
200 0.0222429
400 0.0215038
12
0.185005
25
0.153065
50
0.136309
100 0.133101
200 0.132530
400 0.132380
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
0.232798
0.425916
0.675363
0.808410
0.675255
0.675250
0.152567
0.260366
0.400386
0.475091
0.399990
0.399970
0.0586520
0.0555483
0.0538815
0.0530558
0.0527710
0.0527154
0.0136333
-0.0491604
-0.1266640
-0.1679020
-0.1283290
-0.1284130
0.0429532
0.0402603
0.0400324
0.0401008
0.0401397
0.0401456
0.0421483
0.0406611
0.0404276
0.0403726
0.0403590
0.0403556
0.0415851
0.0402956
0.0400784
0.0400268
0.0400141
0.0400109
0.0414301
0.0401910
0.0399786
0.0399281
0.0399155
0.0399124
-0.0275879
-0.0703548
-0.1251620
-0.1543790
-0.1252930
-0.1252990
0.0128519
0.0128139
0.0128059
0.0128039
0.0128034
0.0128033
0.0125790
0.0125509
0.0125447
0.0125432
0.0125428
0.0125427
0.0125058
0.0124794
0.0124737
0.0124723
0.0124719
0.0124718
0.0124853
0.0124594
0.0124538
0.0124524
0.0124520
0.0124519
0.0124800
0.0124543
0.0124487
0.0124473
0.0124469
0.0124468
0.0124787
0.0124530
0.0124474
0.0124460
0.0124456
0.0124455
0.0124784
0.0124527
0.0124470
0.0124456
0.0124453
0.0124452
0.000100969
0.000100338
0.000100198
0.000100162
0.000100154
0.000100151
0.000121234
0.000120493
0.000120328
0.000120287
0.000120276
0.000120274
0.000132028
0.000131229
0.000131050
0.000131006
0.000130995
0.000130992
0.000138169
0.000137338
0.000137153
0.000137107
0.000137095
0.000137092
0.000141474
0.000140627
0.000140437
0.000140390
0.000140378
0.000140375
0.000143191
0.000142335
0.000142144
0.000142096
0.000142084
0.000142081
0.000144067
0.000143206
0.000143014
0.000142966
0.000142954
0.000142951
0.000144509
0.000143646
0.000143454
0.000143406
0.000143394
0.000143391
165
Tab. A.8: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0, discretização bidirecional.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.999659
0.999582
0.999565
0.999561
0.999560
0.999559
1.00175
1.00171
1.00171
1.00171
1.00171
1.00170
1.00118
1.00124
1.00125
1.00125
1.00125
1.00125
0.999909
0.999931
0.999936
0.999937
0.999938
0.999938
0.999960
0.999954
0.999952
0.999951
0.999951
0.999951
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.994059
0.993336
0.993175
0.993135
0.993125
0.993122
1.01070
1.01031
1.01023
1.01021
1.01020
1.01020
1.00731
1.00746
1.00751
1.00752
1.00752
1.00753
1.00154
1.00167
1.00171
1.00172
1.00172
1.00172
1.00020
1.00023
1.00024
1.00025
1.00025
1.00025
1.00002
1.00002
1.00002
1.00002
1.00002
1.00002
1.00001
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00001
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.765126
0.761624
0.760838
0.760641
0.760592
0.760580
0.769355
0.765493
0.764623
0.764405
0.764351
0.764337
0.775222
0.771141
0.770221
0.769990
0.769933
0.769918
0.777069
0.772905
0.771965
0.771730
0.771671
0.771657
0.777592
0.773403
0.772458
0.772221
0.772162
0.772147
0.777727
0.773532
0.772585
0.772348
0.772289
0.772274
0.777761
0.773564
0.772617
0.772380
0.772321
0.772306
0.777770
0.773572
0.772625
0.772388
0.772329
0.772314
0.0108836
0.0108420
0.0108326
0.0108303
0.0108297
0.0108296
0.00959247
0.00955231
0.00954331
0.00954106
0.00954049
0.00954035
0.00930439
0.00926459
0.00925567
0.00925344
0.00925288
0.00925274
0.00923249
0.00919278
0.00918387
0.00918165
0.00918109
0.00918095
0.00921452
0.00917483
0.00916593
0.00916371
0.00916315
0.00916302
0.00921003
0.00917034
0.00916145
0.00915923
0.00915867
0.00915853
0.00920891
0.00916922
0.00916033
0.00915810
0.00915755
0.00915741
0.00920863
0.00916894
0.00916005
0.00915782
0.00915727
0.00915713
A.3
166
Slug-Flow para Peclet grande com discretização em uma
direção
o escoamento tipo Slug-flow com valores de Péclet grande, usando a discretização
em uma direção apenas, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e
As tabelas A.9 e A.10 mostram os valores de temperatura obtidos para Slug-Flow,
para número de Péclet grande.
Tab. A.9: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0.99, discretização em uma direção.
I
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
3
0.0578972 0.0432279 0.0129178 0.000160839
5
0.0907101 0.0465760 0.0125846 0.000149776
10
0.139480 0.0414004 0.0124781 0.000145303
20
0.141326 0.0402177 0.0124537 0.000144204
40
0.128886 0.0399728 0.0124476 0.000143929
0.125849 0.0398845 0.0124451 0.000143850
80
100 0.125761 0.0398818 0.0124451 0.000143844
120 0.125790 0.0398827 0.0124452 0.000143841
140 0.125840 0.0398842 0.0124452 0.000143840
160 0.125772 0.0398821 0.0124452 0.000143838
180 0.125684 0.0398793 0.0124451 0.000143836
200 0.125665 0.0398786 0.0124451 0.000143835
250 0.125716 0.0398803 0.0124451 0.000143835
300 0.125647 0.0398781 0.0124451 0.000143833
350 0.125675 0.0398790 0.0124451 0.000143833
400 0.125641 0.0398779 0.0124451 0.000143833
500 0.125638 0.0398778 0.0124451 0.000143833
600 0.125636 0.0398777 0.0124451 0.000143832
700 0.125636 0.0398777 0.0124451 0.000143832
800 0.125635 0.0398777 0.0124451 0.000143832
900 0.125635 0.0398777 0.0124451 0.000143832
1000 0.125634 0.0398777 0.0124451 0.000143832
1100 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832
1200 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832
1300 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832
1400 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832
1500 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832
1600 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832
1700 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832
1800 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832
1900 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832
2000 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832
167
Tab. A.10: Temperaturas para Slug-Flow com número de PeH grande, em η = 0, discretização em uma direção.
I
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
3
1.000150 1.00990 0.852989 0.01134460
5
1.00000 1.00076 0.802948 0.00991931
1.00000 1.00002 0.780156 0.00934493
10
20
1.00000 0.999999 0.774285 0.00920383
40
1.00000 0.999999 0.772806 0.00916871
80
1.00000 0.999999 0.772435 0.00915992
100 1.00000 0.999999 0.772391 0.00915889
120 1.00000 0.999999 0.772367 0.00915831
140 1.00000 0.999999 0.772352 0.00915797
160 1.00000 0.999999 0.772342 0.00915775
180 1.00000 0.999999 0.772336 0.00915759
200 1.00000 0.999999 0.772331 0.00915748
250 1.00000 0.999999 0.772324 0.00915731
300 1.00000 0.999999 0.772320 0.00915721
350 1.00000 0.999999 0.772318 0.00915717
400 1.00000 0.999999 0.772317 0.00915713
500 1.00000 0.999999 0.772315 0.00915709
600 1.00000 0.999999 0.772314 0.00915707
700 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915705
800 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915704
900 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915703
1000 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915704
1100 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915703
1200 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915703
1300 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915701
1400 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702
1500 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702
1600 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702
1700 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702
1800 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702
1900 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702
2000 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702
A.4
168
Resultados de temperatura para Péclet grande (CDS)
o escoamento tipo Hagen-Poiseuille com número de Péclet grande, usando a discretização bidirecional CDS, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e
As tabelas A.11 e A.12 mostram os valores de Temperaturas adimensionalizadas
obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet grande e valores de η = 0 e
η = 0.99.
169
Tab. A.11: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em η =
0.99, discretização bidirecional CDS.
I
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
J
ξ = 0.001
12
0.322946
25
0.602985
50
0.964313
100 1.157020
200 0.964313
400 0.964313
12
0.311277
25
0.580048
50
0.926854
100 1.111820
200 0.926853
400 0.926853
12
0.290205
25
0.537927
50
0.857639
100 1.028160
200 0.857635
400 0.857635
12
0.252235
25
0.460259
50
0.729009
100 0.872358
200 0.728996
400 0.728995
12
0.189405
0.327293
25
50
0.506508
100 0.602151
200 0.506463
400 0.506461
12
0.103442
0.135514
25
50
0.181119
100 0.205647
200 0.180981
400 0.180975
12 0.0359742
25 -0.0272886
50 -0.0999449
100 -0.138257
200 -0.100229
400
12 0.0627006
25 0.0620691
50 0.0623053
100
200
400
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
0.229554
0.422978
0.672586
0.805712
0.672584
0.672584
0.141916
0.250763
0.391363
0.466357
0.391356
0.391355
0.0323090
0.0318852
0.0318125
0.0317970
0.0317933
0.0317924
-0.0244231
-0.0831922
-0.1583010
-0.1983240
-0.1583300
-0.1583310
0.0274512
0.0276882
0.0277182
0.0277217
0.0277224
0.0277225
0.0276068
0.0276999
0.0277061
0.0277058
0.0277056
0.0277056
0.0274793
0.0275678
0.0275736
0.0275734
0.0275732
-0.0318745
-0.0742265
-0.1288330
-0.1579550
-0.1288350
-0.1288350
0.0121157
0.0121258
0.0121271
0.0121273
0.0121273
0.0121274
0.0119729
0.0119825
0.0119838
0.0119840
0.0119841
0.0119841
0.0119323
0.0119417
0.0119430
0.0119432
0.0119433
0.0119433
0.0119208
0.0119301
0.0119315
0.0119317
0.0119318
0.0119318
0.0119179
0.0119272
0.0119285
0.0119287
0.0119288
0.0119288
0.0119171
0.0119264
0.0119277
0.0119280
0.0119280
0.000295746
0.000294880
0.000294668
0.000294613
0.000294599
0.000294595
0.000343813
0.000342851
0.000342615
0.000342553
0.000342538
0.000342534
0.000368822
0.000367813
0.000367565
0.000367500
0.000367484
0.000367480
0.000382413
0.000381381
0.000381127
0.000381061
0.000381044
0.000381040
0.000389530
0.000388487
0.000388230
0.000388163
0.000388146
0.000388142
0.000393175
0.000392126
0.000391867
0.000391800
0.000391783
0.000391779
0.000395020
0.000393968
0.000393709
0.000393641
0.000393624
0.0274428
0.0275300
0.0275357
0.0119169
0.0119262
0.0119275
0.000395948
0.000394895
0.000394635
170
Tab. A.12: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de PeH grande, em η = 0,
discretização bidirecional CDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
200
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.999909
0.999823
0.999804
0.999800
0.999799
0.999798
1.00138
1.00133
1.00132
1.00132
1.00132
1.00132
1.00090
1.00095
1.00096
1.00097
1.00097
1.00097
0.999938
0.999971
0.999978
0.999980
0.999980
0.999980
0.999967
0.999965
0.999962
0.999962
0.999961
0.999961
1.00001
1.00001
1.00001
1.00001
1.00001
1.00001
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.996912
0.996111
0.995933
0.995889
0.995878
0.995875
1.00856
1.00808
1.00798
1.00795
1.00795
1.00795
1.00563
1.00569
1.00572
1.00573
1.00573
1.00574
1.00122
1.00131
1.00135
1.00136
1.00136
1.00136
1.00019
1.00021
1.00022
1.00022
1.00023
1.00023
1.00003
1.00002
1.00002
1.00002
1.00002
1.00002
1.00002
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
0.815561
0.811611
0.810725
0.810504
0.810448
0.810435
0.818938
0.814663
0.813698
0.813457
0.813396
0.813381
0.823537
0.819056
0.818043
0.817789
0.817726
0.817710
0.824959
0.820402
0.819371
0.819113
0.819049
0.819033
0.825359
0.820779
0.819744
0.819484
0.819419
0.819403
0.825463
0.820877
0.819840
0.819580
0.819515
0.819499
0.825489
0.820902
0.819864
0.819604
0.819539
0.0301440
0.0300770
0.0300620
0.0300582
0.0300573
0.0300570
0.0283127
0.0282445
0.0282292
0.0282254
0.0282244
0.0282242
0.0278990
0.0278306
0.0278152
0.0278113
0.0278104
0.0278101
0.0277954
0.0277270
0.0277116
0.0277077
0.0277068
0.0277065
0.0277695
0.0277011
0.0276857
0.0276818
0.0276809
0.0276806
0.0277631
0.0276946
0.0276792
0.0276754
0.0276744
0.0276742
0.0277615
0.0276930
0.0276776
0.0276737
0.0276728
0.999999 1.00002 0.825495 0.0277611
0.999999 1.00000 0.820908 0.0276926
0.999999 0.999999 0.819870 0.0276772
A.5
171
Resultados de Temperatura para HDS
o escoamento tipo Hagen-Poiseuille com número de Péclet grande, usando a discretização bidirecional HDS, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e
As tabelas A.13 e A.14 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas
obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet PeH = 10 e valores de η = 0.99 e
η = 0 As tabelas A.15 e A.16 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas
obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet PeH = 1 e valores de η = 0.99
e η = 0. Os resultados calculados para PeH são idênticos aos calculados utilizando a
solução CDS e portanto não são apresentados.
172
Tab. A.13: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0.99, discretização bidirecional, solução HDS.
I
J
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
50
50
50
50
50
50
100
100
100
100
100
100
200
200
200
200
200
200
400
400
400
400
400
400
800
800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
0.323120
0.231113
-0.0294420 0.000693614
0.603141
0.424378
-0.0719938 0.000692248
0.964461
0.673907
-0.126697 0.000691912
1.15717
0.806995
-0.155864 0.000691824
0.964455
0.673854
-0.126760 0.000691802
0.964455
0.673851
-0.126763 0.000691796
0.312650
0.152664
0.0136122 0.000629350
0.581291
0.260503
0.0136065 0.000627835
0.928024
0.400533
0.0136040 0.000627473
1.11295
0.475241
0.0136032 0.000627380
0.927973
0.400140
0.0136030 0.000627356
0.927970
0.400121
0.0136029 0.000627350
0.297475 0.0751927
0.0135955 0.000590325
0.544641 0.0714306
0.0135916 0.000588736
0.863866 0.0685816
0.0135895 0.000588362
1.034110 0.0670363
0.0135888 0.000588267
0.863497 0.0664915
0.0135886 0.000588243
0.863478 0.0663865
0.0135885 0.000588237
0.282186 0.0613421
0.0135392 0.000566098
0.491055 0.000991529 0.0135351 0.000564489
0.757480 -0.0802790 0.0135330 0.000564112
0.899070
-0.124437
0.0135324 0.000564016
0.755046 -0.0859661 0.0135322 0.000563992
0.754921 -0.0862555 0.0135322 0.000563986
0.276332 0.0843161
0.0134829 0.000551954
0.440303 0.0712923
0.0134788 0.000550341
0.617144 0.0655010
0.0134767 0.000549964
0.703950 0.0648880
0.0134761 0.000549868
0.604318 0.0649771
0.0134759 0.000549845
0.603616 0.0649730
0.0134759 0.000549839
0.278564 0.0858978
0.0134470 0.000544210
0.425463 0.0737901
0.0134428 0.000542596
0.512158 0.0691156
0.0134408 0.000542219
0.513023 0.0683722
0.0134401 0.000542123
0.470825 0.0682136
0.0134400 0.000542100
0.468061 0.0681744
0.0134399 0.000542094
0.281758 0.0861150
0.0134270 0.000540147
0.437130 0.0738186
0.0134228 0.000538531
0.512615 0.0691507
0.0134208 0.000538154
0.462161 0.0684194
0.0134201 0.000538059
0.455895 0.0682606
0.0134200 0.000538035
0.450457 0.0682214
0.0134199 0.000538029
0.283414 0.0861188
0.0134165 0.000538065
0.447150 0.0737549
0.0134123 0.000536448
0.549441 0.0690869
0.0134102 0.000536071
0.526594 0.0683658
0.0134096 0.000535976
0.497973 0.0682085
0.0134094 0.000535952
0.493394 0.0681697
0.0134094 0.000535946
173
Tab. A.14: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 10, em η = 0, discretização
bidirecional, solução HDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
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800
800
800
800
1600
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1600
1600
1600
1600
12
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12
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12
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200
400
12
25
50
100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.997187
0.997120
0.997105
0.997102
0.997101
0.997101
0.998613
0.998562
0.998551
0.998548
0.998547
0.998547
0.999268
0.999237
0.999230
0.999229
0.999228
0.999228
0.999517
0.999494
0.999489
0.999488
0.999487
0.999487
0.999630
0.999610
0.999606
0.999605
0.999605
0.999605
0.999684
0.999666
0.999662
0.999661
0.999661
0.999661
0.999710
0.999692
0.999689
0.999688
0.999688
0.999688
0.999722
0.999705
0.999701
0.999700
0.999700
0.999700
0.972497
0.971870
0.971731
0.971697
0.971688
0.971686
0.985825
0.985333
0.985227
0.985201
0.985195
0.985193
0.992079
0.991753
0.991684
0.991667
0.991663
0.991662
0.994555
0.994296
0.994242
0.994228
0.994225
0.994224
0.995553
0.995320
0.995271
0.995259
0.995256
0.995255
0.995956
0.995732
0.995685
0.995674
0.995671
0.995670
0.996143
0.995922
0.995876
0.995865
0.995862
0.995862
0.996233
0.996013
0.995968
0.995957
0.995954
0.995953
0.772749
0.769541
0.768824
0.768645
0.768600
0.768589
0.817369
0.814066
0.813325
0.813140
0.813094
0.813082
0.834814
0.831371
0.830598
0.830405
0.830357
0.830345
0.841436
0.837888
0.837089
0.836890
0.836840
0.836827
0.843778
0.840159
0.839345
0.839141
0.839090
0.839077
0.844635
0.840976
0.840152
0.839946
0.839894
0.839881
0.844974
0.841293
0.840464
0.840257
0.840205
0.840192
0.845119
0.841428
0.840596
0.840388
0.840336
0.840323
0.0550133
0.0549405
0.0549241
0.0549200
0.0549189
0.0549187
0.0454781
0.0454002
0.0453826
0.0453781
0.0453770
0.0453768
0.0410239
0.0409450
0.0409272
0.0409227
0.0409216
0.0409213
0.0387067
0.0386278
0.0386099
0.0386055
0.0386043
0.0386041
0.0375099
0.0374310
0.0374132
0.0374087
0.0374076
0.0374073
0.0369004
0.0368215
0.0368037
0.0367992
0.0367981
0.0367978
0.0365927
0.0365138
0.0364959
0.0364915
0.0364903
0.0364901
0.0364381
0.0363592
0.0363413
0.0363368
0.0363357
0.0363354
174
Tab. A.15: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0.99, discretização bidirecional, solução HDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
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400
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800
800
800
800
800
1600
1600
1600
1600
1600
1600
12
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200
400
12
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200
400
12
25
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200
400
12
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100
200
400
12
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100
200
400
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200
400
12
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100
200
400
12
25
50
100
200
400
0.328403
0.608794
0.969774
1.162170
0.969338
0.969316
0.327880
0.602574
0.949850
1.1331
0.947282
0.947134
0.328102
0.600781
0.933970
1.10066
0.925744
0.925108
0.328384
0.601619
0.929809
1.079530
0.919134
0.917555
0.328566
0.602703
0.932631
1.07771
0.930019
0.927696
0.328665
0.603401
0.935809
1.08378
0.938562
0.935035
0.328714
0.603768
0.937728
1.08877
0.940172
0.936399
0.328734
0.603922
0.938567
1.09112
0.940069
0.936649
0.278602
0.475051
0.721531
0.851865
0.717657
0.717456
0.275611
0.429835
0.573377
0.634967
0.553310
0.552161
0.278734
0.426912
0.500145
0.474989
0.449345
0.445563
0.281519
0.440310
0.525291
0.480136
0.471878
0.466378
0.282596
0.446962
0.550929
0.528387
0.500130
0.495539
0.282796
0.448110
0.554710
0.533887
0.504720
0.500129
0.282846
0.448396
0.555642
0.535168
0.505923
0.501339
0.282859
0.448468
0.555874
0.535482
0.506229
0.501647
0.0661569
0.0215620
-0.0388066
-0.0716965
-0.0439574
-0.0442191
0.0809322
0.0698152
0.0651547
0.0642804
0.0640989
0.0640544
0.0816287
0.0696448
0.0649612
0.0642148
0.0640548
0.0640153
0.0818423
0.0696850
0.0650017
0.0642723
0.0641143
0.0640753
0.0818927
0.0696798
0.0649972
0.0642751
0.0641180
0.0640793
0.0819050
0.0696775
0.0649952
0.0642750
0.0641182
0.0640795
0.0819080
0.0696768
0.0649946
0.0642749
0.0641182
0.0640795
0.0819087
0.0696766
0.0649944
0.0642748
0.0641182
0.0640795
0.00928047
0.00925702
0.00925191
0.00925064
0.00925032
0.00925024
0.00933745
0.00931353
0.00930832
0.00930702
0.00930670
0.00930662
0.00934804
0.00932403
0.00931880
0.00931750
0.00931717
0.00931709
0.00934969
0.00932566
0.00932043
0.00931913
0.00931880
0.00931872
0.00934962
0.00932558
0.00932035
0.00931904
0.00931872
0.00931864
0.00934935
0.00932531
0.00932008
0.00931878
0.00931845
0.00931837
0.00934916
0.00932512
0.00931989
0.00931859
0.00931826
0.00931818
0.00934906
0.00932501
0.00931978
0.00931848
0.00931815
0.00931807
175
Tab. A.16: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com PeH = 1, em η = 0, discretização
bidirecional, solução HDS.
I
J
ξ = 0.001
ξ = 0.01
ξ = 0.1
ξ=1
12
12
12
12
12
12
25
25
25
25
25
25
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800
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1600
1600
1600
1600
1600
12
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200
400
12
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200
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12
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200
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12
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400
12
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12
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200
400
12
25
50
100
200
400
0.999413
0.999407
0.999406
0.999406
0.999405
0.999405
0.999410
0.999404
0.999403
0.999402
0.999402
0.999402
0.999408
0.999402
0.999401
0.999400
0.999400
0.999400
0.999407
0.999401
0.999400
0.999399
0.999399
0.999399
0.999407
0.999400
0.999399
0.999399
0.999399
0.999399
0.999406
0.999400
0.999399
0.999398
0.999398
0.999398
0.999406
0.999400
0.999399
0.999398
0.999398
0.999398
0.999406
0.999400
0.999399
0.999398
0.999398
0.999398
0.994107
0.994045
0.994031
0.994028
0.994027
0.994027
0.994075
0.994014
0.994000
0.993997
0.993996
0.993996
0.994056
0.993995
0.993981
0.993978
0.993977
0.993977
0.994046
0.993984
0.993971
0.993968
0.993967
0.993966
0.994042
0.993981
0.993967
0.993964
0.993963
0.993963
0.994041
0.993908
0.993966
0.993963
0.993962
0.993962
0.994041
0.993979
0.993966
0.993962
0.993962
0.993961
0.994041
0.993979
0.993966
0.993962
0.993961
0.993961
0.938944
0.938321
0.938184
0.938150
0.938142
0.938139
0.938877
0.938258
0.938121
0.938087
0.938079
0.938077
0.938852
0.938234
0.938097
0.938063
0.938055
0.938053
0.938838
0.938219
0.938083
0.938049
0.938040
0.938038
0.938830
0.938211
0.938075
0.938041
0.938030
0.938030
0.938826
0.938207
0.938071
0.938037
0.938028
0.938026
0.938823
0.938205
0.938069
0.938035
0.938026
0.938024
0.938822
0.938204
0.938068
0.938034
0.938025
0.938023
0.562974
0.563342
0.563424
0.563445
0.563450
0.563451
0.562117
0.562484
0.562566
0.562586
0.562591
0.562593
0.561779
0.562145
0.562227
0.562247
0.562253
0.562254
0.561624
0.561989
0.562071
0.562092
0.562097
0.562098
0.561550
0.561915
0.561997
0.562017
0.562024
0.562024
0.561513
0.561879
0.561960
0.561981
0.561986
0.561987
0.561495
0.561861
0.561942
0.561963
0.561968
0.561969
0.561487
0.561852
0.561934
0.561954
0.561959
0.561960
Apêndice B
Resultados de estudo preliminar
Neste apêndice, os resultados do estudo preliminar desenvolvido em [36] são exibidos.
Como mencionado, é pouco provável que o complexo processo de transferência
de calor e massa acoplado nos mini-canais de regeneradores, resulte em coeficientes
convectivos constantes. Desta forma, uma formulação que aborde o problema de transporte nos canais localmente torna-se necessária para obter-se resultados mais acurados
para simulações em regeneradores de calor e massa. Como o parâmetro de maior interesse prático em regeneradores é a medida de sua eficiência, a influência da utilização
de coeficientes variáveis sobre a eficiência foi investigada.
A eficiência de regeneradores é medida por meio de duas efetividades, para transferência de massa e para transferência de entalpia (ou energia), respectivamente definidas por:
εm =
CI Ȳout ,I − Ȳout ,I I
Cmin Ȳi n,I − Ȳi n,I I
εi =
CI ı̃¯out ,I − ı̃¯out ,I I
Cmin ı̃¯i n,I − ı̃¯i n,I I
(B.1)
Onde a barra indica a média no tempo dentro de cada processo e o til representa
propriedades (entalpia no caso) em base seca.
Os resultados apresentados consistem em valores das efetividades do regenerador
rotativo para diferentes valores de unidades de transferência (utilizando Ntu igual para
transferência de calor e massa) e da razão de taxas de capacidades térmicas C∗r . Os resultados utilizando coeficientes convectivos constantes (resultando em Nhtu constante)
são comparados, com os valores de Nhtu calculados com a equação abaixo:
Nhtu,x
=
Nhtu
µ
∗ ¶−1/2
Nux
h α0
−1 x
= Ntu
K
Nu
Nu r RePr
(B.2)
Onde a razão de aspecto entre o diâmetro hidráulico de um canal e seu comprimento
176
Apêndice B. Resultados de estudo preliminar
C∗r = 1
C∗r = 2
177
C∗r = 5
Kr
εm
εi
εm
εi
εm
εi
0,000
0,001
0,010
0,100
0,0981
0,0981
0,1005
0,1427
0,3126
0,3126
0,3140
0,3387
0,2904
0,2904
0,2947
0,3676
0,4490
0,4490
0,4510
0,4878
0,6218
0,6218
0,6222
0,6218
0,6661
0,6661
0,6652
0,6473
C∗r = 10
εm
εi
0,7146
0,7146
0,7118
0,6664
0,7261
0,7261
0,7229
0,6735
Tab. B.1: Valores das efetividades do regenerador rotativo para Nhtu = 3.
Kr
0,000
0,001
0,010
0,100
C∗r = 1
m
ε
0,0873
0,0873
0,0896
0,1338
0,3328
0,3328
0,3342
0,3575
ε
i
C∗r = 2
m
ε
0,2836
0,2836
0,2883
0,3721
0,4733
0,4733
0,4755
0,5142
ε
i
C∗r = 5
m
ε
0,6812
0,6812
0,6818
0,6759
0,7342
0,7342
0,7330
0,7014
ε
i
C∗r = 10
ε
εi
m
0,7935
0,7935
0,7897
0,7148
0,8069
0,8069
0,8024
0,7216
Kr é gradativamente variada.
Os resultados obtidos são apresentados nas tabelas seguintes. A tabela B.1 apresenta os resultados para Nhtu = 3, e as seguintes, para os demais valores do número de
unidades de transferência utilizados (Nhtu = 5, 10 e 50).
A análise dos resultados obtidos nas simulações mostra que houve grande variação
das efetividades quando foi utilizado valor de Kr = 0, 1 na formulação, o qual corresponde a uma situação exagerada de razão de aspecto comparado aos valores reais
encontrados em regeneradores. Entretanto os valores simulados para Kr = 0, 01 mostraram alguma mudança. Levando em consideração que estes são resultados de um
estudo preliminar, existe necessidade de uma investigação mais extensiva. Em relação aos valores obtidos para Kr = 0, 001, estes apresentaram os mesmos valores que os
obtidos sem considerar a variação dos coeficientes (correspondentes ao valor Kr = 0).
C∗r = 1
C∗r = 2
C∗r = 5
Kr
εm
εi
εm
εi
εm
εi
0,000
0,001
0,010
0,100
0,0768
0,0768
0,0793
0,1256
0,3531
0,3531
0,3546
0,3783
0,2784
0,2784
0,2832
0,3786
0,4960
0,4960
0,4985
0,5436
0,7438
0,7438
0,7444
0,7344
0.8017
0,8017
0,8004
0,7542
C∗r = 10
εm
εi
0,8721
0,8721
0,8677
0,7538
0,8847
0,8847
0,8794
0,7558
Apêndice B. Resultados de estudo preliminar
C∗r = 1
C∗r = 2
178
C∗r = 5
Kr
εm
εi
εm
εi
εm
εi
0,000
0,001
0,010
0,100
0,0701
0,0701
0,0728
0,1234
0,3758
0,3758
0,3776
0,4133
0,2936
0,2936
0,2989
0,4165
0,5266
0,5266
0,5302
0,6817
0,8334
0,8334
0,8318
0,7337
0,8853
0,8853
0,8839
0,8845
C∗r = 10
εm
εi
0,9632
0,9632
0,9587
0,6883
0,9691
0,9691
0,9641
0,7989
Isto se deve ao fato de, durante as simulações, o valor utilizado para os coeficientes
convectivos em cada ponto da malha computacional ser o valor local. Nestes casos,
Kr menores , o comprimento de entrada (térmica e hidrodinâmica) é menor que o es-
paçamento utilizado para a malha computacional e, portanto, o algoritmo calcula os
coeficientes como sendo constantes (referentes à região completamente desenvolvida)
no domínio inteiro. Para evitar isto, um valor médio local pode ser utilizado para cada
ponto da malha computacional.

- PGMEC - Universidade Federal Fluminense

Transcrição

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